精品解析：四川省内江市第六中学2025—2026学年高二上学期期中考试数学试题

内江六中2025-2026学年（上）高2027届半期考试数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第I卷 选择题（满分58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 直线的斜率为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将一般式方程转换成斜截式方程即可． 【详解】直线，即，斜率为． 故选：B． 2. 下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，根据平面平行的定义，可得其正误；对于B，根据中位线定理可得线线平行，再根据面面平行的判定，可得其正误；对于C，利用反证法，结合面面平行的性质，可得其正误；对于D，利用反证法，根据面面平行的判定，可得其正误. 【详解】对于A选项，若平面平面，平面，则平面， 由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件； 对于B选项，如图所示，连接， 因为、分别为、的中点， 则，在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为， 因此，平面平面，B满足条件； 对于C选项，如图所示： 在正方体中，若平面平面，且平面平面， 平面与平面不重合，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 因此，平面与平面不平行，C不满足条件； 对于D选项，在正方体中，连接、、，如图所示： 因为且，则四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为，所以平面平面， 若平面平面，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 故平面与平面不平行，D不满足条件． 故选：B. 3. 已知a，b是空间两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中点线面的位置关系，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：若，，则可能，故A错误； 选项B：因，如图过作平面，交平面于b， 根据线面平行的性质定理，可得，因为，所以， 又因，所以，故B正确； 选项C：若，，则可能或或与相交，故C错误； 选项D：若，，，则与可能相交，故D错误. 故选：B 4. 设点，若过点的直线与线段有公共点．则直线的斜率取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，求出直线、的斜率，观察直线在绕着点旋转时，直线的倾斜角的变化，即可得出直线的斜率的取值范围. 【详解】设过点且垂直于轴的直线交线段于点，如下图所示： ，， 当直线从的位置旋转至与的位置靠近时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为锐角，则； 当直线从靠近的位置旋转至的位置时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为钝角，则. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故选：A. 5. 光线通过点A（2，3），在直线l：上反射，反射光线经过点B（1，1），则反射光线所在直线方程为 A. B. 4x+5y-1=0 C. 3x-4y+1=0 D. 3x-4y-1=0 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称的性质，设点A（2，3）关于直线l的对称点为A′（x0，y0），利用斜率和中点坐标可得A′，可得反射光线所在直线的方程． 【详解】设点A（2，3）关于直线l的对称点为A′（x0，y0）， 则 解得：A′（﹣4，﹣3）． 由于反射光线所在直线经过点A′（﹣4，﹣3）和B（1，1）， 所以反射光线所在直线的方程为y﹣1＝（x﹣1）•，即4x﹣5y+1＝0． 故答案为A. 【点睛】本题考查了直线关于直线的对称直线方程的求法，斜率，中点坐标的应用，属于基础题． 6. 已知，，，若共面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，从而得到方程组，解得即可． 【详解】因为，，，且共面， 则存在实数满足，即， 所以，解得． 故选：B 7. 已知实数满足，，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. 9 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据两平行直线间的距离公式求得正确答案. 【详解】实数满足，， 即实数满足，， 则在直线上，在直线上， 直线与直线平行， 所以、两点间的最短距离为， 所以的最小值为. 故选：B 8. 一封闭圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个半径为的小球在该容器内自由运动，如图所示，在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分析球体在运动过程中所能接触到内壁的构成，再应用相应的面积公式求小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积. 【详解】由题意，轴截面示意图如下，当球与圆锥轴截面两条边都相切时，球心在角平分线上， 由，，则，可得， 所以小球接触到底面是直径为的圆， 如上图都是球与圆锥内壁的切点，且， 而，且，， 所以小球接触到侧面是上底面直径为1，下底面直径为3，母线长为2的圆台侧面， 所以小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为. 故选：B 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 以下四个命题中正确的是（ ） A. 直线在坐标轴上的截距之和为 B. 向量是直线的一个方向向量 C. 直线与直线之间的距离是 D. 直线的倾斜角的范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用直线截距的概念可判断A选项；利用直线方向向量的概念可判断B选项；利用平行线间的距离公式可判断C选项；利用直线斜率与倾斜角的关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，将直线方程化为截距式方程得， 所以该直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 故直线在坐标轴上的截距之和为，A对； 对于B选项，直线的斜率为， 故向量是直线的一个方向向量，B对； 对于C选项，直线的方程可化为， 所以直线与直线平行， 这两直线间的距离为，C错； 对于D选项，直线方程可化为， 所以该直线的斜率为， 设该直线的倾斜角为，则， 当时，；当时，. 因此，直线的倾斜角的范围是，D对. 故选：ABD. 10. 如图，平行六面体的所有棱长均为2，，点，分别在棱，上，且，，则（    ） A. ，，，四点共面 B. 在方向上的投影向量为 C. D. 直线与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】在上取点，使得，可得四边形、四边形为平行四边形，求出，可判断A；对两边平方求出，再由投影向量的定义可判断B；由的线性运算后再平方可判断C；由向量的夹角公式计算可判断D. 【详解】对于A，在上取点，使得，连接， 因为，所以四边形为平行四边形， 可得， 因为，所以四边形为平行四边形， 可得，所以，可得，，，四点共面，故A正确； 对于B，因为平行六面体棱长均为2，， 因为， 则， 则， ，故B正确； 对于C，， ， 则，故C不正确； 对于D，故 ， 故直线与所成角的余弦值为，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面，则点的轨迹长度为 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 若是正方形的中心，在线段上，则的最小值为 D. 若是棱的中点，三棱锥的外接球球心为，则平面截球所得截面的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】作出相应图形，先证明平面平面，再结合给定条件确定动点轨迹，求出长度即可判断A；建立空间直角坐标系，根据题意确定动点轨迹，求解长度即可判断B，将平面翻折到与平面共面，连接，与交于点，此时取到最小值，利用勾股定理求出即可判断C，先找到球心，利用勾股定理得出半径，进而可判断D. 【详解】如图，取的中点为N，M，连接MN，DN，BD，BM，NE，， 所以，又E，F分别是棱的中点， 所以，所以，平面CEF，平面CEF， ∴平面CEF， 因为N，E分别是棱的中点，所以，且， 所以四边形CDNE为平行四边形， 所以，又平面CEF，平面CEF， ∴平面CEF，又，MN，平面BDNM， 所以平面平面CEF， 点P是正方形内的动点，且平面CEF， 所以点P的轨迹为线段MN，由勾股定理得，故A正确； 如图，以A为原点，建立空间直角坐标系， 由题意得，设， 则， 所以，所以点P的轨迹为为圆心，半径为1的个圆， 所以点P的轨迹长度为，故B正确： 如图，将平面CEF翻折到与平面共面， 连接PC，与EF交于点Q，此时取到最小值， ∵，且， 所以点Q为EF的中点，所以， 所以， 即的最小值为，故C错误： 如图， 连接PF，交于点，连接PE，设三棱锥的外接球的半径为， 若P是棱的中点，则， 所以FP是外接圆的一条直径，所以是外接圆的圆心， 过点作平面ABCD的垂线，则三棱锥的外接球的球心O一定在该垂线上， 连接OP，设，则， 连接OC，，所以， 所以，解得， 所以， 点到平面的距离为， 则球心到平面的距离为， 则截面圆的半径为，所以截面的面积为，故D正确. 故选：ABD． 第II卷 非选择题（满分92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线与直线垂直，则的值为__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由两直线垂直的判定条件可得答案. 【详解】∵直线与直线垂直， ∴， 解得：. 故答案为： 13. 在正四棱锥中，分别为的中点，平面恰好与正四棱锥的内切球相切，则正四棱锥的高为___________． 【答案】 【解析】 【分析】借助内切球性质可得和相似，则有计算即可得内切球的半径，即可得高. 【详解】在正四棱锥中，分别为的中点， 平面恰好与正四棱锥的内切球相切， 设AC与BD相交于点Q，取AB的中点为M连接PM,PQ,MQ， 取PQ与平面交于点N，连接NG ，作于S，设内切球的半径为r，则，设PQ=h， 平面与平面ABCD平行，平面PQC与两个平面的交线为NG、QC 所以 ，所以和相似，由G为PC中点， 所以点N是PQ中点,所以 ； 又和相似，故，易得， 则 ，得到，所以 即正四棱锥P-ABCD的高为.； 故答案为： 14. 已知正方体的棱长为为的中点，若平面，且平面，则平面截正方体所得截面的周长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用符合题意的截面，进而求出截面周长. 【详解】在正方体中，平面，是正方形的对角线， 则，又平面，则平面， 而平面，则，取的中点的中点，连接， ，则，，由， 平面，得平面，而平面，则， 又平面，于是平面，又平面， 则，而平面，因此平面， 取的中点，由，得点在平面上， 梯形是平面截正方体所得截面，又正方体棱长为2， 所以截面周长为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，且分别是的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 【答案】（1） 如图所示，取的中点，连接， 因为是的中点，所以且， 又因为四边形为正方形，所以且， 因为为的中点，可得，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2） 因为底面，平面，所以， 因为四边形为正方形，可得， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，可得， 又因为且为的中点，所以， 因为，且平面，所以平面， 由（1）知，所以平面. 【解析】 【分析】（1）取的中点，证得且，得到四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. （2）利用线面垂直的判定定理，证得平面，由（1）知，即可证得平面. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 已知直线经过点. （1）若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； （2）若直线交轴的负半轴于点，交轴的负半轴于点为坐标原点，的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 【答案】（1）或 （2）； 【解析】 【分析】（1）根据题意，分直线的截距为0和截距不为0时，分别设出直线方程，将代入直线的方程，即可求解； （2）根据题意，设直线的方程为，其中，分别求得和，得到的面积为，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：当在坐标轴上的截距为0时，符合题意，直线过坐标原点，设直线的方程为. 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为，即； 当在坐标轴上的截距不为0时，设直线的方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为. 综上可得，直线的方程为或. 【小问2详解】 解：如图所示，可得直线的截距不为0，斜率存在且斜率， 设直线的方程为， 令，解得，则，所以； 令，解得，则，所以， 则的面积为 ，当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为12，此时直线的方程为，即. 17. 如图，是圆柱的两条母线，是圆的直径，，且，是母线上的动点． （1）若是线段的中点，求直线与所成角的余弦值； （2）若四面体的体积为，圆柱的体积为，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用几何法求出线线角的余弦值. （2）利用线面平行的判定可得平面，再利用等体积法，结合棱锥、圆柱的体积公式求解. 【小问1详解】 在圆柱中，连接，由，得为直线与所成角或其补角， 依题意，，则，由平面，得， 又为的中点，则，，， 所以直线与所成角的余弦值. 【小问2详解】 由平面平面，得平面， 则点到平面的距离等于点到平面的距离， 因此，所以. 18. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为的中点，平面，，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求中点到直线的距离． 【答案】（1） 取的中点，连接， 因为底面是边长为的正方形，为的中点， 所以， 又平面，平面，平面， 所以，， 又，，，所以， 则以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图的空间直角坐标系. 则，，，所以，， ，可得，即得. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，根据几何体特征，则以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，求得，，结合向量的垂直关系即可证明； （2）根据（1）所建立的空间直角坐标系，先求的和平面的法向量，结合线面角的向量求法，即可求解； （3）根据（1）所建立的空间直角坐标系，结合点到直线距离的向量求法，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）建系，得，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则， 故可取， 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（1）建系，得，，，， 点为中点，则， 所以，， 设点到直线的距离为，则， 即点到直线的距离为. 19. 如图，在四棱锥中，底面为长方形，，为的中点，，，. （1）证明：平面； （2）点为底面所在平面内的任意一点（在长方形外，和均为锐角），且. （ⅰ）若平面和平面的夹角为，求的最大值； （ⅱ）请判断是否存在点，使得五棱锥存在外接球，若存在，求出外接球的半径；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 证明：因为，所以， 所以，故． 又平面，所以平面． 又平面，所以． 因为，所以， 所以，即． 又平面， 所以平面． （2）（i） （ii）不存在，理由如下： 设和交于点，则． 若五棱锥存在外接球，则球心在过点且垂直于平面的直线上， 设球心，必有． ，解得，， 则． 又，所以，解得或， 由题知，且，即，但都不在这个范围内， 故不存在点，使得五棱锥存在外接球． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理证明线线垂直，根据线面垂直证明线线垂直，再综合证明线面垂直即可； （2）（i）建立空间直角坐标系，设出点坐标，利用空间向量求二面角的最值即可；（ii）先求四棱锥的外接球球心，再证明点不在该球上即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，取的中点，连接，则． 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 设，由，得． 又在长方形外，和均为锐角， 所以．可化为， 两边平方后，整理得， 故，整理可得． （i）设平面的法向量为，由， 得取，得， 故平面的一个法向量为． 设平面的法向量为． 得取，得， 故平面的一个法向量为． 则． 令，则，所以． 由函数单调递增，得当时，取最大值，最大值为． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江六中2025-2026学年（上）高2027届半期考试数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第I卷 选择题（满分58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 直线的斜率为（ ） A. 3 B. C. D. 2. 下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知a，b是空间两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 4. 设点，若过点的直线与线段有公共点．则直线的斜率取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 光线通过点A（2，3），在直线l：上反射，反射光线经过点B（1，1），则反射光线所在直线方程为 A. B. 4x+5y-1=0 C. 3x-4y+1=0 D. 3x-4y-1=0 6. 已知，，，若共面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数满足，，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. 9 D. 16 8. 一封闭圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个半径为的小球在该容器内自由运动，如图所示，在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 以下四个命题中正确的是（ ） A. 直线在坐标轴上的截距之和为 B. 向量是直线的一个方向向量 C. 直线与直线之间的距离是 D. 直线的倾斜角的范围是 10. 如图，平行六面体的所有棱长均为2，，点，分别在棱，上，且，，则（    ） A. ，，，四点共面 B. 在方向上的投影向量为 C. D. 直线与所成角的余弦值为 11. 如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面，则点的轨迹长度为 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 若是正方形的中心，在线段上，则的最小值为 D. 若是棱的中点，三棱锥的外接球球心为，则平面截球所得截面的面积为 第II卷 非选择题（满分92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线与直线垂直，则的值为__________. 13. 在正四棱锥中，分别为的中点，平面恰好与正四棱锥的内切球相切，则正四棱锥的高为___________． 14. 已知正方体的棱长为为的中点，若平面，且平面，则平面截正方体所得截面的周长为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，且分别是的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 16. 已知直线经过点. （1）若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； （2）若直线交轴的负半轴于点，交轴的负半轴于点为坐标原点，的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 17. 如图，是圆柱的两条母线，是圆的直径，，且，是母线上的动点． （1）若是线段的中点，求直线与所成角的余弦值； （2）若四面体的体积为，圆柱的体积为，求的值． 18. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为的中点，平面，，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求中点到直线的距离． 19. 如图，在四棱锥中，底面为长方形，，为的中点，，，. （1）证明：平面； （2）点为底面所在平面内的任意一点（在长方形外，和均为锐角），且. （ⅰ）若平面和平面的夹角为，求的最大值； （ⅱ）请判断是否存在点，使得五棱锥存在外接球，若存在，求出外接球的半径；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $