专题2.1平方根(9大题型+典题专练)2025-2026学年苏科版八年级数学上册

专题2.1平方根 题型梳理 [题型1求一个数的算式平方根] [题型5算术平方根的实际应用] [题型2利用算术平方根的非负性解题] [题型6平方根概念理解] . [题型3估计算术平方根的取值范围] [题型7求一个数的平方根] [题型4与算术平方根有关的规律性索题] [题型8已知一个数的平方根,求这个数] [题型9利用平方根解方程] 平方根（核心考点 + 重难点梳理） 核心概念（基础必掌握）. 1. 平方根的定义 如果一个数 x 的平方等于 a（即 x2=a），那么这个数 x 叫做 a 的平方根（也叫二次方根）。 *表示方法：a 的平方根记为 ±​（读作 “正负根号 a”），其中 是 a 的算术平方根（非负平方根），−​ 是 a 的负平方根。 2.平方根的性质 性质 具体说明 示例 非负性 被开方数 a≥0（负数没有平方根）；算术平方根 ≥0 ​ 无意义；≥0 成对性 正数有两个平方根，它们互为相反数 16 的平方根是 ±4（4+(−4)=0） 特殊性 0 的平方根是 0（只有一个，即 =0） 02=0，故平方根为 0 3.算式平方根与平方根的区别和联系 对比维度 算术平方根 平方根(± 定义 非负的平方根 满足 x2=a 的所有 x 符号特征 非负（​≥0) 一正一负（互为相反数），0 除外 个数 1 个（正数和 0 各 1 个） 2 个（正数）或 1 个（0） 联系 平方根包含算术平方根，即 ±​=±（算术平方根） 若 ​≈3.16，则 10 的平方根为 ±3.16 二,核心考点(高频必考) 1. 求一个数的平方根或算术平方根 考点解析：直接利用平方根定义计算，注意区分 “求平方根” 和 “求算术平方根” 的表述差异。 2. 利用平方根的非负性解题 考点解析：两个非负数的和为 0，则每个非负数均为 0（常见非负数：算术平方根、平方数、绝对值）。 3.平方根的估算 考点解析：确定无理数的算术平方根所在的整数范围（利用相邻完全平方数） 4.平方根的实际应用 考点解析：结合几何（正方形面积求边长）、物理等实际场景，注意结果取非负（算术平方根）。 三.重难点突破 1.易错点警示（高频丢分点） 易错点 1：混淆 “平方根” 和 “算术平方根” 的符号表示。 例：误将 “16 的平方根” 写成 =4（正确应为 ±4）； 易错点 2：忽略被开方数的非负性，认为负数有平方根。 例：判断 “=±3” 是错误的（-9 没有平方根）； 易错点 3：计算带分数的平方根时，未先化为假分数。 例：求 2的平方根，需先化为 ，再得 ±=±​。 2.难点：含字母的平方根问题 **考点解析：根据平方根的性质确定字母的取值范围或求解字母的值。 *例题 1：若 有意义，求 a 的取值范围： 解：被开方数需非负，∴ a−1≥0，即 a≥1； *例题 2：若一个正数 x 的平方根是 2m+1 和 m−7，求 x 的值： 解：正数的两个平方根互为相反数，∴ (2m+1)+(m−7)=0，解得 m=2，则 2m+1=5，∴ x=52=25。 （练习题） [题型1求一个数的算式平方根] 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求算术平方根，根据算术平方根的定义逐项分析即可得解，熟练掌握算术平方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 2．两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义，较小的数等于的平方，则较大的数是较小数加，再求算术平方根即可． 【详解】解：设较小的正整数为， 的算术平方根是， 则， 较大的正整数为：， 较大的数的算术平方根为：． 故选A． 3．“的算术平方根”用数学式子表示正确的是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据算术平方根的表示方法进行表示，然后即可求解． 【详解】解：的算术平方根表示为：， 故选：B 4．估计（　　）（结果保留一位小数） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义． 利用算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， 在各选项平方的结果中，最接近， ∴， 故选：C． 5．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按上述规律，第个等式（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的规律、算术平方根等知识点，从已有式子中发现规律是解题的关键． 直接根据已有式子和算术平方根归纳规律即可． 【详解】解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：， …… 第n个等式：． 故选：D． 6．实数4的算术平方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根定义的应用能力，运用算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴实数4的算术平方根是2， 故答案为：2． 7．已知，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根；利用平方根的性质，将分解为，然后代入已知近似值进行计算． 【详解】解：因为，且， 所以． 已知， 因此． 故答案为． 8．定义：对于三个正整数，如果其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，这三个算术平方根中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为一个“数”组，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．已知m，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则m的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了新定义问题，算术平方根等知识，解题的关键是理解并掌握新定义的运算法则． 根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，分别列方程求解即可． 【详解】解：分三种情况：①当时，，解得（舍去）； ②当时，，解得（舍去）； ③当时，，解得； 综上所述，的值为． 故答案为：。 9．下列说法中，正确的有 个. ①5是25的算术平方根；②的算术平方根是；③的算术平方根是；④0是0的算术平方根；⑤0.01是0.1的算术平方根；⑥0.1是0.01的算术平方根． 【答案】3 【分析】本体考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义对各个说法进行甄别即可得解． 【详解】解：①5是25的算术平方根，此说法正确； ②没有算术平方根，故此说法错误； ③ 的算术平方根是7，故此说法错误； ④0是0的算术平方根；故此说法正确； ⑤应为0. 1是0. 01的算术平方根，故原说法错误； ⑥0.1是0.01的算术平方根，正确． 故答案为3． 10．求下列各数的算术平方根： (1)121，，，1，900，，； (2)，7，29，106，，． 【答案】(1)11；；；1；；； (2)；；；；；3 【分析】根据算术平方根的定义逐个解答即可． 【详解】（1）解：121的算术平方根为； 的算术平方根为； 的算术平方根为； 1的算术平方根为； 900的算术平方根为； 的算术平方根为； 的算术平方根为； （2）解：的算术平方根为； 7的算术平方根为； 29的算术平方根为； 的算术平方根为； 的算术平方根为； 的算术平方根为． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，熟记算术平方根的定义是解决本题的关键． [题型2利用算术平方根的非负性解题] 11．一个数的算术平方根只要存在，那么这个算术平方根 （    ） A．只有一个，并且是正数 B．不可能等于零 C．一定小于这个数 D．必定是非负数 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根为非负数的性质是解题关键．根据算术平方根的性质即可得答案． 【详解】解：∵一个数的算术平方根存在，负数没有算术平方根， ∴只有一个，且大于等于，故A、B、C错误，D正确． 故选D． 12．已知、均为实数且与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了非负数的性质，相反数的性质，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 根据相反数的性质得，再根据算术平方根的非负性和非负数的性质得出，，从而可求出a 、b的值，进而可求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ∴，， 解得：，． ∴． 故选：B． 13．已知，则估计的值在（） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，算术平方根的非负性，无理数的估算；利用非负数的性质求出和的值，再计算的算术平方根，并估计其值所在范围． 【详解】解：∵且， 又∵， ∴且， ∴，即， 且，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 故在5和6之间． 故选：B． 14．若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． E．2023 【答案】A 【分析】本题主要考查的知识点为非负数的性质以及解二元一次方程组．本题先依据非负数的性质(算术平方根和绝对值均为非负数，其和为时各自为)列出关于的二元一次方程组，再求解方程组得到的值，最后将其代入结合负数奇次幂的性质算出结果． 【详解】解：∵ 又∵，， ∴， ①＋②，得：， 把代入方程①： ， 解得：， 将，代入． 故选：A． 15．如果等式成立，那么应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，掌握知识点是解题的关键． 根据算术平方根的非负性，表示的算术平方根，其值总是非负的，因此等式成立的条件是为非负数． 【详解】解：由算术平方根的定义可知，．等式即，根据绝对值的性质，当且仅当时，成立．因此，应满足的条件是． 故答案为． 16．若 ，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了非负性，根据算术平方根的非负性求出x和y的值，再代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 17．若，则 ， ， ． 【答案】 2 【分析】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个项也必为零．首先根据非负数的性质可得，，即可求出m、n的值，再代入计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． ∴． 故答案为：，2，． 18．已知，为有理数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根非负性，偶次幂非负性，首先根据非负数的性质可求出的值，进而可求出的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，， ∴，， ∴， 故答案为：． 19．是一个正整数，则最大的负整数 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根． 根据题意可知，是一个正数，且为完全平方数，据此求的值即可． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴是一个正数，且为完全平方数， ∵， ∴最大的负整数． 故答案为：． 20．已知实数x，y满足． (1)求x，y的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据非负数的性质列式，即可求出x、y的值， （2）根据（1）求得的x、y的值，代入代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）由题意得：，， 解得：， （2）由（1）得：，， ∴， ∴的平方根 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，即算术平方根和绝对值的性质．解题的关键是根据非负数的性质求得x，y的值． [题型3估计算术平方根的取值范围] 21．估计 的值（    ） A．在8和9之间 B．在7和8之间 C．在6和7之间 D．在5和6之间 【答案】D 【分析】本题重点考查了算术平方根取值范围的估计，解题关键是掌握估值方法． 通过比较平方数确定的范围，再减去得到的范围． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 因此 在和之间， 故选：D． 22．《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张圆形绣布，面积为51（注：取3），下列关于这张绣布半径的说法正确的是（   ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了算数平方根的估算， 根据圆的面积公式求出，即可得出答案 【详解】解：设圆的半径是r， 根据题意得， 解得. ∵， ∴r在之间. 故选：C 23．已知 则以下对|x|的估算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的大小估算，求平方根，首先求出，然后估计的整数部分，然后根据选项即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 24．利用表格中的数据计算的近似值是 （结果保留整数）． a a2 17 289 4.12 18 324 4.36 【答案】19 【分析】本题考查算术平方根和近似数，根据题干得到算术平方根的值是解题的关键． 根据表格数据，当时，，因此，同理得，据此进行计算，将结果四舍五入保留整数即可． 【详解】解：由表格可知，当时， 所以 又因为， 所以 因此． 故答案为：19． 25．， ，则 ． 【答案】2.381 【分析】利用算术平方根的意义计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：2.381． 【点睛】此题考查了算术平方根，对所求式子进行恰当的变形是解题的关键． 26．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根以及算术平方根的估算，掌握算术平方根的估算方法是解本题的关键． 首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3， 则， 所以其面积， ， ， ， ∵面积介于整数和之间， 的值为2． 故答案为：2． 27．问题情境：有多大？如图1，教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为． (1)探究过程：因为，，所以．设，将边长为的正方形分成如图2所示的四部分．由面积公式，可得，因为x值很小，所以更小，略去，解得（保留到），即______． (2)理解应用：现在仿照上面的探究“有多大？”的过程，请你写出探究“有多大？”的过程．（结果均保留到） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了算术平方根，无理数大小估算等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）由可得； （2）由题意画出图形，由（1）的方法可得出答案； 【详解】（1）解：， （2），， ， 设，画出示意图， 由面积公式，可得． 值很小，更小， 解得（保留到）， ∴． [题型4与算术平方根有关的规律性索题] 28．嘉淇发现，，根据嘉淇的发现解决问题：已知，，则的值是（    ） A．4.5 B．14.23 C．45 D．142.3 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 29．在探索型纸的奥秘的数学活动中，林老师让同学们通过测量、折纸的方式得到，，，，纸的长和宽的数据如表中所示，试猜想型纸的长与宽的比为（   ） 类型 长（） 宽（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类变化规律，根据所给数据，依次求出，，，，纸的长和宽的比值，然后发现规律即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：计算各类型长宽比： ：； ：； ：； ：； ：； 所有比值均接近； ∴型纸的长与宽的比为， 故选：． 30．设，，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根及数字算式的变化规律，观察式子的结果，得出一般规律． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ∴， ． 故选：C． 31．通过计算发现：，，，，仔细观察上面几道题的计算结果，请猜想 ． 【答案】5050 【分析】本题属于与算术平方根有关的规律探索题，主要考查了学生的计算、分析、总结归纳的能力，解题关键是从题中数据的特点找到规律，并利用规律解题．根据，，，，发现一般规律，再利用规律进行求解即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ……… ∴． 故答案为：5050． 32．一组有规律排列的数为，则第个数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字规律，根据数据所显示的规律可知，这组数据的规律是：，，，，…，依此可得第n个数． 【详解】解：观察数据可知，这组数据的规律是：，，，，…，则第n个数是． 故答案为：． 33．观察表中的数据信息：则下列结论：①；②；③只有3个正数满足；④．其中正确的个数有 个． 225 228.01 231.04 234.09 237.16 … 15 15.1 15.2 15.3 15.4 … 【答案】2 【分析】本题考查算术平方根的性质，根据算术平方根的性质，被开方数的小数点每向左或者向右移动2位，算术平方根的小数点向左或向右移动1位，逐一进行判断即可． 【详解】解：由表格可知： ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∴有无数个正数满足；故③错误； ∵， ∴；故④错误； 故正确的个数有2个； 故答案为：2． 34．如图是按一定规律排成的三角形数阵，按数阵中数的排列规律，第28行从左至右第22个数是 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查与算术平方根有关的规律问题，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为． 由图形可知，第n行最后一个数为，据此可得答案． 【详解】解：第1行最后一个数为， 第2行最后一个数为， 第3行最后一个数为， ...， ∴第n行最后一个数为， ∵第28行最后一个数为， ∴第28行从左至右第22个数是． 故答案为：20． 35．（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ______ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 【答案】（1），；（2）两，向左（或右），一；（3）；（4）①时：；②或时：；③时： 【分析】本题考查了算术平方根的应用． （1）根据算术平方根计算即可； （2）根据表格作答即可； （3）根据（2）的规律作答即可； （4）分或三种情况作答即可． 【详解】解：（1），； 故答案为：，； （2）由表格可知，若正数的小数点向左（或右）移动两位，则的小数点就相应地向左（或右）移动一位； 故答案为：两，向左（或右），一； （3）， ， ． （4）由表格可知，①时：，则； ②或时：； ③时：，则． [题型5算术平方根的实际应用] 36．电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足．已知导线的电阻为时间导线产生1000 J的热量，电流的值是（   ） A．0.1 B．1 C．10 D．100 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，将电阻的阻值，时间和热量代入关系式，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵电阻为时间导线产生1000 J的热量， ∴； 故选C． 37．春节来临之际，小宇和小恒分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给爸爸妈妈已知小宇制作的正方体礼盒的表面积为，而小恒制作的正方体礼盒的棱长比小宇制作的正方体礼盒的棱长小，则小恒制作的正方体礼盒的边长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用算术平方根的定义求得小宇制作的正方体礼盒的棱长，然后将其减去即可． 本题考查算术平方根，几何体的表面积，理解题意并求得小宇制作的正方体礼盒的棱长是解题的关键． 【详解】解：小宇制作的正方体礼盒的表面积为， 其棱长为， 小恒制作的正方体礼盒的棱长比小宇制作的正方体礼盒的棱长小， 小恒制作的正方体礼盒的边长为， 故选：B． 38．物理学中的自由落体运动的公式是（是重力加速度，它的值约为），若物体下落的高度，那么降落的时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了平方根的应用，将，代入求解即可． 【详解】解：当，时， ， 解得或（舍去）． 故选：D． 39．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的周长为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用、正方形的面积等知识点，掌握数形集合思想成为解题的关键． 根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是、2，再根据阴影部分的周长公式计算即可． 【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 2和4， ∴两个正方形的边长分别是、2， ∴阴影部分的周长为． 故选C． 40．在《实数》学习中，我们可以按如图1操作：把面积为1的两个小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，它的边长为．可以参考这个方法，如图2操作：将长为3、宽为1的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形围成如图所示的正方形，则内部白色正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的拼剪，算术平方根的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据大正方形面积空白部分面积个直角三角形的面积，通过计算得出，再开方，即可得出答案． 【详解】解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意得：，即， ∴（负值舍去）， 故答案为：． 41．已知是正整数，且是整数，则的最小值为 ． 【答案】126 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握完全平方数的特征． 首先把被开方数分解质因数，然后再确定的值，最后计算平方根． 【详解】解：， ∵是整数， ∴正整数的最小值是 21 ，． 故答案为： 126． 42．客厅地面呈长方形，长与宽的比恰为，现要用同一大小的正方形地砖铺满地面，且正方形不能切割．有一家地砖厂商，能够生产任意边长的正方形，那么这家厂商 （填“能”或“不能”）生产出符合要求的正方形地砖； 【答案】不能 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，理解题意是解决本题的关键． 假设存在边长为s的正方形地砖能铺满地面，则长和宽a都必须是s的整数倍，设存在正整数m、n，使得，两式相除得即可判断． 【详解】解：设地面宽为，则长为， 假设存在边长为s的正方形地砖能铺满地面，则长和宽a都必须是s的整数倍， 即存在正整数m、n，使得． 两式相除得， ∵是无理数，而是有理数，矛盾． ∴不存在这样的正方形地砖． 故答案为：不能． 43．某街区在进行改造时，将原来的正方形场地改建成面积不变的长方形场地，且其长、宽比为． (1)原正方形场地的周长为_____． (2)如果把原来正方形场地的金属板围墙全部循环利用(不改变高度、厚度、不计加工损耗)那么这些金属板是否够用？试利用所学知识说明理由． 【答案】(1)120 (2)这些金属板不够用，理由见详解 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，列一元二次方程解决几何问题，二次根式的大小比较，解题的关键是掌握二次根式的运算． （1）利用求一个数的算术平方根进行求解即可； （2）设长方形的长为，宽为，根据面积相等列出方程求解得出，再求出周长和正方形周长比较即可． 【详解】（1）解：原正方形场地的周长为， 故答案为：120； （2）解：这些金属板不够用，理由如下： 设长方形的长为，宽为，根据题意得， ， 解得，（负值已舍） ∴长方形的周长为， ∵， ∴， ∴， ∴这些金属板不够用． 44．某校的数学兴趣小组开展主题为“纸张中的奥秘”的探究活动． 【探究一】正方形纸张的对角线的长 如图1，该小组用了两个面积为的小正方形分别沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个面积为的大正方形． （1）根据上述操作过程，小正方形的对角线的长为_____； 【探究二】A型纸中的奥秘 根据国际标准，系列纸为长方形，其中A4纸的宽为．将A0纸沿长边对折、裁开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、裁开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、裁开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、裁开，便成A4纸；……将A4纸按如图2所示的方式折叠． 根据上述操作过程， （2）直接写出A4纸的长； （3）求A0纸的长和宽；（结果保留根号） 【探究三】拓展迁移 该兴趣小组类比A型纸，设计了一种长方形纸张，该长方形纸张沿着长边的五等分点所连线段裁开成5个相同的小长方形，这5个小长方形的长宽比与大长方形的长宽比相同，记该种长方形纸张为型纸．他们用5个边长为的正方形，通过剪拼得到宽为的型纸的长，截取该长度，画出一张型纸． （4）根据上述描述，请你借助5个图3的正方形，剪拼得到M型纸的长，并在图4中画出这张型纸．（说明：不需要尺规作图，但需要保留类似于图2的裁切线和设计的操作步骤） 【答案】（1）（2）（3）长为，宽为（4）图见解析 【分析】本题考查折叠的性质，算术平方根的实际应用，熟练掌握折叠的性质，算术平方根的定义，是解题的关键： （1）由图可知，小正方形的对角线的长即为大正方形的边长，进行求解即可； （2）根据折叠得到A型纸的长与宽的比为正方形的对角线与边长的比即为：，进行求解即可； （3）纸是由纸经过4次折叠后得到的，进而得到纸的长和宽均为纸的长和宽的4倍，进行求解即可； （4）设型纸的长为，宽为，根据题意得到，得到M型纸的长为，而5个小正方形的面积恰好为，进而得到M型纸的长为5个小正方形构成的一个大正方形的边长，画图即可． 【详解】解：（1）由图可知，小正方形的对角线的长即为大正方形的边长， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为，即小正方形的对角线长为； 故答案为：； （2）由图可知，折叠上去的斜边正好与长方形的长相等， ∴A型纸的长与宽的比为正方形的对角线与边长的比， 由（1）可知，正方形的对角线与边长的比为， ∴故A型纸的长与宽的比为， ∵纸的宽为， ∴纸的长为； （3）∵纸是由纸经过4次折叠后得到的， ∴纸的长和宽均为纸的长和宽的4倍， ∵纸的长为，宽为， ∴纸的长和宽分别为和； （4）设型纸的长为，宽为， ∵该长方形纸张沿着长边的五等分点所连线段裁开成5个相同的小长方形， ∴小长方形的长为，宽为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴M型纸的长为， ∵5个小正方形的面积恰好为， ∴将5个小正方形按照如下图剪拼成一个大正方形的边长即为M型纸的长， 因此如下图即为所求： [题型6平方根概念理解] 45．“的平方根是”的数学表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平方根．根据平方根的意义进行解答即可． 【详解】“的平方根是”， ． 故选：A． 46．若一个正数的两个不同的平方根分别是与，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题考查平方根的性质，掌握正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．根据正数的两个平方根互为相反数的性质，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得，该正数的两个平方根分别是和， 得 解得：， 将代入与中得，两个不同的平方根分别是和，符合题意， ， 故选：B． 47．以下语句其写成式子正确的是（   ） A．7是49的算术平方根，即 B．7是的算术平方根，即 C．是49的平方根，即 D．是49的平方根，即 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根和平方根，分别利用算术平方根和平方根的定义及性质对每个选项逐个分析，即可得到正确的答案． 【详解】解：A．7是49的算术平方根， 即，故该选项错误； B．7是的算术平方根，即，故该选项正确； C．是49的平方根，即，故该选项错误； D．是49的平方根，即，故该选项错误； 故选：B 48．若一个正数的两个平方根分别是和，则为 ． 【答案】3 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数求出a的值即可得到答案． 【详解】解：由题意可知：， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题题主要考查了平方根的定义，要注意：一个正数有正、负两个平方根，这两个平方根互为相反数． 49．有理数a满足条件a<0，且a2＝225，则a＝ ． 【答案】-15 【分析】由于a2＝225，而（±15）2＝225，又a＜0，由此即可确定a的值． 【详解】解：∵a2＝225，而（±15）2＝225， 又∵a＜0， ∴a＝−15． 故答案为：-15． 【点睛】本题主要考查了开平方运算，解题关键是掌握平方根的定义． 50．如果和是一个数m的平方根，则 ； 【答案】 81 【分析】本题考查平方根，立方根的概念； 解答本题的关键是熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 根据平方根的性质即可得到关于a的方程，解出即可得到结果． 【详解】解：由题意得 解得， 则 51．本学期学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：填写下表 1 16 81 x 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：________． （2）探究性质：①1的四次方根是________；②16的四次方根是________；③0的四次方根是________；④________（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：________； 【拓展应用】（1）________ （2）比较大小：________． 【答案】类比探索：（1），，；一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 拓展应用：（1）；（2） 【分析】本题考查类比探究类问题．类比平方根和立方根得出四次方根的定义和性质是解题的关键． 类比探索：（1）类比平方根和立方根给出四次方根的定义，并进行计算填表； （2）根据四次方根的定义进行计算填空，归纳出四次方根的性质即可； 拓展应用：（1）根据定义求一个数的四次方根； （2）通过将数进行四次方以后进行比较大小即可． 【详解】解：类比探索：（1），，； 表格中数据依次为：，，； 类比平方根和立方根的定义可得：一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）①1的四次方根是：； ②16的四次方根：； ③0的四次方根是：0； ④没有四次方根； 类比平方根和立方根的性质可得：一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 故答案为：①±1；②±2；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 拓展应用：（1）， 故答案为：； （2）∵，，， ∴． 故答案为：． [题型7求一个数的平方根] 52．下列说法正确的是（    ） A．9的平方根是3 B．是的平方根 C．是的平方根 D．是的平方根 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义．根据平方根的定义求解即可，平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根． 【详解】解：A、9的平方根是，故该选项不符合题意； B、，故不是的平方根，故该选项不符合题意； C、没有平方根，故该选项不符合题意； D、，，故是的平方根，故该选项符合题意； 故选：D． 53．已知线段a，b，c，其中c是a，b的比例中项，若，，则线段c的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例中项，平方根．熟练掌握比例中项是解题的关键．由题意知，，即，计算求解满足要求的解即可． 【详解】解：∵c是a，b的比例中项， ∴，即， 解得，或（舍去）， 故选：B． 54．的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，将带分数化为假分数，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：，的平方根是． 故答案为：． 55．如果是2025的两个平方根，那么 ． 【答案】2025 【分析】本题考查平方根的性质，熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到，，整体代入法进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：2025． 56．已知和是实数的两个不同的平方根． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查的是平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数．掌握正数的平方根互为相反数是解题的关键． （1）利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解，即可求解； （2）先求出的值，利用平方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ． （2）解：， ． 的平方根为， 的平方根为． 57．（1）化简：； （2）设，是否存在实数m，使得能化简为，若能，请求出满足条件的m值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）能， 【分析】本题考查运用含乘法公式的整式的混合运算，求一个数的平方根，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘单项式进行计算，再合并同类项即可； （2）结合（1）的结论得出即可求解． 【详解】解：（1）原式； （2）存在， ，， ∴， ∴ ， ． [题型8已知一个数的平方根,求这个数] 58．婺江是金华的母亲河，其水面宽度在不同地段有所差异．某段婺江的宽度是一个正数（单位：米），它的平方根是和，那么这段婺江的宽度是（   ） A．4米 B．16米 C．25米 D．36米 【答案】B 【分析】本题考查平方根的性质，解题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数． 根据正数的两个平方根互为相反数，列出关于的方程，求出后再计算这个正数（即婺江的宽度）． 【详解】解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以， 解方程可得：， 那么这个正数（婺江的宽度）为． 故选：B． 59．已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B．5 C． D．25 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的性质． 根据平方根的性质，正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解n的值，再代入任一平方根表达式计算m即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴ 解得： ∴m的值为： 故选：D． 60．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个正整数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如1，4，9这三个数，，，，其结果都是整数，所以1，4,9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．若2，8，18三个数是“和谐组合”，则其中最小算术平方根与最大算术平方根的和是 ． 【答案】16 【分析】先求出最小算术平方根与最大算术平方根，然后求和即可． 【详解】∵， ∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12， ∴最小算术平方根与最大算术平方根的和是． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了新定义，以及算术平方根，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根． 61．若和都是3的平方根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根，利用平方根的定义求解，可得答案． 【详解】解：3的平方根是， 由题意知， ∴， 解得， 则， ∴， ∴， 解得， ∴； 故答案为：． 62．已知一个正数的平方根分别是和，求的值和这个正数． 【答案】，这个正数为． 【分析】本题考查了平方根的定义，根据平方根的意义得到，求解即可得到答案，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：依题意得：， ∴， ∴这个正数的平方根分别是和， ∴这个正数是9． [题型9利用平方根解方程] 63．将一个棱长为的正方体实心铜块熔化，制成一个底面是正方形的长方体实心铜块．若长方体的高为，则底面正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用平方根的意义解方程的应用，正确列出等量关系式是解题关键．设底面正方形的边长为，根据体积不变列方程，再根据平方根的意义解方程即可． 【详解】解：设底面正方形的边长为，根据题意得： ， ， 解得或 （负值舍去）， 底面正方形的边长为． 故选：B． 64．如果二次三项式是完全平方式，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方式的概念及一元一次方程的求解，解题的关键是根据完全平方式的结构特征，建立关于k的方程并求解． 根据完全平方式的结构，可知二次三项式中中间项系数的一半的平方等于常数项；据此列出关于k的方程，求解方程并排除无解情况，得到k的值． 【详解】∵二次三项式是完全平方式， 又∵完全平方式的形式为 ∴中间项系数的一半的平方等于常数项，即． 两边开平方得：． 当时， 两边同乘2得： 化简得：，此方程无解． 当时，即 两边同乘2得： 移项得： 合并同类项得： 解得：． 故选：D． 65．已知，则x的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查利用平方根解方程，掌握一个正数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键． 【详解】解：， ， 解得或． 66．解方程： 【答案】或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．利用平方根的性质求解方程即可． 【详解】解： ∴或． 67．配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形（提示：）； ， 又， ，即． 当且仅当，即时等号成立． (1)若，代数式的最小值为_________，此时_________． (2)某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ (3)如图2，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和4，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)6；3 (2)所用的篱笆至少为36米 (3)四边形面积的最小值为25 【分析】本题考查了实数的大小比较、完全平方公式的运用，用配方法求最值，理解在（a、b均为正实数）中，当且仅当a、b满足时，有最小值是解题的关键． 本题主要考查了完全平方公式的变形在求最值中的应用，正确理解题意并举一反三是解题关键； （1）依据题意，设，则由，得，进而当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6，故可得解； （2）设花圃的宽为x米，则长为米，所用的篱笆，据此即可求解； （3）设，由三角形的面积公式可知，若两三角形底边上的高相等，则其面积比等于底边之比，由此可将表示出来．写出四边形ABCD的面积的表达式，利用题中结论求其最小值即可． 【详解】（1）解：由题意，设， 由，得， 当且仅当，即（负值舍去）时，代数式取到最小值，最小值为 故答案为：6；3； （2）解：由题意，设花圃的宽为x米，则长为米， 所用的篱笆， 又令，， 由， ． 当且仅当，即（负值舍去）时，代数式取到最小值，最小值为36， 答：所用的篱笆至少为36米． （3）解：由题意，设， 与底边上的高相等，与底边上的高相等， ， 又， ， 当时，即（负值舍去）时取等号． 四边形面积的最小值为25． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1平方根 题型梳理 [题型1求一个数的算式平方根] [题型5算术平方根的实际应用] [题型2利用算术平方根的非负性解题] [题型6平方根概念理解] . [题型3估计算术平方根的取值范围] [题型7求一个数的平方根] [题型4与算术平方根有关的规律性索题] [题型8已知一个数的平方根,求这个数] [题型9利用平方根解方程] 平方根（核心考点 + 重难点梳理） 核心概念（基础必掌握）. 1. 平方根的定义 如果一个数 x 的平方等于 a（即 x2=a），那么这个数 x 叫做 a 的平方根（也叫二次方根）。 *表示方法：a 的平方根记为 ±​（读作 “正负根号 a”），其中 是 a 的算术平方根（非负平方根），−​ 是 a 的负平方根。 2.平方根的性质 性质 具体说明 示例 非负性 被开方数 a≥0（负数没有平方根）；算术平方根 ≥0 ​ 无意义；≥0 成对性 正数有两个平方根，它们互为相反数 16 的平方根是 ±4（4+(−4)=0） 特殊性 0 的平方根是 0（只有一个，即 =0） 02=0，故平方根为 0 3.算式平方根与平方根的区别和联系 对比维度 算术平方根 平方根(± 定义 非负的平方根 满足 x2=a 的所有 x 符号特征 非负（​≥0) 一正一负（互为相反数），0 除外 个数 1 个（正数和 0 各 1 个） 2 个（正数）或 1 个（0） 联系 平方根包含算术平方根，即 ±​=±（算术平方根） 若 ​≈3.16，则 10 的平方根为 ±3.16 二,核心考点(高频必考) 1. 求一个数的平方根或算术平方根 考点解析：直接利用平方根定义计算，注意区分 “求平方根” 和 “求算术平方根” 的表述差异。 2. 利用平方根的非负性解题 考点解析：两个非负数的和为 0，则每个非负数均为 0（常见非负数：算术平方根、平方数、绝对值）。 3.平方根的估算 考点解析：确定无理数的算术平方根所在的整数范围（利用相邻完全平方数） 4.平方根的实际应用 考点解析：结合几何（正方形面积求边长）、物理等实际场景，注意结果取非负（算术平方根）。 三.重难点突破 1.易错点警示（高频丢分点） 易错点 1：混淆 “平方根” 和 “算术平方根” 的符号表示。 例：误将 “16 的平方根” 写成 =4（正确应为 ±4）； 易错点 2：忽略被开方数的非负性，认为负数有平方根。 例：判断 “=±3” 是错误的（-9 没有平方根）； 易错点 3：计算带分数的平方根时，未先化为假分数。 例：求 2的平方根，需先化为 ，再得 ±=±​。 2.难点：含字母的平方根问题 **考点解析：根据平方根的性质确定字母的取值范围或求解字母的值。 *例题 1：若 有意义，求 a 的取值范围： 解：被开方数需非负，∴ a−1≥0，即 a≥1； *例题 2：若一个正数 x 的平方根是 2m+1 和 m−7，求 x 的值： 解：正数的两个平方根互为相反数，∴ (2m+1)+(m−7)=0，解得 m=2，则 2m+1=5，∴ x=52=25。 （练习题） [题型1求一个数的算式平方根] 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 3．“的算术平方根”用数学式子表示正确的是（   ） A． B． C． D．4 4．估计（　　）（结果保留一位小数） A． B． C． D． 5．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按上述规律，第个等式（   ） A． B． C． D． 6．实数4的算术平方根是 ． 7．已知，，那么 ． 8．定义：对于三个正整数，如果其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，这三个算术平方根中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为一个“数”组，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．已知m，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则m的值为 ． 9．下列说法中，正确的有 个. ①5是25的算术平方根；②的算术平方根是；③的算术平方根是；④0是0的算术平方根；⑤0.01是0.1的算术平方根；⑥0.1是0.01的算术平方根． 10．求下列各数的算术平方根： (1)121，，，1，900，，； (2)，7，29，106，，． [题型2利用算术平方根的非负性解题] 11．一个数的算术平方根只要存在，那么这个算术平方根 （    ） A．只有一个，并且是正数 B．不可能等于零 C．一定小于这个数 D．必定是非负数 12．已知、均为实数且与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 13．已知，则估计的值在（） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 14．若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． E．2023 15．如果等式成立，那么应满足的条件是 ． 16．若 ，则 ． 17．若，则 ， ， ． 18．已知，为有理数，且，则的值为 ． 19．是一个正整数，则最大的负整数 ． 20．已知实数x，y满足． (1)求x，y的值； (2)求的平方根． [题型3估计算术平方根的取值范围] 21．估计 的值（    ） A．在8和9之间 B．在7和8之间 C．在6和7之间 D．在5和6之间 22．《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张圆形绣布，面积为51（注：取3），下列关于这张绣布半径的说法正确的是（   ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 23．已知 则以下对|x|的估算正确的是（     ） A． B． C． D． 24．利用表格中的数据计算的近似值是 （结果保留整数）． a a2 17 289 4.12 18 324 4.36 25．， ，则 ． 26．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 27．问题情境：有多大？如图1，教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为． (1)探究过程：因为，，所以．设，将边长为的正方形分成如图2所示的四部分．由面积公式，可得，因为x值很小，所以更小，略去，解得（保留到），即______． (2)理解应用：现在仿照上面的探究“有多大？”的过程，请你写出探究“有多大？”的过程．（结果均保留到） [题型4与算术平方根有关的规律性索题] 28．嘉淇发现，，根据嘉淇的发现解决问题：已知，，则的值是（    ） A．4.5 B．14.23 C．45 D．142.3 29．在探索型纸的奥秘的数学活动中，林老师让同学们通过测量、折纸的方式得到，，，，纸的长和宽的数据如表中所示，试猜想型纸的长与宽的比为（   ） 类型 长（） 宽（） A． B． C． D． 30．设，，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 31．通过计算发现：，，，，仔细观察上面几道题的计算结果，请猜想 ． 32．一组有规律排列的数为，则第个数是 ． 33．观察表中的数据信息：则下列结论：①；②；③只有3个正数满足；④．其中正确的个数有 个． 225 228.01 231.04 234.09 237.16 … 15 15.1 15.2 15.3 15.4 … 34．如图是按一定规律排成的三角形数阵，按数阵中数的排列规律，第28行从左至右第22个数是 ． 35．（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ______ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． [题型5算术平方根的实际应用] 36．电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足．已知导线的电阻为时间导线产生1000 J的热量，电流的值是（   ） A．0.1 B．1 C．10 D．100 37．春节来临之际，小宇和小恒分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给爸爸妈妈已知小宇制作的正方体礼盒的表面积为，而小恒制作的正方体礼盒的棱长比小宇制作的正方体礼盒的棱长小，则小恒制作的正方体礼盒的边长为（ ） A． B． C． D． 38．物理学中的自由落体运动的公式是（是重力加速度，它的值约为），若物体下落的高度，那么降落的时间是（    ） A． B． C． D． 39．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的周长为（   ） A．2 B．4 C． D． 40．在《实数》学习中，我们可以按如图1操作：把面积为1的两个小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，它的边长为．可以参考这个方法，如图2操作：将长为3、宽为1的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形围成如图所示的正方形，则内部白色正方形的边长为 ． 41．已知是正整数，且是整数，则的最小值为 ． 42．客厅地面呈长方形，长与宽的比恰为，现要用同一大小的正方形地砖铺满地面，且正方形不能切割．有一家地砖厂商，能够生产任意边长的正方形，那么这家厂商 （填“能”或“不能”）生产出符合要求的正方形地砖； 43．某街区在进行改造时，将原来的正方形场地改建成面积不变的长方形场地，且其长、宽比为． (1)原正方形场地的周长为_____． (2)如果把原来正方形场地的金属板围墙全部循环利用(不改变高度、厚度、不计加工损耗)那么这些金属板是否够用？试利用所学知识说明理由． 44．某校的数学兴趣小组开展主题为“纸张中的奥秘”的探究活动． 【探究一】正方形纸张的对角线的长 如图1，该小组用了两个面积为的小正方形分别沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个面积为的大正方形． （1）根据上述操作过程，小正方形的对角线的长为_____； 【探究二】A型纸中的奥秘 根据国际标准，系列纸为长方形，其中A4纸的宽为．将A0纸沿长边对折、裁开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、裁开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、裁开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、裁开，便成A4纸；……将A4纸按如图2所示的方式折叠． 根据上述操作过程， （2）直接写出A4纸的长； （3）求A0纸的长和宽；（结果保留根号） 【探究三】拓展迁移 该兴趣小组类比A型纸，设计了一种长方形纸张，该长方形纸张沿着长边的五等分点所连线段裁开成5个相同的小长方形，这5个小长方形的长宽比与大长方形的长宽比相同，记该种长方形纸张为型纸．他们用5个边长为的正方形，通过剪拼得到宽为的型纸的长，截取该长度，画出一张型纸． （4）根据上述描述，请你借助5个图3的正方形，剪拼得到M型纸的长，并在图4中画出这张型纸．（说明：不需要尺规作图，但需要保留类似于图2的裁切线和设计的操作步骤） [题型6平方根概念理解] 45．“的平方根是”的数学表达式是（    ） A． B． C． D． 46．若一个正数的两个不同的平方根分别是与，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 47．以下语句其写成式子正确的是（   ） A．7是49的算术平方根，即 B．7是的算术平方根，即 C．是49的平方根，即 D．是49的平方根，即 48．若一个正数的两个平方根分别是和，则为 ． 49．有理数a满足条件a<0，且a2＝225，则a＝ ． 50．如果和是一个数m的平方根，则 ； 51．本学期学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：填写下表 1 16 81 x 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：________． （2）探究性质：①1的四次方根是________；②16的四次方根是________；③0的四次方根是________；④________（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：________； 【拓展应用】（1）________ （2）比较大小：________． [题型7求一个数的平方根] 52．下列说法正确的是（    ） A．9的平方根是3 B．是的平方根 C．是的平方根 D．是的平方根 53．已知线段a，b，c，其中c是a，b的比例中项，若，，则线段c的长为（    ） A． B． C． D． 54．的平方根是 ． 55．如果是2025的两个平方根，那么 ． 56．已知和是实数的两个不同的平方根． (1)求，的值； (2)求的平方根． 57．（1）化简：； （2）设，是否存在实数m，使得能化简为，若能，请求出满足条件的m值；若不能，请说明理由． [题型8已知一个数的平方根,求这个数] 58．婺江是金华的母亲河，其水面宽度在不同地段有所差异．某段婺江的宽度是一个正数（单位：米），它的平方根是和，那么这段婺江的宽度是（   ） A．4米 B．16米 C．25米 D．36米 59．已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B．5 C． D．25 60．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个正整数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如1，4，9这三个数，，，，其结果都是整数，所以1，4,9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．若2，8，18三个数是“和谐组合”，则其中最小算术平方根与最大算术平方根的和是 ． 61．若和都是3的平方根，则 ． 62．已知一个正数的平方根分别是和，求的值和这个正数． [题型9利用平方根解方程] 63．将一个棱长为的正方体实心铜块熔化，制成一个底面是正方形的长方体实心铜块．若长方体的高为，则底面正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 64．如果二次三项式是完全平方式，那么的值是（　　） A． B． C． D． 65．已知，则x的值是 ． 66．解方程： 67．配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形（提示：）； ， 又， ，即． 当且仅当，即时等号成立． (1)若，代数式的最小值为_________，此时_________． (2)某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ (3)如图2，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和4，求四边形面积的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $