福建省福州市福清市2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年福建省福州市福清市八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.“致中和，天地位焉，万物育焉.”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.如图，的边AC上的高是(    ) A. 线段AF B. 线段DB C. 线段CF D. 线段BE 3.若三角形的三边长分别为3，4，x，则x的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.如图，五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，为了画出五角星，还需要知道的度数.算一算等于多少度(    ) A. B. C. D. 5.如图，在和中，，点A，B，E在同一条直线上，则添加以下条件，仍然不能判定≌的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，与关于直线MN成轴对称，则以下结论中不一定成立的是(    ) A. B. C. D. 线段AD被MN垂直平分 7.如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，，，则点A的坐标是(    ) A. B. C. D. 8.如图，≌，，，点E在边AB上，则的度数为(    ) A. B. C. D. 9.如图，用尺规作出了，作图痕迹中，弧MN是(    ) A. 以B为圆心，OD长为半径的弧 B. 以C为圆心，CD长为半径的弧 C. 以E为圆心，DC长为半径的弧 D. 以E为圆心，OD长为半径的弧 10.与三角形类似，多条线段首尾顺次相接就组成多边形.把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段这些线段不在多边形内部相交划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分年，瑞士数学家欧拉得出了表示n边形的不同三角剖分方法数的公式.后来数学家发现并证明：当时，六边形的三角剖分方法数是(    ) A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.在中，，，则______度． 12.如图的两个三角形是全等三角形，其中角和边的大小如图所示，那么的度数是      . 13.等腰三角形的两边长分别为7和3，则这个等腰三角形的周长为          . 14.如图，在中，D是BC的中点，E是AD的中点，阴影部分的面积为，则的面积为       15.如图，在中，AD是的角平分线，点E，F分别是AD，AB上的动点，若，当的值最小时，的度数为      . 16.在平面直角坐标系中，三角形的重心横坐标等于三个顶点横坐标的平均数，重心纵坐标等于三个顶点纵坐标的平均数.若一个组合图形被分成两部分，第一部分的面积为，重心坐标为；第二部分的面积为，重心坐标为整个图形的面积为，设整个图形的重心坐标为，则已知一个组合图形由四边形OABC和组成，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，，，，则这个组合图形的重心坐标为      . 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 如图，，，求证： 18.本小题8分 如图，在中，于点D，BE平分，AD与BE相交于点F，，，求的度数. 19.本小题8分 已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点.如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上，点C的坐标为 请以x轴为对称轴，画出与对称的，同时写出点的坐标______； 如果以点A、B、D为顶点的三角形与全等，那么点D的坐标是______. 20.本小题8分 如图，AD、BC相交于点O，，求证： 21.本小题8分 求证：全等三角形对应边上的中线相等解题要求：补全已知、求证，并写出证明 已知：如图，≌，AD是的边BC上的中线______. 求证：______. 22.本小题10分 如图，，点E在BD的延长线上，CD交AB于点F，且 求证：； 求证：DA平分 23.本小题10分 已知，等腰与等腰中，，点D在BC上，连接AE，F为AE的中点. 求作的平分线交BC于点要求：在图1中尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； 在的条件下，在图2中，连接OF，DF，补全图形，并求证： 24.本小题12分 如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点A在y轴上，B点坐标为，等边的面积为，点P从点A出发沿着射线AC运动，点Q从点C出发沿x轴负半轴运动，点P、点Q同时出发，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，过点P作轴于点 ①直接写出点C的坐标为______，点A的坐标为______； ②当点P在线段AC上运动时，则HQ的长度______用含t的式子表示； 在点P、点Q的运动过程中，当时，求点P、点Q的运动时间，并直接写出此时H点的坐标. 25.本小题14分 已知：如图，中，，点D在AC上，点E在AB上，点F在BC上，， 求证： ①； ②； 当，时，求CD的长. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 本题考查了轴对称图形，正确掌握相关定义是解题关键． 2.【答案】D  【解析】解：的边AC上的高是线段BE， 故选： 根据三角形的高的定义，作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可． 本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形高的定义是解决问题的关键． 3.【答案】B  【解析】解：由题意，，即 故选： 据三角形三边关系，，即，问题可求． 此题考查三角形三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 4.【答案】A  【解析】解：由题意得，，， ， ， 故选： 根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可． 本题考查多边形的内角与外角，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的关键． 5.【答案】C  【解析】解：添加A用AAS判断≌， 添加B，，， ≌， 添加C，不能判断≌ 添加D用SAS判断≌， 故选： A.用AAS判断≌； B.≌； C.不能判断≌； D.用SAS判断≌ 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、掌握这几种方法的熟练应用． 6.【答案】C  【解析】解：A、，成立，不符合题意； B、，成立，不符合题意； C、AB与DF不一定平行，不成立，符合题意； D、线段AD被MN垂直平分，成立，不符合题意． 故选： 根据轴对称的性质作答． 本题主要考查了轴对称的性质：①如果两个图形关于某直线对称，那么这两个图形全等；②如果两个图形关于某直线对称，那么对应线段或者平行，或者共线，或者相交于对称轴上一点；③如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线． 7.【答案】D  【解析】解：如图，过点A作轴，过点B作轴，两条直线相交于点E， 因为， 所以， 因为，，， 所以， 在与中， ， 所以≌， 所以，， 所以，， 所以 故选： 过点A作轴，过点B作轴，两条直线相交于点E，根据ASA定理得出≌，故可得出AC及DE的长，由此可得出结论． 本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． 8.【答案】C  【解析】解：≌， ，，， ，， ， ， 故选： 根据全等三角形的性质得出，进而解答即可． 此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质得出解答． 9.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 作，则可得到，于是利用基本作图可对四个选项进行判断． 【解答】 解：以B点为圆心，OC为半径作弧EF交OB于E， 然后以E点为圆心，CD为半径画弧MN，两弧相交于F，则 故选 10.【答案】C  【解析】解：由题知， 因为当时，， 则， 所以， 则， 所以， ， 所以 故选： 根据题意，依次进行计算即可． 本题主要考查了数字变化的规律及数学常识，准确的计算是解题的关键． 11.【答案】52  【解析】解：在中，，， 则， 故答案为： 根据直角三角形的性质即可得到结论． 本题考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：图中的两个三角形是全等三角形， ， 故答案为： 根据全等三角形的对应角相等求解即可． 此题考查了全等三角形的性质，熟记“全等三角形的对应角相等”是解题的关键． 13.【答案】17  【解析】解：当7为腰时，周长； 当3为腰时，因为，所以不能构成三角形； 故答案为： 题中没有指明哪个是底哪个腰，故应该分两种情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验． 此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用． 14.【答案】6  【解析】解：在中，D是BC的中点，E是AD的中点， 是的中线，CE是的中线， 的面积与的面积相等，的面积与的面积相等， 阴影部分的面积为 的面积为， 故答案为： 利用中线将三角形的面积等分即可得出结论． 本题考查了三角形的中位线将三角形的面积等分，注意三角形中线的这个作用在等分面积的问题中经常运用． 15.【答案】  【解析】解：在AC上，作于点G，交AC于点，过点作于点，与AD交于点，连接，，如图，则， 平分， ， ，， ≌，同理≌， ，，， ，即：E，F在上时最小． 是的角平分线， ， ， ，则， 故答案为： 过点B作于点G，交AC于点，过点作于点，与AD交于点，连接，可证得≌，同理≌，可知，，，进而可知，即E，F在上时最小．由AD是的角平分线，可知，由“直角三角形两锐角互余”可得，则，由此可得结论． 本题主要考查全等三角形的性质与判定，掌握轴对称最值问题，直角三角形的性质等知识是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：如图所示： ，，，， 四边形OABC是矩形，且，， 四边形OABC的面积， 矩形的重心是对角线的交点， 矩形OABC的重心是对角线OB，AC的交点H， 设点H的坐标为， 点H是点，点的中点， ，， 点H的坐标为， 设点G为的重心，BG的延长线交AB于点E， 点E为AB的中点， ， 设点G的坐标为， ，，， ，， 点G的坐标为， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 的面积， 四边形OABC和的组合图形的面积， 设该组合图形的重心M的坐标为， 将点，点，，，代入组合图形的重心坐标公式得： ，， 该组合图形的重心M的坐标为 故答案为： 依题意得四边形OABC是矩形，面积，重心是对角线的交点H，进而得点，设点G为的重心，BG的延长线交AB于点E，则，再求出点，得，进而得的面积，组合图形的面积，设该组合图形的重心M的坐标为，然后根据组合图形重心坐标公式即可得出答案． 此题主要考查了点的坐标，图形的重心，理解三角形和矩形的重心，组合图形重心的计算公式是解决问题的关键． 17.【答案】证明：，，， ≌，   【解析】根据题意证明出≌，即可得到 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，证得≌是解题的关键． 18.【答案】的度数为  【解析】解：，且，， ， 平分， ， ， 于点D， ， ， 的度数为 由，，求得，因为，所以，由于点D，得，则 此题重点考查角平分线的定义、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． 19.【答案】  或或  【解析】解：如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为 故答案为： 如图，点，，均满足题意， 点D的坐标是或或 故答案为：或或 根据轴对称的性质作图，即可得出答案． 根据全等三角形的判定确定点D的位置，即可得出答案． 本题考查作图-轴对称变换、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定是解答本题的关键． 20.【答案】证明：在与中， ， ， ，   【解析】根据HL证明即可推出结论． 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 21.【答案】是的边上的中线    【解析】已知：如图，≌，AD是的边BC上的中线， 是的边上的中线， 求证：， 证明：≌， ，，， 和分别是和的中线， ，， ， 在和中， ， ≌， ； 故答案为：是的边上的中线， 根据全等三角形的性质得到，，，求得，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 22.【答案】是和的外角， ， ， ；   过点A作于点M，于点N，如图所示： ， 在和中， ， ≌， ， 又点A在的内部，且于点M，于点N， 点A在的平分线上， 平分  【解析】证明：是和的外角， ， ， ； 过点A作于点M，于点N，如图所示： ， 在和中， ， ≌， ， 又点A在的内部，且于点M，于点N， 点A在的平分线上， 平分 根据三角形外角性质得，再根据即可得出结论； 过点A作于点M，于点N，则，依据“AAS”判定和全等得，再根据角平分线性质即可得出结论． 此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 23.【答案】如图1所示，AO即为所求；   如图1，延长OF交DE于点G， ，， ， 平分， ， ， ， ，AO平分， ， ， ， ， ， 为AE的中点， ， ， ≌， ，， ， ， ， ， ，   【解析】解：如图1所示，AO即为所求； 证明：如图1，延长OF交DE于点G， ，， ， 平分， ， ， ， ，AO平分， ， ， ， ， ， 为AE的中点， ， ， ≌， ，， ， ， ， ， ， 根据要求作出图形； 如图1，延长OF交DE于点G，证明，可得结论． 本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 24.【答案】①，；②；   点H的坐标为或  【解析】①等边的顶点A在y轴上，B点坐标为， 点C的坐标为， ， ， 点A的坐标为； ②由题意，得， 当点P在线段AC上运动时，， ， ， ， ， ， 的长度为， 故答案为：，；； 由题意，得， ，， ， 在等边中，，， ①当点P在线段AC上运动时，， ， ， ， ， ， 解得， ， ， ， 此时点H的坐标为； ②当点P在AC延长线上运动时，， ， ， ， ， ， 解得， ， ， ， 此时点H的坐标为 综上所述：点H的坐标为或 ①根据等边三角形的性质即可解决问题； ②由题意，得，当点P在线段AC上运动时，，所以，进而可以解决问题； 分两种情况讨论：①当点P在线段AC上运动时，，②当点P在AC延长线上运动时，，利用含30度角的直角三角形的性质即可解决问题． 本题是三角形的综合题，考查的是等边三角形的性质、坐标与图形的性质，直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 25.【答案】①设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②由①得，， ， 由①得，     【解析】证明：①设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②由①得，， ， 由①得， 解：作于点M，于点N， 则 由得，， 在和中， ， ≌， ， 由得，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ，， ， ①设，，利用三角形内角和定理解答即可； ②利用①得，，进而解答即可； 作于点M，于点N，利用AAS证明≌，进而利用全等三角形的性质解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质与全等三角形的性质与判定，综合性较强；关键是利用等边对等角和全等三角形的判定以及对应边的相等解答． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $