精品解析：江苏省苏州市西附、景文、独墅湖样联考2025-2026学年上学期八年级数学期中试卷

2025-2026学年第一学期西附、景文、独墅湖初二数学期中试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分． 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的定义解答即可． 本题考查了分式的定义，分母中含有字母是判断的关键． 【详解】解：A. 分母中无字母，不是分式，不符合题意； B. 分母中无字母，不是分式，不符合题意； C. 分母中有字母，是分式，符合题意； D. 分母中无字母，不分式，不符合题意； 故选：C． 2. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解，根据因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式进行因式分解，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意； B、等式右边不是整式的积的形式，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、等式不成立，不符合题意； 故选C． 3. 下列各式与是同类二次根式的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析】根据化成最简式后，且被开方数相同，判定计算即可． 本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解： A. ∵，∴被开方数是3，是同类二次根式，符合题意； B. ，不是同类二次根式，不符合题意； C. ，不是同类二次根式，不符合题意； D. ，不是同类二次根式，不符合题意； 故选：A． 4. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 2，4，3 B. 2，5，4 C. ，2， D. 1，， 【答案】C 【解析】 【分析】利用直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，熟练掌握定义，勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴不能构成直角三角形， 故A不符合题意； ∵， ∴ ∴不能构成直角三角形， 故B不符合题意； ∵， ∴， ∴能构成直角三角形， 故C符合题意； ∵， ∴， ∴不能构成直角三角形， 故D不符合题意； 故选：C． 5. 若分式的值为0，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的值为0的条件，分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0． 根据分式的值为0的条件得到，即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得； 当时，分母，满足条件， 故选：C． 6. 如图，小明用4个全等且面积为6的直角三角形和1个小正方形刚好拼成一个面积为25的大正方形则每一个直角三角形的周长为（ ） A. 6 B. 12 C. 13 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．设直角三角形直角边的长分别，斜边长为，根据题意，结合图形求出与的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值． 【详解】解：设直角三角形直角边的长分别（），斜边长为， 根据题意得：，，即， 则，， ， ， ， 每个直角三角形的周长为， 故选：B． 7. 如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点，，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角性质，解答即可． 本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵在的垂直平分线上，在的垂直平分线上， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴∴， 故选：C． 8. 如图，在中，，，在上取点，使，作于E，连接，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半；过点作交的延长线于点，证明得出，取的中点，连接，，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，勾股定理求得，进而根据两点之间线段最短，求得的最值，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点， ∵， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴ 取的中点，连接， 又∵ ∴ 在中，， ∵ ∴， 当在上时，取得最小值，最小值为， 故选：A． 二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分． 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 10. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的求值，由比例关系设参数，代入表达式求值． 【详解】解：由 ，设 ，（）， 则 故答案为：． 11. 利用勾股定理可以作出长为无理数的线段，如图，在中，，，点恰好落在数轴上表示的点上，以原点为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，使点落在点的左侧，则点所表示的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数． 依据勾股定理即可得到的长，进而得出的长，即可得到点C所表示的数． 【详解】解：由题意得，， ∵，， ∴， ∴， ∴点所表示的数是， 故答案为：． 12. 已知关于x的方程有增根，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】 本题主要考查了分式方程的增根，熟练掌握化分式方程为整式方程并能正确确定增根是解决此题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出的值，代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】解：去分母得：， ∵分式方程有增根， ∴， 解得， 把代入整式方程得． 故答案为：． 13. 已知，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，解题关键运用整体思想，整体代入求值． 由已知方程变形得到的值，再将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，和的平分线交于点E，过点E作分别交AB、AC于点M、N，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，解题关键是掌握角平分线的定义，掌握平行线的性质． 根据角平分线定义、平行线的性质可得，进而求解． 【详解】解∶平分， 同理可得∶， 故答案为：． 15. 勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，观察下列几组勾股数：，，，⋯根据上面的规律，第6个勾股数组为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数，观察勾股数组的规律，第个数组的第一个数为，第二个数为，第三个数为第二个数加1，即可得出结论． 【详解】解：观察勾股数组的规律，第个数组的第一个数为，第二个数为，第三个数为第二个数加1， ∴对于第6个勾股数组： 第一个数， 第二个数， 第三个数， 故答案为：． 16. 在中，，且过某一顶点的直线可将分成两个等腰三角形，则的度数为______． 【答案】或或或 【解析】 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用和分类思想的运用．因为题中没有指明是过顶角的顶点还是过底角的顶点，故应该分四情况进行分析，从而求解． 【详解】解：如图①，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图②，当，时， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图③，当时， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 如图④，当，时， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． 综上，的值为：或或或． 故答案为：或或或 三、解答题：本大题共10小题，共68分． 17. 因式分解： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟记、乘法公式是解答的关键． （1）先提公因式2，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式b，再利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解答的关键． （1）先利用二次根式的性质化简，再加减运算即可； （2）先计算括号的加减，再乘法，然后加减运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 解分式方程． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，对计算结果检验是解答的关键． 先去分母化为整式方程，再解整式方程，然后检验结果写出答案即可． 【详解】解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得 检验：将代入中，得 ∴原分式方程的解为． 20. 先化简，再求值：，请从，0，2中选择一个合适的的值代入求值． 【答案】，1 【解析】 【分析】先对括号内的式子通分，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分，最后从，0，2中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， ∵或2时，原分式无意义， ∴， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键． 21. 如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、． （1）若，求的度数； （2）若，的周长为13，求的长． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质和等边对等角得到，再根据三角形内角和定理解答即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，，结合的周长得到，即可解答． 【小问1详解】 解：∵的垂直平分线交于点D，交于点E，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴； 【小问2详解】 解：∵垂直平分，， ∴, ， ∴， ∵的周长为13， ∴ ∴， ∴， ∴． 22. 某超市用1800元购进一批饮料，面市后供不应求，又用7200元购进这批饮料，第二批饮料数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元． （1）第一批饮料进货单价多少元？ （2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于4200元，那么销售单价至少为多少元？ 【答案】（1）6 （2）11 【解析】 【分析】本题考查了分式方程应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设第一批饮料进货单价为元，则第二批饮料进货单价为元，利用数量=总价÷单价，结合第二批饮料购进的数量是第一批的3倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）利用数量=总价÷单价，即可求出第一、二批购进饮料的数量，设销售单价为元，利用销售利润=销售单价×销售数量－进货总价，结合获利不少于4200元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设第一批饮料进货单价为元，则第二批饮料进货单价为元， 依题意得：，解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意． 答：第一批饮料进货单价为6元． 【小问2详解】 第一批饮料购进数量为：（瓶）， 第二批饮料购进数量为：（瓶）， 设销售单价为元， 依题意得：，解得， 答：销售单价至少为11元． 23. 在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经中断，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明； （2）求原来的路线的长． 【答案】（1）是，，见详解 （2）2.5千米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）先计算的值，再计算的值，根据勾股定理的逆定理判断的形状； （2）根据题意设未知数，在中应用勾股定理列方程并解方程得到结果． 【小问1详解】 解：是，， 理由：在中， ∵，， ∴， ∴， ∴是从村庄C到河边的最近路． 【小问2详解】 解：设， 在中，由已知得千米，千米，千米， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， 即原来的路线的长为2.5千米． 24. 阅读理解：阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答： 化简：． 解：隐含条件，解得． 原式． 启发应用：已知三条边的长度分别是，，．记的周长为． （1）若，求的值； （2）请用含的代数式表示的周长（结果要求化简）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，绝对值化简，熟练掌握二次根式性质和二次根式有意义的条件，是解题的关键． （1）将代入所给式子求出三角形的三边长度，再求解三角形的周长即可； （2）根据二次根式有意义的条件以及性质，结合绝对值性质化简所给式子，再求解三角形的周长即可． 【小问1详解】 解：当时，， ， ． ∴； 【小问2详解】 解：根据题意，得且， ∴，则，， ∵， ∴， ∴ ． 25. 我们定义：若两个分式与的和为一个分式，且分式的分子为常数，分母为关于的一次整式，则称与是“合分式”，这个常数称为与关于的“合值”．例如：分式，，，则与是“合分式”，与关于的“合值”为3． 解决下列问题： （1）已知分式，是“合分式”．求与关于的“合值”为_____； （2）已知分式（其中是常数，且），，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，求常数的值； （3）已知分式，，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，若分式的值为正整数，且为整数，求满足条件的的值． 【答案】（1）3 （2） （3）4或10或 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）将两式相加并计算即可； （2）将两式相加并计算，根据E与F关于C的“合值”为1求得a的值即可． （3）根据与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，可得，从而得到，再由分式的值为正整数，可得取1或7或，即可求解． 【小问1详解】 解：∵分式，是“合分式”， ∴， ∴与关于的“合值”为3； 故答案为：3 【小问2详解】 解： ∵与是“合分式”，且与关于的“合值”为1， 【小问3详解】 解：， ∵与是“合分式”，且与关于的“合值”为1， ∴， ∴， ∴， ∵分式的值为正整数，为整数， ∴7是的整数倍， ∴取1或7或， 此时x的值为4或10或． 26. “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李欣《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． （1）几何应用：如图1，点、在直线的同侧，点到的距离，点到的距离，． ①请在图1直线上作出点，使得最小； ②的最小值为_____； （2）几何拓展：如图2，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，并求出最小值； （3）代数应用：代数式（）的最小值为_____． 【答案】（1）①见解析；②5； （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）①作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，连接，作图即可； ②过点作，交的延长线于点H，根据矩形的判定和性质，勾股定理解答即可； （2）作点C关于直线的对称点，过点D作于点N，交于点M，连接，则取得最小值，此时， 连接，利用等边三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短解答即可； （3）根据，构造，当A，C，E三点共线时，最小，计算即可． 本题考查了轴对称作图，勾股定理，两点之间线段最短等知识，也考查了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解，掌握上述知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：①如下图，作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，连接， 点P即为所求作； ②解：过点作，交的延长线于点H， 则四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴的最小值为5， 故答案为：5． 【小问2详解】 解：作点C关于直线的对称点，过点D作于点N，交于点M，连接， 则取得最小值，此时， 连接， 根据轴对称性质，得，， 故， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【小问3详解】 解：根据， 构造．如图所示， 当A，C，E三点共线时，最小， 延长到点F，过点A作于点F， 则四边形是矩形， 故． 故． 故的最小值为， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期西附、景文、独墅湖初二数学期中试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分． 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（  ） A. B. C. D. 3. 下列各式与是同类二次根式（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 2，4，3 B. 2，5，4 C. ，2， D. 1，， 5. 若分式的值为0，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小明用4个全等且面积为6的直角三角形和1个小正方形刚好拼成一个面积为25的大正方形则每一个直角三角形的周长为（ ） A. 6 B. 12 C. 13 D. 25 7. 如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点，，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，在上取点，使，作于E，连接，若，则的最小值为（ ） A B. C. D. 二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分． 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 10. 已知，则_____． 11. 利用勾股定理可以作出长为无理数的线段，如图，在中，，，点恰好落在数轴上表示的点上，以原点为圆心，的长为半径画弧交数轴于点，使点落在点的左侧，则点所表示的数是______． 12. 已知关于x的方程有增根，则m的值为______． 13. 已知，则的值为_____． 14. 如图，在中，，，和平分线交于点E，过点E作分别交AB、AC于点M、N，则的周长为______． 15. 勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，观察下列几组勾股数：，，，⋯根据上面的规律，第6个勾股数组为_____． 16. 在中，，且过某一顶点直线可将分成两个等腰三角形，则的度数为______． 三、解答题：本大题共10小题，共68分． 17. 因式分解： （1）． （2）． 18. 计算： （1）． （2）． 19. 解分式方程． 20. 先化简，再求值：，请从，0，2中选择一个合适的的值代入求值． 21. 如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、． （1）若，求的度数； （2）若，的周长为13，求的长． 22. 某超市用1800元购进一批饮料，面市后供不应求，又用7200元购进这批饮料，第二批饮料数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元． （1）第一批饮料进货单价多少元？ （2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于4200元，那么销售单价至少为多少元？ 23. 在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经中断，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）问是否为从村庄C到河边最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明； （2）求原来的路线的长． 24. 阅读理解：阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答： 化简：． 解：隐含条件，解得． 原式． 启发应用：已知三条边的长度分别是，，．记的周长为． （1）若，求的值； （2）请用含的代数式表示的周长（结果要求化简）． 25. 我们定义：若两个分式与的和为一个分式，且分式的分子为常数，分母为关于的一次整式，则称与是“合分式”，这个常数称为与关于的“合值”．例如：分式，，，则与是“合分式”，与关于的“合值”为3． 解决下列问题： （1）已知分式，是“合分式”．求与关于的“合值”为_____； （2）已知分式（其中是常数，且），，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，求常数的值； （3）已知分式，，与是“合分式”，且与关于的“合值”为1，若分式的值为正整数，且为整数，求满足条件的的值． 26. “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李欣《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． （1）几何应用：如图1，点、在直线的同侧，点到的距离，点到的距离，． ①请在图1直线上作出点，使得最小； ②的最小值为_____； （2）几何拓展：如图2，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，并求出最小值； （3）代数应用：代数式（）的最小值为_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $