精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市依安县第三中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度上学期期中测试 九年级数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请将正确答案的代号填在括号内． 1. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线y＝（x－2）2﹣5的顶点坐标是（ ） A. (－2，－5) B. (2，－5) C. (－2，5) D. (2，5) 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 某超市一月的营业额是72万元，三月份的营业额为96万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为( ) A. 72(1－x)2＝96 B. 72(1＋x)2＝96 C. 96(1－x)2＝72 D. 96(1＋x)2＝72 5. 如图，一次函数和同一直角坐标系内的图象是（ ） A. （A） B. （B） C. （C） D. （D） 6. 已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（ ） A. 无法确定 B. 相切 C. 相交 D. 相离 7. 如图，内接于，是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 9. 函数的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 且 10. 已知二次函数的图象如图所示，现有下列结论：① ② ③ ④ ⑤（m为任意实数），则其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共7小题，每小题3分，共21分）． 11. 若关于的一元二次方程的常数项是0，则的值是________． 12. 已知关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是________． 13. 已知一元二次方程的两根分别为，则的值为_________． 14. 已知点A（4，y1），B（，y2），C（-2，y3）都在二次函数y=（x-2）2-1的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是_________. 15. 在半径为13cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为24cm，另一条弦长为10cm，则这两条弦之间的距离为_____cm． 16. 已知内接于，，的度数是________． 17. 如图点，，在抛物线上，点，，在轴上，，，该都为等腰直角三角形，点是坐标原点，则的腰长为________． 三、解答题（共7小题，共69分） 18. 解下列方程： （1）； （2）． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）请画出绕点顺时针旋转后的，并写出点的坐标． （3）请画出关于原点对称的，并写出点的坐标． 20. 如图，是的直径，为的一条弦（不为直径），点是与的交点，，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）求的半径． 21. 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件 （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 22. 如图，在等腰中，，点D是上一点，以为直径的过点A，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 23. 综合与实践 旋转是初中学习的一种全等变换，通过旋转可以将已知条件中“分散”的条件相对地“集中”在一起，构成新的联系，从而解决问题．同时，旋转时图形中出现“有公共端点的线段相等”的条件，所以在等腰（或等边）三角形、正方形中常进行旋转变换． （1）正方形中的“旋转”：如图①，点、点分别是正方形的边、上的点，连接、，若，则之间的数量关系为_____． 问题解决：将绕点顺时针旋转，得到，可证明_____，从而得出结论．请你完成之间的数量关系的证明． （2）如图②，为正方形内一点，且，，，请你确定的度数：_____．小杰同学的思路是：设法将、、相对集中，于是将绕点顺时针旋转得到，连接，确定与的形状分别为：_____，问题得以解决． （3）等边三角形中的“旋转”：请你参考小杰同学的思路，解决下面问题： 如图③，点是等边三角形内一点，若，请你直接写出：以线段、、的长度为边长的三角形的各内角的度数分别为_____． 24. 综合与探究 如图，抛物线与轴交于点，与某一次函数的图象交点为，，连接,． （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）点是抛物线与轴的另一个交点，在对称轴上找一点，使的值最小，点的坐标为________； （3）点是轴上的动点，连接，当时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期中测试 九年级数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请将正确答案的代号填在括号内． 1. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 抛物线y＝（x－2）2﹣5的顶点坐标是（ ） A. (－2，－5) B. (2，－5) C. (－2，5) D. (2，5) 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式即可求解． 【详解】抛物线y＝（x－2）2﹣5的顶点坐标为(2，－5) 故选B． 【点睛】此题主要考查二次函数的顶点，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点． 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解决本题的关键是熟记二次函数对称轴公式． 根据二次函数对称轴公式计算即可． 【详解】解：∵ 抛物线中，，， ∴ 对称轴， 故对称轴为直线． 故选：C． 4. 某超市一月的营业额是72万元，三月份的营业额为96万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为( ) A. 72(1－x)2＝96 B. 72(1＋x)2＝96 C. 96(1－x)2＝72 D. 96(1＋x)2＝72 【答案】B 【解析】 【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设教育经费的年平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程． 【详解】解：依题意得三月份的营业额为72（1+x）2， ∴72（1+x）2=96． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解题关键． 5. 如图，一次函数和同一直角坐标系内的图象是（ ） A. （A） B. （B） C. （C） D. （D） 【答案】C 【解析】 【详解】A.由抛物线知，a＞0，b＞0；由直线知a＜0，b＞0，a的值矛盾，故本选项错误； B.由抛物线知，a＞0，b＜0；由直线知a＞0，b＞0，b的值矛盾，故本选项错误； C.由抛物线知，a＞0，b＜0；由直线知a＞0，b＜0，两结论一致，故本选项正确； D.由抛物线知，a＜0，b＞0；由直线知a＞0，b＜0，a、b的值矛盾，故本选项错误. 故选：C. 6. 已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（ ） A. 无法确定 B. 相切 C. 相交 D. 相离 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是直线和圆的位置关系，解题关键是熟练掌握判断直线和圆的位置关系的方法． 按照判断直线和圆的位置关系的方法进行判断即可． 【详解】解：的半径为，圆心到直线的距离为， 且， 直线与的位置关系是相交． 故选：． 7. 如图，内接于，是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理的性质，直径所对的圆周角为，解决本题的关键是利用同弧所对的圆周角相等这一性质来求解． 构造辅助线，利用直径所对的圆周角为，可求解，再根据同弧所对的圆周角相等这一性质即可求解． 【详解】解：连接，如图， 因为是的直径， 所以． 在中，，， 所以． 因为和都是弧所对的圆周角， 所以． 故选：A． 8. 抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像的平移，掌握平移规则是解题关键． 先将原抛物线化为顶点形式，再根据“左加右减，上加下减”的平移规则进行变换即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 原抛物线顶点形式为． 向左平移2个单位： ， 再向上平移1个单位： ． ∴所得抛物线为， 故选B 9. 函数的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与x轴的交点问题，二次函数与x轴的交点问题，当时，原函数为一次函数，此时与x轴有交点，符合题意；当时，原函数为二次函数，则可利用判别式求出k的取值范围，据此可得答案． 【详解】解：当时，原函数解析式为，在中，当时，，即此时原函数与x轴交于点，符合题意； 当时，原函数为二次函数，则， ∴且； 综上所述，； 故选：C． 10. 已知二次函数的图象如图所示，现有下列结论：① ② ③ ④ ⑤（m为任意实数），则其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据抛物线开口方向得，再根据对称轴得，根据抛物线与轴的交点在轴下方得，于是，所以可对①进行判断；根据抛物线与轴有两个交点可对②进行判断；根据抛物线的对称轴为直线，则可判断③；当，代入由图象知：，代入，可对④进行判断；当时，函数取最小值，则对任意实数m，，即可判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴上方， ， ，故①错误； 抛物线与轴有两个交点， ，故②正确； 对称轴为直线， ， ∴，故③错误 当，代入由图象知： ， ， ， ， 故④正确； 当时，函数有最小值， ， 即，故⑤错误． 综上所述，②④正确． 故选：B． 二、填空题（共7小题，每小题3分，共21分）． 11. 若关于的一元二次方程的常数项是0，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解决本题的关键是注意一元二次方程的二次项系数不等于零． 由一元二次方程常数项为0，得，并结合二次项系数不为0，排除，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的常数项是， 由题意，常数项为0， ∴ 解得或． 又∵该方程为一元二次方程， ∴二次项系数，即， ∴． 故答案为：． 12. 已知关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况得，然后解不等式即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围是， 故答案为：． 13. 已知一元二次方程的两根分别为，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】一元二次方程的两根分别为，可得 再把要求值的代数式通分，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为， ∴ ∴ 故答案为：-2 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，求解代数式的值，掌握“利用根与系数的关系构建整体代入求值”是解本题的关键． 14. 已知点A（4，y1），B（，y2），C（-2，y3）都在二次函数y=（x-2）2-1的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是_________. 【答案】. 【解析】 【详解】解：将A,B,C三点坐标分别代入解析式，得： ， 故答案为： 15. 在半径为13cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为24cm，另一条弦长为10cm，则这两条弦之间的距离为_____cm． 【答案】7或17 【解析】 【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图， ∵AB=24cm，CD=10cm， ∴AE=12cm，CF=5cm， ∵OA=OC=13cm， ∴EO=5cm，OF=12cm， ∴EF=OF-OE=7cm； ②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图， ∵AB=24cm，CD=10cm， ∴AF=12cm，CE=5cm， ∵OA=OC=13cm， ∴EO=12cm，OF=5cm， ∴EF=OF+OE=17cm． 故答案为：7或17． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算． 16. 已知内接于，，的度数是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形，圆内接四边形，掌握相关知识是解决问题的关键．先根据等腰三角形性质求出圆心角，再利用圆周角等于所对圆心角的一半求． 【详解】解：如图，当点A在优弧上时， ， 为等腰三角形， ∴， ∴ ， ； 如图，当点A在劣弧上时， 在优弧上取点，连接， ， 为等腰三角形， ∴， ∴ ， ， 故答案为：或． 17. 如图点，，在抛物线上，点，，在轴上，，，该都为等腰直角三角形，点是坐标原点，则的腰长为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了在函数图象中利用点的坐标与图形的关系求线段的长度，涉及到了二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，勾股定理，抛物线的解析式的运用等多个知识点．利用等腰直角三角形的性质及点的坐标的关系求出第一个等腰直角三角形的腰长，用类似的方法求出第二个，第三个…的腰长，观察其规律，最后得出结果． 【详解】解：作轴，轴，垂足分别为C、E． ∵、都是等腰直角三角形， ∴，． 设，则，将其代入解析式得： ， 解得：（不符合题意）或， 由勾股定理得：， 即的腰长为， ∴， 过作，设点， 可得，， 又点在抛物线上，所以， ， 解得，（不合题意舍去）， ∴， 即的腰长为， 同理可得： ，   … ∴， ∴的腰长为． 故答案为：． 三、解答题（共7小题，共69分） 18. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据公式法求解即可； （2）移项后根据因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：  ，，    解得 【小问2详解】 解：   或 解得 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）请画出绕点顺时针旋转后的，并写出点的坐标． （3）请画出关于原点对称的，并写出点的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求；由图可知：； （2）如图，即为所求；由图可知：； （3） 如图，即为所求；由图可知：； 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换，轴对称，旋转和中心对称，熟练掌握相关知识点，正确的画图是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出，进而写出点的坐标即可； （2）根据旋转的性质，画出，进而写出点的坐标即可； （3）根据关于原点对称的点的特征，描点，连线画出，进而写出点的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 如图，是的直径，为的一条弦（不为直径），点是与的交点，，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）求的半径． 【答案】（1） ，理由如下： 如图所示，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）10 【解析】 【分析】此题考查了等弧所对的圆心角相等，垂径定理，勾股定理，等边对等角等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）如图所示，连接，，得到，，然后证明出即可得到； （2）首先根据垂径定理得到，设的半径为，则，在中利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，是的直径， ∴， 设的半径为，则， ∴在中，， ∴， ∴， ∴的半径为10． 21. 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件 （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为35元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是2250元 【解析】 【分析】（1）根据销售单价为x元，则上涨元，每件的盈利元，每天可售出件，根据题意，得，解得即可． （2）根据，构造二次函数，根据抛物线的最值，即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，最大利润问题，数形结合思想，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，销售单价为x元，则上涨元，每件的盈利元，每天可售出件， 根据题意，得． 故． 【小问2详解】 由（1）可得 ． ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，w取得最大值，最大值为． 答：当销售单价定为35元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是2250元． 22. 如图，在等腰中，，点D是上一点，以为直径的过点A，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 【答案】 （1）证明：如图：连接OA ∵OA=OB ∴∠OBA=∠OAB ∵AB=AC ∴∠OBA=∠C ∴∠OAB=∠C ∵ ∴∠OAB=∠CAD ∵BD是直径 ∴∠BAD=90° ∵∠OAC=∠BAD-∠OAB+∠CAD=90° ∴是的切线； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接OA，由圆的性质可得OA=OB，即∠OBA=∠OAB；再由AB=AC，即∠OBA=∠C，再结合，可得∠OAB=∠CAD,然后由∠BAD=90°说明∠OAC=90°即可完成证明； （2）根据等腰三角形的性质和圆的性质即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知AC是⊙O的切线， ∴∠OAC=90°，∠AOD=2∠B， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠AOC+∠C=2∠B+∠C=3∠C=90°， ∴∠B=∠C=30°， 在Rt△ABD中， ∴ ∴⊙O的半径为 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，证得∠OAC=90°是解答本题的关键． 23. 综合与实践 旋转是初中学习的一种全等变换，通过旋转可以将已知条件中“分散”的条件相对地“集中”在一起，构成新的联系，从而解决问题．同时，旋转时图形中出现“有公共端点的线段相等”的条件，所以在等腰（或等边）三角形、正方形中常进行旋转变换． （1）正方形中的“旋转”：如图①，点、点分别是正方形的边、上的点，连接、，若，则之间的数量关系为_____． 问题解决：将绕点顺时针旋转，得到，可证明_____，从而得出结论．请你完成之间的数量关系的证明． （2）如图②，为正方形内一点，且，，，请你确定的度数：_____．小杰同学的思路是：设法将、、相对集中，于是将绕点顺时针旋转得到，连接，确定与的形状分别为：_____，问题得以解决． （3）等边三角形中的“旋转”：请你参考小杰同学的思路，解决下面问题： 如图③，点是等边三角形内一点，若，请你直接写出：以线段、、的长度为边长的三角形的各内角的度数分别为_____． 【答案】（1），， 理由如下 证明：在正方形中，， 绕点A顺时针旋转，得到， ∴， ∴， ∴点G、点B、点F三点共线； ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴ ∴， 即 故答案为： （2），等腰直角三角形、直角三角形 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握相关知识点，利用类比的思想解答是解题的关键． （1）将绕点顺时针旋转，得到，通过证明，从而得出结论． （2）将绕点顺时针旋转得到，连接，证明为等腰直角三角形，为直角三角形即可解决问题． （3）将绕点C顺时针旋转得到，连接，证明为等边三角形，再利用角的等量关系，和差关系及三角形的内角和为即可求出各个角的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 将绕点顺时针旋转得到，连接， 为等腰直角三角形，， ，， 有：， 为直角三角形，． ． 故答案为：，等腰直角三角形、直角三角形， 【小问3详解】 将绕点C顺时针旋转得到，连接， ， 为等边三角形，， 以线段、、的长度为边长的三角形为 ， ， 又， ， ， 故答案为： 24. 综合与探究 如图，抛物线与轴交于点，与某一次函数的图象交点为，，连接,． （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）点是抛物线与轴的另一个交点，在对称轴上找一点，使的值最小，点的坐标为________； （3）点是轴上的动点，连接，当时，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴交点，二次函数与面积综合，对称的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识，灵活利用数形结合思想解决问题． （1）结合题意利用待定系数法求解，即可得到抛物线的解析式，进而当时，求出函数值，即可得到点D的坐标； （2）根据题意得出，连接交对称轴于点P即为所求，再由待定系数法确定直线所在直线的函数解析式为，即可确定点P的坐标； （3）根据题意得出，设，根据题意列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线与某一次函数的图象交点为，， ， 解得， ， 当时，， ； 【小问2详解】 解：由（1）得， 令， ∴， 解得：， ∴， 连接交对称轴于点P即为所求， ∵D、C关于抛物线对称轴对称， ∴， ∴，此时最小， 设直线所在直线的函数解析式为， ∴， 解得：， ∴直线所在直线的函数解析式为， 根据题意得：抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：，， ， ， 设， ， ， 解得， ， 点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $