精品解析：广东省广州市华南师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期综合测试(二)数学试题

2026届高三综合测试（二） 数学试题 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，用黑色钢笔或签字笔将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，监考员将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，其中是虚数单位，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算计算出，再由复数模长计算公式求结果. 【详解】因为，所以. 故选：A. 2. 已知命题，命题，则（ ） A. 和均为真命题 B. 和均为真命题 C. 和均为真命题 D. 和均为真命题 【答案】B 【解析】 【分析】直接判断命题的真假，再根据命题的否定可判断. 【详解】对于命题，当时，，所以为假命题，则为真命题； 对于命题，当时，，所以为真命题. 综上，和均为真命题. 故选：B. 3. 有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是（　　） A. 平均数 B. 极差 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数，极差，中位数的计算即可比较求解，利用方差的性质即可求解C. 【详解】样本数据1，2，2，2，3，5的平均数为，极差为4，中位数为2， 去掉1和5后的数据的平均数为，极差为1，中位数为2，故平均数和极差都发生变化，中位数不改变， 由于去掉1和5后，数据的波动性更小，故相比较于原数据，方差变小，故ABC错误，D正确. 故选：D. 4. 已知向量、满足，，且与的夹角的余弦值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】由平面向量数量积的定义可得， 所以. 故选：C 5. 已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于轴的直线与的一个交点为，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】不妨设点为椭圆的右焦点，将代入椭圆方程，求出的值，即可得出的值. 【详解】在椭圆中，，，则. 不妨设点为椭圆的右焦点，则， 将代入椭圆的方程得，解得，故. 故选：B. 6. 气象台在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理结合物理学知识求解即可. 【详解】如图，由余弦定理，得 ， 于是， 解得或， 所以，台风从O到B用时小时，台风从O到C用时小时. 故，A点受到台风影响的时间是早上8:00后的5小时至10小时之间，即13:00-18:00. 故选：B. 7. 设函数在内有定义.对于给定的正数K，定义函数 取函数．若对任意的，恒有，则 A. K的最大值为2 B. K的最小值为2 C. K的最大值为1 D. K的最小值为1 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由题意，得，易知，当时，；当时，，所以在时，取得极大值，也是最大值．由的定义，知当时，恒成立，因此的最小值为1，故选D． 考点：函数极值、最值与导数的关系． 8. 已知正四面体，若平面内有一动点到平面、平面、平面的距离依次成等差数列，则点的轨迹是（ ） A. 一条线段 B. 一个点 C. 一段圆弧 D. 抛物线的一段 【答案】A 【解析】 【分析】推导出，进而可得出，设点到边、、的距离分别为、、，设等边的边长为，可得出以及，求出的值，即可得出结论. 【详解】设点到平面、平面、平面的距离依次为、、，如下图所示： 由题意可知，，则， 即，即， 所以，， 不妨设点到边、、的距离分别为、、， 设等边的边长为，则， 又因为，即， 所以，，① 由，可得，可得，② 联立①②可得， 所以，点的轨迹是一条与平行且与之间的距离为的线段. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于根据距离的关系推导出锥体体积的关系，进而转化为动点到各边距离之间的关系，求解即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得到部分分数，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在上为增函数 D. 把的图象向右平移个单位长度，得到一个偶函数的图象 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数图象求出函数解析式，然后利用三角函数的性质逐一判断即可. 【详解】由已知，， ∴，则， ∵图象过，∴， ∴，，又，∴， ∴， 显然，∴的图象关于点对称，A正确； 令，得，∴的对称轴为， 令，得，故B错误； 时，令，在上递增，因此C正确； 把的图象向右平移个单位长度，得函数表达式为，它是偶函数，D正确． 故选：ACD． 10. 已知抛物线：（）与圆：相交于，两点，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，动直线过点且与抛物线交于两点，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. 的周长可以为14 D. 当时， 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：利用抛物线的定义和焦点弦的长度公式可得，再根据点的坐标可得，列式可得的值，可判断A的真假；对B：设直线的方程为，，，结合韦达定理和焦半径公式，可用表示出，再结合基本不等式，可求其最小值，判断B的真假；结合抛物线定义，取抛物线上一点，可得，进而求出周长的最小值，可判断C的真假；根据两三角形的面积关系，结合韦达定理，可求弦的长，判断D的真假. 【详解】对于A，如图，    分别过作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，， 由于圆的直径过焦点，则到准线的距离为 ， 又，所以，解得，故A正确； 对于B，设直线的方程为，，， 又抛物线：，由，可得， 则，，， （当且仅当时等号成立），故B错误； 对于C，由，，所以，设的周长为， 如图：    过点向抛物线准线作垂线，垂足为， 则， 周长的最小值为，故C正确； 对于D，如图：      因为，所以， 又因为，则，解得或（舍）， 所以，即，故D错误. 故选：AC 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，且，则（ ） A. 是奇函数 B. 是增函数 C. 存在最小值 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：根据奇偶性的定义结合复合函数求导分析判断；对于B：构建，利用导数可得，进而分析判断；对于C：根据奇偶性求，的解析式，利用判断的最小值；对于D：构建，利用导数证明不等式. 【详解】对于选项A：因为函数及其的定义域均为，且是奇函数， 则，求导可得， 所以函数是偶函数，故A错误； 对于选项B：构造，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 构造，则， 所以是增函数，故B正确； 对于选项C：因为， 则，可得， 联立，解得， 构造，则， 因为在上单调递增，则在上单调递增，且， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以有最小值，即存在最小值，故C正确； 对于选项D：构造， 则，可知在内单调递增， 则，所以当时，，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列是等差数列，若，，则数列的公差______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式列方程组求解． 【详解】是等差数列，公差为， ， ，解得． 故答案为：2． 13. 已知、为锐角，且，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正切公式可求得的值. 【详解】由题意可得，，则，所以， 因为，则， 所以， 因此. 故答案为：. 14. 现有一盒子里装有序号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小、质地完全相同的小球，甲、乙、丙三人依次有放回地从盒子里各随机抽取一次（每个球被抽取的可能性相同），记录被抽取的球的序号分别为，，，则满足的情况有_______种. 【答案】54 【解析】 【分析】由题设条件有，设，则，还有一个数为，则，，讨论并结合排列数，即可求所有情况数. 【详解】由，可得， 所以. 不妨设，则，还有一个数为， 显然，，对于任意取值，都有如下情况， 当时，三个数为，，，对应，，，有种方法； 当时，三个数为，，，对应，，，有种方法； 当时，三个数为，，，对应，，，有种方法； 当时，三个数为，，，对应，，，有种方法. 所以一共有种. 故答案为：54 【点睛】关键点点睛：根据条件分析有，，另一个数为，且，为关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可得解； （2）利用面积公式求出，再由余弦定理求出，即可得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 即， 所以，又，所以， 则，又，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 由余弦定理，即， 即，所以， 所以（负值已舍去）， 所以的周长为. 16. 如图，在四棱雉中，平面为棱的中点，为棱上的动点． （1）证明：． （2）若二面角的余弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明，则，再利用线面垂直的性质证明，进而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）以点坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 取的中点，连接， 因，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以为等边三角形，则， 所以，所以，所以， 因为平面，平面， 所以， 又平面，， 所以平面， 又平面，所以； 【小问2详解】 如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， 由（1）知，， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，可取， 设， 则， 设平面的法向量为， 则有， 所以，令，则， 所以， 则， 化简得，解得或， 经检验，当时，二面角为钝二面角， 所以， 所以. 17. 某一场体育比赛由局比赛组成，若赢局则积分，先赢局的选手获得整场比赛的胜利.特别地，当时，即为一局定整场比赛的胜负.假设每局比赛之间的胜负相互独立，且没有平局. （1）已知甲、乙两人在过往局比赛的练习中，甲赢局，若以此频率估计甲每局获胜的概率，当时，求甲以的比分获得整场比赛胜利的概率. （2）若甲、乙两人每局比赛获胜的概率分别为和，，甲可以选择的值（其中），则对于甲而言，选择为哪个值更为有利？说明理由. （3）若甲、乙两人每局比赛获胜的概率均为，当时，设甲在没有进行第局时就能获得整场比赛胜利的概率为，求. 【答案】（1） （2）更有利，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知甲第四局赢，前三局赢两局，输一局，结合独立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）求出、时甲赢得比赛的概率，利用作差法比较大小后可得出结论； （3）分析可知，甲赢得比赛概率为，要求，只需在甲赢得比赛的所有情况中，除去甲进行第局时才赢得比赛，结合独立重复试验的概率公式可求得. 【小问1详解】 由题意可知，甲每局赢的概率为， 当时，记事件甲以的比分获得整场比赛胜利， 则甲第四局赢，前三局赢两局，输一局，故. 【小问2详解】 当时，设甲赢得比赛的概率为，当时，设甲赢得比赛的概率为， 当时，则， 当时，若甲赢，则甲以或赢得比赛， 则， 所以，则， 对于甲而言，更有利 【小问3详解】 当时，因为每局甲赢或乙赢的概率都为， 由对称性可知，甲赢得比赛的概率和乙赢得比赛的概率相等，都为， 所以若甲在没有进行第局时就能获得整场比赛胜利的概率为， 则只需在甲赢得比赛的所有情况中，除去甲进行第局时才赢得比赛， 若甲进行第局时才赢得比赛，则第局甲赢，前局比赛中，甲赢局， 故. 18. 已知椭圆焦点与两个顶点四点共圆，且长轴长与焦距之差为. （1）求椭圆的方程； （2）按下面方法进行操作：过点有两条互相垂直且不与坐标轴重合的直线与，直线交椭圆于、两点，直线交椭圆于、两点，令弦与的中点分别为与，直线与轴交于点，记的坐标为. （ⅰ）若为等比数列，证明：为等比数列； （ⅱ）若，证明：. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）可知得椭圆得焦点和短轴顶点共圆，可得，由长轴长与焦距之差可得，即可求得椭圆的方程； （2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及中点坐标公式可得与的坐标，再由与互相垂直及三点共线，可得，由为等比数列，即可证得为等比数列；（ii）由（i）的结论以及，可得通项公式，进而可得，令，推导出，利用放缩法结合等比数列的求和公式可证得结论. 【小问1详解】 易知焦点和长轴顶点共线，不共圆，故焦点和短轴顶点共圆，所以，① 由长轴长与焦距之差为得，即，② 由①②及解得， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）证明：易知直线与的斜率存在且不为0， 设直线的方程为， 则的斜率， 联立方程组， 整理得 则， 所以， 同理可知，， 又，所以， 因为三点共线，所以， 所以， 因为为等比数列，设其公比为，则通项公式为，所以， 故是首项为，公比为的等比数列. （ii）由（i）的结论以及可知，为首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 所以， 令，故， 即， 故当且时，， 所以 . 19. 已知函数（）函数为. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）已知有三个不同的极值点，，. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）若，且满足，证明：. 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导函数的几何意义，求出切点出的函数值和导函数值，进而求出切线方程； （2）（ⅰ）根据函数的极值点和导函数零点之间的关系，通过导函数证明函数单调性，判断函数有三个零点时的参数范围，求出结果； （ⅱ）根据函数极值的乘积，进一步缩小参数的范围，根据参数的范围，以及零点存在定理，判断出函数两个极值点的大致范围，进而证明不等式即可. 【小问1详解】 当时，，则， ，则， 所以在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意得，则， 则， 当有三个不同的极值点，，，等价于有三个不同的正根， 即，即，解得或， 令，则， 令，解得， 可知当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递减，则函数最大值为， 可知当或时，， 所以当时，由两个不同的正根， 所以实数的取值范围为； （ⅱ）由（ⅰ）可知，当时，有， 且，且有， 由得， 同理，由得； 此时， 同理可得，， 所以， 设函数， 则， 可知在上单调递增， 所以， 又因为，所以在恒成立， 即在上单调递增， 因为， 所以当时，， 因为，所以等价于， 可知为方程的两个根， 由函数在上单调递增，在上单调递减可知， 当时，取得最大值， 则，即， 令，则， 可知当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 因为，，； 可得，所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三综合测试（二） 数学试题 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，用黑色钢笔或签字笔将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，监考员将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，其中是虚数单位，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 2. 已知命题，命题，则（ ） A. 和均为真命题 B. 和均为真命题 C. 和均为真命题 D. 和均为真命题 3. 有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是（　　） A. 平均数 B. 极差 C. 方差 D. 中位数 4. 已知向量、满足，，且与的夹角的余弦值为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于轴的直线与的一个交点为，则（ ） A. B. C. D. 6. 气象台在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数在内有定义.对于给定正数K，定义函数 取函数．若对任意的，恒有，则 A. K的最大值为2 B. K的最小值为2 C. K的最大值为1 D. K的最小值为1 8. 已知正四面体，若平面内有一动点到平面、平面、平面的距离依次成等差数列，则点的轨迹是（ ） A. 一条线段 B. 一个点 C. 一段圆弧 D. 抛物线的一段 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得到部分分数，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在上为增函数 D. 把的图象向右平移个单位长度，得到一个偶函数的图象 10. 已知抛物线：（）与圆：相交于，两点，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，动直线过点且与抛物线交于两点，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. 周长可以为14 D. 当时， 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，且，则（ ） A. 是奇函数 B. 是增函数 C. 存在最小值 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列是等差数列，若，，则数列的公差______． 13. 已知、为锐角，且，，则______. 14. 现有一盒子里装有序号分别为1，2，3，4，5，6六个大小、质地完全相同的小球，甲、乙、丙三人依次有放回地从盒子里各随机抽取一次（每个球被抽取的可能性相同），记录被抽取的球的序号分别为，，，则满足的情况有_______种. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，的面积为，求的周长． 16. 如图，在四棱雉中，平面为棱的中点，为棱上的动点． （1）证明：． （2）若二面角的余弦值为，求的值． 17. 某一场体育比赛由局比赛组成，若赢局则积分，先赢局的选手获得整场比赛的胜利.特别地，当时，即为一局定整场比赛的胜负.假设每局比赛之间的胜负相互独立，且没有平局. （1）已知甲、乙两人在过往局比赛练习中，甲赢局，若以此频率估计甲每局获胜的概率，当时，求甲以的比分获得整场比赛胜利的概率. （2）若甲、乙两人每局比赛获胜的概率分别为和，，甲可以选择的值（其中），则对于甲而言，选择为哪个值更为有利？说明理由. （3）若甲、乙两人每局比赛获胜的概率均为，当时，设甲在没有进行第局时就能获得整场比赛胜利的概率为，求. 18. 已知椭圆焦点与两个顶点四点共圆，且长轴长与焦距之差为. （1）求椭圆的方程； （2）按下面方法进行操作：过点有两条互相垂直且不与坐标轴重合的直线与，直线交椭圆于、两点，直线交椭圆于、两点，令弦与的中点分别为与，直线与轴交于点，记的坐标为. （ⅰ）若为等比数列，证明：为等比数列； （ⅱ）若，证明：. 19. 已知函数（）函数为. （1）当时，求图象在处的切线方程； （2）已知有三个不同的极值点，，. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）若，且满足，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $