专题03 空间向量及其运算的坐标表示高频题型精准突破（五大题型）（高效培优期末专项训练）高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册

专题03 空间向量及其运算的坐标表示（五大题型） 考点01 空间向量的坐标运算 考点02 空间向量模长的坐标表示 考点03 空间向量平行的坐标表示 考点04 空间向量垂直的坐标表示 考点05 空间向量夹角余弦的坐标表示 考点01 空间向量的坐标运算 1．若空间向量，则下列向量可以与构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2．若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，，，若共面，则x等于（    ） A． B．1 C． D． 4．已知为单位向量.，若，则在上的投影向量的坐标为 . 5．已知，，，若、、共面，则 . 6．已知点，向量，且，则点的坐标为 ． 7．已知，，则的值为（    ） A．4 B．0 C． D． 8．已知空间向量，，且在上的投影向量为，则的值为（   ） A．-19 B．-20 C．-22 D．-27 9．在空间直角坐标系中，为坐标原点，若，且三点共线，则（   ） A．2 B． C．3 D． 10．已知空间直角坐标系中，、、，点是空间中任意一点，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 考点02 空间向量模长的坐标表示 11．设，向量，且，，则（   ） A． B． C．4 D．3 12．已知向量，. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 13．已知正方体的棱长为1，点为线段上的动点（不含端点），则当三棱锥外接球半径最小时，的长为（    ） A． B． C． D． 14．如图，正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为3，E为棱的中点，点F，G分别在棱，BC上（含端点），若，则线段FG长度的最小值为 ． 15．已知点A的坐标是，则（   ） A．5 B．6 C． D．5 16．如图，在四棱锥中，底面，，，，是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 17．已知向量，点，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 18．已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 19．已知向量，若，则（    ） A．2 B． C． D． 20．若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 考点03 空间向量平行的坐标表示 21．下列说法正确的有（    ） A．若空间中点，，，满足，则，，三点共线 B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C．，，若，则与的夹角为锐角 D．对空间任意一点O和不共线三点，，，若，则，，，共面 22．下列命题中，正确的是（   ） A．对空间任意一点和不共线的三点，若，则，四点共面； B．已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为； C．若为空间向量的一组基底，则构成空间向量的一组基底； D．已知空间向量，，“”的充要条件是“，使得”. 23．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 B．已知两个向量，，且，则 C．若，且，，则 D．，，则在上的投影向量为 24．已知 (1)，求的坐标； (2)求； (3)若与互相垂直，求实数的值. 25．设，向量，，，且，，则等于（   ） A． B． C．3 D．9 26．已知空间向量，，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 27．在空间直角坐标系中，为坐标原点．若、、，下列说法正确的是（   ） A．存在实数，使 B．存在实数，使 C．若为锐角，则 D．若为一组基底，则 28．已知空间向量，，则下列选项正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 29．下列给出的命题中正确的有（    ） A．已知两个向量，，且，则 B．三棱锥中，点为平面上的一点，且，则 C．已知，，则在上的投影向量坐标为 D．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 30．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 考点04 空间向量垂直的坐标表示 31．设，向量，，且，，则（    ） A． B．3 C． D．4 32．已知空间向量，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 33．如图，正方体的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 34．已知空间向量，若，则实数等于（   ） A． B． C．1 D．3 35．在空间直角坐标系中，已知空间向量，，若，则（    ） A． B．2 C．3 D． 36．在空间直角坐标系中，已知，，，，则三棱锥的体积为（    ） A．5 B．10 C．20 D．30 37．已知空间向量，，，且，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 38．已知向量，且，则（    ） A． B． C． D．5 39．已知向量，，且，则实数 ， . 40．已知，且，则（    ） A． B． C．11 D． 考点05 空间向量夹角余弦的坐标表示 41．已知空间向量， ，，，. (1)求向量，，的坐标; (2)求与夹角的余弦值. 42．在三棱柱中，已知底面正三角形边长为2，三棱柱的高为3. (1)建立适当的直角坐标系，标出所有点的坐标； (2)设AA1中点为点E，BC中点为点F，求出、； (3)求出. 43．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量共面 44．已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 45．在空间直角坐标系中，点，，，下列结论正确的有（    ） A． B．向量与的夹角的余弦值为 C．点关于轴的对称点坐标为 D．直线的一个方向向量 46．已知空间向量，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 47．已知向量，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 48．以下四个命题中，正确的是（    ） A．若，则三点共线 B．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 C． D．若，且，则 49．下列四个命题中为假命题的是（    ） A．已知是平面的法向量，是直线l的方向向量，若，则 B．已知向量，则与的夹角为钝角 C．已知是空间中的三个单位向量，若两两共面，则共面 D．已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 50．已知向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则向量在向量上的投影向量 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 空间向量及其运算的坐标表示（五大题型） 考点01 空间向量的坐标运算 考点02 空间向量模长的坐标表示 考点03 空间向量平行的坐标表示 考点04 空间向量垂直的坐标表示 考点05 空间向量夹角余弦的坐标表示 考点01 空间向量的坐标运算 1．若空间向量，则下列向量可以与构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量共线、共面、基底等知识应用坐标运算确定正确答案. 【详解】A选项，设， 即， 所以，解得，， 此时不能构成基底. B选项，，此时不能构成基底. C选项，设， 即， ，此方程组无解，故此时能构成基底. D选项，，此时不能构成基底. 故选：C 2．若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入投影向量坐标公式，即可求解. 【详解】向量在向量上的投影向量的坐标是. 故选：D 3．已知向量，，，若共面，则x等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理求解作答. 【详解】因为向量，，，且共面， 则存在实数，使得 ， 即， 所以，解得. 所以，即 故选：C 4．已知为单位向量.，若，则在上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【分析】根据模与向量的关系求出的值，再根据在上的投影向量公式求出答案即可. 【详解】， 由题可得： ，可得， 则在上的投影向量为. 故答案为：. 5．已知，，，若、、共面，则 . 【答案】 【分析】根据空间向量共面的充要条件以及坐标运算即可求解. 【详解】若、、共面，则， 即， 则，解得. 故答案为： 6．已知点，向量，且，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用空间向量的线性运算来进行求解． 【详解】设，则， 即， 故答案为：． 7．已知，，则的值为（    ） A．4 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：C 8．已知空间向量，，且在上的投影向量为，则的值为（   ） A．-19 B．-20 C．-22 D．-27 【答案】C 【分析】根据投影向量的知识列方程，由此求得的值. 【详解】依题意，在上的投影向量为， 所以， 解得. 故选：C 9．在空间直角坐标系中，为坐标原点，若，且三点共线，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据空间共线向量的坐标表示建立方程组，解之即可求解. 【详解】由题意知，三点共线， 则存在实数，使得， 即，得，解得. 故选：A 10．已知空间直角坐标系中，、、，点是空间中任意一点，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、、、的等式组，消去、可得结果. 【详解】在空间直角坐标系中，、、， 则，，， 因为、、、四点共面，设， 即， 可得，消去、可得，即， 故选：A. 考点02 空间向量模长的坐标表示 11．设，向量，且，，则（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】B 【分析】由空间向量共线及数量积的坐标运算求解. 【详解】因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 所以，所以， 所以， 故选：B. 12．已知向量，. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量模的坐标表示求解； （2）根据向量夹角的坐标表示求解. 【详解】（1），， ，， . （2）设与的夹角为，则，     ，，     ，， ， ， 向量与夹角的余弦值为. 13．已知正方体的棱长为1，点为线段上的动点（不含端点），则当三棱锥外接球半径最小时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，设，三棱锥的外接球球心为，外接球半径为，利用得到，根据最小时的值即可得到的坐标即可求出. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系. 设，则. 设三棱锥的外接球球心为，外接球半径为，则， 即， 化简得，则， 当时，最小，此时，即，所以. 故选：D 14．如图，正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为3，E为棱的中点，点F，G分别在棱，BC上（含端点），若，则线段FG长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据已知构建合适的空间直角坐标系，得，，且，，由已知及向量数量积的坐标运算得，结合向量模长的坐标运算得，且，即可求最值. 【详解】设为下底面中心，构建如下图示的空间直角坐标系， 结合题设知，，且，， 所以，，故， 所以，可得， 而，则， 又，故时，. 故答案为： 15．已知点A的坐标是，则（   ） A．5 B．6 C． D．5 【答案】C 【分析】根据空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】根据题意. 故选：C. 16．如图，在四棱锥中，底面，，，，是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析得到三棱锥的外接球的球心在平面上，作出辅助线，得到三棱锥的外接球的球心在直线上，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，因为在上，设，所以的坐标为，利用得到方程，解得，进而得到外接球半径，得到表面积. 【详解】因为，，所以，设，则为的中点， 因为平面，，平面，所以，， 因为，平面，，所以平面， 由题意知， 所以三棱锥的外接球的球心在平面上. ，故为等边三角形，故， 又，故，， 又，故， 如图，取棱的靠近的四等分点， 则为线段的中点，，因为为的中点，所以， 所以，所以，所以三棱锥的外接球的球心在直线上. 以为坐标原点，，MB，分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， ，，所以， 因为在上，设，所以的坐标为， 又，即，解得， 故，所以， 所以. 故选：A. 17．已知向量，点，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据向量模长的坐标表示即可判断AB；根据向量垂直和平行的坐标表示即可判断CD. 【详解】因为，所以，故A错误，B正确； 若，则，得，故C正确； 若，则，得，故D正确． 故选：BCD. 18．已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求，再由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】向量，，， 所以，解得，所以，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 19．已知向量，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求得，再应用向量模长的坐标计算求模长. 【详解】由题设，可得，即， 所以. 故选：C 20．若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量求解公式进行计算，得到答案. 【详解】由于空间向量，， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：B 考点03 空间向量平行的坐标表示 21．下列说法正确的有（    ） A．若空间中点，，，满足，则，，三点共线 B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C．，，若，则与的夹角为锐角 D．对空间任意一点O和不共线三点，，，若，则，，，共面 【答案】ABD 【分析】对于A：根据三点共线的结论分析判断；对于B：利用空间向量共面定理判断；对于C：举反例分析判断；对于D：根据空间向量共面的推论判断. 【详解】对于A：因为，且， 所以，，三点共线，故A正确； 对于B：由空间向量共面定理可知，对于空间中的三个向量， 若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确； 对于C：例如满足，由，可知， 即共线同向，即与的夹角为，故C错误； 对于D：因，且， 根据空间向量共面的推论知，，，四点共面，故D正确. 故选：ABD 22．下列命题中，正确的是（   ） A．对空间任意一点和不共线的三点，若，则，四点共面； B．已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为； C．若为空间向量的一组基底，则构成空间向量的一组基底； D．已知空间向量，，“”的充要条件是“，使得”. 【答案】C 【分析】根据空间向量的共面定理的推论，可判定A错误；由与的夹角为钝角，得到且与不共线，结合数量积的运算和共线定理，可判定B错误；根据向量的共面定理和基底的概念，可判定C正确；根据向量的共线定理，以及充分、必要条件的判定方法，可判定D错误. 【详解】对于A，若四点共面，则存在实数使得， 且满足，又由中，， 所以四点不共面，所以A错误； 对于B，向量，， 若与的夹角为钝角，可得且与不共线， 由，解得， 设，可得，解得， 所以与的夹角为钝角时，实数的取值范围为，所以B不正确； 对于C，假设不能作为一个空间基底，即共面， 则存在实数使得，即， 因为为空间向量的一组基底，可得，此时方程组无解， 所以不共面，所以能作为一个空间基底，所以C正确； 对于D，若，此时，但不存在实数，使得，即必要性不成立； 反之：若，使得，则，即充分性成立， 所以，使得，的充分不必要条件，所以D错误. 故选：C. 23．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 B．已知两个向量，，且，则 C．若，且，，则 D．，，则在上的投影向量为 【答案】BC 【分析】利用空间中四点共面的推论可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；利用空间向量垂直的坐标表示可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，若、、、四点共面，则存在、，使得， 即， 所以，，且， 因为对空间中任意一点，有，且， 故、、、四点不共面，A错； 对于B选项，已知两个向量，，且， 设，即，则，解得，故，B对； 对于C选项，若，且，，则，C对； 对于D选项，若，，则在上的投影向量为 ，D错. 故选：BC. 24．已知 (1)，求的坐标； (2)求； (3)若与互相垂直，求实数的值. 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）由空间向量平行，得出，设，再利用列方程，进而求得； （2）先求得，，再利用公式即可求得的值； （3）利用空间向量垂直充要条件列出关于的方程，解之即可求得的值． 【详解】（1）由题可知，， 由，得，设， 因为， 所以，解得， 所以或． （2）因为、、，，， 所以，， 则. （3）因为，， 又与垂直， 所以， 解得或． 25．设，向量，，，且，，则等于（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示求出，再根据向量坐标形式的模长公式计算即可得解. 【详解】由题可得，解得， 所以向量，，所以， 所以. 故选：C. 26．已知空间向量，，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】BD 【分析】根据向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数判断A、B；应用向量坐标加法及模长的坐标运算列方程求参数判断C；由向量夹角的坐标表示求余弦值，进而确定正弦值判断D. 【详解】A：，则，可得，错； B：，则，可得，对； C：，可得或，错； D：，则，故，则，对. 故选：BD 27．在空间直角坐标系中，为坐标原点．若、、，下列说法正确的是（   ） A．存在实数，使 B．存在实数，使 C．若为锐角，则 D．若为一组基底，则 【答案】BD 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示可判断A选项；利用空间向量的模长公式求出的值，可判断B选项；分析可知，且、不共线，利用空间向量数量积的坐标运算以及空间向量共线的坐标表示可判断C选项；利用空间向量基底的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，，， 所以，， 因此，不存在实数，使得，A错； 对于B选项，若存在实数，使， 即，解得，B对； 对于C选项，由题意可得， 若为锐角，则，解得， 且、不共线，若、共线，则，解得， 所以，当、不共线时，， 因此，若为锐角，则且，C错； 对于D选项，若、、共面，则存在、，使得， 则，解得， 因此，若为一组基底，则，D对. 故选：BD. 28．已知空间向量，，则下列选项正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据模长公式即可求解A，根据垂直的坐标关系即可求解B，根据平行满足的坐标关系即可求解C，根据夹角公式即可求解D. 【详解】A：，A错误； B：由知，，解得，B正确； C：由知，，解得，C错误； D：若，，则，D正确. 故选：BD 29．下列给出的命题中正确的有（    ） A．已知两个向量，，且，则 B．三棱锥中，点为平面上的一点，且，则 C．已知，，则在上的投影向量坐标为 D．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 【答案】ABC 【分析】根据空间向量平行求参数，可判断A的真假；根据向量共面求参数，可判断B的真假；根据投影向量的概念判断C的真假；根据空间向量基底的概念判断D的真假. 【详解】对A选项：由，所以存在，使得，即， 所以，所以，故A正确； 对B选项：因为点为平面上的一点，所以存在，使得, 即. 因为，所以，故B正确； 对C选项：在上的投影向量为：，故C正确； 对D选项：因为，所以，，三个向量共面， 所以不是空间向量的一组基底，故D错误. 故选：ABC 30．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出可判断选项C；根据三点的坐标求出向量的坐标，结合空间向量共线的运算可判断选项B；结合空间向量数量积的坐标表示可判断选项A；结合空间向量夹角的求法可判断选项D. 【详解】对于C，，，， 所以，故C错误； 对于B，因为不存在，使得，所以B错误； 对于A，因为，所以A正确； 对于D，因为，故D错误． 故选：A. 考点04 空间向量垂直的坐标表示 31．设，向量，，且，，则（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】向量，且， ∴，解得， ∴， ∴， 故选：B 32．已知空间向量，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 【答案】ABD 【分析】对于A，结合向量垂直的性质即可求解；对于B，结合向量的四则运算即可求解；对于C，利用投影的几何意义即可求解； 对于D，根据向量的夹角公式即可求解. 【详解】对于A，，， 又，， 即， 解得，故A正确， 对于B，， ， ，解得，故B正确， 对于C，在上的投影向量为，即， 代入坐标化简可得， 故，无解，故C错误， 对于D，与夹角为锐角， ，解得， 且与不共线，即，解得， 则与夹角为锐角，解得，故D正确. 故选：ABD. 33．如图，正方体的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】通过建立空间直角坐标系，设P坐标，根据可得出轨迹方程，再根据轨迹方程即可求解. 【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设， ，， ，， ∵，∴， ∴点P在侧面的边界及其内部运动的轨迹如图线段： 正方体中，平面， ∴，又， 由图可知当点P在E处取得最大值， 所以面积的最大值. 故选：D. 34．已知空间向量，若，则实数等于（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】即等价于. 【详解】因为且,所以,解得, 故选：D． 35．在空间直角坐标系中，已知空间向量，，若，则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】由向量垂直的坐标表示列出等式即可求解； 【详解】解：由题意，因为， 则， 解得， 故选：D 36．在空间直角坐标系中，已知，，，，则三棱锥的体积为（    ） A．5 B．10 C．20 D．30 【答案】A 【分析】利用向量坐标表示，求出，，进而平面，再求出，利用锥体的体积公式即可求得结果. 【详解】，，， ，，即，，平面, 平面，又， ，即， ， 故选：A． 37．已知空间向量，，，且，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的坐标运算，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，，故A正确， 对于B，由于，则，故，B正确， 对于C，，故与不垂直，故C错误， 对于D，，D正确， 故选：ABD 38．已知向量，且，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据则，可得，再求解模长即可. 【详解】因为则，即，解得. 故，即. 故选：C 39．已知向量，，且，则实数 ， . 【答案】 【分析】运用向量垂直坐标表示和模长公式计算即可. 【详解】，则，解得. 则，，. . 故答案为：；13. 40．已知，且，则（    ） A． B． C．11 D． 【答案】B 【分析】先利用向量垂直数量积为零求出的值，再求出的坐标，最后根据模长公式求解. 【详解】因为且， 所以， 所以，则， 所以， 故选：B. 考点05 空间向量夹角余弦的坐标表示 41．已知空间向量， ，，，. (1)求向量，，的坐标; (2)求与夹角的余弦值. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）由已知根据，的坐标运算求解即可； （2）由（1）可得与的坐标，利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】（1）因为，，， 所以，所以，， 所以，， 因为，， 所以， 所以，所以； （2），， 所以，，， 设与夹角为， 所以， 所以与夹角的余弦值为. 42．在三棱柱中，已知底面正三角形边长为2，三棱柱的高为3. (1)建立适当的直角坐标系，标出所有点的坐标； (2)设AA1中点为点E，BC中点为点F，求出、； (3)求出. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）以的中点为原点，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，再写出各点的坐标即可； （2）写出的坐标，再根据向量的坐标表示即可得解； （3）根据计算即可. 【详解】（1）以的中点为原点，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，如图所示： 由题意知，， 则，，，，，； （2）由题意知，， 故； （3）， 所以. 43．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量共面 【答案】ABD 【分析】根据向量数量积的坐标表示得出向量夹角判断A；由向量相乘为0可得向量垂直B正确；根据投影向量的定义可计算出投影向量判断C；得出向量共面判断D. 【详解】对于A：设向量与向量的夹角为，则，又因为，所以，A选项正确； 对于B：因为,，所以，B选项正确； 对于C：向量在向量上的投影向量为，C选项错误； 对于D：因为向量，所以，得出向量与向量共面，D选项正确. 故选：ABD. 44．已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】利用向量夹角公式的坐标运算，即可求解. 【详解】， 故选：B. 45．在空间直角坐标系中，点，，，下列结论正确的有（    ） A． B．向量与的夹角的余弦值为 C．点关于轴的对称点坐标为 D．直线的一个方向向量 【答案】BCD 【分析】对于A选项，根据空间两点距离公式可判断A选项正误； 对于B选项，根据空间向量的夹角坐标公式可判断B选项正误； 对于C选项，根据点的对称性可判断C选项的正误； 对于D选项，根据直线方向向量的概念可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，由于，，根据空间两点距离公式可得：.故A选项错误； 对于B选项，，，设向量与向量的夹角为， 则，故B选项正确； 对于C选项，点关于轴的对称点坐标为，故C选项正确； 对于D选项，易知，由于，得：，因此是直线的一个方向向量，故D选项正确. 故选：BCD 46．已知空间向量，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的模的坐标公式即可判断A；根据空间向量共线定理即可判断B；根据空间向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标公式即可判断C；根据空间向量夹角的坐标公式即可判断D. 【详解】对于A，， ，故A正确； 对于B，，设，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 47．已知向量，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1)9； (2). 【分析】（1）根据，可得，从而可得，再根据向量模的坐标求法计算即可； （2）结合（1）可得，，再由夹角公式求解即可. 【详解】（1）解：因为， 所以，解得， 所以， 则， 所以； （2）解：， ， ， 设向量与夹角为， 所以， 所以向量与夹角的余弦值为． 48．以下四个命题中，正确的是（    ） A．若，则三点共线 B．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 C． D．若，且，则 【答案】B 【分析】根据向量三点共线可判断A；假设共面，设得出矛盾可判断B；举反例可判断C；利用数量积公式计算可判断D. 【详解】对于A，若三点共线，则，且， 而，故A错误； 对于B，假设共面， 设， 因为为空间的一个基底，所以， 该方程组无解，假设不成立，故B正确； 对于C，设， 则，，故C错误； 对于D，由得，设与的夹角为， 所以，因为，所以，不一定有，故D错误. 故选：B. 49．下列四个命题中为假命题的是（    ） A．已知是平面的法向量，是直线l的方向向量，若，则 B．已知向量，则与的夹角为钝角 C．已知是空间中的三个单位向量，若两两共面，则共面 D．已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 【答案】ABC 【分析】利用空间向量基底的性质证明真命题，举反例否定假命题即可. 【详解】对于A，当时，满足条件，但直线l不平行于平面，故A假； 对于B，因为，所以，所以与的夹角不是钝角，故B假；对于C，两两共面，但是不一定共面，可能两两垂直，故C假； 对于D，若不能构成空间向量的一组基底，则共面， 即存在，使得， 即，由于是空间向量的一个基底， 则，，无解，所以也是空间向量的一个基底，故D真． 故选：ABC． 50．已知向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则向量在向量上的投影向量 【答案】ACD 【分析】代入的值，得到向量的坐标，利用向量的坐标运算，判断向量的平行垂直，求向量夹角的余弦和投影向量的坐标. 【详解】向量 若，则，，所以，A选项正确； 若，，，不满足则，B选项错误； 若，，则，C选项正确； 若，，则向量在向量上的投影向量: ，D选项正确. 故选：ACD 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $