精品解析：河南省信阳市淮滨县新时代学校2025-2026学年高三上学期11月月考数学试题

2025-2026学年度高三上学期11月份月考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则（ ） A. B. C. D. 4. 若函数且在上为减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知为等腰直角三角形，为直角，直角边长为，点在三角形所在平面上，向量为单位向量，点满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，1752年，两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离，利用几乎位于同一经线上，且纬度差约为的柏林（点）与好望角（点）为基点，测量出，的大小.设地球半径为，则地球表面与月球表面的最小距离约为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量满足，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设点是单位圆内接正六边形边上的动点，记，则（ ） A. 集合的子集个数为个 B. 集合中元素的模的最大值为4 C. 集合中任意两个元素的数量积全都相加，它们的和为 D. 的取值范围为 10. 如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ） A. B. C. D. 11. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的图象向左平移个单位长度后得到函数 C. 的图象关于直线对称 D. 若方程在上有且只有6个根，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则___________． 13. 已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围为_________. 14. 已知在△ABC中，，，，点D在边BC上（不含端点），设，则的最小值为__________. 四、解答题：本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 第二届全国城市生活垃圾分类宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.某中学高三年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求，的值； （2）若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ 16. 已知函数（）的最小正周期为. （1）求的解析式； （2）将曲线向右平移个单位长度后，再将曲线上各点的横坐标变为原来的2倍，得到曲线.若关于x的方程在区间上有解，求m的取值范围. 17. 如图，在三棱锥中，平面为棱的中点，，. （1）求二面角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积； （3）若锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 19. 如图1，在梯形中，，为的中点，，，将沿折叠，得到图2所示的四棱锥，且． （1）若为的中点，证明：平面； （2）求平面与平面所成角的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高三上学期11月份月考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，集合，， 所以. 故选：C 2. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，即可求出的大致范围，再由的范围求出的范围，再确定左端点的范围，从而得到，解得即可. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以，即，又，所以，解得， 由，则， 又，所以，所以，解得， 即的取值范围是. 故选：A 3. 《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设大正方形的边长为，则小正方形的边长为，根据已知可得，由同角三角函数关系化简得，结合角的范围求. 【详解】设大正方形的边长为，则小正方形的边长为， 依题意可得，故， 即， 解得或. 因为，则，故. 故选：B 4. 若函数且在上为减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】要使函数在上为减函数，须满足分段函数在各段上单调递减，结合端点处需要满足的条件，列出不等式组，求解即可. 【详解】当时，单调递减须满足，解得， 当时，单调递减须满足， 且； 所以要使函数在上为减函数，须满足 ，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：C 5. 已知为等腰直角三角形，为直角，直角边长为，点在三角形所在平面上，向量为单位向量，点满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，可得，利用平面向量数量积的坐标运算以及正弦函数的有界性可求得的最小值. 【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点、、， 因为为单位向量，所以点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆， 因为，则点为线段的中点， 设点，则点， 所以，， 故，故当时，取最小值. 故选：B. 6. 如图，1752年，两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离，利用几乎位于同一经线上，且纬度差约为的柏林（点）与好望角（点）为基点，测量出，的大小.设地球半径为，则地球表面与月球表面的最小距离约为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理，求出，，设，根据正弦定理求出，根据求出，再减去地球半径即可. 【详解】设地球球心为，月球表面上的点为， 因为柏林与好望角纬度差约为，可以将其看作进行计算， 则， 由地球半径为，则， 在中，由正弦定理，， 解得，， 设， 在中，由正弦定理，， 解得， 在中，由正弦定理，， 解得， 因为， 则， 故， 因此， 而地球表面与月球表面的最小距离为减去地球半径， 故答案为. 故选：A. 7. 已知向量满足，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出，再根据数量积的运算律求出，即可求出、，最后由夹角公式计算可得. 【详解】因为，所以， 又， 所以， 所以， ， 所以， 又，所以， 即与的夹角为. 故选：B 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则和模长公式求解. 【详解】，，， 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设点是单位圆内接正六边形边上的动点，记，则（ ） A. 集合的子集个数为个 B. 集合中元素的模的最大值为4 C. 集合中任意两个元素的数量积全都相加，它们的和为 D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先得出集合的元素个数，再判断子集个数，判断A；列举可判断B；由对称性可判断C；由展开可得，先求出的范围，即可求的范围，判断D. 【详解】由对称性，可得，其中， 当时，；当时，； 当时，； 所以不同的有序数对有：， 共19种； 则集合共有19个元素，其子集个数为个，故A错误； B选项，，列举可得，故B正确； C选项，由对称性，对于任意非零向量，存在，则， 由A可得集合中任意两个元素的数量积全都相加，结果仅为相反向量的数量积的和， 即有序数对为，对应的向量及其相反向量的数量积的和， 和为，故C正确； D选项，， 当在正六边形边的中点时，， 当在正六边形边的顶点时，， 则，则，故D正确； 故选：BCD. 10. 如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】设，则.根据棱锥的体积公式分别计算出，将题中多面体补成正方体，可求得，然后依次判断各选项即可. 【详解】因为平面，，所以平面. 设，则. 所以，. 把多面体补成如图正方体： 则. ，. 所以. 所以，，，. 故选：CD. 11. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的图象向左平移个单位长度后得到函数 C. 的图象关于直线对称 D. 若方程在上有且只有6个根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据函数图象求出函数的解析式，再结合三角函数的性质对选项逐一分析即可. 【详解】由图象可知，函数的最大值为，即，，，又，，， 又图象过点，，，解得， 而的最小正周期需要满足，即，解得，，，正确， 函数的图象向左平移个单位长度后，得到新函数，错误， ，的图象关于直线对称，正确， ， 若方程在上有且只有6个根，则，正确. 故选：. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求，再利用二倍角公式，进而求解即得. 【详解】由题意有：， 所以 ， 故答案为：. 13. 已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】据题意对实数进行讨论，分，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解． 【详解】当时，函数，对称轴为， 因此函数在单调递增，函数图象如下： 令，则由，结合图象可得或， 即或， 由图可知有2个解，有1个解， 此时函数有3个零点，不符合题意； 当，时，函数，对称轴为， 所以在单调递减，在单调递增，函数图象如下： 令函数，则由，结合图象可得或或， 即或或， 由图可知，有2个解，有3个解， 又有6个零点，则需使有1个解， 即需使，解得； 综上，实数的取值范围为. 故答案为：． 14. 已知在△ABC中，，，，点D在边BC上（不含端点），设，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理求得，利用正弦定理求得，再利用正弦定理以及三角恒等变换等知识求得的最小值. 【详解】由余弦定理：，又，所以. 由正弦定理得：，， 设，，， 在△BAD和△CAD中分别使用正弦定理得 ,， 两式相乘得，则, 所以. 注意到， 且，所以，当且仅当， 即AD平分时，等号成立.所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 第二届全国城市生活垃圾分类宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.某中学高三年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求，的值； （2）若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ 【答案】（1）， （2）78分 【解析】 【分析】（1）根据频率的性质即可求解， （2）求解80%分位数即可得解. 【小问1详解】 由第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，即，则； 又，解得； 【小问2详解】 由于成绩在内的频率为，在内的频率为， 故80%分位数位于，设为m，则，解得； 故学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为78分. 16. 已知函数（）的最小正周期为. （1）求的解析式； （2）将曲线向右平移个单位长度后，再将曲线上各点的横坐标变为原来的2倍，得到曲线.若关于x的方程在区间上有解，求m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角的正弦、余弦公式，结合辅助角公式，可得，利用周期公式，求得，代入即可得答案, （2）根据平移、伸缩变换的原则，可得的解析式，参变分离可得在区间上有解，设，根据函数的单调性，分析求解，即可得答案. 【小问1详解】 ， 因为函数的最小正周期为，所以，即， 所以； 【小问2详解】 将曲线向右平移个单位长度后得到 ， 再将曲线上各点的横坐标变为原来的2倍，得到，即. 问题转化为关于x的方程在区间上有解， 参变分离得：在区间上有解. 设，则， 由于在上单调递减， 所以， 此时对于中的每个m，都存在，使得， 所以m的取值范围为. 17. 如图，在三棱锥中，平面为棱的中点，，. （1）求二面角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，即可得到、，则为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得； （2）设点到平面的距离为，利用等体积法求出，设直线与平面所成角为，则，即可得解. 【小问1详解】 取中点，连接， ，因为，为 中点， 所以. 因为平面平面，所以， . 在中，， 在中，， 从而，又 为中点， 所以. 故为二面角的平面角， 因为平面 平面，所以， 又，所以， 从而， 所以二面角的余弦值为. 【小问2详解】 设点到平面的距离为. 因为平面，所以平面. 又平面，所以. 所以. 由，得，即，故， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积； （3）若锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及两角和差的正弦公式化简； （2）利用余弦定理以及求出，再利用面积公式； （3）利用正弦定理将目标化为，根据锐角三角形求出，结合对勾函数求取值范围即可. 【小问1详解】 由及正弦定理得：， 即 ， 又，则，， 又，故； 【小问2详解】 由余弦定理，又，，得， 所以， 又，得， 故的面积； 【小问3详解】 因外接圆直径为，则由正弦定理可知， 故，， 因为是锐角三角形， 所以，得， 所以， 令，， 由对勾函数的性质可知，在上单调递减；在上单调递增； 当时，；当时，；当时，； 因为，所以， 故的取值范围为. 19. 如图1，在梯形中，，为的中点，，，将沿折叠，得到图2所示的四棱锥，且． （1）若为的中点，证明：平面； （2）求平面与平面所成角的大小． 【答案】（1） 为的中点，， 所以， 将沿折叠后，得到四棱锥， 所以，又为的中点，所以， 又即，， 且，平面，所以平面， 又平面，所以， 又即，所以， 由且，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证出平面，再由可得，结合，利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）根据题意得出所在直线两两互相垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出相应的点坐标，求出平面与平面的法向量，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以， 将沿折叠后，有 由题意知：， 所以所在直线两两互相垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意， 所以， 设平面的一个法向量为， 由，令，则，所以， ， 设平面的一个法向量为， 由，令，则，所以， 设平面与平面所成角为， 所以， 又，所以，所以平面与平面所成角的大小为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $