精品解析：浙江省七彩阳光新高考研究联盟2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题

2025学年第一学期浙江“七彩阳光”新高考研究联盟期中联考 高二年级数学学科试题 命题：玉环市楚门中学 杨丹君 审题：华盛高中徐彬 昌硕高中：刘娇 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字； 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的方程为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将直线化为斜截式，然后根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角. 【详解】直线的方程为，变形为，故直线的斜率为， 设的倾斜角为，则，又，即. 故选：. 2. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量垂直数量积等于零即可求解. 【详解】，， 与互相垂直则， 则. 故选：B. 3. 若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将方程配方即可得解. 【详解】将方程配方得 所以圆心坐标为, 又因为方程表示圆，且圆心位于第四象限， 所以，解得. 故选：A 4. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】通过讨论是否为0，由求出对应的的值，然后由充分条件、必要条件的定义得到结果. 【详解】当时，：，：，显然不成立， 当时，，， 当时，，即，则，解得或， 当时，：，：，此时重合，舍去， ∴，∴“”是“”的充要条件. 故选：C. 5. 学校书法社、绘画社、摄影社报名人数分别为人，人，人．按社团进行分层抽样，从这些报名学生中抽取5人作为社团联合活动的筹备人员．从这5人中随机抽取2人负责物资准备，则2名负责人至少有一名来自绘画社的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定分层抽样人数得出抽样比，从而得出来自各社团的抽取人数，再计算5人中抽取2人的总组合数，结合对立事件定义求出“两人均不来自绘画社”的组合数，进行概率计算得出“至少有一名来自绘画社”的概率． 【详解】学校书法社、绘画社、摄影社的报名人数分别为人，人，人， 总人数为人，抽样比为， 抽取人数：书法社，绘画社，摄影社， 从5人中随机抽取2人，总组合数为， “至少一名来自绘画社”的对立事件是“两人均不来自绘画社”，组合数为， 2名负责人至少有一名来自绘画社的概率． 故选：A． 6. 已知，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点坐标得到空间向量坐标，由向量数量积得到，即可求得点到直线的距离. 【详解】直线的方向向量， ， ∵，∴， 到直线的距离为. 故选：D. 7. 已知点满足方程，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是 【答案】C 【解析】 【分析】对于AB：圆心，，因为，， ，故AB错误； 对于C：三角换元后可求最值； 对于D：利用的几何意义即可知当直线与圆相切时取得最值. 【详解】如图：的圆心, ，,即，，故AB错误； 令，， 的最小值是，故C正确； 设则，由图可知当与圆相切时取得最值， 设切线方程为，整理得，由题意得 两边同时平方，解得.故D错误. 故选：C 8. 已知椭圆：（），过的左焦点的直线与的一个交点为，且与圆：相切于点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆：求出半径，由过的左焦点的直线与的一个交点为，且与圆：相切于点，得到，从而得到和，由得到，在中，利用余弦定理求出，由和的值建立的等式，计算得到离心率. 【详解】圆：，半径为， 过的左焦点的直线与的一个交点为，且与圆：相切于点， ，，，，， ，，， 在中，由余弦定理得， ，则， ，，. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某校调查了100位70岁以内的教职工（含离退休）的年龄情况，分成了，，，，五组，并制作了如图所示的频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中间值代表，则下列结论正确的是（ ） A. B. 这100位教职工中年龄在的人数为55 C. 这100位教职工年龄的众数估计值为45 D. 这100位教职工年龄的中位数的估计值为42.5 【答案】AB 【解析】 【分析】利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为求出的值判断A；利用频数等于频率乘以样本容量计算判断B；利用众数的求法判断C；利用中位数的求法判断D. 【详解】对于A，在频率分布直方图中，所有小长方形面积之和等于1， 所以，解得，A正确. 对于B，这100位教职工中年龄在的人数为 ，B正确. 对于C，这100位教职工年龄的众数估计值为，C错误. 对于D，设这100位教职工年龄的中位数的估计值为，则 ，解得，D错误. 故选：AB. 10. 如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是60°，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 与所成角的余弦值为 D. 在方向上的投影向量是 【答案】AD 【解析】 【分析】以为基底，表示出，由空间向量的线性运算和数量积运算逐个选项判断即可. 【详解】A选项，，，则，A正确； B选项，，B错误； C选项，， ， ，C错误； D选项，在方向上的投影向量为，D正确； 故选：AD. 11. 已知是坐标原点，直线：与直线：相交于点，点，均是圆：上的动点，且，是的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由的方程得到它们分别经过的定点，且两直线垂直，进而得到点的轨迹，判断A选项；由即圆的半径可知，由圆的性质得到的最小值，并求出最小值判断B选项；转化，利用圆的性质求出最大值，判断C选项；结合点到直线的距离公式将转化为点到直线的距离之和，然后由圆的性质求得最小值，判断D选项. 【详解】∵：与直线：， ∴直线必过定点， ∴线段的中点为，且. 又∵由直线方程可知. 点在以为直径的圆上. y：不包括直线,直线：不包括直线， ∴点的轨迹是以为直径的圆（除去点), ∴，A选项正确. ∵，∴ 又∵圆：上的圆心为,半径， ∴圆心到线段的距离，. 当四点顺次排列并共线时（满足与不重合），取得的最小值，，B选项错误. , 当四点顺次排列并共线时（满足与不重合），取得的最大值，， ∴，C选项正确. 设直线，,到直线的距离分别为， 则，， 由梯形中位线可知. ∴， 又∵圆心到直线的距离，， ∴，即， ∴，D选项正确. 故选：ACD. 非选择题部分 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在七彩阳光联盟考试中，从某班随机抽取8名同学的数学成绩，分数从低到高为：80，87，92，106，115，120，128，137，则第70百分位数是______． 【答案】120 【解析】 【分析】计算，然后可得第70百分位数. 【详解】因为，所以第70百分位数是该组数据由小到大排列的第6个数据120. 故答案：120 13. 椭圆左右焦点为，，椭圆上点满足，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用椭圆定义得，又，可求出. 在中利用余弦定理可得解. 【详解】因椭圆，所以，点在椭圆上，所以， 又，所以， 在中，，， 故答案为： 14. 若，为平面上两个定点，则满足为常数的动点的轨迹是直线，满足的动点的轨迹是圆．将此性质类比到空间中，解决下列问题：在长方体中，，点在棱上，，动点满足，动点满足，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量给出的两个性质得出的轨迹分别为球体和平面，建立空间直角坐标系，结合图形计算点面距离即可. 【详解】由条件给出的向量性质可类比得出时，动点P的轨迹是以为直径的球体， 设在上的投影为F，由数量积的几何意义可知， 则，即动点Q的轨迹是垂直于且到的距离等于2的平面， 如下图所示， 建立空间直角坐标系，取中点M，则, 所以, 易知，， 又,可取为平面的一个法向量， 则到平面的距离， 由图形易知当三点共线，且平面时，此时. 故答案为： 四、解答题：共5大题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，则可求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线的方程； （2）由题意分直线与平行和直线通过的中点两种情况求解. 【小问1详解】 因为，所以边上的高所在直线的斜率为． 由于直线过点，所以的直线方程为，即． 【小问2详解】 因为点，到直线的距离相等，所以直线与平行或过线段的中点． ①当直线与平行时，因为，且过点， 所以的直线方程为，即． ②直线过线段的中点时，有， 所以直线方程为，即． 综上所述：直线方程为或． 16. 如图，在三棱台中，，，，，平面，为的三等分点（靠近），为线段中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，然后建立空间直角坐标系，写出点坐标和向量坐标，由空间向量的数量积证明线线垂直； （2）由空间直角坐标系，写出点坐标和向量坐标，空间向量的数量积求出面的法向量，借助线的方向向量和平面的法向量求出线面角的正弦值. 【小问1详解】 如图，由题意知平面，，故以为坐标原点，以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系． 依题有，，，， 所以，， 所以 所以，即． 【小问2详解】 由三棱台可知． 依题有，，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，直线与平面所成角为， 则，取， 因为， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17. 已知圆：，点． （1）直线经过点，且与圆交于，两点，若，求的方程； （2）若点是圆上任意一点，试问：在平面上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或． （2）存在，． 【解析】 【分析】（1）求出圆心到直线的距离，按照直线的斜率不存在和存在讨论求解； （2），设点，，将点代入得到，由利用两点间距离公式建立的等式，得到的两个方程相等，从而对应项系数相等，计算得到解. 【小问1详解】 由弦长，可知圆心到直线的距离． ①当直线的斜率不存在时，且直线过点，即直线的方程为不符合题意； ②当直线的斜率存在时，且直线过点， 则直线的方程为，即，所以， 即，解得或． 所以直线的方程为或． 【小问2详解】 依题有，设点，， 其中点满足，即， 由可知， 即， 即， 则， 故有，，即． 18. 已知椭圆：（）的离心率为，上顶点为． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线过点且与椭圆交于，两点，直线，与轴交于点，． （ⅰ）若直线过点，求的面积； （ⅱ）求证：，两点横坐标之和为定值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率和过点列方程组求出，得到椭圆的标准方程； （2）（ⅰ）先求直线的方程，再应用弦长公式及距离公式求面积；（ⅱ）分直线斜率存在和不存在讨论，设，，，联立得，，再计算即可． 【小问1详解】 依题意有椭圆离心率，上顶点即， 由可知，，故椭圆的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）直线过点和，则直线的斜率为， 故直线的方程为，即，即， 设，，由得， 由韦达定理可知，，， 则． 点到直线的距离为 所以的面积为． （ⅱ）证明：已知，，， ①当直线的斜率不存在时，即直线的方程为，不符合题意； ②当直线的斜率为零时，，此时直线与椭圆相交于点，不符合题意； ③当直线的斜率存在且不为零时，则直线的方程为，即， 由，得． 由韦达定理可知，， 直线的方程为，直线的方程为， 分别令，解得，， 则，其中，， 所以， 其中， 所以，故，两点的横坐标之和为定值，得证． 19. 在平面四边形中，，，，将沿翻折至，为上的动点（不包含端点）． （1）设，三棱锥的各个顶点都在球的球面上． （ⅰ）证明：平面平面； （ⅱ）若球的半径为，求的长度； （2）若，求二面角的余弦值的最小值． 【答案】（1）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） （2）． 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）先用已知条件证明线面垂直，再证面面垂直即可 （ⅱ）建立空间直角坐标系写出坐标，再利用点到点的距离公式求出； （2）建立空间直角坐标系写出坐标，求出法向量，列出二面角的表达式，转化成函数问题来解决. 【小问1详解】 （ⅰ）在平面四边形中， ，， ，， 在空间中，，，，面， 又面，面面，得证． （ⅱ）由（ⅰ）可知，面面，如图，作平面， 以点为坐标原点，以直线，，为，，轴，建立空间直角坐标系． 因球的半径为，所以球心为线段的中点，有， 由，可设点，依题有， 则， 即，解得或（舍）， 所以，故点， 因点，所以． 【小问2详解】 过点作，过点作，， 为二面角的平面角，其中设， 如图，建立空间直角坐标系，则点 ，． 设平面的一个法向量为， 有，， ，令，． 设平面的一个法向量为， 有，， ，令， ． 设二面角的平面角为， ， 令，则 当时，． 由图可知，二面角是锐角， 所以二面角的余弦值的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期浙江“七彩阳光”新高考研究联盟期中联考 高二年级数学学科试题 命题：玉环市楚门中学 杨丹君 审题：华盛高中徐彬 昌硕高中：刘娇 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字； 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的方程为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A B. C. D. 2 3. 若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 学校书法社、绘画社、摄影社的报名人数分别为人，人，人．按社团进行分层抽样，从这些报名学生中抽取5人作为社团联合活动的筹备人员．从这5人中随机抽取2人负责物资准备，则2名负责人至少有一名来自绘画社的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点满足方程，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是 8. 已知椭圆：（），过的左焦点的直线与的一个交点为，且与圆：相切于点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某校调查了100位70岁以内的教职工（含离退休）的年龄情况，分成了，，，，五组，并制作了如图所示的频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中间值代表，则下列结论正确的是（ ） A. B. 这100位教职工中年龄在的人数为55 C. 这100位教职工年龄众数估计值为45 D. 这100位教职工年龄的中位数的估计值为42.5 10. 如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是60°，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 与所成角的余弦值为 D. 在方向上的投影向量是 11. 已知是坐标原点，直线：与直线：相交于点，点，均是圆：上的动点，且，是的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 非选择题部分 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在七彩阳光联盟考试中，从某班随机抽取8名同学的数学成绩，分数从低到高为：80，87，92，106，115，120，128，137，则第70百分位数是______． 13. 椭圆左右焦点为，，椭圆上点满足，则______． 14. 若，为平面上两个定点，则满足为常数的动点的轨迹是直线，满足的动点的轨迹是圆．将此性质类比到空间中，解决下列问题：在长方体中，，点在棱上，，动点满足，动点满足，则的最小值是______． 四、解答题：共5大题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程． 16. 如图，在三棱台中，，，，，平面，为三等分点（靠近），为线段中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17 已知圆：，点． （1）直线经过点，且与圆交于，两点，若，求的方程； （2）若点是圆上任意一点，试问：在平面上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 18. 已知椭圆：（）的离心率为，上顶点为． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线过点且与椭圆交于，两点，直线，与轴交于点，． （ⅰ）若直线过点，求的面积； （ⅱ）求证：，两点横坐标之和为定值． 19. 在平面四边形中，，，，将沿翻折至，为上的动点（不包含端点）． （1）设，三棱锥的各个顶点都在球的球面上． （ⅰ）证明：平面平面； （ⅱ）若球的半径为，求的长度； （2）若，求二面角的余弦值的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $