精品解析：青海省海西州格尔木市三校2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

2025-2026学年青海省海西州格尔木市三校九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标是（　　） A. （0，﹣4） B. （0，4） C. （2，0） D. （﹣2，0） 4. 如图，绕点A逆时针旋转后得到，点D落在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程时，配方后得到的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数图象上三个点，比较之间的大小关系是（　　） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 8. 下表给出了二次函数（）的自变量与函数的一些对应值，则下列说法正确的是（ ） … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … A. 对称轴直线 B. 当时， C. 当时，随的增大而增大 D. 此函数有最小值4 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 方程的解是_____． 10. 已知关于x的一元二次方程：的一个根是2，则k的值是___________． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为______． 12. 如图，已知抛物线对称轴为，与x轴的一个交点是，另一个交点的坐标是__________． 13. 若抛物线与x轴无交点，则k的取值范围是_________． 14. 如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是_________． 15. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上．若，，则的长为__________． 16. 如图，在中，，，点D在边上，过D作于点E，作于点F，则矩形面积最大值为______． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 用配方法解一元二次方程：． 18. 用公式法解方程：． 19. 如图，在等腰三角形ABC中，，，于点D，将线段绕C顺时针旋转角后得到线段，连接，求的度数． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等实数根； （2）若该方程的一个根为，且为正数，求的值． 21. 如图，在中，、、． （1）是关于y轴的对称图形，画出，并写出点的坐标； （2）将绕点逆时针旋转后得到，画出，并写出点的坐标． 22. 某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （1）设每千克应涨价x元，根据问题中的数量关系，用含x的代数式填表： 每千克盈利（元） 每天销售量（千克） 每天盈利（元） 涨价前 10 500 5000 涨价后 ______ ______ 6000 （2）列出方程，并求问题的解． 23. 某数学兴趣小组在学习了抛物线的知识后，决定利用抛物线的知识进行课外实践活动，下面是此次课外实践活动的调查报告： 活动题目 抛物线的课外实践活动 活动过程 如图是一扇抛物线型拱门的示意图，首先测量抛物线型拱门的底部跨度，然后将高度为的标杆垂直于所在地面，水平方向移动标杆使标杆顶部恰好与拱门的内壁接触，底部始终在上，再测量出、两点间的距离 拱门示意图 说明：以所在直线为轴，经过中点的垂线为轴建立平面直角坐标系，抛物线型拱门的最高点到地面的距离为． 测量数据 ，， 任务（1） 求该抛物线型拱门的最高点到地面的距离； 任务（2） 要在该抛物线型拱门内壁距离地面高的两侧各安装一盏夜晚照明灯（大小忽略不计），求两盏灯的水平距离． 24. 如图，点M，N分别在正方形的边上，且，把绕点A顺时针旋转得到． （1）求证：． （2）若，求正方形的边长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点． （1）求抛物线的表达式； （2）过点作轴于点，交直线于点，当的长为最大值时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年青海省海西州格尔木市三校九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称以及中心对称，根据轴对称以及中心对称的定义依次判断选项即可．　 【详解】A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的判断，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、，整理得，是一元二次方程，符合题意； B、是二元一次方程，不符合题意； C、是分式方程，不符合题意； D、是一元一次方程，不符合题意； 故选A． 3. 抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标是（　　） A. （0，﹣4） B. （0，4） C. （2，0） D. （﹣2，0） 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线y＝x2﹣4，是抛物线解析式中的顶点式，直接写出顶点坐标即可. 【详解】解：抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标是（0，﹣4）， 故选：A． 【点睛】本题是对抛物线顶点坐标的考查，熟练掌握抛物线解析式的顶点式的顶点坐标是解决本题的关键. 4. 如图，绕点A逆时针旋转后得到，点D落在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形旋转的性质及三角形内角和定理．根据旋转的性质可知，旋转前后对应角相等、对应边相等，利用这些性质结合三角形内角和定理来求解的度数即可． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转后得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 5. 用配方法解方程时，配方后得到的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 先把移到方程的右边，然后方程两边都加16，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，两边同时开平方即可． 【详解】解：原方程为 ， 移项得 ， 配方：一次项系数为，一半为，平方为 16， 添加 16 到两边：， 左边化为完全平方：． 故配方后方程为 ， 故选C． 6. 二次函数图象上的三个点，比较之间的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数值的大小比较，需先确定顶点位置，再计算各点纵坐标，然后相比即可得出答案． 【详解】解：二次函数的顶点横坐标为， 代入得顶点纵坐标，即顶点为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，则取最小为， ∴为最小值． 当时，， 当时，， 则， 故选：C． 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 一元二次方程有两个不相等的实数根的条件是判别式大于零，据此得到，再结合选项选择． 【详解】解：∵ 方程 有两个不相等的实数根， ∴ ， 即， ∴ ， ∴ ， A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意， 故选：D． 8. 下表给出了二次函数（）的自变量与函数的一些对应值，则下列说法正确的是（ ） … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … A. 对称轴为直线 B. 当时， C. 当时，随的增大而增大 D. 此函数有最小值4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意可得函数的对称轴为：直线，从而得到抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，函数有最大值4，即可求解． 【详解】解：由表格数据可得：当和2时，对应y的值相等， ∴函数的对称轴为：直线，故A错误； ∵，当时，， ∴当时，，故B错误； ∵数据从到1对应的y值不断增大， ∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大，故C正确； ∴函数有最大值4，故D错误． 故选：C． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 方程的解是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键．通过移项将方程化为一般形式，再因式分解即可． 【详解】解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：或． 10. 已知关于x的一元二次方程：的一个根是2，则k的值是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念：使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值，掌握此概念是解题的关键；由题意，把一元二次方程的根代入方程中，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程：的一个根是2， ∴， 解得：； 故答案为：2． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 12. 如图，已知抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点是，另一个交点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性求解即可． 【详解】解：设另一个交点为， ∵已知抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点是， ∴, 解得， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，函数图象与x轴的两个交点关于对称轴对称． 13. 若抛物线与x轴无交点，则k的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，转化为一元二次方程无实根是解题的关键．根据题意可得方程无实根，得出，解不等式即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴无交点， 则方程无实根， 即， 解得， 故答案为：． 14. 如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据中心对称的性质AD=DE及∠D=90゜，由勾股定理即可求得AE的长． 详解】∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称， ∴△ABC≌△DEC， ∴AB＝DE＝2，AC＝DC＝1，∠D＝∠BAC＝90°， ∴AD＝2， ∵∠D＝90°， ∴AE＝， 故答案为． 【点睛】本题考查了中心对称的性质，勾股定理等知识，关键中心对称性质的应用． 15. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上．若，，则的长为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出，，然后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解∶∵将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上．，， ∴，， ∴， 故答案为：6． 16. 如图，在中，，，点D在边上，过D作于点E，作于点F，则矩形面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意得出二次函数的解析式，再求出最值即可． 【详解】解：设， 于点E，于点F，， 为矩形， 在中，，， ，， ， ，， 矩形面积， 当时，面积最大为， 故答案为： 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 用配方法解一元二次方程：． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．先把方程两边同时除以2，再把方程两边同时加上进行配方，进而解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴， ，． 18. 用公式法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的公式法是解题的关键． 利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ，，， ， ， 解得，． 19. 如图，在等腰三角形ABC中，，，于点D，将线段绕C顺时针旋转角后得到线段，连接，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转得，，可得，进而证明，则有． 本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：， ， 将线段绕C顺时针旋转角后得到线段， ，， ， ， ， ． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，且为正数，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键： （1）求出判别式的符号，进行判断即可； （2）把代入方程，进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 小问2详解】 把代入，得：， 解得：或； ∵正数， ∴． 21. 如图，在中，、、． （1）是关于y轴的对称图形，画出，并写出点的坐标； （2）将绕点逆时针旋转后得到，画出，并写出点的坐标． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析， 【解析】 【分析】根据网格结构，找出点A、B、C关于y轴对称的点、、的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点的坐标即可； 根据网格结构，找出点A、B、C绕点逆时针旋转的对应点、、的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点的坐标即可． 本题考查了利用旋转变换和轴对称变换作图，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【小问1详解】 解：根据网格结构，找出点A、B、C关于y轴对称的点、、的位置，然后顺次连接即可，如图所示，即为所求作的三角形，点； 【小问2详解】 解：根据网格结构，找出点A、B、C绕点逆时针旋转的对应点、、的位置，然后顺次连接即可，如图所示，即为所求作的三角形，点． 22. 某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （1）设每千克应涨价x元，根据问题中的数量关系，用含x的代数式填表： 每千克盈利（元） 每天销售量（千克） 每天盈利（元） 涨价前 10 500 5000 涨价后 ______ ______ 6000 （2）列出方程，并求问题的解． 【答案】（1）； （2）每千克应涨价5元 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据涨价后每千克的盈利等于涨价前每千克的盈利与上涨的价格之和；涨价后每天销售量等于涨价前每天销售量减去涨价造成的销售减少量即可得； （2）根据每天盈利每千克的盈利每天销售量建立方程，解方程可得的值，再根据要使顾客得到实惠确定的值，由此即可得． 【小问1详解】 解：设每千克应涨价元， 由题意得：涨价后，每千克的盈利为元，每天销售量为千克， 故答案为：；． 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得或， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每千克应涨价5元． 23. 某数学兴趣小组在学习了抛物线的知识后，决定利用抛物线的知识进行课外实践活动，下面是此次课外实践活动的调查报告： 活动题目 抛物线的课外实践活动 活动过程 如图是一扇抛物线型拱门示意图，首先测量抛物线型拱门的底部跨度，然后将高度为的标杆垂直于所在地面，水平方向移动标杆使标杆顶部恰好与拱门的内壁接触，底部始终在上，再测量出、两点间的距离 拱门示意图 说明：以所在直线为轴，经过中点的垂线为轴建立平面直角坐标系，抛物线型拱门的最高点到地面的距离为． 测量数据 ，， 任务（1） 求该抛物线型拱门的最高点到地面的距离； 任务（2） 要在该抛物线型拱门内壁距离地面高的两侧各安装一盏夜晚照明灯（大小忽略不计），求两盏灯的水平距离． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法解抛物线的解析式，熟练掌握二次函数的相关知识是解题关键． （1）由题意可设该抛物线表达式为，、、对称轴为轴，分别代入，解二元一次方程组，求得抛物线的解析式为，即可求解； （2）将代入抛物线的解析式，解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：任务（1）：由题意可得：点的坐标为，点的坐标为，抛物线的对称轴为轴． 设该抛物线型拱门的函数表达式为（、为常数，）， 将，代入，得， 解得， 该抛物线型拱门的函数表达式为， 当时，， 该抛物线型拱门的最高点到地面的距离为． 任务（2）：令，得， 解得，， ， 两盏灯的水平距离为． 24. 如图，点M，N分别在正方形的边上，且，把绕点A顺时针旋转得到． （1）求证：． （2）若，求正方形的边长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点，并灵活应用． （1）利用正方形的性质得出直角和相等边，利用旋转的性质得出相等角和边，然后根据边角边即可证明三角形全等； （2）借助（1）中全等三角形得出相等边，假设正方形的边长为，表示出相关的边，利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， 假设正方形的边长为，则， 由勾股定理得， 即 解得，（负值已舍）， ∴正方形的边长为6． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点． （1）求抛物线的表达式； （2）过点作轴于点，交直线于点，当的长为最大值时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，求出的表达式是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出直线的解析式，设，则，则，当时，有最大值，此时． 【小问1详解】 解：将点、代入， ， 解得， ； 【小问2详解】 解：如图所示： 当，则， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，则， ， ， 抛物线开口向下，有最大值， 则当时，有最大值，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $