精品解析：江苏省宿迁市泗阳县2025-2026学年九年级上学期期中学业水平监测数学试题

2025~2026学年第一学期九年级期中学业水平监测 数学 分值：150分时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 一元二次方程的两根分别为和，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解一元二次方程的过程中，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，OA是的半径，AB是的弦，于点C，若，则OC的长为（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 若正多边形每个内角，则这个正多边形边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 如图，在中，，以O为圆心，长为半径作，分别交于C、D．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 关于的方程有两个互不相等的实数根，且满足，则所有可能的整数的和是（ ） A. 3 B. 7 C. 12 D. 18 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 关于的一元二次方程的一个根为，则______． 12. 直角三角形的两直角边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于__________． 13. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是_____． 14. 如图，正八边形ABCDEFGH中，∠GBF=_______________度． 15. 两个连续偶数乘积为168，设较小的偶数为，可得方程为___________． 16. 如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，拉动绳子使滑轮旋转了，则此时重物上升了__________．（结果保留） 17. 定义新运算：，例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是___________． 18. 如图，是半圆的直径，在半圆上，将沿弦翻折，翻折后的弧恰好与相切于点为的中点，若的面积为，则___________ 三、解答题（共10小题，共96分．解答时应写出必要的步骤、过程或文字说明） 19. 解下列一元二次方程 （1） （2） 20. 如图，是的直径，弦与相交于点E，，，求的度数． 21. 已知，，取什么值时，与相等？ 22. 如图所示，是的直径，是的弦，的平分线交于点．若，，求的长． 23. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点、、、在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系，画出过、、三点的圆，圆心为点． （1）两点的坐标分别为（___________）（___________）； （2）圆心的坐标为（___________）； （3）求出圆的半径． 24. 某商店9月份的利润是2500元，要使11月的利润达到3600元，平均每月增长的百分率是多少？ 25. 如图，是的内接三角形，是的直径，，点在的延长线上，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径等于2，求线段的长度． 26. 如图，是的弦，，点在上运动，且． （1）求的半径； （2）设点到直线的距离为，图中阴影部分的面积为，求与之间的函数关系，并写出自变量的取值范围． 27. 数学活动：矩形绿地中的花圃设计 活动背景：学校准备在一块矩形绿地（记矩形，，）内建造一个花圃，有如下两种方案设计． 方案一：如图1，已知绿地的长米，宽米，在绿地中间开辟一个矩形花圃，使四周绿地等宽，设宽度为米； 问题1．花圃的面积可表示为___________（用含的代数式表示）； 问题2．若花圃面积刚好是绿地面积的一半，则___________米； 方案二：如图2，是矩形的中心（即矩形对角线的交点），以为圆心在绿地上开辟一个圆形花圃，分别过四点按图中方式铺四条小路（小路的宽度忽略不计），四条小路所在的直线均为的切线，切点分别为、； 问题3．请在图中作出小路，尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法； 问题4．学校打算用18000元改建绿地，经测量，米，米，圆的半径为7米，若建设圆形花圃花需80元/平方米，铺设小路需50元/米，那么按方案二设计，预算是否够用？请说明理由．（取3.14） 28. 综合实践： 实践主题：光的反射在半圆中路径问题 知识备用： I．如图1，为平面镜，光线从点出发，经平面镜沿方向反射，过点作，其中叫入射光线，光线叫反射光线，叫法线，点叫入射点，叫入射角，叫反射角．反射定律：反射角等于入射角（即）． ．如图2，是凹面镜，是的圆心，是入射光线，是反射光线，是法线．由反射定律可得：． 问题背景：如图3，半圆形光学器件中，为的直径，圆的半径为4，点在半圆上，为上的调节点．一束光线从点射出，沿传播至点，通过调整点位置可以优化光路效率． 实践任务： （1）若，则___________； （2）当点在线段上自由移动时 ①的最大值是___________； ②连接、，探究与的数量关系，并简要说明理由； （3）如图4，若的圆心角度数为，在半圆上放置一面凹面镜，光线经平面镜反射后，反射光线与半圆相交于点D，光线又经凹面镜二次反射，反射光线与相交于，实验发现，当点在点的左侧时，点落在点的右侧，反之，当点在点的右侧时，点落在点的左侧，且点与点的距离随点与点距离变大而变大，探究：若光线经凹面镜二次反射后反射光线与线段有交点，设此时线段的长度为，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期九年级期中学业水平监测 数学 分值：150分时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的识别，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一分析各选项． 【详解】解：A、中未知数的最高次数为3，不是一元二次方程，选项错误； B、中含有两个未知数x和y，不是一元二次方程，选项错误； C、可化为，只含一个未知数x且最高次数为2，是一元二次方程，选项正确； D、展开后化为，最高次数为1，不是一元二次方程，选项错误； 故选：C． 2. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d>r. 解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符. 故选D. “点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系. 3. 一元二次方程的两根分别为和，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，和是方程 的两个根，根据一元二次方程的根与系数的关系可得： 【详解】解： 方程 中，， . 故选：C． 4. 如图，点在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题关键．利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：， ， 故选：A． 5. 用配方法解一元二次方程的过程中，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：移项得，， 配方得，， 即， ∴变形正确的是， 故选：． 6. 如图，OA是的半径，AB是的弦，于点C，若，则OC的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，由垂径定理可得，由勾股定理得出，熟练掌握垂径定理以及勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：是的弦，且于点， ，， ， 故选：B． 7. 若正多边形每个内角为，则这个正多边形边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和与外角和，先求得外角为度，进而根据外角和为，即可求解． 【详解】多边形的每一个内角都等于，多边形的内角与外角互为邻补角， 每个外角度， 多边形中外角的个数是，则多边形的边数是． 故选B． 8. 如图，在中，，以O为圆心，长为半径作，分别交于C、D．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，弧与圆心角的关系 ，先由三角形内角和定理得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是； 故选：A． 9. 如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求扇形面积，勾股定理与网格问题，连接，证明，进而根据三角形的面积公式和扇形面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵小正方形的边长为2， ∴ ∴， ∴图中阴影部分的面积是 故选：A． 10. 关于的方程有两个互不相等的实数根，且满足，则所有可能的整数的和是（ ） A. 3 B. 7 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过因式分解求根，再根据根的大小关系确定参数范围，注意排除相等根的情况． 方程可因式分解为，根为和．然后分和两种情况求解即可． 【详解】解：∵方程可因式分解为， ∴根为，（假设，即）． ∵有两个互不相等的实数根， ∴． ∵满足，即， ∴且，即， ∴ ． ∵为整数， ∴． ∴和为． 若，则，有，，条件矛盾，无解． 故所有可能的整数的和为12． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 关于的一元二次方程的一个根为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，将代入得到关于的一元一次方程，求解即可．解题的关键掌握一元二次方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：． 12. 直角三角形的两直角边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形外接圆的性质，难度不大，注意直角三角形的斜边是其外接圆的直径是解题的关键. 由直角三角形的两直角边长分别为6，8，利用勾股定理可求得其斜边；又由直角三角形的斜边是其外接圆的直径，即可求得答案． 【详解】∵直角三角形的两直角边长分别为6，8， ∴斜边长为： ∴这个三角形的外接圆半径是， 故答案为5． 13. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是_____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，利用根的判别式的意义得到，然后解一次方程即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 即m的值为9． 故答案为：9． 14. 如图，正八边形ABCDEFGH中，∠GBF=_______________度． 【答案】22.5° 【解析】 【分析】正八边形内接于圆，可求得GF所对的圆心角为45°，进而可求得GF所对的圆周角的度数． 【详解】解：∵多边形正八边形 ∴正八边形ABCDEFGH内接于圆 ∴GF所对的圆心角为45° ∴GF所对圆周角∠GBF为22.5° 故答案为：22.5°． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，同弧所对的圆周角与圆心角的关系，解题的关键是掌握正多边形与圆的关系． 15. 两个连续的偶数乘积为168，设较小的偶数为，可得方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据“两个连续的偶数乘积为168”列出方程即可． 【详解】解：设较小的偶数为，则较大的偶数为， 由题意得：， 故答案为：． 16. 如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，拉动绳子使滑轮旋转了，则此时重物上升了__________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长的计算方法计算半径为，圆心角为的弧长即可． 【详解】解：由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确解答的前提． 17. 定义新运算：，例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别式等知识，根据新运算定义，将方程转化为一元二次方程，利用根的判别式求参数范围即可． 【详解】解：由新运算定义，，得， 故方程化为， 由于该方程有两个实数根， ∴判别式， 解得． 故答案为：． 18. 如图，是半圆的直径，在半圆上，将沿弦翻折，翻折后的弧恰好与相切于点为的中点，若的面积为，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据轴对称的性质求出点的对称点，也就是的圆心，然后由是的中位线得出，再由的面积求出与半径的数量关系，进而通过方程求出半径的值，最后由垂径定理在中求出即可得到答案． 【详解】解：如图，作点关于对称点，，连接，，， 则在以为圆心，为半径的圆上，且由垂径定理可知过的中点， 设的半径为，则，． ， ． ∵翻折后的弧恰好与相切于点， 根据切线的性质，， ∵， ， ∴， ， ， ，即， ， (舍去）， ， ， 在中，． ． 根据垂径定理，，则在中，． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，切线的性质，轴对称的性质，相似三角形的性质和判定，三角形面积，勾股定理等知识点，掌握相关知识是解答本题的关键． 三、解答题（共10小题，共96分．解答时应写出必要的步骤、过程或文字说明） 19. 解下列一元二次方程 （1） （2） 【答案】（1） ，； （2） ，． 【解析】 【分析】本题主要考查了用分解因式法解一元二次方程． 利用提公因式法分解因式，可得：，根据两个数的乘积为，这两个数至少有一个因数为，可得：或，解一元一次方程即可； 用十字相乘法分解因式即可． 【小问1详解】 解：， 分解因式得：， 可得：或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 分解因式得：， 可得：或， 解得：，． 20. 如图，是的直径，弦与相交于点E，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于．连接，根据直径所对的角等于，求出，再根据外角的性质得出的度数． 【详解】解：连接． ， ， ， 是的直径， ， ， ，， ． 21. 已知，，取什么值时，与相等？ 【答案】当为1或4时，与相等 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数与二次函数的交点问题,解一元二次方程，根据题意，列方程，按照因式分解法解一元二次方程即可得到答案，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解决问题的关键 【详解】解：根据题意得：， 整理得：，即，解得：， 当为1或4时，与相等． 22. 如图所示，是的直径，是的弦，的平分线交于点．若，，求的长． 【答案】8； 【解析】 【分析】根据直径得出，根据勾股定理求出的长度；根据角平分线的定义可得，然后求出，再根据等腰直角三角形的性质其解即可． 【详解】解：连接，如下图所示， ∵是的直径， ∴， 在中，，， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即． 【点睛】本题考查了勾股定理，圆周角定理，解题的关键是求出． 23. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点、、、在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系，画出过、、三点的圆，圆心为点． （1）两点的坐标分别为（___________）（___________）； （2）圆心的坐标为（___________）； （3）求出圆的半径． 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，垂径定理，勾股定理，根据垂径定理确定圆心的位置是解题的关键． （1）根据平面直角坐标系写出坐标即可； （2）连接、，分别作、的垂直平分线交于点，则点是过、、三点的圆的圆心，根据平面直角坐标系写出坐标即可； （3）连接，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：由平面直角坐标系可得，，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图，连接、，分别作、的垂直平分线交于点，则点是过、、三点的圆的圆心， 由坐标系可知，圆心的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，连接， 由勾股定理得， 即圆的半径为． 24. 某商店9月份的利润是2500元，要使11月的利润达到3600元，平均每月增长的百分率是多少？ 【答案】20％ 【解析】 【分析】如果设平均每月增长百分率是x，那么10月份的利润是2500（1+x）元，11月份的利润是2500（1+x）2元，而此时利润是3600元，根据11月份的利润不变，列出方程． 【详解】设平均每月增长的百分率是x， 依题意，得2500（1+x）2=3600， 解得x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）． 所以平均每月增长的百分率应该是20%． 25. 如图，是的内接三角形，是的直径，，点在的延长线上，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径等于2，求线段的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由直径可得，再结合已知条件，得出，，进而证明是等边三角形，推出，根据等边对等角的和三角形外角的性质，得出，则，即可证明结论； （2）由题意可知，，则，由（1）可知，，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：是的内接三角形，是的直径， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ，即， 是的直径， 是的切线； 【小问2详解】 解：的半径等于2， ， ， ， 由（1）可知，， 由勾股定理得，． 【点睛】本题考查了圆周角，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，圆的切线的判定，掌握相关知识点是解题关键． 26. 如图，是的弦，，点在上运动，且． （1）求的半径； （2）设点到直线的距离为，图中阴影部分的面积为，求与之间的函数关系，并写出自变量的取值范围． 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】（1）连接、，由圆周角定理可得，再结合勾股定理求解即可； （2）过点作的垂线，交于点，交于点，先求出，再求出，进而得出；当点在点（或点）处时，有最小值为，当点在点时，有最大值，利用等腰直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接、， ， ， ， ， ，即的半径为； 【小问2详解】 解：如图，过点作的垂线，交于点，交于点， ， 设点到直线的距离为， 则， 由（1）可知，， ， 阴影部分的面积为 ， 当点在点（或点）处时，有最小值为， 当点在点时，有最大值， ，，， ， ， 自变量的取值范围为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，扇形面积公式，等腰直角三角形的性质，求函数关系式，掌握相关知识点是解题关键． 27. 数学活动：矩形绿地中的花圃设计 活动背景：学校准备在一块矩形绿地（记为矩形，，）内建造一个花圃，有如下两种方案设计． 方案一：如图1，已知绿地的长米，宽米，在绿地中间开辟一个矩形花圃，使四周绿地等宽，设宽度为米； 问题1．花圃的面积可表示为___________（用含的代数式表示）； 问题2．若花圃的面积刚好是绿地面积的一半，则___________米； 方案二：如图2，是矩形的中心（即矩形对角线的交点），以为圆心在绿地上开辟一个圆形花圃，分别过四点按图中方式铺四条小路（小路的宽度忽略不计），四条小路所在的直线均为的切线，切点分别为、； 问题3．请在图中作出小路，尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法； 问题4．学校打算用18000元改建绿地，经测量，米，米，圆的半径为7米，若建设圆形花圃花需80元/平方米，铺设小路需50元/米，那么按方案二设计，预算是否够用？请说明理由．（取3.14） 【答案】问题1：平方米；问题2：；问题3：见解析；问题4：按方案二设计，预算够用，理由见解析． 【解析】 【分析】问题1：由图形可知，花圃的宽为米，长为米，根据长方形的面积公式列式展开即可； 问题2：根据“花圃的面积刚好是绿地面积的一半”，列一元二次方程求解即可； 问题3：连接，作的垂直平分线，再作以为直径的圆交于点，连接，由直径所对的圆周角是直角可知，为的切线； 问题4：连接，，由题意可知，，先求出圆心花圃的面积，设米，则米，米，利用勾股定理得出，，再结合矩形的对角线互相平分列方程，从而得出小路的总长度，计算总费用与预算相比较即可． 【详解】解：问题1：由图形可知，花圃的宽为米，长为米， 则花圃的面积可表示为平方米， 故答案为：平方米； 问题2：若花圃的面积刚好是绿地面积的一半， 则， 解得或（舍）， 故答案为：； 问题3：如图，即为所求作； 问题4：按方案二设计，预算够用，理由如下： 如图，连接，， 由题意可知，， 圆的半径为7米， 圆心花圃的面积为平方米， 设米， 米，米， 米，米， ， 是矩形的中心（即矩形对角线的交点）， ， ， 是的切线， ， ， ， 整理得：， 解得（舍）或， 即小路的总长度为米， 总费用为元， 元元， 按方案二设计，预算够用． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，过圆外一点作圆的切线，圆周角，勾股定理，矩形的性质，掌握相关知识点是解题关键． 28. 综合实践： 实践主题：光的反射在半圆中路径问题 知识备用： I．如图1，为平面镜，光线从点出发，经平面镜沿方向反射，过点作，其中叫入射光线，光线叫反射光线，叫法线，点叫入射点，叫入射角，叫反射角．反射定律：反射角等于入射角（即）． ．如图2，是凹面镜，是的圆心，是入射光线，是反射光线，是法线．由反射定律可得：． 问题背景：如图3，半圆形光学器件中，为的直径，圆的半径为4，点在半圆上，为上的调节点．一束光线从点射出，沿传播至点，通过调整点位置可以优化光路效率． 实践任务： （1）若，则___________； （2）当点在线段上自由移动时 ①的最大值是___________； ②连接、，探究与的数量关系，并简要说明理由； （3）如图4，若的圆心角度数为，在半圆上放置一面凹面镜，光线经平面镜反射后，反射光线与半圆相交于点D，光线又经凹面镜二次反射，反射光线与相交于，实验发现，当点在点的左侧时，点落在点的右侧，反之，当点在点的右侧时，点落在点的左侧，且点与点的距离随点与点距离变大而变大，探究：若光线经凹面镜二次反射后反射光线与线段有交点，设此时线段的长度为，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①8；②，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作的垂线，利用反射定律求解即可； （2）①作，作点关于的对称点，连接，则，，证明出、、三点共线，从而得到，再结合直径是最长的弦，即可得到答案； ②作，作点关于的对称点，连接交于点，连接，则有，结合①中的结论得到，根据平角的定义得到，则有，再利用圆周角定理得到，等量代换即可得出结论； （3）分别求出点与点重合时、点与点重合时，对应线段的长度的值，再结合图形以及“光线经凹面镜二次反射后反射光线与线段有交点”，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，过点作的垂线，则是法线， ∴， 由反射定律可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①如图，作，作点关于的对称点，连接， 则，， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴、、三点共线， ∴， 由圆的对称性可知，点在上， ∴是的弦， ∵直径是最长的弦， ∴的最大值为， 即的最大值是8， 故答案为：8； ②，理由如下： 如图，作，作点关于的对称点，连接交于点，连接， 则，点在上， ∴， ∴， 由①得，，、、三点共线， ∴， ∴， 由（1）得，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问3详解】 解：当时， 如图，连接、、， ∵的圆心角度数为， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵为的直径， ∴， ∴， 由平面镜的反射定律可知，入射光线和反射光线重合， ∴点和点重合， ∴，， 由凹面镜的反射定律可知，， ∴， ∴点和点重合， ∴当点和点重合时，； 当点和点重合时， 作，作点关于的对称点，连接交于点，连接、、、， 则，点在上，，， ∴， 由（2）得，、、三点共线， 由凹面镜的反射定律得，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴，， ∴， ∴当点和点重合时，； ∵光线经凹面镜二次反射后反射光线与线段有交点， ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了光的反射定律、圆的对称性、圆周角定理、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定，理解平面镜与凹面镜的反射定律是解题的关键．本题属于几何综合题，同时涉及跨学科知识，需要较强的几何推理和实践创新能力，适合有能力解决压轴题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $