精品解析：湖北省 十堰市名校联盟 2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

九年级数学第二次诊断性检测 一、单选题（10×3=30分） 1. 一元二次方程，若二次项系数为1，则一次项系数及常数项分别为（ ） A. 2，3 B. ，3 C. 2， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，直接根据一元二次方程的一般式，找出一次项系数及常数项，即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程，且二次项系数为1， ∴一次项系数为，常数项为， 故选：B 2. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 3. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB'C'D'的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝68°，则∠α的大小是（　　） A. 68° B. 20° C. 28° D. 22° 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质求得∠B＝∠D'＝90°，根据四边形内角和为360°，进而求得，根据 是的余角，即可求得∠α的大小． 【详解】解：如图： ∵∠1＝68°， ∴∠2＝180°﹣∠1＝112°， ∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB'C'D'的位置， ∴∠B＝∠D'＝90°， ∴∠3＝360°﹣∠2﹣∠B﹣∠D'＝68°， ∴∠α＝90°﹣∠3＝22°， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 4. 为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为 ，则下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设平均每次的降价率为 ，则经过两次降价后的价格是，根据关键语句“连续两次降价后为256元，”可得方程． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为 ，则第一次降价售价为，则第二次售价为，由题意得： ． 故选：A． 5. 如图， 、为⊙O的切线，切点分别为A、B， 交 于点C， 的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（ ） A. 为等腰三角形 B. 与 相互垂直平分 C. 点A、B都在以 为直径的圆上 D. 为的边 上的中线 【答案】B 【解析】 【分析】连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，证明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出为等腰三角形，可判断A；根据△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，可得PM=OM=BM=AM，可判断C；证明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根据△BPA为等腰三角形，可判断D；无法证明 与 相互垂直平分，即可得出答案． 【详解】解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB， ∵B，C为切点， ∴∠OBP=∠OAP=90°， ∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△OPB≌Rt△OPA， ∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC， ∴为等腰三角形，故A正确； ∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边， ∴PM=OM=BM=AM ∴点A、B都在以 为直径的圆上，故C正确； ∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC， ∴△OBC≌△OAC， ∴∠OCB=∠OCA=90°， ∴PC⊥AB， ∵△BPA为等腰三角形， ∴ 为的边 上的中线，故D正确； 无法证明 与 相互垂直平分， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆的性质，掌握知识点灵活运用是解题关键． 6. 已知关于 的一元二次方程根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选： ． 7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD的度数为（　　） A. 64° B. 128° C. 120° D. 116° 【答案】B 【解析】 【分析】根据邻补角的概念求出∠BCD，根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：∵∠DCE=64°， ∴∠BCD=180°-∠DCE=116°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A=180°-∠BCD=64°， 由圆周角定理，得∠BOD=2∠A=128°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 8. 为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：），则该铁球的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，连接、相交于点D，根据垂径定理求出 ，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接、相交于点D， 由题意得， ，则， 设圆的半径为，则， 在 中，， 即， 解得：， 则该铁球的直径为， 故选：D． 9. 在二次函数yx22x3中，当时，y的最大值和最小值分别是（ ） A. 0，4 B. 0，3 C. 3，4 D. 0，0 【答案】A 【解析】 【分析】首先求得抛物线的对称轴，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，在距对称轴最远处取得最大值． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴是， 则当时，，是最小值； 当时，是最大值． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，正确理解取得最大值和最小值的条件是关键． 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③方程有两个相等的实数根；④方程的两根是， ．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数的图象和性质，特殊点判断①，对称轴判断②，图象法判断③和④即可． 【详解】解：由图象可知：，对称轴为直线 ，顶点坐标为，图象过点， ∴图象与 轴的另一个交点坐标为：， ∴，故①正确； ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故②正确； 由图象可知：二次函数的图象和直线只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根；故③正确； ∵图象与 轴的两个交点坐标为：，， ∴的两个解为：， ∴方程的两根是或，即：， ；故④正确； 故选D． 二、填空题（5×3=15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据点关于原点对称时，其横坐标和纵坐标均变为相反数，据此进行作答即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 12. 已知关于 的一元二次方程的两根分别为，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，熟记是解题关键； 直接利用求解即可． 【详解】解：关于 的一元二次方程的两根分别为， 则， 故答案为：2． 13. 如图，已知抛物线与直线 相交于，两点，则关于 的方程的解为_____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了根据二次函数图象与一次函数图象交点求方程的解，理解交点的意义是解题的关键． 根据图示，由交点横坐标即可求解． 【详解】解：根据题意，关于 的方程的解为， 故答案为： ． 14. 直角三角形的两直角边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形外接圆的性质，难度不大，注意直角三角形的斜边是其外接圆的直径是解题的关键. 由直角三角形的两直角边长分别为6，8，利用勾股定理可求得其斜边；又由直角三角形的斜边是其外接圆的直径，即可求得答案． 【详解】∵直角三角形的两直角边长分别为6，8， ∴斜边长为： ∴这个三角形的外接圆半径是， 故答案为5． 15. 如图，在菱形中，，将菱形绕点逆时针方向旋转，对应得到菱形 ，点在上， 与 交于点 ，则的长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于 ，由菱形的性质得出，，，由直角三角形的性质求出，，得出，由旋转的性质得：，得出，证出，由直角三角形的性质得出，，即可得出结果． 【详解】解：连接交于 ，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∵四边形 是菱形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴，， ∴； 故答案为． 【点睛】考核知识点：菱形性质，旋转性质.解直角三角形是关键. 三、解答题（共9个大题，共75分） 16. 计算： 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了零次幂，绝对值，立方根，乘方，先化简零次幂，绝对值，立方根，乘方，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 17. 如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦 交小圆于 两点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】过点O作OP⊥AB，由等腰三角形的性质可知AP=BP，再由垂径定理可知CP=DP，故可得出结论． 【详解】证明：如图所示，过点O作OP⊥AB，垂足为点P， 由垂径定理可得PA＝PB，PC＝PD，PA－PC＝PB－PD， AC＝BD． 【点睛】 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键． 18. 《千里江山图》是青山绿水画中的一幅巨制杰作，由我国北宋著名画家王希孟所作．图1是《千里江山图》的一幅局部临摹画作，该画作是一个长为，宽为的矩形．将该画的四周装裱上宽度相等的边衬（如图2），装裱后整幅画的面积为．那么四周装裱上的边衬的宽度为多少？ 【答案】四周装裱上的边衬的宽度为 ． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，先设四周装裱上的边衬的宽度，再根据长为，宽为的矩形．将该画的四周装裱上宽度相等的边衬，装裱后整幅画的面积为，进行列出方程，再解得（舍去），即可作答． 【详解】解：设四周装裱上的边衬的宽度， ∵该画作是一个长为，宽为的矩形．将该画的四周装裱上宽度相等的边衬，装裱后整幅画的面积为 ∴， ∴， 则 整理得， 解得（舍去）， ∴四周装裱上的边衬的宽度为 ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把向左平移4个单位后得到对应的 A1B1C1，请画出平移后的 A1B1C1； （2）把绕原点O旋转180°后得到对应的 A2B2C2，请画出旋转后的 A2B2C2； （3）观察图形可知， A1B1C1与 A2B2C2关于点（　 　，　 　）中心对称． 【答案】（1） A1B1C1即为所求； （2） A2B2C2即为所求；     （3）﹣2，0． 【解析】 【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的△A1B1C1； （2）依据△ABC绕原点O旋转180°，即可画出旋转后的△A2B2C2； （3）依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）由图可得， A1B1C1与 A2B2C2关于点成中心对称． 故答案为：﹣2，0． 【点睛】本题考查的是平移，旋转的作图，以及判断中心对称的对称中心的坐标，掌握以上知识是解题的关键． 20. 一块三角形材料如图所示， ，，．用这块材料剪出一个矩形，其中，点D，E，F分别在上．设的长为x，矩形的面积为S． （1）写出S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （2）当的长为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）当点E为 的中点时，矩形的面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】（1）先确定，再由矩形的性质得到，根据含角直角三角形的性质解得，，接着由勾股定理得到，继而解出，最后根据矩形的面积公式解答即可； （2）利用配方法得到，据此解答． 【小问1详解】 解：∵， ，点E与点A点B均不重合， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 在中，， ，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， 则 ， ∴当 时，矩形的面积最大， ∵ 即当点E为 的中点时，矩形的面积最大，最大面积是． 【点睛】本题考查二次函数的应用，矩形的性质、含角直角三角形的性质、勾股定理等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 21. 如图， 中， ，以 为直径的交于点，点在上， ，的延长线交于点F． （1）求证：与相切； （2）若的半径为3， ，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）连接 、，则，所以，由，得，所以，即可证明与相切； （2）由切线的性质得，， ，得，则，即可根据勾股定理列方程，求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接 、， 则， ， ，， ， ， 经过的半径 的外端，且， 与相切． 【小问2详解】 解：由（1）知与相切， ∴ ∵， ， ， ， ∵ ∴， ∵，， ， ， 的长为6． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、圆的切线的判定、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 22. 问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点、某数学兴趣小组围绕该定义进行了如下相关探究． 探究1： （1）请判断：二次函数______“不动点函数”（填写“是”或“不是”）． 探究2： （2）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （3）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 【答案】（1）是；（2）；（3），该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为 8 元或 9 元时，销售总利润与销售单价相等 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用．正确理解“不动点函数”的定义是解题的关键． （1）根据“不动点函数”的定义，即可判断； （2）先求得顶点坐标为，根据“不动点函数”的定义，即可得到； （3）根据题意得，，令，解方程即可求解． 【详解】解：（1）令，则，解得：或， ∴点和为该函数图象上的不动点， ∴二次函数是“不动点函数”． （2）由抛物线得， 顶点坐标为， ∵拋物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ； （3）根据题意得，， ， 整理得， 解得， ∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为 8 元或 9 元时，销售总利润与销售单价相等． 23. 问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点为等边的边 上一点，将线段 绕点逆时针旋转得到线段 ，连接 ． （1）【猜想证明】试猜想 与 的数量关系，并加以证明； （2）【探究应用】如图2，点为等边内一点，将线段 绕点逆时针旋转得到线段 ，连接 ，若 、、三点共线，求证：平分； （3）【拓展提升】如图3，若是边长为的等边三角形，点为等边内一点，将线段 绕点逆时针旋转得到线段 ，连接 ，若，且 ，求 的长． 【答案】（1），证明见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由“”可证 ，可得； （2）由旋转的性质可得，，由“”可证 ，可得，从而求得，即可得出结论； （3）由旋转可得，，则是等边三角形，所以，由（1）知，证明，可得，进而勾股定理求得，的长，即可得出，再在 中，用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：， 证明：∵将线段 绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵将线段 绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 【小问3详解】 解：连接 ，延长交于点，如图， 由旋转可得，， ∴是等边三角形， ∴ ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴ ， 又∵， ∴， ∴ ∴点 在的垂直平分线上 又∵ ∴ ∴， 在中， ∴ ∴ 在 中，． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 24. 如图，直线与y轴，x轴分别交于点A，B，抛物线：经过点A，B，交x轴于另一点C，点E为线段上一动点，直线交抛物线于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1做轴交x轴于点G且，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线上有一动点P，过点P作x轴的垂线分别交直线l和直线于点M，N，设d，点P的横坐标为． ①求d关于m的函数关系式； ②求满足d为整数的点P的个数． 【答案】（1） （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）先确定A、B的坐标，然后再将A、B的坐标代入抛物线的解析式得到方程组求解； （2）先确定点，如图1，过点D作轴，交BC于点G，根据平行线分线段成比例定理列比例式可得点D的横坐标，即可解答； （3）①根据点P的横坐标为m表示 ， 的长，分两种情况根据即可解答； ②分，两种情况，根据①中的函数解析式统计满足d为整数的点P的个数即可． 【小问1详解】 解：在中，当时，；当时，，解得：， ∴点，点， 把点，点代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 由(1)得， 当时，， 解得： ，， 点， ， ， 轴， ， ， ， ， ， 即点D的横坐标为， 当时，， 点D的坐标为； 【小问3详解】 设 的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线 的解析式为：； ∵抛物线上有一动点P， ∴设， ∵过点P作x轴的垂线分别交直线l和直线于点M，N， ∴，， 分两种情况： 如图2，， ∵， ∴ ； 如图3，， ∵， ∴ ； 综上，d关于m的函数关系式为：； ②当时，如图2，， ∴当时，， 当时，， 当时，， 中的整数d有2，3，4，三个， 由对称性可知：时点P有一个，时点P有一个，时点P有两个， 则满足d为整数的点P的个数有4个； 当时，如图3，， ∵此时d随着m的增大而增大， ∴当 时，；当时，， 中的整数有3，4，5，6，即满足d为整数的点P的个数有4个， 综上所述，满足d为整数的点P的个数为(个)． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，由平行截线求相关线段的长或比值，二次函数的最值等知识点，解题关键是利用点的坐标差表示线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第二次诊断性检测 一、单选题（10×3=30分） 1. 一元二次方程，若二次项系数为1，则一次项系数及常数项分别为（ ） A. 2，3 B. ，3 C. 2， D. ， 2. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB'C'D'的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝68°，则∠α的大小是（　　） A. 68° B. 20° C. 28° D. 22° 4. 为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为 ，则下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 5. 如图， 、为⊙O的切线，切点分别为A、B， 交 于点C， 的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（ ） A. 为等腰三角形 B. 与 相互垂直平分 C. 点A、B都在以 为直径的圆上 D. 为的边 上的中线 6. 已知关于 的一元二次方程根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD的度数为（　　） A. 64° B. 128° C. 120° D. 116° 8. 为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：），则该铁球的直径为（ ） A. B. C. D. 9. 在二次函数yx22x3中，当时，y的最大值和最小值分别是（ ） A. 0，4 B. 0，3 C. 3，4 D. 0，0 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③方程有两个相等的实数根；④方程的两根是， ．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（5×3=15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 12. 已知关于 的一元二次方程的两根分别为，则的值为______． 13. 如图，已知抛物线与直线 相交于，两点，则关于 的方程的解为_____． 14. 直角三角形的两直角边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于__________． 15. 如图，在菱形中，，将菱形绕点逆时针方向旋转，对应得到菱形 ，点在上， 与 交于点 ，则的长是_____． 三、解答题（共9个大题，共75分） 16. 计算： 17. 如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦 交小圆于 两点．求证：． 18. 《千里江山图》是青山绿水画中的一幅巨制杰作，由我国北宋著名画家王希孟所作．图1是《千里江山图》的一幅局部临摹画作，该画作是一个长为，宽为的矩形．将该画的四周装裱上宽度相等的边衬（如图2），装裱后整幅画的面积为．那么四周装裱上的边衬的宽度为多少？ 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把向左平移4个单位后得到对应的 A1B1C1，请画出平移后的 A1B1C1； （2）把绕原点O旋转180°后得到对应的 A2B2C2，请画出旋转后的 A2B2C2； （3）观察图形可知， A1B1C1与 A2B2C2关于点（　 　，　 　）中心对称． 20. 一块三角形材料如图所示， ，，．用这块材料剪出一个矩形，其中，点D，E，F分别在上．设的长为x，矩形的面积为S． （1）写出S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （2）当的长为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ 21. 如图，中， ，以 为直径的交于点，点在上， ，的延长线交于点F． （1）求证：与相切； （2）若的半径为3， ，求的长． 22. 问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点、某数学兴趣小组围绕该定义进行了如下相关探究． 探究1： （1）请判断：二次函数______“不动点函数”（填写“是”或“不是”）． 探究2： （2）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （3）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 23. 问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点为等边的边上一点，将线段 绕点逆时针旋转得到线段，连接 ． （1）【猜想证明】试猜想 与 的数量关系，并加以证明； （2）【探究应用】如图2，点为等边内一点，将线段 绕点逆时针旋转得到线段，连接 ，若 、、三点共线，求证：平分； （3）【拓展提升】如图3，若是边长为的等边三角形，点为等边内一点，将线段 绕点逆时针旋转得到线段，连接 ，若，且 ，求 的长． 24. 如图，直线与y轴，x轴分别交于点A，B，抛物线：经过点A，B，交x轴于另一点C，点E为线段上一动点，直线交抛物线于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1做轴交x轴于点G且，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线上有一动点P，过点P作x轴的垂线分别交直线l和直线于点M，N，设d，点P的横坐标为． ①求d关于m的函数关系式； ②求满足d为整数的点P的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $