专题08 整式的乘法五大题型 重难点培优专题【题型分类+知识梳理+能力提升】2025-2026学年人教版八年级上册数学

人教版八上 重难点题型突破 培优专题 专题08 整式的乘法五大题型目录 A · 重难点题型分类 题型1：整式的乘法化简求值…………………………………………………… 2 题型2：整式的乘法中字母求参问题…………………………………………… 6 题型3：整式的乘法中不含项问题……………………………………………… 9 题型4：整式的乘法与几何综合………………………………………………… 16 题型5：平方差与完全平方公式及其应用……………………………………… 22 B · 能力提升 ………………………………………………………………………… 31 知识梳理 1、公式： 同底数幂的乘法公式 扩展：（m，n，p都是正整数） 幂的乘方公式 扩展： （m，n，p都是正整数） 积的乘方公式 扩展：（n是正整数） 同底数幂相除公式 平方差公式 完全平方公式 重难点题型分类 【题型1：整式的乘法化简求值】 【例1】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】此题考查整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据完全平方公式及单项式乘以多项式法则化简，再代入字母的值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式1-1】先化简，再求值：，其中． 【答案】，22 【分析】本题考查整式的化简求值，先根据完全平方公式、平方差公式将多项式展开，再去括号、合并同类项，最后代入值计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【变式1-2】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．先根据单项式乘多项式去小括号，再合并同类项，再计算除法，最后代入计算求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式1-3】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点，掌握整式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据整式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解： ， 将代入后原式． 【例2】先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，正确化简是解题的关键．先根据平方差公式，合并同类项，完全平方公式展开，正确化简，然后计算代数式的值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【变式2-1】先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】本题考查了多项式乘多项式、单项式乘多项式、整式的乘方与除法运算、合并同类项以及代数式求值，解题的关键是遵循 “先乘方，再乘除，最后加减” 的运算顺序，正确展开并合并同类项，将化简后的式子转化为含已知条件 “” 的形式代入计算． 先分别计算三项：用多项式乘多项式展开；用单项式乘多项式展开；先算乘方，再用同底数幂的除法法则计算；将三项结果合并同类项化简，得到含“ab”的最简式；最后代入计算出值． 【详解】解： ． 把代入， 原式 【变式2-2】先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)，5 (2) 【分析】本题主要考查了整式的化简，解决此题的关键是正确的计算； （1）运用平方差公式和二项式相乘法则化简，再把x值代入即可； （2）运用完全平方公式和两项式相乘法则化简，再把a，b的值代入即可； 【详解】（1）解：原式． 当时， 原式． （2）解：原式． 当时， 原式． 【变式2-3】先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值、乘法公式、绝对值的非负性，熟练掌握以上知识点是解题的关键 先化简代数式，然后求出和，代入求值即可 【详解】解：原式 ， ∵， ，， ∴，， ∴，， 将，代入得， 原式． 【题型2：整式的乘法中字母求参问题】 【例1】是完全平方式，则等于（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方式的应用，掌握完全平方式的特征是解题的关键，注意：完全平方式有两个：和．利用完全平方公式计算即可求出的值． 【详解】是完全平方式， ， ． 故选：B． 【变式1-1】如果二次三项式是完全平方式，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方式的概念及一元一次方程的求解，解题的关键是根据完全平方式的结构特征，建立关于k的方程并求解． 根据完全平方式的结构，可知二次三项式中中间项系数的一半的平方等于常数项；据此列出关于k的方程，求解方程并排除无解情况，得到k的值． 【详解】∵二次三项式是完全平方式， 又∵完全平方式的形式为 ∴中间项系数的一半的平方等于常数项，即． 两边开平方得：． 当时， 两边同乘2得： 化简得：，此方程无解． 当时，即 两边同乘2得： 移项得： 合并同类项得： 解得：． 故选：D． 【变式1-2】若(mx4)·(4xk)＝－12x12，则适合条件的m，k的值分别是( 　 ) A．m＝－3，k＝8 B．m＝3，k＝8 C．m＝8，k＝3 D．m＝－3，k＝3 【答案】A 【分析】等式左边先利用单项式乘单项式法则计算，然后根据等式的性质左右对比求得m、k的值. 【详解】∵(mx4)·(4xk)=4mx4+k， 又∵(mx4)·(4xk)＝－12x12， ∴4m=-12，4+k=12， ∴m=-3，k=8， 故选A. 【点睛】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的法则是解题的关键. 【变式1-3】单项式与单项式乘积的结果是一个9次单项式，则的值是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘法，单项式的次数，熟练掌握单项式的乘法法则和单项式次数的定义是解题的关键．根据单项式的乘法法则，两个单项式的次数的和就是积的次数，即可列方程求解． 【详解】解：根据题意，， ， 故选：D． 【变式1-4】若多项式是由整式与另一个整式相乘得到的，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知得到，将等式左侧展开，比较系数可得关于，的方程组，解方程组即可． 【详解】解：是由整式与另一个整式相乘得到的， ， ， ， 解得：，， 故选：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的运用，熟练掌握相关概念是解题的关键． 【变式1-5】已知代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为1，则的值为 【答案】 【分析】由题意列式为，利用多项式乘多项式法则展开并合并同类项，再根据积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为求得，的值，将其代入中计算即可． 【详解】解：， 代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为， ，， 解得：，， 则， 故答案为：． 【题型3：整式的乘法中不含某项问题】 【例1】要使多项式不含的一次项，则的值为（    ） A． B．4 C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，解题的关键是掌握好多项式乘以多项式的法则，注意不要漏项，漏字母． 根据多项式乘以多项式的法则，可表示为计算，再根据乘积中不含的一次项，得出它的系数为0，即可求出的值． 【详解】解：根据题意得： ， 与的乘积中不含的一次项， ， ； 故选：B． 【变式1-1】展开后不含的一次项，则为（    ） A．3 B．0 C．12 D．24 【答案】C 【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，合并同类项，根据已知得出方程2m-24=0，求出即可． 【详解】解： ， 展开后不含的一次项， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的应用，能熟练地运用法则进行计算是解此题的关键． 【变式1-2】如果多项式与多项式的乘积中不含的一次项，则的值为（    ） A． B． C．5 D．-5 【答案】B 【分析】把多项式的乘积展开，合并同类项，令含y的一次项的系数为0，可求出a的值． 【详解】=5y-y2+10a-2ay=-y2+(5-2a)y+10a， ∵多项式与多项式的乘积中不含的一次项， ∴5-2a=0， ∴a=． 故选B． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解答本题的关键在于将多项式的乘积展开，令含y的一次项的系数为0，得到关于a的方程． 【变式1-3】若的结果中不含x的一次项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式结果不含某一项的问题，先利用多项式乘以多项式的法则将多项式展开，再根据结果中不含x的一次项，得到一次项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：， ∵结果中不含x的一次项， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式1-4】如果关于的多项式与的乘积中不含的一次项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，多项式不含某项的问题，先列式求出多项式的乘积，再根据乘积中不含的一次项，得到一次项的系数为，据此即可求解，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵乘积中不含的一次项， ∴， ∴． 【例2】已知a为任意实数，有多项式，，且，当多项式A中不含2次项时，a的值为（    ）． A．－1 B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意列出整式相乘的式子，再计算多项式乘多项式，最后进行合并同类项，令二次项的系数等于0即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故选A． 【点睛】本题考查的是整式的乘法—多项式乘多项式，正确进行多项式的乘法是解答此题的关键． 【变式2-1】若（x2﹣mx+6）（3x﹣2）的展开式中不含x的二次项，则m的值是（　　） A．0 B． C．﹣ D． 【答案】C 【分析】根据多项式乘多项式和（x2﹣mx+6）（3x﹣2）的积中不含x的二次项，可以求得m的值，本题得以解决． 【详解】解：（x2﹣mx+6）（3x﹣2）＝3x3﹣（2+3m）x2+（2m+18）x﹣12， ∵（x2﹣mx+6）（3x﹣2）的积中不含x的二次项， ∴2+3m＝0， 解得m＝﹣． 故选：C． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，以及合并同类项法则，根据题意得出x的二次项的系数为0是解本题的关键． 【变式2-2】已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项的系数为，则ab的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查多项式乘以多项式，解二元一次方程组，解题的关键是明确不含的二次项，则二次项的系数为．根据多项式乘以多项式法则进行运算，再将计算结果中，利用二次项系数与一次项的系数的要求建立方程组，即可求解． 【详解】解： ， ∵多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项系数为， 解得，， ， 故答案为：． 【变式2-3】若的积中不含的二次项和一次项，求的值． 【答案】20 【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，由积中不含x的二次项和一次项，求出a与b的值，再把a、b的值代入计算可得． 【详解】解：（x-2）（x2+ax+b）=x3+ax2+bx-2x2-2ax-2b=x3+（a-2）x2+（b-2a）x-2b， ∵（x-2）（x2+ax+b）的积中不含x的二次项和一次项， ∴a-2=0且b-2a=0， 解得：a=2、b=4， 将a=2、b=4代入 = =4+16 =20． 【点睛】本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则． 【例3】已知的展开式中不含x项，且的系数为4，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，代数式求值，正确地求得的值是解题的关键． 根据展开式中不含x项，且项的系数为4，求得的值，然后代入计算即可求解． 【详解】解：∵ ， ∵展开式中不含项，且的系数为4， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式3-1】已知的乘积中不含和项，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式与多项式的乘法，先利用乘法法则计算得，再利用乘积中不含和项，即和项的系数为，计算即可，熟练掌握多项式与多项式的乘法法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵乘积中不含和项， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：． 【变式3-2】若展开后不含和项，则的值为 ． 【答案】7 【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，根据已知得出关于m、n的方程，求出m、n即可． 【详解】解： ， 的展开式中不含项和项， ，， 解得：，， ． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，能够正确得出关于m、n的方程是解题的关键． 【变式3-3】已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项，求的值． 【答案】0 【分析】本题主要考查了代数式求值，多项式乘法中的无关型问题，负整数指数幂，熟练掌握以上知识点是关键．先根据多项式乘以多项式的计算法则求出，再根据乘积展开式中不含项和项，即含项和项的系数为0求出、的值，最后代值计算即可． 【详解】解∶． 因为关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项， 所以，所以， 所以． 【变式3-4】①先化简，再求值：（a2b－2ab2－b3）÷b－（a－b）（a＋b），其中a＝－2，． ②若x2＋ax＋8和多项式x2－3x＋b相乘的积中不含x3、x2项，求ab的值． 【答案】①-2ab，2；②3． 【分析】①先算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可． ②多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．结果中不含二次项和三次项，则说明这两项的系数为0，建立关于a，b等式，求出后再求代数式值，即可求得ab的值．． 【详解】解：①（a2b-2ab2-b3）÷b-（a-b）（a+b） =a2-2ab-b2-a2+b2 =-2ab， 当a=-2，时， 原式=； ②∵（x2+ax+8）（x2-3x+b） =x4+（-3+a）x3+（b-3a+8）x2+（ab-24）x+8b， 又∵不含x2、x3项， ∴-3+a=0，b-3a+8=0， 解得a=3，b=1， ∴ab=3×1=3． 【点睛】本题考查整式的混合运算，多项式乘多项式．①中主要考查学生的化简能力和计算能力；②中根据不含某一项就是这一项的系数等于0列式求解a、b的值是解题的关键． 【题型4：整式的乘法与几何综合】 【例1】如图，正方形，点为延长线上一点，以为边向右作正方形，连结，，．若要求出的面积，只需知道（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】D 【分析】此题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，准确识图，熟练掌握正方形的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．设正方形的边长为，正方形的边长为，则，再分别求出，，，进而得，据此即可得出结论． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ，， ， ，， 又， ， 若要求出的面积，只需知道的长． 故选：D． 【变式1-1】如图，三个边长分别为，，的正方形并排放置，记阴影部分的面积为，则下列关于的说法正确的是（   ） A．的值与的取值无关 B．的值与的取值无关 C．的值与的取值无关 D．的值与，，的取值均有关 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算，割补法求阴影部分的面积，三角形的面积等．先将图形补充为一个大长方形，根据阴影部分的面积大长方形的面积空白部分的三个三角形的面积，列出代数式，结合整式的混合运算化简，即可求解． 【详解】解：如图，将图形补充为一个大长方形， 则 ， 即的值与的取值无关． 故选：A． 【变式1-2】现有如图所示的卡片若干张，其中A型、B型为正方形卡片，C型为长方形卡片，若要用这三种类型卡片拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要C型卡片的张数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是根据题意求出大正方形的面积．先根据长方形的面积公式求出大长方形的面积，然后根据整式乘法法则计算结果进行判断即可． 【详解】解：大长方形的面积为：， 1张A型卡片的面积是，1张B型卡片的面积是，1张C型卡片的面积是，所以要拼成一个长为，宽为的大长方形，需要A型卡片3张，B型卡片2张，C型卡片7张． 故选：D． 【变式1-3】如图，点B在线段上，分别以，为边作正方形，正方形，若要求三角形（阴影部分）的面积，只要知道下列哪条线段的长（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的面积公式、整式的混合运算，解答的关键是理解清楚题意，把阴影部分的面积表示出来． 由题意可得：阴影部分的面积，化简后即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，， ∴，， 阴影部分的面积 ， ∴要求三角形（阴影部分）的面积，只要知道正方形的边长，即的长． 故选：B． 【变式1-4】现有3张A卡片、10张B卡片、8张C卡片，A，B，C卡片的边长如图所示，从这三种卡片中抽取若干张（每种卡片至少取一张），使其紧密地拼接成一个几何图形甲． （1）若甲为正方形，且边长为，则取了 张C卡片； （2）若甲为长方形，且面积为，则满足条件的整数n的值为 ． 【答案】 4 6 【分析】本题考查了完全平方公式及多项式乘以多项式的几何应用，能熟练利用完全平方公式及多项式乘以多项式的几何应用解决问题是解题的关键． （1）由正方形的面积得，即可求解； （2）分两种情况讨论:若长方形甲的长为，宽为；长方形甲的长为，宽为， 求解即可． 【详解】解：（1）正方形的面积为： ， C卡片的面积为， 取了张C卡片， 故答案为：； （2）若长方形甲的长为，宽为， ， ； 若长方形甲的长为，宽为， ， 此时需要9张C卡片，不合题意； 综上，， 故答案为：． 【变式1-5】图1是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，图2是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，阴影部分是未被这三张正方形纸片覆盖的部分．设图1阴影部分面积为，图2阴影部分面积为．若，，则 （用含m的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．设，得出，，再求出，将代入求值即可． 【详解】解：设， 则 ， ， ∴ ， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式1-6】两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示； (2)若，求的值； (3)当时，求出图3中阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示S1、S2； （2）根据S1+S2=a2-b2+2b2-ab=a2+b2-ab，将a+b=16，ab=40代入进行计算即可； （3）根据S3=（a2+b2-ab），S1+S2=a2+b2-ab=76，即可得到阴影部分的面积S3． 【详解】（1）解：由图可得，， ； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：由图可得，， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，根据图形之间的面积关系进行推导计算是解决问题的关键． 【题型5：平方差与完全平方公式及其应用】 【例1】已知，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用，掌握完全平方公式是解题的关键． 直接利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 【变式1-1】已知，，，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的化简求值．本题可先根据已知条件求出的值，再将代数式进行变形，最后代入求值． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴原式； 故选：A． 【变式1-2】若，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式可知，，据此可得的值，进而得出的值． 【详解】解：， ， ， ． 故选：C． 【变式1-3】若，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．先根据完全平方公式求出，，再根据平方差公式求的值． 【详解】，， ， ，， ， ，， ， 故答案为：． 【变式1-4】已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，根据完全平方公式的变形进行计算即可，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴； 故答案为：． 【变式1-5】已知，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练运用公式变形是解题的关键．把两个等式两边同时平方，再相加即可得解． 【详解】解：， ， ，， 由得， 故， 故答案为：． 【例2】有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，现将三个正方形A和两个正方形B，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（    ） A．94 B．77 C．78 D．79 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用． 设正方形A，正方形B的边长分别为，根据图形作答即可． 【详解】设正方形A，正方形B的边长分别为，由甲得：， 由乙得：， ∴，． 由丙得知：． 故选：A． 【变式2-1】把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图的正方形，图形中阴影部分面积正好可以验证下面等式的正确性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方式与几何图形，阴影部分的面积等于4个小长方形的面积，也等于大正方形的面积减去小正方形的面积，由此列等式即可． 【详解】解：图中大正方形的面积为：，中间小正方形的面积为：，阴影部分的面积为：， 由此可得， 故选：A． 【变式2-2】如图有两张正方形纸片和，图将放置在内部，测得阴影部分面积为，图将正方形并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为，若将个正方形和个正方形并列放置后构造新正方形如图，（图，图中正方形纸片均无重叠部分）则图阴影部分面积（   ） A．20 B．22 C．36 D．38 【答案】D 【分析】设正方形的边长为，正方形的边长为，由图1可知，阴影部分面积，图2可知，阴影部分面积，进而得到，由图3可知，阴影部分面积．本题考查了平方差公式和完全平方公式的几何背景，认真分析图形，利用公式是解决问题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由图1可知，阴影部分面积， 图2可知，阴影部分面积， 化简得， 由图3可知，阴影部分面积． 故选：． 【变式2-3】如图，在一个大正方形的一个角上剪去一个小正方形，剩余部分剪拼出一个长方形，由此可以得到一个结论．根据这个结论解决下面的问题：若两个自然数的平方的差为2023，则这两个自然数的乘积最小为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式，解二元一次方程组，根据图形面积之间的关系可证明，设自然数m与自然数n的平方差为2023，则，根据，得到或或，解方程组求出m、n的值，进而求出对应的的值即可得到答案． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 则左边那幅图中红色部分的面积为，右边那幅图中红色部分的面积为， 因为两幅图中红色部分的面积相等， 所以， 设自然数m与自然数n的平方差为2023， 所以， 因为m、n都是自然数， 所以都是自然数， 所以， 所以或或， 所以或或， 所以或或， 因为， 所以的最小值为， 故答案为：． 【变式2-4】探究与实践 问题发现： （1）用四个长为a、宽为b的长方形拼成如图①所示的正方形，由此可以得到、、的等量关系是______； 问题探究： （2）如图②，将边长为a的正方形和边长为b正方形拼在一起，使得A、P、B共线，点E落在上，连接，若，的面积为，求的长度； 问题解决： （3）如图③，某小区物业准备在小区内规划设计一块休闲娱乐区，其中、为两条互相垂直的道路，且，，四边形与四边形为长方形，现计划在两个三角形区域种植花草，两个长方形区域铺设塑胶地面，按规划要求，道路的长度为80米，若种植花草每平方米需要100元，铺设塑胶地面每平方米需要30元，若物业为本次修建休闲娱乐区筹集了25万元，请你通过计算说明该物业筹集的资金是否够用？（道路的宽度均不计） 【答案】（1）；（2）；（3）该物业筹集的资金不够用，说明见解析 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用： （1）根据正方形的面积等于边长乘以边长，又等于四个长为a、宽为b的长方形面积加上一个边长为的正方形面积即可得到结论； （2）设，则，，即，由（1）的结论可得，则（负值舍去），； （3）设，由题意得，，两个三角形区域的面积之和，两个长方形区域的面积之和，则一共需要的资金 元，求出，则一共需要的资金 元，根据，得到， 则，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：（1）正方形的面积可以表示为，正方形的面积又可以表示为四个长为a、宽为b的长方形面积加上一个边长为的正方形面积，即， ∴， 故答案为：； （2）设， ∴， ∵的面积为， ∴，即， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； （3）该物业筹集的资金不够用，说明如下： 设， 由题意得，， 两个三角形区域的面积之和， 两个长方形区域的面积之和， ∴一共需要的资金 元， ∵， ∴， ∴一共需要的资金 元， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该物业筹集的资金不够用． 能力提升 一、单选题 1．（2025·青海·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题考查了整式的运算，根据合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算法则逐一验证各选项即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【分析】解：、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意 故选：． 2．（24-25七年级下·广西百色·期中）若，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．由的取值而定 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式以及作差法比较代数式的大小，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 本题可通过计算的值，根据其正负性来判断与的大小关系．需要先分别展开和的表达式，然后作差，再对差进行化简，最后根据化简结果判断大小． 【详解】解：∵，， ∴ ， 因为，即， 所以 故选：C． 3．（25-26八年级上·北京·开学考试）若计算的结果中不含项，则常数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，多项式的项及系数，先将展开，合并同类项得，继而得到，求解即可．解题的关键是掌握相应的运算法则． 【详解】解： ， ∵计算的结果中不含项， ∴， 解得：， 即常数的值为． 故选：A． 4．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）若a、b满足，则代数式的最小值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是非负数的性质，不等式的解法，由可得，结合题干可得，即可得，进一步可得答案. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 当取最大值时， ∴的最小值为； 故选：D 5．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）有三种卡片，其中边长为的正方形卡片有1张，长、宽分别为，的长方形有6张，边长为的正方形卡片有9张．用这16张卡片拼成一个大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式几何意义的理解，利用完全平方公式分解因式后即可得出大正方形的边长． 【详解】解：由题意得：大正方形的面积为：， 则大正方形的边长为． 故选：A． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，用块边长为的大正方形，块边长为的小正方形和块长为，宽为的长方形，密铺成正方形，已知，正方形的面积为S，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解题的关键． 根据，以及逐项进行计算判断即可． 【详解】解：由题意得，， A．若，即，而， 所以，因此选项不符合题意； B．若，即，而， 因此，即，因此选项不符合题意； C．若，即，而， 所以，因此选项符合题意； D．若，即，而， 因此，所以，即，因此选项不符合题意． 故选：C． 7．（24-25七年级下·广东梅州·阶段练习）已知与一个多项式之积是，则这个多项式是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘多项式，根据乘法与除法的互逆关系，可得整式的除法，根据整式的除法，可得答案． 【详解】解：由与一个多项式之积是，得 ， 即这个多项式是． 故选：C． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，且，则式子的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握整体代入法是解题关键．先根据多项式除以单项式以及合并同类项法则，得出，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 9．（25-26七年级上·重庆·开学考试）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记为（如、的平方和即为），且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，乘法公式，有理数的乘方，加法运算，由每个圆圈上的四个数字的和都等于，则三个大圆圈上的数字之和应为，故有，可得，又，由条件可知，所以，即，然后通过即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵每个圆圈上的四个数字的和都等于， ∴三个大圆圈上的数字之和应为， ∵各个小圆圈的数字之和为， ∴， ∴， ∴， ∵， 由条件可知， ∴， 整理得： ， ∴，则 ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10．（24-25八年级上·福建厦门·期末）已知长方形的长为a，宽为b，用四个这样的长方形围成一个大正方形，如图1所示，中空的部分是一个面积为9的小正方形．用五个这样的长方形按如图2的方式摆放，延长部分边框，构成一个新的大长方形，中间空白部分的面积为，则的值为（    ） A． B．9 C．7 D．5 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．用代数式表示图1中间小正方形的面积，图2空白部分的面积，再根据得到的，利用完全平方公式及变形求出的值即可． 【详解】解：图1中，中间小正方形的边长为,面积为， 由图2可得，大长方形的长为,宽为,因此面积为， 所以，即， ，即，而， ， ，而，则, . 故选：C． 11．（24-25七年级下·浙江温州·期末）现有若干个长为，宽为的小长方形（如图1）．将其中2个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图2），右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图3），记右上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．若，则的值为（　　） A．10 B． C．11 D． 【答案】B 【分析】本题考查乘法公式在几何图形中的应用，由图2可得，结合，得出，再用含a，b的式子表示出，代入求值即可． 【详解】解：图2右下角阴影部分的面积为9， ， （负值舍去）， ， ， （负值舍去）， 由图可得，，， ， 故选B． 12．（24-25七年级下·重庆·期中）已知整式，其中，，，，都是正整数、且满足和，下列说法： ①由题可知的最大值为8； ②若，则满足条件的整式A共有5个； ③存在，，，，使得A可以写成的形式，其中p，q均为有理数． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查整式的混合运算，先根据两式求出，然后得到，即可得到的最大值判断①；去绝对值得到，即可得到，正整数解的个数判断②；根据和的值得到关于p，q的等式判断③解答即可． 【详解】解：两式相减得，即， 又∵，，，，都是正整数， ∴， 代入第一个等式得， 又∵，都是正整数， ∴，故①错误， ∵， ∴，即， 解得，，，，，， ∴，共有6对不同的正整数解，故②错误； 当时，，即， 当时，，即， ∴p，q不能同时为有理数，故③错误； 故选：A． 二、填空题 13．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是一个运算程序，若输入的m为，输出的x为，则p为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法，根据题意列出除法算式，掌握多项式除以单项式的法则是解决问题的关键． 根据题意列出除法算式，利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可得出答案． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则之间的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，解题的关键是利用幂的乘方的逆运算对各式变形，变成指数相同的形式．变形为，然后比较底数即可． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 15．（25-26七年级上·上海·阶段练习）若的乘积中不含二次项，且一次项的系数为1，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式化简中无关类问题，解二元一次方程组，熟练掌握整式运算法则是解题关键． 根据题意利用多项式乘以多项式将原式括号去掉，然后化简，然后由的乘积中不含二次项，且一次项的系数为1，得到关于的二元一次方程组，再解方程组即可． 【详解】解： ， ， ∵的乘积中不含二次项，且一次项的系数为1， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）已知，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、代数式求值等知识点，掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 根据多项式乘多项式法则将等式左侧展开，然后利用对应系数法即可求出和，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵． ∴， ∴． 故答案为：12． 17．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，有一块长为，宽为的长方形空地，计划修筑东西、南北走向的两条道路，其余空地进行绿化．已知两条道路的宽分别为和，则绿化的空地面积为 ．（用含a，b的式子表示） 【答案】/ 【分析】此题考查了平方差公式的应用， 根据长方形的面积计算方法先列出算式，再根据平方差公式的法则进行计算即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 18．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）现有甲，乙，丙三张不同的正方形纸片（如图1）．将三张纸片按图2，图3两种不同方式放置于同一矩形中，记图2中阴影部分周长为，面积；图3中阴影部分周长为，面积为．已知，则= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式、方程组的应用等知识点，根据图形表示出、、、成为解题的关键． 先根据图形表示出、、、，再根据方程组得到a、b、c的关系，然后代入计算即可． 【详解】解：图2中阴影部分的周长，面积； 图2中阴影部分的周长，面积； ∵， ∴，整理得：， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 19．（2025·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算——化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用单项式乘多项式法则，平方差公式展开，然后去括号后合并同类项，最后代入已知数值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 20．（2025八年级上·全国·专题练习）化简求值：，其中，． 【答案】， 【分析】解题思路是先利用完全平方公式、单项式乘多项式法则、平方差公式将原式括号内的式子展开，然后合并同类项进行化简，再根据多项式除以单项式法则将化简后的式子进一步计算，得到最简形式，最后把给定的x、y的值代入最简式中，求出最终结果． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【点睛】本题考查的知识点有完全平方公式、单项式乘多项式法则、平方差公式以及多项式除以单项式法则．解题用到的思想是化简求值的思想，方法是公式法与整式的运算法则相结合．解题关键是熟练运用各种公式和法则对整式进行准确化简，易错点在于去括号时符号的变化以及多项式除以单项式时每一项都要正确进行除法运算，避免漏项或计算错误． 21．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）已知，，求的值． （2）若，，求的值． （3）若，，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则：底数不变，指数相加是解题的关键． （1）逆用同底数幂的乘法运算法则变形，然后代入运算即可； （2）先逆用同底数幂的乘法运算法则求出，然后代入运算即可； （3）逆用同底数幂的乘法运算法则进行代值求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴，则， ∴； （3）∵，，， ∴． 22．（25-26七年级上·上海·阶段练习）阅读理解： 通过学习，我们发现两个一次二项式的乘法公式与我们将要学习的一元二次方程的解法有关： 如果我们能将一个一元二次方程化为的形式，就能够得到这个方程的两个根为．请结合上述阅读解决下列问题： (1)请用含有的式子分别来表示p、q：______；______； (2)若关于x的一元二次方程可以化为的形式，请求出这个方程的两个根； (3)逆向来看，我们也可以借助上述关系式来构造一元二次方程，请试着构造一个一元二次方程，使方程的二次项系数为2，且有一个根为3，另一个根为5． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的法则，理解题干给定的信息，是解题的关键： （1）利用多项式乘以多项式的法则，进行求解即可； （2）利用多项式乘以多项式的法则，进行计算后，求出的值，进而求出方程的两个根即可； （3）根据要求构造一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 由题意，可知：， ∴； 故答案为：； （2）， 由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或； （3）由题意，当或时，， ∵， ∴二次项系数为2，且有一个根为3，另一个根为5的一元二次方程可以为：． 23．（25-26八年级上·全国·课后作业）在学完幂的运算后，老师给大家设置了如下的闯关任务： 趣味闯关 关卡一：已知，，，求的值； 关卡二：已知，，求的值． 闯关规则：闯过一关得2分，闯过两关得4分，请你进行闯关，并和同学交流你的闯关心得． 【答案】关卡一：；关卡二：， 闯关心得：关卡一属于幂的逆运算，需要通过所求指数的关系进行求解；关卡二需要先利用积的乘方对所求式子进行化简，再观察化简结果与已知条件的关系，最后利用幂的运算法则即可求解．（答案合理即可） 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，幂的除法逆运算，积的乘方以及逆运算，熟练掌握其运算规则是解题的关键．关卡一，利用，得出答案；关卡二，将转化成，然后计算出答案即可． 【详解】解：关卡一： ，，， ， ． 关卡二： ，， ， ． 闯关心得：关卡一属于幂的逆运算，需要通过所求指数的关系进行求解；关卡二需要先利用积的乘方对所求式子进行化简，再观察化简结果与已知条件的关系，最后利用幂的运算法则即可求解．（答案合理即可） 24．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图1是一个长为、宽为的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）观察图2，直接写出代数式之间的关系：______； 利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： （2）已知，，则的值为______； （3）两个正方形如图3摆放．边长分别为x，y，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）用两种方法表示图2的面积即可解答； （2）根据即可求出； （3）根据，求出，再根据求出，由，然后代入数据计算即可． 【详解】（1）图2整体上是边长为的正方形，因此面积为，图2中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个空白长方形的面积和为 所以有． 故答案为：． （2）∵， ∴， ∴． 故答案为：． （3）∵， ∴， ∴， ∴（已舍弃负值）， ∴ ． 25．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）观察图形，解决问题： (1)【观察分析】如图①所示，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： 方法一：___________，方法二：___________；结合以上两种方法可以得到数学公式___________； (2)【阅读理解】若，求的值． 解：令，则． 因为， 所以  ． 则  ， 所以． 当时，求的值； (3)【问题解决】如图②所示，两个正方形ABCD,AEFG的边长分别为m,n．若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)；； (2)2 (3)10 【分析】本题考查了乘法公式的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据直接求和间接求阴影部分的面积进行计算； （2）令，结合阅读材料的方法进行解题即可； （3）先根据条件得出的值，然后根据进行计算． 【详解】（1）解：方法一：阴影部分正方形的边长为：， ∴面积为：； 方法二：如图： 阴影部分的面积大正方形的面积； 故答案为：，，； （2）解：令， 则，， ∵， ， ， ； （3）解：∵， ， ， ， ， ， 或（不合题意，舍去）， ． 26．（24-25八年级上·四川资阳·期中）如图1，正方形是由两个长为、宽为的长方形和两个边长分别为、的正方形拼成的． (1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是_____； (2)若满足，请利用（1）中的数量关系，求的值； (3)若将正方形的边、分别与图1中的、重叠，如图2所示，已知，，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）． 【答案】(1) (2) (3)576 【分析】（1）由正方形的面积等于边长的平方，或者等于两个小正方形的面积两个小长方形的面积，可得关系式； （2）设，由（1）中公式即可求解； （3）设正方形的边长为，则，由，代入后利用完全平方公式即可求解． 本题考查了完全平方公式的几何背景，利用图形的面积来得到数学公式，解题的关键是灵活进行数形结合来分析． 【详解】（1）解：∵正方形的面积等于边长的平方，即， 也等于两个小正方形的面积＋两个小长方形的面积，即， 故答案为：； （2）解：设， 则， ； （3）解：设正方形的边长为， 则 27．（24-25七年级下·四川成都·期中）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：用含a、b的代数式表示出来： 图1表示：______；图2表示：______； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）请直接写出下列问题答案： ①若，，则______； ②若，则______． （3）如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1），；（2） ①；②；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景、整式的混合运算-化简求值，熟练掌握以上知识点是关键； （1）根据几何图形面积计算方法填空即可； （2）利用图1图2的计算公式计算即可； （3）根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：（1）图1中，，组成大正方形四部分面积之和， 即：， 图2中，， 即：， 故答案为：，； （2）①由图2可得， ，， ， ②由图1可得：， ， ， ， 故答案为：①；②13； （3）由题意可得， ， ， ， ， 28．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）提出问题：这是一道日本小学算术奥林匹克题：如图1，正方形边长为10．一条长为9的线段，端点在正方形的两条邻边上．在下面3个单位长度处作水平线，在左面2个单位长度处作垂直线，得到点、，求四边形的面积． 阅读解法：【小学生解法】利用面积割补解决： 如图2，由于矩形被对角线分成两个面积相等的三角形，所以两个Ⅰ相等，两个Ⅱ相等，两个Ⅲ、两个Ⅳ也都分别相等，四边形比正方形的其余部分多出一个矩形的面积，此矩形的长、宽分别为3、2，其面积为6，所以四边形的面积是． 【初中生解法】利用设未知数解决： 如图3，设，正方形去掉四边形后，所得四个三角形的面积和是，故四边形面积是． 完成任务：（要求：任务一用小学生解法，任务二用初中生解法） 任务一：如图4，正方形边长为10，一条长为8的线段，端点在正方形的两条邻边上．在下面4个单位长度处作水平线，在左面3个单位长度处作垂直线，得到点、，求四边形的面积． 任务二：如图5，正方形边长为10，一条长为5的线段，端点在正方形的两条邻边上．在下面2个单位长度处作水平线，在左面1个单位长度处作垂直线，得到点、，求四边形的面积． 任务三：填空：四边形的面积由___________、___________、___________确定，它与的长度___________，与的倾斜程度___________． 【答案】任务一：56，见解析；任务二：51，见解析；任务三：正方形的边长；距离A下面的单位长度；距离左面的单位长度；无关；无关 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，整式的四则混合运算，正确理解题意是解题的关键． 任务一：仿照题干解法求解即可； 任务二：仿照题干解法求解即可； 任务三：设在下面个单位长度处作水平线，在左面个单位长度处作垂直线，设，再仿照题干解法求解． 【详解】解：任务一： 如图，由于矩形被对角线分成两个面积相等的三角形，所以两个Ⅰ相等，两个Ⅱ相等，两个Ⅲ、两个Ⅳ也都分别相等，四边形比正方形的其余部分多出一个矩形的面积，此矩形的长、宽分别为4、3，其面积为12，所以四边形的面积是； 任务二： 如图，设，正方形去掉四边形后，所得四个三角形的面积和是，故四边形面积是； 任务三：设在下面个单位长度处作水平线，在左面个单位长度处作垂直线， 设，正方形去掉四边形后，所得四个三角形的面积和是，故四边形面积是， ∴四边形的面积由正方形的边长、距离A下面的单位长度、距离左面的单位长度确定，它与的长度无关，与的倾斜程度无关． 1 / 56 学科网（北京）股份有限公司 $人教版八上 重难点题型突破 培优专题 专题08 整式的乘法五大题型目录 A · 重难点题型分类 题型1：整式的乘法化简求值…………………………………………………… 2 题型2：整式的乘法中字母求参问题…………………………………………… 3 题型3：整式的乘法中不含项问题……………………………………………… 4 题型4：整式的乘法与几何综合………………………………………………… 6 题型5：平方差与完全平方公式及其应用……………………………………… 8 B · 能力提升 ………………………………………………………………………… 11 知识梳理 1、公式： 同底数幂的乘法公式 扩展：（m，n，p都是正整数） 幂的乘方公式 扩展： （m，n，p都是正整数） 积的乘方公式 扩展：（n是正整数） 同底数幂相除公式 平方差公式 完全平方公式 重难点题型分类 【题型1：整式的乘法化简求值】 【例1】先化简，再求值：，其中，． 【变式1-1】先化简，再求值：，其中． 【变式1-2】先化简，再求值：，其中． 【变式1-3】先化简，再求值：，其中，． 【例2】先化简，再求值：，其中， 【变式2-1】先化简，再求值：，其中． 【变式2-2】先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【变式2-3】先化简，再求值：，其中． 【题型2：整式的乘法中字母求参问题】 【例1】是完全平方式，则等于（    ） A． B．或 C． D．或 【变式1-1】如果二次三项式是完全平方式，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】若(mx4)·(4xk)＝－12x12，则适合条件的m，k的值分别是( 　 ) A．m＝－3，k＝8 B．m＝3，k＝8 C．m＝8，k＝3 D．m＝－3，k＝3 【变式1-3】单项式与单项式乘积的结果是一个9次单项式，则的值是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1-4】若多项式是由整式与另一个整式相乘得到的，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-5】已知代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为1，则的值为 【题型3：整式的乘法中不含某项问题】 【例1】要使多项式不含的一次项，则的值为（    ） A． B．4 C． D．1 【变式1-1】展开后不含的一次项，则为（    ） A．3 B．0 C．12 D．24 【变式1-2】如果多项式与多项式的乘积中不含的一次项，则的值为（    ） A． B． C．5 D．-5 【变式1-3】若的结果中不含x的一次项，则 ． 【变式1-4】如果关于的多项式与的乘积中不含的一次项，求的值． 【例2】已知a为任意实数，有多项式，，且，当多项式A中不含2次项时，a的值为（    ）． A．－1 B．0 C． D．1 【变式2-1】若（x2﹣mx+6）（3x﹣2）的展开式中不含x的二次项，则m的值是（　　） A．0 B． C．﹣ D． 【变式2-2】已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项的系数为，则ab的值为 ． 【变式2-3】若的积中不含的二次项和一次项，求的值． 【例3】已知的展开式中不含x项，且的系数为4，则的值为 ． 【变式3-1】已知的乘积中不含和项，则（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】若展开后不含和项，则的值为 ． 【变式3-3】已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项，求的值． 【变式3-4】①先化简，再求值：（a2b－2ab2－b3）÷b－（a－b）（a＋b），其中a＝－2，． ②若x2＋ax＋8和多项式x2－3x＋b相乘的积中不含x3、x2项，求ab的值． 【题型4：整式的乘法与几何综合】 【例1】如图，正方形，点为延长线上一点，以为边向右作正方形，连结，，．若要求出的面积，只需知道（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【变式1-1】如图，三个边长分别为，，的正方形并排放置，记阴影部分的面积为，则下列关于的说法正确的是（   ） A．的值与的取值无关 B．的值与的取值无关 C．的值与的取值无关 D．的值与，，的取值均有关 【变式1-2】现有如图所示的卡片若干张，其中A型、B型为正方形卡片，C型为长方形卡片，若要用这三种类型卡片拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要C型卡片的张数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1-3】如图，点B在线段上，分别以，为边作正方形，正方形，若要求三角形（阴影部分）的面积，只要知道下列哪条线段的长（    ）． A． B． C． D． 【变式1-4】现有3张A卡片、10张B卡片、8张C卡片，A，B，C卡片的边长如图所示，从这三种卡片中抽取若干张（每种卡片至少取一张），使其紧密地拼接成一个几何图形甲． （1）若甲为正方形，且边长为，则取了 张C卡片； （2）若甲为长方形，且面积为，则满足条件的整数n的值为 ． 【变式1-5】图1是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，图2是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，阴影部分是未被这三张正方形纸片覆盖的部分．设图1阴影部分面积为，图2阴影部分面积为．若，，则 （用含m的代数式表示）． 【变式1-6】两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示； (2)若，求的值； (3)当时，求出图3中阴影部分的面积． 【题型5：平方差与完全平方公式及其应用】 【例1】已知，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-1】已知，，，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】若，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式1-3】若，，，，则 ． 【变式1-4】已知，则的值为 ． 【变式1-5】已知，且，则 ． 【例2】有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，现将三个正方形A和两个正方形B，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（    ） A．94 B．77 C．78 D．79 【变式2-1】把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图的正方形，图形中阴影部分面积正好可以验证下面等式的正确性的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图有两张正方形纸片和，图将放置在内部，测得阴影部分面积为，图将正方形并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为，若将个正方形和个正方形并列放置后构造新正方形如图，（图，图中正方形纸片均无重叠部分）则图阴影部分面积（   ） A．20 B．22 C．36 D．38 【变式2-3】如图，在一个大正方形的一个角上剪去一个小正方形，剩余部分剪拼出一个长方形，由此可以得到一个结论．根据这个结论解决下面的问题：若两个自然数的平方的差为2023，则这两个自然数的乘积最小为 ． 【变式2-4】探究与实践 问题发现： （1）用四个长为a、宽为b的长方形拼成如图①所示的正方形，由此可以得到、、的等量关系是______； 问题探究： （2）如图②，将边长为a的正方形和边长为b正方形拼在一起，使得A、P、B共线，点E落在上，连接，若，的面积为，求的长度； 问题解决： （3）如图③，某小区物业准备在小区内规划设计一块休闲娱乐区，其中、为两条互相垂直的道路，且，，四边形与四边形为长方形，现计划在两个三角形区域种植花草，两个长方形区域铺设塑胶地面，按规划要求，道路的长度为80米，若种植花草每平方米需要100元，铺设塑胶地面每平方米需要30元，若物业为本次修建休闲娱乐区筹集了25万元，请你通过计算说明该物业筹集的资金是否够用？（道路的宽度均不计） 能力提升 一、单选题 1．（2025·青海·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广西百色·期中）若，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．由的取值而定 3．（25-26八年级上·北京·开学考试）若计算的结果中不含项，则常数的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）若a、b满足，则代数式的最小值为（   ） A．4 B． C． D． 5．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）有三种卡片，其中边长为的正方形卡片有1张，长、宽分别为，的长方形有6张，边长为的正方形卡片有9张．用这16张卡片拼成一个大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，用块边长为的大正方形，块边长为的小正方形和块长为，宽为的长方形，密铺成正方形，已知，正方形的面积为S，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（24-25七年级下·广东梅州·阶段练习）已知与一个多项式之积是，则这个多项式是（  ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，且，则式子的值为（    ） A． B． C． D．2 9．（25-26七年级上·重庆·开学考试）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记为（如、的平方和即为），且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记为，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·福建厦门·期末）已知长方形的长为a，宽为b，用四个这样的长方形围成一个大正方形，如图1所示，中空的部分是一个面积为9的小正方形．用五个这样的长方形按如图2的方式摆放，延长部分边框，构成一个新的大长方形，中间空白部分的面积为，则的值为（    ） A． B．9 C．7 D．5 11．（24-25七年级下·浙江温州·期末）现有若干个长为，宽为的小长方形（如图1）．将其中2个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图2），右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图3），记右上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．若，则的值为（　　） A．10 B． C．11 D． 12．（24-25七年级下·重庆·期中）已知整式，其中，，，，都是正整数、且满足和，下列说法： ①由题可知的最大值为8； ②若，则满足条件的整式A共有5个； ③存在，，，，使得A可以写成的形式，其中p，q均为有理数． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 13．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是一个运算程序，若输入的m为，输出的x为，则p为 ． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则之间的大小关系为 ．（用“”连接） 15．（25-26七年级上·上海·阶段练习）若的乘积中不含二次项，且一次项的系数为1，则 ． 16．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）已知，则的值为 ． 17．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，有一块长为，宽为的长方形空地，计划修筑东西、南北走向的两条道路，其余空地进行绿化．已知两条道路的宽分别为和，则绿化的空地面积为 ．（用含a，b的式子表示） 18．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）现有甲，乙，丙三张不同的正方形纸片（如图1）．将三张纸片按图2，图3两种不同方式放置于同一矩形中，记图2中阴影部分周长为，面积；图3中阴影部分周长为，面积为．已知，则= ． 三、解答题 19．（2025·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 20．（2025八年级上·全国·专题练习）化简求值：，其中，． 21．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）已知，，求的值． （2）若，，求的值． （3）若，，，求的值． 22．（25-26七年级上·上海·阶段练习）阅读理解： 通过学习，我们发现两个一次二项式的乘法公式与我们将要学习的一元二次方程的解法有关： 如果我们能将一个一元二次方程化为的形式，就能够得到这个方程的两个根为．请结合上述阅读解决下列问题： (1)请用含有的式子分别来表示p、q：______；______； (2)若关于x的一元二次方程可以化为的形式，请求出这个方程的两个根； (3)逆向来看，我们也可以借助上述关系式来构造一元二次方程，请试着构造一个一元二次方程，使方程的二次项系数为2，且有一个根为3，另一个根为5． 23．（25-26八年级上·全国·课后作业）在学完幂的运算后，老师给大家设置了如下的闯关任务： 趣味闯关 关卡一：已知，，，求的值； 关卡二：已知，，求的值． 闯关规则：闯过一关得2分，闯过两关得4分，请你进行闯关，并和同学交流你的闯关心得． 24．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图1是一个长为、宽为的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）观察图2，直接写出代数式之间的关系：______； 利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： （2）已知，，则的值为______； （3）两个正方形如图3摆放．边长分别为x，y，若，求图中阴影部分的面积． 25．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）观察图形，解决问题： (1)【观察分析】如图①所示，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： 方法一：___________，方法二：___________；结合以上两种方法可以得到数学公式___________； (2)【阅读理解】若，求的值． 解：令，则． 因为， 所以  ． 则  ， 所以． 当时，求的值； (3)【问题解决】如图②所示，两个正方形ABCD,AEFG的边长分别为m,n．若，求图中阴影部分的面积． 26．（24-25八年级上·四川资阳·期中）如图1，正方形是由两个长为、宽为的长方形和两个边长分别为、的正方形拼成的． (1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是_____； (2)若满足，请利用（1）中的数量关系，求的值； (3)若将正方形的边、分别与图1中的、重叠，如图2所示，已知，，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）． 27．（24-25七年级下·四川成都·期中）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：用含a、b的代数式表示出来： 图1表示：______；图2表示：______； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）请直接写出下列问题答案： ①若，，则______； ②若，则______． （3）如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 28．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）提出问题：这是一道日本小学算术奥林匹克题：如图1，正方形边长为10．一条长为9的线段，端点在正方形的两条邻边上．在下面3个单位长度处作水平线，在左面2个单位长度处作垂直线，得到点、，求四边形的面积． 阅读解法：【小学生解法】利用面积割补解决： 如图2，由于矩形被对角线分成两个面积相等的三角形，所以两个Ⅰ相等，两个Ⅱ相等，两个Ⅲ、两个Ⅳ也都分别相等，四边形比正方形的其余部分多出一个矩形的面积，此矩形的长、宽分别为3、2，其面积为6，所以四边形的面积是． 【初中生解法】利用设未知数解决： 如图3，设，正方形去掉四边形后，所得四个三角形的面积和是，故四边形面积是． 完成任务：（要求：任务一用小学生解法，任务二用初中生解法） 任务一：如图4，正方形边长为10，一条长为8的线段，端点在正方形的两条邻边上．在下面4个单位长度处作水平线，在左面3个单位长度处作垂直线，得到点、，求四边形的面积． 任务二：如图5，正方形边长为10，一条长为5的线段，端点在正方形的两条邻边上．在下面2个单位长度处作水平线，在左面1个单位长度处作垂直线，得到点、，求四边形的面积． 任务三：填空：四边形的面积由___________、___________、___________确定，它与的长度___________，与的倾斜程度___________． 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $