精品解析：福建省厦泉四地五校2025-2026学年高一上学期11月期中联考数学试题

厦泉五校2025-2026学年高一年级第一学期期中联考 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：张世美 审核人：吴文中） 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先用列举法写出集合，得出元素个数，再利用公式计算其子集个数. 【详解】由已知得集合，共有3个元素，所以其子集个数为. 故选：D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式的结构得到不等式组，求解即得. 【详解】有意义，等价于， 解得且，故函数的定义域为. 故选：C. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题，直接写出其否定即可. 【详解】因为命题“，”为全称命题，所以其否定为：，. 故选：C. 4. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项. 【详解】因为函数的定义域为，函数的定义域为， 函数与的定义域均为. 由图知的定义域为，排除选项A、D， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C. 故选：B. 5. 函数（）的最大值为（ ） A. B. 3 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用配凑法，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当即时取等号. 所以，即（当时取等号）， 所以的最大值为 故选：D 6. 已知偶函数在区间单调递增，则满足的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用为偶函数关于轴对称，故越靠近轴，函数值越小，从而解出不等式. 【详解】因为偶函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递减，故越靠近轴，函数值越小， 因为， 所以，解得：． 故选：A. 7. 已知函数是定义在上的增函数，且，，则不等式（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据且可得，，则可化为，然后根据单调性求解. 【详解】根据可得，可转化为， 又， 所以，即， 因为是定义在上的增函数，所以只需满足，解得：. 故选：D. 【点睛】本题考查抽象函数的应用，考查利用函数的单调性解不等式，难度一般，根据题目条件将问题灵活转化是关键. 8. 若存在使函数在区间的值域为，则称函数为区间的“限定函数”，m为函数的“限定数”．已知定义在上的奇函数满足当时，，且为区间的“限定函数”，则“限定数”m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据奇函数的性质求出在时的表达式，再结合题干和函数的单调性列出等式，最后通过构造不等式求解的取值范围即可. 【详解】由是上的奇函数得， 当时，，，故， ，在单调递减， 又存在使函数在的值域为，，， 即，， 令，则在有两个不相等的实数根a，b， 又对称轴为直线，故需满足， 故m的取值范围是． 故选：. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式的性质可判断ACD，举反例排除B，从而得解. 【详解】对于ACD，因为， 所以，，，故ACD正确； 对于B，取，则，故B错误. 故选：ACD. 10. 下列选项中正确的有（ ） A. 已知函数是一次函数，满足，则解析式可能为 B. 与表示同一函数 C. 已知函数的定义域为，则的定义域为 D. 若函数，则5 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用待定系数法求解析式判断A，根据定义域不同判断B，求得函数的定义域判断C，根据分段函数解析式求值判断D. 【详解】对A，设， 则， 即，解得，或， 所以或，故A正确； 对B，定义域为，定义域为， 所以不是同一函数，故B错误； 对C，函数的定义域为，的定义为， 函数的定义域为， 最终得到的定义域为，故C正确； 对D，由解析式，故D正确 故选：ACD 11. 定义在上的偶函数满足：，且对于任意，，若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. C. 在上单调递减 D. 若正数满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的单调性判断、的单调性判断AC，根据单调性比较大小判断B，根据单调性解不等式判断D. 【详解】对于任意，， 所以，所以在上单调递增，故选项A正确； 因为的定义域为，所以， 所以为奇函数，所以，由在上单调递增， 所以，故选项B正确； 对于任意， ， 因为，，所以，所以， 所以在上单调递增，故选项C错误； ，即， 又，所以， 因为在上单调递增，所以， 解得，即，故选项D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象经过点，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数所过点可得解析式，代入即可求得结果. 【详解】，，，. 故答案为：. 13. 已知函数满足对任意，且，都有成立，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得在上单调递减，列不等式组求解即可. 【详解】因为对任意，且，都有成立， 所以在上单调递减. 所以，解得. 故答案为:. 14. 已知且恒成立，则实数的最大值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】不等式变形为，利用基本不等式求得右侧的最小值即可得结论． 【详解】∵，∴，，， ， ， 当且仅当时等号成立， 所以，即的最大值是． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合. （1）当时，求. （2）若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据补集、交集的知识求得正确答案. （2）根据题意得到集合之间的关系，分类讨论，列出不等关系，求解即可. 【小问1详解】 当时，， 所以，. 【小问2详解】 因为是的充分条件，则， 当时，， 当时，， 综上所述，或． 16. 函数满足对于都有，且. （1）求的解析式； （2）证明在上为增函数. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由条件列出关于的方程，解出即可得到函数的解析式； （2）利用单调性的定义证明函数的单调性. 【小问1详解】 ∵函数满足对于都有， ∴，可得，∴， ∴，又， ∴，∴， ∴. 【小问2详解】 ，设， ∴ ， ∵， ∴， ∴，即， ∴在上为增函数. 17. 数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ （2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 【答案】（1）100个，30万元 （2）每月生产不小于70个人形机器人 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得平均每个人形机器人的成本，再利用基本不等式求解即可； （2）由题意可知月利润，解一元二次不等式可得结果. 【小问1详解】 设平均每个人形机器人的成本为万元， 根据题意有， 当且仅当，即时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. 【小问2详解】 设月利润为万元， 则有， 由题知，整理得，解得. 故该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 18. 设函数 （1）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[0，b]，求实数a，b的值； （2）若不等式对于实数a∈[-1，2]恒成立，求x的取值范围； （3）解关于x的不等式：f（x）＜a-1． 【答案】（1）， （2）{1} （3） 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 【解析】 【分析】（1）由题意可得0和是方程的根，且，进而结合韦达定理求解即可； （2）转化问题为对于实数时恒成立，进而结合一次函数的性质求解即可； （3）根据含参一元二次不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 由题意知，0和b是方程的根，且， 所以，解得， 【小问2详解】 由，即， 即对于实数时恒成立， 则，解得，则x的取值范围为{1} 【小问3详解】 由，则， 当时，不等式可化为，即，解集为， 当时，不等式可化为，不等式的解集为； 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 19. 若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足则称函数G是在的“美好函数” （1）已知函数； ①函数G是在上的“美好函数”，求a的值； ②当时，函数G是在上的“美好函数”，请直接写出t的值； （2）已知函数若函数G是在（为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得，求的值. 【答案】（1）①或；② 0或1. （2） 【解析】 【分析】（1）①分和两种情况求出二次函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值；②求出二次函数的对称轴，然后分，，和四种情况求函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值； （2）由二次函数的性质可知当时，函数G为增函数，从而可求出，，然后由为整数可求出，再由列方程可求出. 【小问1详解】 ① 因二次函数的对称轴为直线， 当时，，当时，. （Ⅰ）当时，则当时，函数G为增函数， 依题意，由，解得； （Ⅱ）当时，则当时，函数G为减函数， 依题意，由，解得. 综上，或； ② 当时，函数的对称轴为直线， 当时，，当时，，当时，. (Ⅰ)若，则由，解得（舍去）； （Ⅱ）若，则由，解得或（舍去）； （Ⅲ）若，则由，解得或（舍去）； （Ⅳ）若，则由，解得（舍去）. 综上，t的值为0或1； 【小问2详解】 因二次函数的对称轴为直线， 又，则，于是， 故当时，函数为增函数， 即当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值， 于是，， 因为整数，且，则，即， 又因，即，解得. 【点睛】方法点睛：当二次函数对称轴确定但自变量取值区间变化时，需分“对称轴在区间左侧、中间、右侧”进行讨论，对称轴在区间中间时，还需继续分析自变量区间中间值和对称轴的关系，以此来确定函数的最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦泉五校2025-2026学年高一年级第一学期期中联考 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：张世美 审核人：吴文中） 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 5. 函数（）的最大值为（ ） A. B. 3 C. 1 D. 6. 已知偶函数在区间单调递增，则满足的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的增函数，且，，则不等式（ ） A. B. C. D. 8. 若存在使函数在区间的值域为，则称函数为区间的“限定函数”，m为函数的“限定数”．已知定义在上的奇函数满足当时，，且为区间的“限定函数”，则“限定数”m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列选项中正确的有（ ） A. 已知函数是一次函数，满足，则解析式可能为 B. 与表示同一函数 C. 已知函数的定义域为，则的定义域为 D. 若函数，则5 11. 定义在上的偶函数满足：，且对于任意，，若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. C. 在上单调递减 D. 若正数满足，则 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象经过点，则_________． 13. 已知函数满足对任意，且，都有成立，则实数a的取值范围是__________． 14. 已知且恒成立，则实数的最大值是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合. （1）当时，求. （2）若是的充分条件，求实数的取值范围. 16. 函数满足对于都有，且. （1）求的解析式； （2）证明在上为增函数. 17. 数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ （2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 18. 设函数 （1）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[0，b]，求实数a，b的值； （2）若不等式对于实数a∈[-1，2]恒成立，求x的取值范围； （3）解关于x的不等式：f（x）＜a-1． 19. 若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足则称函数G是在的“美好函数” （1）已知函数； ①函数G是在上的“美好函数”，求a的值； ②当时，函数G是在上的“美好函数”，请直接写出t的值； （2）已知函数若函数G是在（为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $