专题2.2立方根(6大题型+典题专练)2025-2026学年苏科版八年级数学上册

专题2.2立方根 题型梳理 [题型一 立方根的概念]..................................................................................................................2 [题型二 求一个数的立方根]..........................................................................................................6 [题型三 已知一个数的立方根求参数].........................................................................................11 [题型四 与立方根有关的规律探索].............................................................................................14 [题型五 立方根的实际应用].........................................................................................................18 [题型六 算术平方根和立方根的综合应用].................................................................................23 立方根(核心重点+重难点梳理) 1. 核心概念(基础必掌握) 1.立方根的定义 如果一个数 x 的立方等于 a（即 x3=a），那么这个数 x 叫做 a 的立方根（也叫三次方根）。 **表示方法：a 的立方根记为 （读作 “三次根号 a”），其中根指数 “3” 不能省略（区别于平方根的根指数 “2” 可省略）。 2,立方根的性质 对比维度 立方根（） 平方根（±） 被开方数范围 任意实数（正数、0、负数） 非负数（a≥0），负数无平方根 结果个数 1 个（唯一） 2 个（正数）或 1 个（0） 符号特征 与被开方数同号 正数的平方根互为相反数，0 为 0 根指数 3（不可省略） 2（可省略，写作 ​） 核心性质 =- 无此性质（负数无平方根） 2. 核心考点(高频必考) 1.求一个数的立方根 考点解析：直接利用立方根定义计算，注意带分数需先化为假分数，负数可直接提取负号。 2.立方根的性质应用 考点解析：利用 ()3=a、​=a 或​=− 化简计算。 3.立方根的估算 考点解析：确定无理数的立方根所在的整数范围（利用相邻完全立方数）。 4.立方根和平方根的综合应用 考点解析：结合两者的定义和性质，解决含字母、方程等综合问题。 三.重难点突破  1.易错点警示（高频丢分点） **易错点 1：省略立方根的根指数 “3”，误将 写作​。 例：误将 “8 的立方根” 写成 =2（正确应为 =2）； **易错点 2：认为负数没有立方根（混淆立方根与平方根的被开方数范围） 。例：判断 “无意义” 是错误的（正确结果为 −3）； **易错点 3：计算带分数的立方根时，未先化为假分数。 例：求 3的立方根，需先化为 ，再得 =避免直接对整数部分和分数部分分别开立方）； **易错点 4：混淆  与 ()3 的性质（两者结果均为 a，但需注意 a 的取值范围无限制）。 2.难点：含字母的立方根问题 **考点解析：根据立方根的性质确定字母的取值范围或求解字母的值（因立方根对被开方数无限制，字母取值范围通常为任意实数，但需结合题目其他条件分析） （练习题） [题型一 立方根的概念] 1．下列说法中，不正确的是（   ） A．的立方根是 B．的立方根是 C．0的立方根是0 D．的立方根是 2．下列说法：①1的平方根是；②正数的绝对值是它本身；③算术平方根等于它本身的数只有1；④立方根等于它本身的数有2个；⑤如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角相等．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若，则 5．据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求出它的立方根．华罗庚脱口而出：．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，华罗庚讲述了计算过程： 第一步：因为，所以； 第二步：因为的个位上的数是，只有个位数字是的数的立方的个位数字是，所以的个位数字是； 第三步：如果划去后面的三位得到数，而，所以，即的十位数字是；所以． 请根据上述材料解答下列问题： （1）用上述方法确定的立方根的个位数字是 ； （2） ． 6．求下列各式中的值： (1)； (2)． [题型二 求一个数的立方根] 7．下列说法正确的是（   ） A．64的立方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是0和1 D． 8．若，则x的值是（   ） A． B．2 C． D． 9．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 10．课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由103＝1000，1003＝1000000，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，由此能确定的十位上的数是4． （提示：） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 11．已知，则 ． 12．已知，则 ． 13．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是（当时，），小华设计了一个进制数2004，换算成十进制数是690，则的值为 ． 14．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘．华罗庚给出了如下方法：（1）由，，确定是两位数；（2）由59319个位上的数是9，确定个位上的数是9；（3）划去59319后面的三位319得到59，而，，由此确定十位上的数是3．请你类比上述过程，确定21952的立方根是 ． 15．据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速又准确地计算出来的吗？ (1)【发现与思考】因为，，，所以是两位数．因为的个位数字是，所以的个位数字是______．因为，，所以的十位数字是______，所以=______． (2)【运用并解决】类比上述的【发现与思考】，推理求出的立方根． [题型三 已知一个数的立方根求参数] 16．已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．1或2或3 17．已知，且，则x= ． 18．求下列各式中的x： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．已知实数的一个平方根是，的立方根是． (1)求、的值． (2)求的平方根． 20．已知的算术平方根是，的立方根是2，求的平方根． [题型四 与立方根有关的规律探索] 21．已知，那么（    ） A． B． C． D． 22．已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 23．有一组按规律排列的数：，则第n个数是 ；这组数的前1000个数中，无理数有 个． 24．根据你发现的规律填空：已知，若，则 25．求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ． 26．若，则与的数量关系是： ． 27．阅读材料： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是______； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是______； ______． (2)仿照上面的计算过程，请写出：______；______；______． [题型五 立方根的实际应用] 28．如果一个正方体的体积扩大到原来的9倍，那么它的棱长扩大到原来的（    ） A．倍 B．3倍 C．27倍 D．81倍 29．已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（   ） A．6 B． C． D．1 30．据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是50653，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？ 【发现与思考】，；， 是两位数． 50653的个位数字是3，的个位数字是7． ，；， 的十位数字是3．． 【运用并解决】 类比上述的发现与思考，推理求出681472的立方根是（    ） A．72 B．78 C．88 D．92 31．已知正方体的体积是正方体体积的，那么正方体的表面积是正方体表面积的（   ） A． B． C．3倍 D．9倍 32．某甜品店的李师傅制作的长方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体月饼礼盒的体积是李师傅制作的1.5倍，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为 ． 33．若将一个棱长为的立方体体积减少（），而保留立方体形状不变，则棱长应减少 （用含的代数式表示），若，则棱长应减少 ． 34．在一个长、宽、高分别为8，4，2的长方体容器中装满水，将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的厚度忽略不计），求此正方体容器的棱长． 35．一个大正方体的体积是，将它锯成8块同样大小的小正方体木块，再将这些小正方体木块排列成一个如图所示的长方体木块． (1)求每个小正方体木块的棱长； (2)求这个大长方体木块的表面积． [题型六 算术平方根和立方根的综合应用] 36．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 37．已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 38．一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 39．的算术平方根为2，则x的立方根为 ． 40．一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是 ． 41．已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根. 42．已知3是的算术平方根，又是的立方根，求的立方根． 43．已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2立方根 题型梳理 [题型一 立方根的概念]..................................................................................................................2 [题型二 求一个数的立方根]..........................................................................................................6 [题型三 已知一个数的立方根求参数].........................................................................................11 [题型四 与立方根有关的规律探索].............................................................................................14 [题型五 立方根的实际应用].........................................................................................................18 [题型六 算术平方根和立方根的综合应用].................................................................................23 立方根(核心重点+重难点梳理) 1. 核心概念(基础必掌握) 1.立方根的定义 如果一个数 x 的立方等于 a（即 x3=a），那么这个数 x 叫做 a 的立方根（也叫三次方根）。 **表示方法：a 的立方根记为 （读作 “三次根号 a”），其中根指数 “3” 不能省略（区别于平方根的根指数 “2” 可省略）。 2,立方根的性质 对比维度 立方根（） 平方根（±） 被开方数范围 任意实数（正数、0、负数） 非负数（a≥0），负数无平方根 结果个数 1 个（唯一） 2 个（正数）或 1 个（0） 符号特征 与被开方数同号 正数的平方根互为相反数，0 为 0 根指数 3（不可省略） 2（可省略，写作 ​） 核心性质 =- 无此性质（负数无平方根） 2. 核心考点(高频必考) 1.求一个数的立方根 考点解析：直接利用立方根定义计算，注意带分数需先化为假分数，负数可直接提取负号。 2.立方根的性质应用 考点解析：利用 ()3=a、​=a 或​=− 化简计算。 3.立方根的估算 考点解析：确定无理数的立方根所在的整数范围（利用相邻完全立方数）。 4.立方根和平方根的综合应用 考点解析：结合两者的定义和性质，解决含字母、方程等综合问题。 三.重难点突破  1.易错点警示（高频丢分点） **易错点 1：省略立方根的根指数 “3”，误将 写作​。 例：误将 “8 的立方根” 写成 =2（正确应为 =2）； **易错点 2：认为负数没有立方根（混淆立方根与平方根的被开方数范围） 。例：判断 “无意义” 是错误的（正确结果为 −3）； **易错点 3：计算带分数的立方根时，未先化为假分数。 例：求 3的立方根，需先化为 ，再得 =避免直接对整数部分和分数部分分别开立方）； **易错点 4：混淆  与 ()3 的性质（两者结果均为 a，但需注意 a 的取值范围无限制）。 2.难点：含字母的立方根问题 **考点解析：根据立方根的性质确定字母的取值范围或求解字母的值（因立方根对被开方数无限制，字母取值范围通常为任意实数，但需结合题目其他条件分析） （练习题） [题型一 立方根的概念] 1．下列说法中，不正确的是（   ） A．的立方根是 B．的立方根是 C．0的立方根是0 D．的立方根是 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题利用立方根的性质对选项逐一判断，即可求解． 【详解】解：A．的立方根是，故选项正确； B．的立方根是，故选项正确； C．0的立方根是0，故选项正确； D．∵，∴的立方根等于5，故选项错误． 故选：D 2．下列说法：①1的平方根是；②正数的绝对值是它本身；③算术平方根等于它本身的数只有1；④立方根等于它本身的数有2个；⑤如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角相等．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查平方根，绝对值，立方根，平行线的性质，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：1的平方根是；故①错误； 正数的绝对值是它本身；故②正确； 算术平方根等于它本身的数有；故③错误； 立方根等于它本身的数有，共3个；故④错误； 如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，分两种情况： （1），的两边相互平行，如图所示 ， ， ， ， ； （2），的两边相互平行，如图所示 ， ， ， ， ， ∴这两个角相等或互补；故⑤错误； 故选A． 3．下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别根据偶次方根、奇次方根的性质计算即可． 【详解】A选项：，故A错误； B选项：，故B正确； C选项：，故C错误； D选项：，故D错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了利用n次方根的性质进行计算，当n为奇数时， ，当n为偶数时，． 4．若，则 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，根据立方根的定义解方程，即可求解． 【详解】解： ∴， 解得：， 故答案为：． 5．据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求出它的立方根．华罗庚脱口而出：．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，华罗庚讲述了计算过程： 第一步：因为，所以； 第二步：因为的个位上的数是，只有个位数字是的数的立方的个位数字是，所以的个位数字是； 第三步：如果划去后面的三位得到数，而，所以，即的十位数字是；所以． 请根据上述材料解答下列问题： （1）用上述方法确定的立方根的个位数字是 ； （2） ． 【答案】 【分析】（1）根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数，即可获得答案； （2）借助华罗庚讲述的计算过程，先根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，再确定十位数，即可获得答案． 【详解】（1）解：因为的个位上的数是，只有个位数字是的数的立方的个位数字是， 所以的立方根的个位数字是； 故答案为：． （2）第一步：因为，，， 所以． 第二步：因为的个位上的数是，只有个位数字是的数的立方的个位数字是，所以的个位数字是． 第三步：如果划去后面的三位得到数，而，， 所以，即的十位数字是． 所以． 故答案为：． 6．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解此题的关键． （1）利用立方根的定义解方程即可得解； （2）由立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：由，得， 所以； （2）解：由，得， 所以． [题型二 求一个数的立方根] 7．下列说法正确的是（   ） A．64的立方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是0和1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的应用，解题的关键是正确理解一个正数有一个正的立方根、0的立方根是0，一个负数有一个负的立方根． 利用立方根的定义及求法逐项判断即可． 【详解】解：A、64的立方根是4，故本选项错误，不符合题意； B、的立方根为，故本选项错误，不符合题意； C、立方根等于本身的数是0和，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D 8．若，则x的值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了利用立方根的性质解方程，根据立方根的性质求解即可． 【详解】解：， ， ． 故选：B． 9．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 10．课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由103＝1000，1003＝1000000，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，由此能确定的十位上的数是4． （提示：） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】A 【分析】按照小明的计算方法解答即可． 本题考查了立方根的估算，熟练掌握估算方法是解题的关键． 【详解】解：为整数，根据题意，得 ①由103＝1000，1003＝1000000，能确定是两位数； ②由185193的个位上的数是3，因为，能确定的个位上的数是7； ③如果划去185193后面的三位193得到数185，而，由此能确定的十位上的数是5． 故， 由， 故选：A． 11．已知，则 ． 【答案】167.6 【分析】本题考查立方根的定义，通过观察给定数字与所求数字的关系，发现，利用立方根的性质进行求解． 【详解】解：已知， 因为， 所以． 其中， 因此． 故答案为：167.6． 12．已知，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了立方根的性质，利用立方根的性质解方程是解题的关键．根据立方根的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 13．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是（当时，），小华设计了一个进制数2004，换算成十进制数是690，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了利用立方根的性质解方程，解题的关键是正确理解进制之间的换算方法． 参照八进制数换算成十进制数的方法，建立方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意得，， ， 解得， 故答案为：7． 14．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘．华罗庚给出了如下方法：（1）由，，确定是两位数；（2）由59319个位上的数是9，确定个位上的数是9；（3）划去59319后面的三位319得到59，而，，由此确定十位上的数是3．请你类比上述过程，确定21952的立方根是 ． 【答案】28 【分析】首先由，，确定是两位数，再由21952个位上的数是2，确定个位上的数是8，然后划去21952后面的三位952得到21，而，，由此确定十位上的数是2，即可得出结果． 【详解】解：∵ ∴ ∴是两位数 又∵只有个位上是8的数的立方的个位上的数是2 ∴的个位上的数是8 ∵划去21952后面的三位952得到21，而， ∴十位上的数是2 ∴的值为28 故答案为：28 【点睛】本题考查了数的立方根，理解一个数的立方根的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解本题的关键． 15．据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速又准确地计算出来的吗？ (1)【发现与思考】因为，，，所以是两位数．因为的个位数字是，所以的个位数字是______．因为，，所以的十位数字是______，所以=______． (2)【运用并解决】类比上述的【发现与思考】，推理求出的立方根． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了求一个数的立方根； （1）根据推导过程即可完成填空； （2）结合（1）中的推导过程即可求解． 【详解】（1）解：因为的个位数字是，所以的个位数字是．因为，，所以的十位数字是，所以． 故答案为：；；． （2）解：，； 又； 是两位数； 的个位数字是； 的个位数字是． ，； 的十位数字是5． ． [题型三 已知一个数的立方根求参数] 16．已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．1或2或3 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据立方根求原数．根据题意可得的立方根是它本身，则或，据此求出x的值即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是它本身， ∴或， ∴或或， 故选：D． 17．已知，且，则x= ． 【答案】 【分析】本题主要考查立方根的运算，根据题意，得到，再解方程即可． 【详解】，， ， ， ． 故答案为：． 18．求下列各式中的x： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了利用立方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）方程两边同时除以，再开立方，即可作答． （2）先移项，再开立方，即可作答． （3）先开立方，再移项，即可作答． （4）先移项，方程两边同时除以，再开立方，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 19．已知实数的一个平方根是，的立方根是． (1)求、的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查平方根、立方根，掌握平方根、立方根的定义是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义即可求； （2）由（1）知，，求出的值，再根据平方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：实数的一个平方根是， ， 解得：，    的立方根是， ， 即， 解得：，      ，； （2）， 即的平方根是． 20．已知的算术平方根是，的立方根是2，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查平方根，立方根和算术平方根，根据平方根，立方根和算术平方根的定义进行求出即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴的平方根为． [题型四 与立方根有关的规律探索] 21．已知，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点的移动规律是解题的关键． 根据被开方数小数点向左移动三位，则立方根小数点向左移动一位求解即可． 【详解】解：，， ∴ 故选：A． 22．已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查立方根的规律探索，利用三次根号的运算性质，将被开方数分解为已知值的倍数与10的幂次相乘，从而简化计算 【详解】解：∵，而， ∴== 因此，的值约为， 故选B 23．有一组按规律排列的数：，则第n个数是 ；这组数的前1000个数中，无理数有 个． 【答案】 994 【分析】本题考查了立方根，数字规律的探索，找到规律是解题的关键；由再结合其它数可以得到规律：是一组数的立方根，被开方数是从2开始的偶数，据此可完成第一空；根据，可确定前1000项中的有理数，从而可确定无理数的个数，完成第二空． 【详解】解：∵， ∴， ∴第n个数是； ∵， 即前1000个数中是有理数的有2，4，6，8，10，12共6个，其余的数都是无理数， 而，即无理数有994个； 故答案为：． 24．根据你发现的规律填空：已知，若，则 【答案】 【分析】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键． 依据被开方数小数点向左或向右移动3位，对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 25．求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ． 【答案】68 【分析】本题考查立方根，根据题意所给方法确定314432的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答． 【详解】解：， 又， ， ∴能确定314432的立方根是个两位数． 314432的个位数是2， 又， ∴能确定314432的立方根的个位数是8． 划去314432后面的三位432得到数314，而，则， 可得，由此能确定314432的立方根的十位数是6， 因此314432的立方根是68， 故答案为68． 26．若，则与的数量关系是： ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，可得，即可求解；会用立方根进行求解是解题的关键． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 27．阅读材料： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是______； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是______； ______． (2)仿照上面的计算过程，请写出：______；______；______． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握立方根的定义，理解题目所提供的解题方法是正确解答的关键． （1）完成题目所提供的解题过程即可； （2）根据（1）的解题方法进行计算即可． 【详解】（1）解：已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 故答案为：，，； （2）解：已知，且为整数， ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 已知，且为整数， ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是；划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 即， ；已知，且为整数， ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 即， 故答案为：，，． [题型五 立方根的实际应用] 28．如果一个正方体的体积扩大到原来的9倍，那么它的棱长扩大到原来的（    ） A．倍 B．3倍 C．27倍 D．81倍 【答案】A 【分析】本题主要考查立方根的实际应用，正方体的体积；设原正方体的棱长为，变化后的棱长为，得到原正方体的体积为，变化后的正方体的体积为，根据题意得到，即可得出结论． 【详解】解：设原正方体的棱长为，变化后的棱长为， ∴原正方体的体积为，变化后的正方体的体积为， ∵正方体的体积扩大到原来的9倍， ∴，即， ∴它的棱长扩大到原来的倍， 故选：A． 29．已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（   ） A．6 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的应用．设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是， 故选：C． 30．据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是50653，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？ 【发现与思考】，；， 是两位数． 50653的个位数字是3，的个位数字是7． ，；， 的十位数字是3．． 【运用并解决】 类比上述的发现与思考，推理求出681472的立方根是（    ） A．72 B．78 C．88 D．92 【答案】C 【分析】本题考查了立方根及数字常识，解决本题的关键是理解例题，并能根据例题的格式进行运算． 仿照例题，进行推理得结论，通过比较立方数的大小范围确定立方根是两位数，再根据个位数字对应关系确定个位数字，最后通过估算十位数字的立方值确定十位数字． 【详解】解：且， 是两位数， ∵681472的个位数字是2，且（个位为2）， 的个位数字是8， 且， 的十位数字是8， ． 31．已知正方体的体积是正方体体积的，那么正方体的表面积是正方体表面积的（   ） A． B． C．3倍 D．9倍 【答案】A 【分析】此题主要考查了立方根，正确掌握立方根的定义是解题关键． 根据正方体体积比求出边长比，再根据表面积与边长平方成正比，求出表面积比． 【详解】解：设正方体的边长为，则体积， 则正方体的体积为， 正方体的边长为． 正方体的表面积为， 正方体的表面积为， ． 故选：A． 32．某甜品店的李师傅制作的长方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体月饼礼盒的体积是李师傅制作的1.5倍，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了立方根，根据正方体的体积公式列等式，求体积的立方根即可． 【详解】解：设康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为， 由题意得：， 解得：， ∴康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为． 故答案为：6． 33．若将一个棱长为的立方体体积减少（），而保留立方体形状不变，则棱长应减少 （用含的代数式表示），若，则棱长应减少 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，代数式求值，根据题意求出立方体体积减少的体积，进而得到减少后立方体的棱长，可得棱长减少的数量，再把代入计算即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵立方体的棱长为， ∴立方体的体积为， ∴立方体体积减少后剩余的体积为， ∴此时的棱长为， ∴棱长应减少， 当时，， ∴若，则棱长应减少， 故答案为：；． 34．在一个长、宽、高分别为8，4，2的长方体容器中装满水，将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的厚度忽略不计），求此正方体容器的棱长． 【答案】4cm 【分析】根据长方体的体积计算可得结论；根据正方体的体积等于棱长的立方进行开立方计算可得结论． 【详解】解：由于装满水的长方体容器中的水，全部倒入正方体容器中，恰好倒满， 所以它们的体积相等， 而长方体容器的体积， 所以正方体容器的体积为64， 所以此正方体容器的棱长为． 【点睛】本题主要考查了立方根的概念的运用以及应用，解决本题的关键是熟练掌握立方根的应用． 35．一个大正方体的体积是，将它锯成8块同样大小的小正方体木块，再将这些小正方体木块排列成一个如图所示的长方体木块． (1)求每个小正方体木块的棱长； (2)求这个大长方体木块的表面积． 【答案】(1)每个小正方体木块的棱长是 (2)这个大长方体木块的表面积是 【分析】本题考查了立方根的应用，长方体表面积的计算，求出正方体的棱长是解题关键． （1）先求出每个小正方体的体积，再利用平方根求出棱长即可； （2）先求出大长方体的长，宽，高，进而得出表面积即可 【详解】（1）解：∵大正方体木块的体积是， ∴每个小正方体木块的体积是 ∴每个小正方体木块的棱长是： 答：每个小正方体木块的棱长是． （2）观察图形可知：大长方体木块的长是，宽是，高是， ∴这个大长方体木块的表面积是： 答：这个大长方体木块的表面积是． [题型六 算术平方根和立方根的综合应用] 36．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根、立方根定义与性质，熟记平方根、立方根定义与性质是解决问题的关键．由平方根、立方根定义与性质逐一分析各选项的等式是否成立，即可得到答案． 【详解】解：A、，选项中左边是两个值，而右边仅取正根，显然不等，故等式不成立，不符合题意； B、，故等式不成立，不符合题意； C、，故等式不成立，不符合题意； D、，故等式成立，符合题意； 故选：D． 37．已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的定义确定x的值，再计算的值，最后求其立方根． 本题主要考查了算术平方根的定义和立方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵x是5的算术平方根， ∴， ∴， 的立方根， ∴的立方根是， 故选：C． 38．一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 39．的算术平方根为2，则x的立方根为 ． 【答案】 【分析】先根据算术平方根的定义求出x的值，然后根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵的算术平方根为2， ∴， ∴， ∴， ∴x的立方根为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了算术平方根和立方根，熟知二者的定义是解题的关键． 40．一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是 ． 【答案】0 或 64 【分析】此题主要考查了立方根、算术平方根的定义，比较难，要想同时去掉二次根号和三次根号，必须在方程的两边同时6次方，即2和3的最小公倍数．在运算过程中要细心，防止在去根号时把指数弄错． 设这个数为x，根据已知条件即可列出关于x的方程，先在方程的两边同时6次方，去掉根号后，再解方程即可． 【详解】解：设这个数是， 则． 两边同时6次方，得， 即， ∴或， 或． 故答案为：0 或 64． 41．已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根. 【答案】3 【分析】此题考查了算术平方根、立方根等知识，根据平方根和立方根的意义得到，解得，求出的值，根据算术平方根的意义求出答案即可. 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴的算术平方根为3 42．已知3是的算术平方根，又是的立方根，求的立方根． 【答案】的立方根是 【分析】根据算术平方根的平方，可得被开方数，根据立方根的立方，可得被开方数，即可求解． 【详解】3既是的算术平方根，又是的立方根， ∴，， 解得， ， 的立方根为． 【点睛】本题考查了平方根和立方根，是基础知识比较简单．注意：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 43．已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，代数求值，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义． （1）根据算术平方根和立方根的定义，列出方程求出的值，再求a，b的值即可； （2）将a，b的值代入式子求值即可． 【详解】（1）解：根据是的算术平方根得，， 解得， ∴； 根据是的立方根得，， 解得， ∴； （2）解：将代入得， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $