精品解析：广东省阳江市第三中学2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

阳江三中2025--2026学年度第一学期期中考试 高二 数学 满分：150分 考试时间：120分钟 使用时间：2025年11月21日 注意事项 1．答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号、座位号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上. 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.) 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2. 不透明的盒子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3.随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球.第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 0 4. 已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在斜棱柱中，与的交点为点，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在同一坐标系中画直线与，不可能是下列选项中的（ ） A. B. C. D. 7. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 8. 已知半径为2的球O，球面上两点满足，且点到平面的距离为3，则点到平面距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9. 已知空间向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若与垂直，则 B. 若与平行，则 C. 当实数时，等于 D. 当实数时，使得 10. 在直三棱柱中，，，，为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 直线与所成角为 11. 记，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，点到的距离为 B. 当在上时，的截距式方程为 C. 当时， D. 当时， 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若直线与直线垂直，则a=______. 13. 在正方体中，，E是棱的中点，则______. 14. 甲乙丙三位同学之间相互踢毽子．假设他们相互间传递毽子是等可能的，并且由甲开始传，则经过3次传递后，毽子传到丙处的概率为______． 四、解答题（本题共6小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.） 15. 已知向量、，记． （1）求函数的最小正周期； （2）若函数（其中常数）为奇函数，求的值． 16. 为提高生产效率，某工厂开展技术创新活动，提出了完成某项任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取20名工人，将他们随机分成两组，每组10人，第一组工人采用第一种生产方式，第二组工人采用第二种生产方式．两组工人完成任务的工作时间（单位：min）如下： 生产方式 工作时间（单位：min） 第一种 68 72 76 77 79 82 83 83 84 85 第二种 65 65 66 68 69 70 71 72 72 73 假设每个工人完成工作所需时间相互独立，用频率估计概率． （1）从采用第一种生产方式的工人中随机抽取1人，估计该工人完成生产任务的工作时间小于的概率； （2）将工作时间分为三层，从第一组和第二组工人中各随机抽取1人，求这两人完成生产任务的工作时间不在同一层的概率． 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，E为中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知直线方程为，其中. （1）当m变化时，求点到直线的距离的最大值； （2）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求面积的最小值. 19. 在中，角所对的边分别为，已知是边上的中线，且. （1）求角的大小； （2）求及的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阳江三中2025--2026学年度第一学期期中考试 高二 数学 满分：150分 考试时间：120分钟 使用时间：2025年11月21日 注意事项 1．答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号、座位号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上. 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.) 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由复数的模长公式计算出，再根据复数的除法运算，化简即可得出答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以的虚部为， 故选：C. 2. 不透明的盒子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3.随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球.第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先确定共有多少种情况，再确定第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的情况有几种，即可求得答案. 【详解】由题意知随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球， 共有等6种可能的情况； 其中第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的情况有， 故第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是， 故选：A 3. 已知向量，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标公式计算即得. 【详解】由可得，解得. 故选：D. 4. 已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基底的定义进行判断即可. 【详解】A：因为， 所以是共面向量，因此本选项向量不能构成空间的一个基底； B：假设是共面向量， 所以存在实数，使得成立， 因为为空间的一个基底， 所以有，显然方程组无实数解，因此假设不成立， 所以本选项向量能构成空间的一个基底； C：因为， 所以是共面向量，因此本选项向量不能构成空间的一个基底； D：因为， 所以是共面向量，因此本选项向量不能构成空间的一个基底， 故选：B 5. 如图，在斜棱柱中，与的交点为点，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算法则求解即可. 【详解】. 故选：A. 6. 在同一坐标系中画直线与，不可能是下列选项中的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察图象判断直线的斜率、截距及其符号，结合不等式性质判断正误. 【详解】观察各选项知a，b均不为0，两直线的斜率分别为，且符号相同， A：两直线在轴上的截距异号，得，所以，得，则两直线的斜率均大于0，故A正确； B，C，D：由两直线在轴上的截距同号，得，所以，得，则两直线的斜率均小于0，故B，C正确，D错误． 故选：D 7. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，根据直线方程，可得其斜率为， 所以，又，所以， 即直线的倾斜角为. 故选：D 8. 已知半径为2的球O，球面上两点满足，且点到平面的距离为3，则点到平面距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设以为球心以3为半径的球与平面相切的切点为，当三点共线时，点到平面距离取最大值. 【详解】半径为2的球O，球面上两点满足， 则， 设以为球心以3为半径的球与平面相切的切点为，则 当三点共线时， 点到平面距离的最大值为 故选：D. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9. 已知空间向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若与垂直，则 B. 若与平行，则 C. 当实数时，等于 D. 当实数时，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】由空间向量的坐标运算进行代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，若与垂直，则，即，故A正确； 对于B，若与平行，则，由，可知不存在使得式子成立，故B错误； 对于C，当时，，， 故C正确； 对于D，当时，，故D正确； 故选：ACD 10. 在直三棱柱中，，，，为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 直线与所成角为 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量判断各选项即可. 【详解】由题意，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 可得， 则， 对于A，由，则，故A正确； 对于B，设平面的一个法向量为， 则，取，得， 由于不存在实数，使得，则与不平行，故B错误； 对于C，由，则， 因为平面，所以平面，故C正确； 对于D，由， 则直线与所成角不为，故D错误. 故选：AC． 11. 记，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，点到的距离为 B. 当在上时，的截距式方程为 C. 当时， D. 当时， 【答案】AC 【解析】 【分析】利根据点到直线的距离公式可判断A；根据直线截距式方程的含义判断B；根据直线垂直和平行的条件求参数，可判断CD. 【详解】对于A，当时，，点到的距离，故A正确； 对于B，当在上时，，此时，与x轴无交点，故无截距式方程，故B错误； 对于C，由可得，解得，故C正确； 对于D，由可得，可得，故D错误. 故选：AC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若直线与直线垂直，则a=______. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线互相垂直的充要条件得到方程，解出即可. 【详解】由题意得：，解得：. 故答案为：2. 13. 在正方体中，，E是棱的中点，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】如图建系，求得各点坐标，进而可得，，根据数量积公式，即可得答案. 【详解】以A为原点，AB，AD，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 因为，所以，，，， 则，， 故. 故答案为：2 14. 甲乙丙三位同学之间相互踢毽子．假设他们相互间传递毽子是等可能的，并且由甲开始传，则经过3次传递后，毽子传到丙处的概率为______． 【答案】##0.375 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概型的概率. 【详解】设甲乙丙分别为，毽子由甲开始传，经过3次传递后的所有可能结果如树状图： 3次传递后的基本事件是种，毽子传到丙处的事件含有基本事件数是3种， 所以经过3次传递后，毽子传到丙处的概率. 故答案为：. 四、解答题（本题共6小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.） 15. 已知向量、，记． （1）求函数的最小正周期； （2）若函数（其中常数）为奇函数，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标公式结合二倍角的余弦公式求出函数解析式，再根据余弦函数的周期性即可得解； （2）根据三角函数的奇偶性求解即可. 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期； 【小问2详解】 ， 因为函数为奇函数， 所以，解得， 又因为，所以. 16. 为提高生产效率，某工厂开展技术创新活动，提出了完成某项任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取20名工人，将他们随机分成两组，每组10人，第一组工人采用第一种生产方式，第二组工人采用第二种生产方式．两组工人完成任务的工作时间（单位：min）如下： 生产方式 工作时间（单位：min） 第一种 68 72 76 77 79 82 83 83 84 85 第二种 65 65 66 68 69 70 71 72 72 73 假设每个工人完成工作所需时间相互独立，用频率估计概率． （1）从采用第一种生产方式的工人中随机抽取1人，估计该工人完成生产任务的工作时间小于的概率； （2）将工作时间分为三层，从第一组和第二组工人中各随机抽取1人，求这两人完成生产任务的工作时间不在同一层的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式直接求解即可. （2）先表示出事件并由古典概型概率公式求出概率，然后根据互斥事件概率加法公式和独立事件乘法公式求解即可. 【小问1详解】 第一组工人中工作时间小于的有5人，占第一组人数的， 所以从采用第一种生产方式的工人中随机抽取1人，估计该工人完成生产任务的工作时间小于的概率为； 【小问2详解】 将工作时间段分别记为第一、二、三层，从第一组工人中抽取1人，该工人完成生产任务的工作时间属于第层，记作；从第二组工人中抽取1人，该工人完成生产任务的工作时间属于第层，记作； 这两人完成生产任务的工作时间不在同一层，记作；由题意得，， 所以，，，，， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，E为中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面PAD，由线面垂直的性质定理得，进而利用线面垂直的判定定理得平面； （2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量、平面的法向量，由向量的夹角公式可得答案． 【小问1详解】 ∵平面，平面，∴， 又∵，，平面PAD，∴平面PAD， 又平面PAD，∴， ∵，且E为中点，∴， 又，平面， ∴平面． 【小问2详解】 如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴， 建立空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，且平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，∴， ∴． 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知直线方程为，其中. （1）当m变化时，求点到直线的距离的最大值； （2）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求面积的最小值. 【答案】（1） （2）4. 【解析】 【分析】（1）把直线方程整理成关于的方程，可得定点坐标，点到直线的距离最大时，一定有与该直线垂直，可得结论． （2）求出直线与两坐标轴交点坐标，得三角形面积，然后由基本不等式得最小值． 【小问1详解】 直线方程为即为， 由可得则已知直线恒过定点， 所以到直线的最大距离为. 【小问2详解】 设直线的斜率为，则其方程为， 可得，， 则. 由，可得，所以， 当且仅当， 即时取等号. 所以的面积的最小值是4. 19. 在中，角所对的边分别为，已知是边上的中线，且. （1）求角的大小； （2）求及的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换进行求解； （2）由余弦定理及三角形的面积公式求解． 【小问1详解】 由正弦定理得： ，再根据两角和的正弦公式展开得： ， 消去，整理得：， ，两边同除以得：， 由辅助角公式得：， 又，则，故，解得． 【小问2详解】 由题意得：， 平方得：，化简得， 解得舍. 由余弦定理得： 的面积 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $