精品解析：河南省三门峡市陕州区2025-2026学年九年级上学期期中教情学情诊断数学试卷

2025－2026学年上学期期中教情学情诊断 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟．请用蓝黑水笔或圆珠笔直接答在试卷上． 2．答题前请将密封线内的项目填写清楚． 一、 选择题（每小题3分，共30分 ） 1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，它能给人以视觉上透空的感觉和艺术享受．下列剪纸图案中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，该选项不符题意； 、不是中心对称图形，该选项不符题意； 、是中心对称图形，该选项符合题意； 、不是中心对称图形，该选项不符题意； 故选：． 2. 将抛物线向右平移1个单位，得到抛物线表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答． 【详解】解：二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位， 得：y=2（x-1）2． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 3. 抛物线的顶点是（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将二次函数解析式化为顶点式求解． 【详解】解：， 抛物线顶点坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数解析式之间的转化，根据抛物线顶点式求解． 4. 方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，把方程整理成一般式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：方程整理成一般式为， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是， 故选：． 5. 下图的图案绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则该角度可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转对称图形的性质，等边三角形的性质等知识，连接，根据是等边三角形，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：是等边三角形， ∴， ∵它们都是旋转角，而它们的和为， ∴图案绕其中心旋转后能与自身重合， 故选：D． 6. 如图，是圆的直径，点，分别在直径所对的两个半圆上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，由圆周角定理可得，进而根据角的和差即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴， 故选：． 7. 已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示：则当时，的取值范围是 … … … A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由表格数据可得抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，进而根据二次函数的图象和性质解答即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】∵时，；时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵时，随的增大而减小， ∴抛物线开口向上， ∵， ∴当时，的值最小，最小值为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴和时，函数值相等， ∴， ∴的取值范围是， 故选：． 8. 如图，是等边三角形，，，分别是边，，上的点（不与顶点重合）．给出下列两个结论： ①存在无数个是等边三角形； ②存在无数个是等腰直角三角形． 关于这两个结论的说法，正确的是（ ） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①正确，②正确 D. ①错误，②错误 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的定义，由等边三角形的性质可得，，当可得，即得，即得到，得到是等边三角形，有无数，即可判断①；再根据等腰直角三角形的定义画出图形可判断②，综上即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图中， ∵是等边三角形， ∴，， 当时，可得， ∴， ∴， ∴是等边三角形，这样的三角形有无数个， 如图中，当，时，是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个，见图， ∴①正确，②正确， 故选：． 9. 山西省太原市金源区稻花城蔬菜大棚自实施以来，既提高了蔬菜的产能，又增加了村民的经济收入．如图，这是某蔬菜大棚的截面图（近似看成二次函数的图象——抛物线），其中大棚的一边靠墙，此时大棚跨径，顶端到墙体的距离为，顶端到的距离为，则大棚与墙的交点到原点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式是解题关键．设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出时，的值，由此即可得． 【详解】解：由题意，设抛物线的解析式为，点的坐标为， 将代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为， 将代入得：，即， 则， 故选：D． 10. 如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第行有个点…，前行的点数和不能是以下哪个结果 （ ） A. 741 B. 600 C. 465 D. 300 【答案】B 【解析】 【分析】由于第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…，则前五行共有（1＋2＋3＋4＋5）个点，前10行共有（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）个点，前n行共有1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝n（n＋1）个点，然后根据选项分别求出n的数值，即可作出判断． 【详解】解：通过观察图形可知： 第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点， 则前5行共有（1＋2＋3＋4＋5）个点， 前10行共有（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）个点， 前n行共有1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝n（n＋1）个点， 其中n为正整数， ∴当n（n＋1）=741时，解得：（舍），， 当n（n＋1）=600时，解得： （舍）， 当n（n＋1）=465时，解得：（舍），， 当n（n＋1）=300时，解得：（舍），， 故选：B． 【点睛】本题考查了图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若点与点关于原点对称，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的对称性，点关于原点对称的点的坐标特征是：横、纵坐标均互为相反数，熟记关于原点对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：若点与点关于原点对称，则点的坐标为， 故答案为：． 12. 关于的一元二次方程：的一个解是0，则a的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】把代入原方程，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是0， ∴且， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键． 13. 如图，，是圆的切线，切点分别为，，连接，．如果，那么的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质，等腰三角形的性质，由切线长定理可得，即得，进而根据切线的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，是圆的切线，切点分别为，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道题，（如图）题目是：“今有立木，系所其末，委地三尺．去本八尺而索尽．问索长几何？”题意是：今有一竖立的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面部分还有3尺．牵着绳索退行，在木柱根部八尺处时，绳索用完，问绳索长是多少？如果设绳索长为尺，根据题意列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用．设绳索长为x尺，根据勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设绳索长为x尺，则木柱长为尺， 根据勾股定理可列方程：， 故答案为：． 15. 实验中学某物理兴趣小组的同学们设计了一个饮水机模型，其电路连接示意图如图甲所示，经过对工作电路进行研究：将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，保持固定电阻不变，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象（如图乙）．该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为______W． 【答案】220 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求出函数解析式，进而利用二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】解：∵该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，过和点 ∴抛物线的对称轴为， 设抛物线的解析式为， ∴ 解得 ∴ ∵， ∴抛物线有最大值为220， 即变阻器R消耗的电功率P最大为， 故答案为：220 三、解答题（本大题8个小题，共75分） 16. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，注意解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． （1）利用配方法即可解答； （2）利用因式分解法即可解答． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 配方，得， ， 开方，得， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， 解得：，． 17. 已知实数是的根，求的值． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，一元二次方程的解，由实数是的根，得到，再将整式化简后即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵实数是的根， ∴，即， ∴ ． 18. 如图，中式古典园林中的月亮门的大部分可以看作是以点O为圆心的圆的一部分，其中地面入口宽为1.8米，高为0.2米，月亮门的最高处到地面的距离为2.9米，求月亮门所在圆O的半径为多少米？ 【答案】圆O的半径为米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理，连接，设圆O的半径为米，则米，由垂径定理可得米，求出米，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， ， 设圆O的半径为米，则米， ∵，为1.8米， ∴米， ∵高为0.2米，月亮门的最高处到地面的距离为2.9米， ∴米， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴圆O的半径为米． 19. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A，B，C，D均为格点（即每个小正方形的顶点），线段关于直线对称的线段为． （1）线段绕点B顺时针旋转90°得到线段，在图1中画出线段、； （2）线段绕点B顺时针旋转α（）得到线段，若D，B，F三点共线，则与的关系为 （用等式表示）． 【答案】（1） 如图1中，线段BE，BF即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查利用网格作图——旋转变换，轴对称的性质； （1）与是关于对称的，根据轴对称的性质，利用网格找到A点正上方两格处的E点，连接即为所求，是由绕点B顺时针旋转90°得到，找到B点下两格右四格的F点，连接即为所求； （2）由图2中网格可得，，所以. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图2中网格可得：，， ∴. 故答案为：． 20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0）． （1）在图中利用直尺画出△ABC的外接圆的圆心点D，圆心D的坐标为 　 　； （2）求△ABC外接圆的面积； （3）若点E的坐标（6，0），点E在△ABC外接圆 　 　（填“圆内”“圆上“或“圆外”） 【答案】（1） D的坐标为（5,5）； （2）； （3）圆内 【解析】 【分析】（1）作线段AB及线段BC的垂直平分线，交点即为圆心D； （2）连接AD，利用勾股定理求出AD，再根据面积公式计算即可； （3）利用勾股定理求出DE的长，由此判断即可． 【详解】解：（1）如图，△ABC的外接圆的圆心D的坐标为（5,5）； 故答案为：（5,5）； （2）连接AD， ∵AF=2，DF=5，， ∴， ∴△ABC外接圆的面积为； （3）如图：作DG⊥x轴于G， ∵D的坐标为（5,5）， ∴DG=5，OG=5， ∵点E的坐标（6，0）， ∴OE=6， ∴GE=1， ∴， ∴点E在△ABC的外接圆的圆内． 【点睛】此题考查三角形外接圆的圆心的确定，勾股定理，点与圆的位置关系，正确确定三角形外接圆的圆心是解题的关键． 21. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元/件的小商品进行直播销售，如果按每件50元销售，那么可卖出200件．通过市场调查发现，售价每增加1元，销售量减少10件．为了尽快减少库存，并且商店可盈利2160元．问：该商店销售这种商品每件售价多少元？ 【答案】52元 【解析】 【分析】设该商店销售这种商品每件售价元，根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设该商店销售这种商品每件售价元， 根据题意，得： 解得：， 因为要尽快减少库存，所以 答：该商店销售这种商品每件售价52元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 22. 如图，为圆O的直径，点F 在圆O上，，点P 在的延长线上，与圆O相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 与半圆相切于点， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，勾股定理等知识，灵活运用以上知识是解题的关键． （1）由切线的性质得，再证，，进而可得，即可证明结论； （2）设，则可求，，，，在中，利用勾股定理得出，求出x的值，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得，（舍去） ∴． 23. 如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图，取水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立如图2平面直角坐标系． 运动员从点滑出，运动轨迹近似抛物线，该运动员飞行的水平距离（与相距的距离）为时，恰好达到最大高度，运动员着陆在线段上，在着陆坡上设置点K（与相距） 作为标准点，着陆点在K点或在K点右侧视为成绩达标． （1）求抛物线的解析式； （2）判断该运动员的成绩是否达标，并说明理由； （3）直接写出该运动员飞行过程中离着陆坡CE的竖直距离的最大值 米． 【答案】（1） （2） 该运动员的成绩没有达标，理由如下： 设直线的表达式为，把代入得到， , 解得，， ∴直线的表达式为， 联立得到， 解得（不合题意，舍去） ∴点E的坐标为， 即着陆点与相距， ∵， ∴该运动员的成绩没有达标； （3） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的实际应用， （1）由题意可得抛物线的顶点坐标为，且经过点，利用待定系数法即可求出答案； （2）求出直线的表达式为，与二次函数解析式联立求出点E的坐标为，即可得到结论； （3）设该运动员飞行过程中离着陆坡的竖直距离为，则，根据二次函数的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得抛物线的顶点坐标为，且经过点， 设抛物线解析式为， 把代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设该运动员飞行过程中离着陆坡的竖直距离为， 则 ∴当时，有最大值为， 即该运动员飞行过程中离着陆坡CE的竖直距离的最大值， 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $