精品解析：四川省广安市岳池县城关中学校2025-2026学年上学期九年级中期检测数学试题

城关中学校2025-2026学年度上期九年级中期检测 数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） A卷（100分） 一、单项选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意； C、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； D、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．使用配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，通过添加和减去一次项系数一半的平方完成配方． 【详解】解：原方程：， 一次项系数为，其一半为，平方为， ， 即， ， 移项得， 故配方后方程为， 故选：C． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B 4. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数顶点式为，顶点坐标为． 该二次函数已表示为顶点式，直接可读出顶点坐标． 【详解】二次函数的图象的顶点坐标是． 故选：D． 5. 点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握将点的横坐标代入函数解析式求纵坐标的方法是解题的关键． 将三个点的横坐标分别代入抛物线解析式，计算出对应的纵坐标，再比较纵坐标的大小． 【详解】解：∵ 抛物线方程为 ∴当时， 当时，， 当时，， ∵ ， ∴， 故选：D． 6. 如图所示，将一个含角的直角三角板绕点A旋转，使得点，，在同一直线上，则三角板旋转的度数是（ 　）． A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解． 【详解】解： 旋转角是∠CAC′=180°﹣30°=150°． 故选D． 【点睛】考点：旋转的性质． 7. 小李、小张、小王、小周四位同学在学习了抛物线的图象和性质后，一起探究下面这个问题：抛物线与轴的交点为．以下是四人的说法，其中正确的是（ ） A. 小李：抛物线开口向下 B. 小张：抛物线与轴的交点为， C. 小王：当时，有最大值为0 D. 小周：抛物线的对称轴是直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的开口方向、与坐标轴的交点、最值、对称轴的求解方法是解题的关键．先根据抛物线与轴交点求出的值，得到抛物线解析式，再分别从开口方向、与轴交点、最值、对称轴这几个方面对每个选项进行判断． 【详解】解：∵ 抛物线与轴的交点为， ∴ 当时，， ∴ 抛物线解析式为． 对于A：∵ 二次项系数， ∴ 抛物线开口向上，A错误． 对于B：解方程，即， ∴ 或，与轴交点为和，B错误． 对于C：∵ 抛物线开口向上， ∴ 抛物线有最小值， C错误． 对于D：根据对称轴公式，其中，， ∴抛物线的对称轴是 ，D正确． 故选：D． 8. 定义一种新运算：，，则方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义运算与一元二次方程的求解，熟练掌握新运算的定义并将其转化为常规方程是解题的关键． 根据新运算的定义，将方程左右两边分别转化为代数表达式，得到一元二次方程，然后求解． 【详解】∵，， ∴方程的左边：， 方程的右边：， ∴方程化为， 展开：， 即， 移项：， 解方程：， ∴，， 故选：A． 9. 关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是（ ） A. 5 B. 6 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答的关键．根据题意，由且求得m的取值范围，进而可得结果． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， ∴的最大整数值是4， 故选：D． 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，与轴的交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④当函数值为非负数时，自变量的取值范围是；⑤当时，随增大而增大，其中结论正确的个数是（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称轴、对称性、与一元二次方程的关系是解题的关键．根据抛物线的图象性质，如对称轴、与坐标轴的交点、开口方向等，对每个结论逐一进行分析判断． 【详解】解：∵ 抛物线与轴有两个交点， ∴ 一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ，即，结论①正确． ∵ 抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴另一个交点的横坐标为， ∴ 方程的两个根是，，结论②正确． ∵ 对称轴为直线， ∴ ， 又∵ 抛物线过点， ∴ ，将代入得：， ∴ ，结论③错误． 由图象可知，抛物线在轴上方（包括与轴的交点）时，函数值非负，对应的取值范围是，结论④正确． ∵ 抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向下（由图象可知）， ∴ 在对称轴左侧，即时，随的增大而增大， ∴ 当时，随增大而增大，结论⑤正确． 综上，①②④⑤正确，共个． 故选：． 二、填空题（每小题4分，共16分） 11. 若关于的一元二次方程有一个根为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和方程的根的应用，熟练掌握一元二次方程二次项系数不为且方程的根满足方程是解题的关键．将已知根代入方程求出的可能值，再根据一元二次方程的定义排除不符合的取值． 【详解】解：将代入方程，得 ， ， ， 解得或． 因为方程是一元二次方程， 所以二次项系数，即． 故答案为：． 12. 若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程的两根，则这个等腰三角形的周长是______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系等知识点，熟练运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 先利用因式分解法解方程解得到或，然后分、两种情况，分别运用三角形的三边关系进行验证后，再求周长即可． 【详解】解：， 方程分解得：， 可得或， 解得：或， 若2为腰，三角形三边为2，2，4，不能构成三角形，舍去； 若2为底，三角形三边为2，4，4，周长为． 故答案为：10． 13. 将二次函数的图象先向左平移1个单位长度，再向右平移1个单位，然后再向下平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移变换，熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移规律是解题的关键． 根据二次函数图象平移的“左加右减（针对自变量），上加下减（针对函数值）”规律，逐步对函数进行平移操作来求解． 【详解】解：原函数为， 向左平移个单位长度得， 再向右平移个单位长度得， 最后向下平移个单位长度得， 故答案为：． 14. 若点，关于原点对称，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征．关于原点对称的点，其横坐标和纵坐标均互为相反数．根据此性质，可求出和的值，再计算． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共44分） 15. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】本题主要考查了用公式法解一元二次方程， （1）先确定a，b，c的值，再求出，然后用求根公式求出解即可． （2）先确定a，b，c的值，再求出，然后用求根公式求出解即可． 【小问1详解】 解：， 由， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：整理，得， 由， ∵， ∴， ∴． 16. 已知、是一元二次方程的两根，不解方程求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系并灵活运用完全平方公式、多项式乘法法则是解题的关键． （1）利用完全平方公式，结合一元二次方程根与系数的关系求解； （2）先将式子展开，再结合根与系数的关系求解． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程， ∴根据根与系数的关系，可得，． ∴； 【小问2详解】 解：∵一元二次方程， ∴根据根与系数的关系，可得，． ∴． 17. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程的两个根； （2）写出不等式的解集； （3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围； （4）若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，当二次函数中取一个定值时，二次函数就转化为一个一元二次方程． （1）抛物线与轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个根； （2）的解集是抛物线在轴下方对应的x的取值，观察图形即可解答； （3）抛物线开口向下，在对称轴右侧时随的增大而减小，观察图形即可解答； （4）方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标，从图象上可以看出当时，方程有两个不相等的实数根． 【小问1详解】 解：抛物线的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和， 一元二次方程的两个根分别是，； 【小问2详解】 解：由图象可知，当或时，抛物线的图象在轴的下方， 不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为， 在对称轴的右侧随的增大而减小， 随的增大而减小的自变量的取值范围是； 【小问4详解】 解：由图象可知，当时， 抛物线与直线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根时，． 18. 如图，在平面直角坐标系网格图中，一个小方格的边长为1个单位长度． （1）在网格图中作出绕原点旋转后的； （2）求的面积； （3）若的边上有一点，点的坐标为，则旋转后点的对应点为点，则点的坐标为________． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的旋转作图、旋转的性质以及三角形面积的计算，熟练掌握绕原点旋转的点的坐标变化规律和割补法求面积是解题的关键． （1）根据旋转的性质，找到点、、关于原点的对称点、、，再顺次连接即可． （2）利用割补法，用包含的长方形的面积减去周围多余三角形的面积来计算其面积． （3）根据绕原点旋转的点的坐标变化规律，即横、纵坐标都变为原来的相反数，来确定点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解： 点绕原点旋转， 点的坐标为 故答案为： 19. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0， （1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根？ （2）当Rt△ABC的斜边a＝，且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时，求k的值． 【答案】 （1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（4k﹣3）＝4k2﹣12k+13＝（2k﹣3）2+4， ∴无论k取什么实数值，总有＝（2k﹣3）2+4＞0，即△＞0， ∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）3 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式的符号来证明； （2）根据韦达定理得到b+c=2k+1，bc=4k-3．又在直角△ABC中，根据勾股定理，得（b+c）2﹣2bc＝（）2，由此可以求得k的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵两条直角边的长b和c恰好是方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0的两个根，得 ∴b+c＝2k+1，bc＝4k﹣3， 又∵在直角△ABC中，根据勾股定理，得 b2+c2＝a2， ∴（b+c）2﹣2bc＝（）2，即（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31， 整理后，得k2﹣k﹣6＝0，解这个方程，得k＝﹣2或k＝3， 当k＝﹣2时，b+c＝﹣4+1＝﹣3＜0，不符合题意，舍去，当k＝3时，b+c＝2×3+1＝7，符合题意，故k＝3． 【点睛】此题考查根的判别式，掌握运算法则是解题关键 B卷（共50分） 四、填空题（每小题4分，共20分） 20. 已知一元二次方程的两根分别为，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系． 根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再代入计算即可． 【详解】解：由根与系数的关系，得，， 则． 故答案为：． 21. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑，内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形的边长是x步，则列出的方程是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的面积-正方形的面积=可耕地的面积即可解答. 【详解】解：∵正方形的边长是x步，圆的半径为（）步 ∴列方程得：. 故答案为. 【点睛】本题考查圆的面积计算公式，解题关键是找出等量关系. 22. 已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】先把函数解析式化为顶点式可得当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分两种情况讨论：若；若，即可求解． 【详解】解：， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 若，当时，y随x的增大而减小， 此时当时，函数值y最小，最小值为，不合题意， 若，当时，函数值y最小，最小值为1， ∴， 解得：或（舍去）； 综上所述，a的值为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 23. 掷实心球是广安市初中学业水平体育与健康学科考试的选考项目．一男生（图1）在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如（图2）所示，已知该男生掷球时的起点高度是，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．根据广安市2025年初中学业水平体育与健康学科考试项目评分标准（男生）：投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于，则此项考试得分为满分20分．按此评分标准，该男生在此项考试中________得满分（选填：“能”或“不能”）． 【答案】能 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用． 根据题意设二次函数的表达式为顶点式，代入起始点的坐标求出关于的函数表达式，令，求出落地点坐标即可与进行比较，从而作出判断． 【详解】解：由题可知抛物线的顶点为， 故可设关于的函数表达式为， 把起始点代入表达式，得，解得 ； 令，即， 解得（负值舍去）． ， 该男生在此项考试中能得到满分． 故答案为：能． 24. 如图，正方形的中心与坐标原点O重合，将顶点绕点逆时针旋转90°得点，再将绕点B逆时针旋转90°得点，再将绕点C逆时针旋转90°得点，再将绕点D逆时针旋转90°得点，再将绕点A逆时针旋转90°得点……以此类推，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形中旋转变换的性质，等腰直角三角形性质，规律型问题，熟练掌握坐标与图形中旋转变换的性质，找出旋转后的点的坐标规律是解题的关键．过点作轴于点E，过点作轴于点F，过点作轴于点G，过点作轴于点H，过点作轴于点K，分别求出点，， ，，的坐标，可得出规律：每四个点一个循环，进一步求得，，，，再结合， 即可求得答案． 【详解】解：过点作轴于点E，过点作轴于点F，过点作轴于点G，过点作轴于点H，过点作轴于点K， 正方形的中心与坐标原点O重合，， ，，， ，，， 将顶点绕点逆时针旋转90°得点， ， ，， ，， ，， ， 再将绕点B逆时针旋转90°得点， ， ，， ，， ， ， 再将绕点C逆时针旋转90°得点，再将绕点D逆时针旋转90°得点，再将绕点A逆时针旋转90°得点，, 同理可得，，，，， 观察发现：每四个点一个循环，，，，， ， ． 故答案为：． 五、解答题（共30分） 25. 榛子是世界四大坚果之一，铁岭野生小榛子非常有名.榛子一上市，某干果店老板就以40元/的价格购进一批榛子，规定销售单价不低于成本价，且获利不高于.试销期间发现，当销售单价定为45元时，每天可售出；销售单价定为48元时，每天可售出.设每天的销售量为，销售单价为元（与之间满足一次函数关系）. （1）求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）当榛子销售单价定为多少时，干果店每天获利2000元？ （3）当榛子销售单价定为多少时，干果店每天销售榛子获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）；（2）当榛子销售单价定为50元时，干果店每天获利2000元；（3）当榛子销售单价定为52元时，干果店每天销售棒子获得的利润最大，最大利润是2160元. 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求出与之间的函数关系式，根据销售单价不低于成本价，且获利不高于可求出自变量的取值范围； （2）根据单件利润×销量=2000列方程求解即可； （3）根据单件=利润×销量列出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质求解即可. 【详解】解：（1）设与之间的函数关系式为， 将，分别代入，得，解得， ∴与之间的函数关系式为； ∵， ∴自变量的取值范围是. （2）根据题意，得， 解得，（舍去）. 答：当榛子销售单价定为50元时，干果店每天获利2000元； （3）由题意得， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， 又∵对称轴为直线，， ∴在对称轴左侧，随的增大而增大， ∴当时，（元）， 答：当榛子销售单价定为52元时，干果店每天销售棒子获得的利润最大，最大利润是2160元. 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，以及二次函数的应用，仔细审题，找出列方程或函数解析式所需的等量关系是解答本题的关键. 26. 【问题背景】 在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题： （1）如图1，在等边中，点在内部，且，，，求的长．经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法；将绕点按顺时针方向旋转60°，得到，连接，寻找、、三边之间的数量关系．…请参考他们的想法，完成该问题的解答过程； 【学以致用】 （2）如图2，在等腰直角中，，为内一点，且，，，求的长； 【思维拓展】 （3）如图3，若点是正方形外一点，，，，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）通过将绕点顺时针旋转，构造等边三角形和直角三角形，利用勾股定理求解的长． （2）将绕点逆时针旋转，构造等腰直角三角形和直角三角形，利用勾股定理求解的长． （3）将绕点逆时针旋转，构造等腰直角三角形和直角三角形，利用勾股定理逆定理求解的度数． 【详解】解：（1）∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，； （2）如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，； （3）如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 在中，，，， ∵， ∴是直角三角形，， ∴． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理及勾股定理逆定理，熟练掌握图形旋转的性质，通过旋转构造特殊三角形是解题的关键． 27. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，. （1）若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标； （3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标. 【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为.（2）；（3）的坐标为或或或. 【解析】 【详解】分析：（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式； （2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，此时MA+MC的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标； （3）设P（-1，t），又因为B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标． 详解：（1）依题意得：，解得：， ∴抛物线的解析式为. ∵对称轴为，且抛物线经过， ∴把、分别代入直线， 得，解之得：， ∴直线的解析式为. （2）直线与对称轴的交点为，则此时的值最小，把代入直线得， ∴.即当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为. （注：本题只求坐标没说要求证明为何此时的值最小，所以答案未证明的值最小的原因）. （3）设，又，， ∴，，， ①若点为直角顶点，则，即：解得：， ②若点为直角顶点，则，即：解得：， ③若点为直角顶点，则，即：解得： ，. 综上所述的坐标为或或或. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 城关中学校2025-2026学年度上期九年级中期检测 数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） A卷（100分） 一、单项选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 4. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，将一个含角的直角三角板绕点A旋转，使得点，，在同一直线上，则三角板旋转的度数是（ 　）． A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° 7. 小李、小张、小王、小周四位同学在学习了抛物线的图象和性质后，一起探究下面这个问题：抛物线与轴的交点为．以下是四人的说法，其中正确的是（ ） A. 小李：抛物线开口向下 B. 小张：抛物线与轴的交点为， C. 小王：当时，有最大值为0 D. 小周：抛物线的对称轴是直线 8. 定义一种新运算：，，则方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是（ ） A. 5 B. 6 C. 3 D. 4 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，与轴的交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④当函数值为非负数时，自变量的取值范围是；⑤当时，随增大而增大，其中结论正确的个数是（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（每小题4分，共16分） 11. 若关于的一元二次方程有一个根为，则________． 12. 若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程的两根，则这个等腰三角形的周长是______． 13. 将二次函数的图象先向左平移1个单位长度，再向右平移1个单位，然后再向下平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是________． 14. 若点，关于原点对称，则________． 三、解答题（共44分） 15. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 16. 已知、是一元二次方程的两根，不解方程求下列各式的值： （1）； （2）． 17. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程的两个根； （2）写出不等式的解集； （3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围； （4）若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围． 18. 如图，在平面直角坐标系网格图中，一个小方格的边长为1个单位长度． （1）在网格图中作出绕原点旋转后的； （2）求的面积； （3）若的边上有一点，点的坐标为，则旋转后点的对应点为点，则点的坐标为________． 19. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0， （1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根？ （2）当Rt△ABC的斜边a＝，且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时，求k的值． B卷（共50分） 四、填空题（每小题4分，共20分） 20. 已知一元二次方程的两根分别为，，则________． 21. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑，内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形的边长是x步，则列出的方程是_______________． 22. 已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为_______． 23. 掷实心球是广安市初中学业水平体育与健康学科考试的选考项目．一男生（图1）在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如（图2）所示，已知该男生掷球时的起点高度是，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．根据广安市2025年初中学业水平体育与健康学科考试项目评分标准（男生）：投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于，则此项考试得分为满分20分．按此评分标准，该男生在此项考试中________得满分（选填：“能”或“不能”）． 24. 如图，正方形的中心与坐标原点O重合，将顶点绕点逆时针旋转90°得点，再将绕点B逆时针旋转90°得点，再将绕点C逆时针旋转90°得点，再将绕点D逆时针旋转90°得点，再将绕点A逆时针旋转90°得点……以此类推，则点的坐标是________． 五、解答题（共30分） 25. 榛子是世界四大坚果之一，铁岭野生小榛子非常有名.榛子一上市，某干果店老板就以40元/的价格购进一批榛子，规定销售单价不低于成本价，且获利不高于.试销期间发现，当销售单价定为45元时，每天可售出；销售单价定为48元时，每天可售出.设每天的销售量为，销售单价为元（与之间满足一次函数关系）. （1）求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）当榛子销售单价定为多少时，干果店每天获利2000元？ （3）当榛子销售单价定为多少时，干果店每天销售榛子获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ 26. 【问题背景】 在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题： （1）如图1，在等边中，点在内部，且，，，求的长．经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法；将绕点按顺时针方向旋转60°，得到，连接，寻找、、三边之间的数量关系．…请参考他们的想法，完成该问题的解答过程； 【学以致用】 （2）如图2，在等腰直角中，，为内一点，且，，，求的长； 【思维拓展】 （3）如图3，若点是正方形外一点，，，，求的度数． 27. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，. （1）若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标； （3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $