精品解析：福建省龙岩市一级校联盟2025-2026学年高三上学期11月期中联考数学试题

龙岩市一级校联盟2025-2026学年第一学期半期考联考 高三数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 已知为实数，设，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C 若，，则 D. 若，，则 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的算力需求呈指数级增长.现有一台计算机每秒能进行次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（ ）（参考数据：，） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 6. 如图，已知矩形的边长满足，以为圆心的圆与相切于，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在线段上（不含端点），为直线外一点，且满足，若不等式对所有满足条件的，及对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极小值为 B. 当时，方程有两个不同的实根 C. D. 若点在的图象上运动，则点到直线距离的最小值为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则（ ） A. 当时， B 当时， C. 当时，在方向上的投影向量为 D. 当与夹角为锐角时， 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称 C. 函数的单调递增区间为 D. 若函数在上不单调，则取值范围为 11. 已知函数的定义域为，满足，函数为奇函数，且对任意的，都有，则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. C. D. 第II卷（选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数满足，则______. 13. 已知， 为上一点，当最小时，求在点处的切线方程______． 14. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）若，则___________； （2）的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 16. 如图，在三棱柱中，为上一点，平面，，， （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场影响力，计划改进技术生产某产品，已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为120台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为240万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润=销售收入-成本）. （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知函数（满足恒成立，且相邻两对称轴之间的距离不小于，设为曲线的对称中心. （1）求； （2）若，求的取值范围； （3）记的角，，对应的边分别为，，，若，，求边上的高长的最大值. 19. 若存在一个实数，使得对于函数定义域内的任意，都有，则称有下界，且是的一个下界. （1）求函数的下界的取值范围； （2）若是函数的一个下界，求的取值集合； （3）若是函数的一个下界，证明：的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩市一级校联盟2025-2026学年第一学期半期考联考 高三数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简两个集合，再根据交集的概念运算. 【详解】， 则. 故选：B 2. 已知为实数，设，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的概念求解. 【详解】由，可知， 由，推不出，如，可知推不出， 综上，可知是充分不必要条件， 故选：A 3. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等性质及函数单调性分别判断. 【详解】A选项：由已知，则，所以，A选项正确； B选项：若，，则，B选项错误； C选项：由，则在上单调递增，又，所以，C选项正确； D选项：由，则在和上单调递增，又，所以，D选项正确； 故选：B. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令即可求出. 【详解】，则当时，， 则. 故选：C 5. 随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的算力需求呈指数级增长.现有一台计算机每秒能进行次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（ ）（参考数据：，） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】C 【解析】 【分析】设处理这段自然语言的翻译所需时间为秒，得到，结合指数幂与对数的运算法则，即可求解. 【详解】设处理这段自然语言的翻译所需时间为秒，则， 两边同时取对数，可得，可得， 即， 所以. 故选：C. 6. 如图，已知矩形的边长满足，以为圆心的圆与相切于，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以点为坐标原点建立平面直角坐标系，根据相切可得点坐标，利用坐标法可得数量积. 【详解】 如图所示，以点为坐标原点建立平面直角坐标系， 由， 得，，， 则直线的斜率，即， 由以为圆心的圆与相切于，则， 则，即， 联立两直线，解得， 即， 所以，， 则， 故选：B. 7. 已知点在线段上（不含端点），为直线外一点，且满足，若不等式对所有满足条件的，及对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三点共线可知，结合基本不等式“”的代换可得的最小值，分离参数，结合二次函数性质可得参数范围. 【详解】由已知可得，且，都是正数， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 因为不等式需对所有满足条件的，，及对任意实数恒成立， 所以有对任意实数恒成立， 所以，即对任意实数恒成立， 令，当时，，所以， 故选：D. 8. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极小值为 B. 当时，方程有两个不同的实根 C. D. 若点在的图象上运动，则点到直线距离的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】求得，得到的单调性，结合极值的定义，可判定A错误；画出函数的图象，结合图象，可判定B错误；构造函数，求得，得到的单调性，可判定C正确；设点，得到曲线在处的切线与平行时，点到直线的距离最小，令，求得函数的单调性和，得到，结合点到直线的距离公式，可判定D错误. 【详解】对于A，因为，可得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增，所以是的极小值， 且，所以A错误； 对于B，由在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且当时，，当时，， 所以函数图象，如图所示， 令，当时，与的图象有两个交点， 当时，与的图象只有一个交点，所以B错误； 对于C，由， 构造函数，可得， 当时，，当时，， 所以在上为增函数，在上为减函数， 由，可得， 又由在上为增函数，可得，所以C正确； 对于D，设点，当曲线在处的切线与平行时， 点到直线的距离最小， 因为，则， 令，则， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且时，，又因为，所以，且，可得， 所以到直线的距离，所以D错误. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，在方向上的投影向量为 D. 当与夹角为锐角时， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据两向量平行的坐标公式判断A；由向量模的坐标公式计算判断B；根据投影向量的定义判断C；根据，且与不同向判断D即可. 【详解】对于A，由，则，解得，故A正确； 对于B，，， ，解得或，故B错误； 对于C，当时，， 则由投影向量公式得在方向上的投影向量为，故C正确； 对于D，当与夹角为锐角时，则，且与不同向， ，解得且，故D错误. 故选：AC. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称 C. 函数的单调递增区间为 D. 若函数在上不单调，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据函数图象得，代入两点的坐标，求得的值，即得函数解析式，再根据各选项的要求逐一分析，计算，结合正弦函数的图象性质即可判断. 【详解】由题图可知，，且图象经过点，故可得， 因为，所以由①可得，代入②可得，即，， 由题图知，原函数的最小正周期满足，解得，所以，故. 对于A，因为， 所以直线是图象的一条对称轴，故A正确； 对于B，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象， 因为，轴不是其对称轴，故B错误； 对于C，因为， 由，可得， 所以的单调递增区间为，，故C正确； 对于D，， 当时，，所以， 要使函数不单调，则，所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数的定义域为，满足，函数为奇函数，且对任意的，都有，则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数奇偶性的定义和判定方法，可判定，可判定A正确；推得，得到的周期为8，可判定B正确；根据函数单调性，结合对数的运算法则，可判定C错误；令，求得，得到函数的单调性，得到，再由，求得，得到在上递增，进而判定D正确. 【详解】对于A，因为为奇函数，所以关于点中心对称， 则，所以， 又因为，令，则， 则，所以，则是偶函数，所以A正确； 对于B，由，，可得， 则的周期为8，所以，所以B正确； 对于C，由在上单调递增，可得，所以C错误； 对于D，令，则， 所以在上单调递增，所以，即，所以， 令，，则， 所以在上递增，所以，即，即， 所以，在上单调递增，所以D正确. 故选：ABD. 第II卷（选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数满足，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】先利用复数除法运算求得，然后利用共轭复数及复数的乘法运算求解即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：5 13. 已知， 为上的一点，当最小时，求在点处的切线方程______． 【答案】 【解析】 【分析】求出导函数，利用基本不等式判断取最小值时，的值，即可. 【详解】∵，∴， ， 当且仅当时，取等于号，即，则， ∴在点处的切线方程为，即为． 故答案为：． 14. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）若，则___________； （2）的取值范围是___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换直接化简可得解； （2）根据正弦定理进行边角互化，再结合三角函数与对勾函数性质可得解. 【详解】（1）由二倍角公式得， 而，得到， 可得，得到， 又，所以，所以， 又，所以； （2）由（1）知，， 中，或， 即或，即或， 若，则，则无意义，所以， 故， 又，所以，所以， 所以 ， 令，则， 设，，由对勾函数的性质可得在上单调递减， 所以，即， 故答案：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2）的周长为 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示列式，结合正弦定理进行边角互化，根据三角恒等变换可得解； （2）根据三角形的面积公式，结合余弦定理化简可得解. 【小问1详解】 ，，且， 则， 在中，由正弦定理可得， ， 又在中，， 则， 所以，即， 又，所以，即， 又，则； 【小问2详解】 ，， 又， ，， 故的周长为. 16. 如图，在三棱柱中，为上一点，平面，，， （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直证明线线垂直，结合勾股定理可得线面垂直. （2）法一：以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面的法向量，进而可得面面角余弦值；法二：过作，连接，即可确定面面角所对的平面角，结合余弦定理可得面面角余弦值. 【小问1详解】 平面，，， ，为的中点，且， 在中，，， 在中，，， 又，且平面， 平面； 【小问2详解】 方法一：坐标法. 由（1）可知，，，两两垂直，如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系， 可得，，， ，， 设平面的法向量为， 由，令，得，， ； 由（1）知，平面，平面的一个法向量为， 记平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 方法二：几何法 由（1）可知，， 平面，， 过作的垂线，垂足为，连接， 由，，平面， 得平面，，即为两平面的夹角， 在中，，，且， ， ， ， 平面与平面夹角的余弦值为. 17. 随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场影响力，计划改进技术生产某产品，已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为120台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为240万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润=销售收入-成本）. （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是280万元 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，结合的解析式运算求解即可； （2）分和两种情况，结合二次函数最值以及基本不等式运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：， 当时， ； 当时，； 所以, 【小问2详解】 因为， 若，则，当且仅当时，等号成立； 若，则， 当且仅当，即时，等号成立； 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是280万元. 18. 已知函数（满足恒成立，且相邻两对称轴之间的距离不小于，设为曲线的对称中心. （1）求； （2）若，求的取值范围； （3）记的角，，对应的边分别为，，，若，，求边上的高长的最大值. 【答案】（1），； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）结合函数的最值情况及周期情况可得函数解析式，进而可得； （2）利用整体代入法，结合三角函数图像性质可得值域； （3）由余弦定理可得，结合基本不等式可得的最值，再根据三角形面积化简可得解. 【小问1详解】 因为满足恒成立， 所以， 所以，，可得，， 又，即，，所以，故， 由，，可得，即，； 【小问2详解】 由，可得， 所以当，即时，取得最大值， 又，，所以的取值范围是； 【小问3详解】 由， 化简得， 又，所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 因为，所以， 令，，即， 所以， 又函数在上单调递减， 所以当，即时，取得最大值， 故长的最大值为. 19. 若存在一个实数，使得对于函数定义域内的任意，都有，则称有下界，且是的一个下界. （1）求函数的下界的取值范围； （2）若是函数的一个下界，求的取值集合； （3）若是函数的一个下界，证明：的最大值为. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，判断函数单调性，进而确定函数的最小值，再根据下界的定义可得参数范围； （2）求导，分情况讨论函数单调性与最值情况进而可得参数范围. （3）由题意可知即证的最小值为，求导，结合零点存在定理可知使得，且函数在处取得最小值，化简即可得证. 【小问1详解】 因为函数的定义域为， 对任意的，，所以， 因为，所以令，可得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以， 因此函数的下界的取值范围为； 【小问2详解】 函数，得， 若，则，函数在上为减函数， 因为，所以当时，，不合题意，舍去， 若，令，得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由题知，令，， 故当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，所以的取值集合为； 【小问3详解】 依题意，只需证的最小值为， ，令，则， 所以函数单调递增，又，， 所以在上存在唯一零点，即， 故当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故， 由得， 下面证明：， 因为，所以，即， 令，则上式等式可化为， 因为，所以在上单调递增， 故，即，故的最小值为， 即的最大值为，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $