精品解析：辽宁省朝阳市建平县实验中学2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

2025～2026学年度上学期高二年级11月份考试 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教B版必修第四册，选择性必修第一册第一章～第二章第3节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，若，则等于（ ） A B. C. 2 D. 4 4. 已知点在圆的外部，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 已知圆，直线，若圆上至多有个点到直线的距离为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在四面体中，平面，，点分别为棱上的点，且，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，则（ ） A. 是必要不充分条件 B. 若不共面，则也不共面 C. 若，且，则 D. 若，则 10. 如图，是圆锥的底面圆的直径，点是底面圆上异于，的动点，点是母线上一点，已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 若，则从点出发绕圆锥侧面一周到达点的最短长度为5 11. 已知点P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的切线，切点分别为M，N，则下列说法正确的是（ ） A. 若P的坐标为，则PM，PN的方程为和 B. 线段PM的长度的最小值为 C. 四边形PMCN的面积的最小值为 D. 直线MN过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为虚数单位，复数是纯虚数，则实数__________. 13. 已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为__________. 14. 已知点，，C为直线上一点，则的最小值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线及点. （1）若与垂直的直线过点，求与的值； （2）若点与点到直线的距离相等，求的斜截式方程. 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若的面积为，且，求的周长. 17. 如图，在棱长为的正方体中，点在棱上，点在棱上，且，点到平面的距离为. （1）求四棱锥的表面积； （2）求点到直线距离. 18. 已知半径为的圆C的圆心在y轴的正半轴上，且直线与圆C相切. （1）求圆C的标准方程； （2）已知，P圆C上任意一点. （ⅰ）试问在y轴上是否存在定点B（异于点A），使得为定值？若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由； （ⅱ）若点，试求的最小值. 19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图1，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角C-OA-B，A-OB-C，B-OC-A分别为，，，则球面三角形ABC的面积为. （1）若平面OAB，平面OAC，平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积； （2）将图1中四面体OABC截出得到图2，若平面三角形ABC为直角三角形，，延长AO与球O交于点D，连接BD，CD. （ⅰ）证明：； （ⅱ）若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，，且，，S为AC的中点，T为BC的中点，设平面OBC与平面EST的夹角为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度上学期高二年级11月份考试 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教B版必修第四册，选择性必修第一册第一章～第二章第3节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线斜率与倾斜角关系即可求解. 【详解】由题可得：， 故选：A 2. 若复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法及共轭复数判断即可得解. 【详解】， ， ， 故对应点在第三象限， 故选：C 3. 已知向量，若，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】因为， 可得：， 解得， 故选：B 4. 已知点在圆的外部，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先方程需要满足才是圆的方程，由点与圆的位置关系可知，当点在圆外时，点到圆心距离大于半径，即带点到圆的方程坐标，结果会大于0 【详解】由题意可知，解得或. 故选：C 5. 在中，角，，对边分别为，，，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理求出，再根据三角形内角范围及余弦函数的单调性求出范围. 【详解】由余弦定理得，当且仅当时取等号， 因为，在单调递减，所以，即A的最大值为． 故选：B． 6. 已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】运用线面平行、垂直，面面平行、垂直判定和性质，逐个判断. 【详解】若，则或，故A错误； 当，若不相交，则推不出，故B错误； 若，则，故C正确； 若，则，故D错误. 故选：C. 7. 已知圆，直线，若圆上至多有个点到直线的距离为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定圆的圆心和半径，再计算圆心到直线的距离，根据圆上至多有个点到直线的距离为，列出不等式，求解即可. 【详解】由圆，所以圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离为，则， 因为圆上至多有个点到直线的距离为，则， 即，化简得，解不等式得或， 所以的取值范围是. 故选：A 8. 在四面体中，平面，，点分别为棱上的点，且，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以，，为空间向量的基底，表示出和，利用空间向量的数量积，求异面直线的夹角. 【详解】如图： 因为，所以， 则， 又，所以， 则， 又平面，平面，所以，， 即， 又，所以 所以 ， ，， 所以， 则直线与直线夹角的余弦值为． 故选：A 【点睛】方法点睛：以，，为空间向量的基底，表示出和，利用空间向量的数量积，求异面直线的夹角. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，则（ ） A. 是的必要不充分条件 B. 若不共面，则也不共面 C. 若，且，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】借助向量定义及充分条件及必要条件定义可判断A；借助反证法结合空间向量共面定理可得B；举出反例可得C、D. 【详解】对A：的充要条件是的大小相等，方向相同，故由可得， 但当时，方向不一定相同，故A正确； 对B：假设共面，则存实数，使得， 所以，所以共面，与条件矛盾，故B正确； 对C：在空间直角坐标系中，三个坐标轴上的单位向量显然满足C中的条件， 但任何两个都不相等，故C错误； 对D：若，则不一定共线，故D错误. 故选：AB. 10. 如图，是圆锥的底面圆的直径，点是底面圆上异于，的动点，点是母线上一点，已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 若，则从点出发绕圆锥侧面一周到达点的最短长度为5 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出圆锥的母线及高，代入圆锥体积公式求解判断A；根据扇形圆心角公式求解判断B；当时，三棱锥的体积最大，根据三棱锥体积公式求解判断C；在侧面展开图中利用勾股定理求解最短长度判断D. 【详解】由题知，圆锥的底面半径为，圆锥的侧面积，所以母线长， 则圆锥高，所以体积，故A正确； 侧面展开图弧长，圆心角，故B错误； 因点是底面圆上异于，的动点，AB是底面圆的直径， 故当时，的面积最大，此时三棱锥的体积最大， 则三棱锥的体积的最大值为，故C正确； 由B知，圆锥的侧面展开图扇形的圆心角，在上且， 则，展开后的扇形中，所对的圆心角为， 故最短路径为线段，，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知点P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的切线，切点分别为M，N，则下列说法正确的是（ ） A. 若P的坐标为，则PM，PN的方程为和 B. 线段PM的长度的最小值为 C. 四边形PMCN的面积的最小值为 D. 直线MN过定点 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，求出圆心和半径，分别讨论过的直线无斜率和有斜率，利用圆心到直线的距离等于半径求解；选项B，求出，求的最小值转化为求的最小值，由点P是直线l：上一动点，转化为的最小值为圆心到直线的距离，求解即可；选项C，四边形PMCN由两个全等的直角三角形和组成，则四边形PMCN的面积，利用最小时最小，求解即可；选项D，设，得到直线MN的方程为， 求出直线MN过定点即可. 【详解】选项A，圆C：的圆心为，半径为， 当过的直线无斜率时，此直线方程为，圆心到的距离为2， 故直线与圆相切； 当过的直线有斜率时，设此直线方程为， ，圆心到的距离为， 直线方程与圆相切，， ，，过的切线方程为， 即， 综上可知，若P的坐标为，则PM，PN的方程为和， 故选项A正确； 选项B，，求的最小值转化为求的最小值， 点P是直线l：上一动点， 的最小值为圆心到直线的距离， ，故选项B错误； 选项C，四边形PMCN由两个全等的直角三角形和组成， 则四边形PMCN的面积， 当最小时，最小，由选项B中可知，， 即则四边形PMCN的面积的最小值为，故选项C正确； 选项D，点P是直线l：上一动点，设， 过点P作圆C：的切线，切点分别为M，N， 直线MN的方程为， 即， 整理得， ，解得，则直线MN过定点，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为虚数单位，复数是纯虚数，则实数__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据复数为纯虚数列出方程，解出即可. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得. 故答案为：1. 13. 已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出与，计算模长和夹角余弦值，进而求得夹角的正弦值，最后利用平行四边形面积公式，求面积即可. 【详解】因为，，，所以，， 则，， ， 所以， 则以，为邻边的平行四边形的面积. 故答案为： 14. 已知点，，C为直线上一点，则的最小值是__________. 【答案】5 【解析】 【分析】作点关于直线的对称点，则，故，根据两点间线段最段，当、、三点共线时，取最小值，即，设，利用是的垂直平分线求出，利用和求出，得到关于和的一个方程，利用的中点在直线上，得到关于和的另一个方程，这两个方程联立方程组求解就是的坐标，利用两点间距离公式求出，从而得到的最小值. 【详解】作点关于直线的对称点，则， 故，根据两点间线段最短， 当、、三点共线时，取最小值，即， 设，是的垂直平分线，， ，，， ，，的中点在直线上， ，联立，解得，， ，的最小值为5. 故答案为：5. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线及点. （1）若与垂直的直线过点，求与的值； （2）若点与点到直线的距离相等，求的斜截式方程. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）由垂直关系及点在线上列出等式求解即可； （2）由点到线的距离公式列出等式，求解即可. 【小问1详解】 因为直线过点， 所以，解得， 因为与垂直， 所以. 【小问2详解】 因为点与点到直线的距离相等， 由点到直线的距离公式得. 解得， 当时，的斜截式方程为， 当时，的斜截式方程为. 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若的面积为，且，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角差的余弦公式化简可得出，结合角的取值范围可求得结果； （2）由三角形面积公式可得，由正弦定理可得，由余弦定理可得，进而可得的周长. 【小问1详解】 设的外接圆半径为，由正弦定理可得 ，，， 所以可化为， 因为，所以，又， 所以， 所以，又，所以， 所以，所以； 【小问2详解】 由题意可得，则， 因为，所以 ，又，所以， 联立，，解得， 由余弦定理可得，得， 所以的周长为. 17. 如图，在棱长为的正方体中，点在棱上，点在棱上，且，点到平面的距离为. （1）求四棱锥的表面积； （2）求点到直线的距离. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）通过已知棱长求出四棱锥各面的边长，再根据三角形和梯形面积公式计算各面面积，最后求和得到表面积； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求出点的坐标，再根据向量关系求出点到直线的距离. 【小问1详解】 已知正方体棱长为，则； 在中，根据勾股定理； 同理，在中，； 在正方形中，； 的面积； 的面积：先求边上的高，根据勾股定理， 再根据三角形面积公式可得； 和的面积：这两个三角形是全等的直角三角形，； 梯形的面积： ； 四棱锥的表面积为各面面积之和，即； 【小问2详解】 建立空间直角坐标系并求出相关点的坐标和向量 以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系： 则，设，其中， 可得， 设平面的法向量为，因为法向量与平面内的向量垂直， 所以，即， 令，由可得，将代入，得，解得，所以平面的一个法向量， 设到平面的距离为，根据点到平面的距离， 已知，所以，即， 因为，所以，则，解得，故， 此时， 根据点到直线的距离公式， 所以点到直线的距离为. 18. 已知半径为的圆C的圆心在y轴的正半轴上，且直线与圆C相切. （1）求圆C的标准方程； （2）已知，P为圆C上任意一点. （ⅰ）试问在y轴上是否存在定点B（异于点A），使得为定值？若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由； （ⅱ）若点，试求的最小值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）存在，；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据直线与圆相切，可求圆心，可得方程； （2）（ⅰ）假设存在定点，设，表示，讨论是否存在定值； （ⅱ）由（ⅰ）知，，故所求转化为、、三点共线问题． 【小问1详解】 由题意设圆心坐标为，则圆的方程为， 因为直线与圆相切， 所以点到直线的距离， 因为，所以， 故圆的标准方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）假设存在定点，设（）， 设，则， 则， 当，即舍去）时，为定值，且定值为， 故存在定点使得为定值， 的坐标为；    （ⅱ）由（ⅰ）知，故，从而， 当且仅当、、三点共线时，最小， 且． 所以最小值为5. 19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图1，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角C-OA-B，A-OB-C，B-OC-A分别为，，，则球面三角形ABC的面积为. （1）若平面OAB，平面OAC，平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积； （2）将图1中四面体OABC截出得到图2，若平面三角形ABC为直角三角形，，延长AO与球O交于点D，连接BD，CD. （ⅰ）证明：； （ⅱ）若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，，且，，S为AC的中点，T为BC的中点，设平面OBC与平面EST的夹角为，求的最小值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据垂直可得，即可代入公式求解. （2）（ⅰ）根据球的性质可得线线垂直，可证明平面，然后利用线面垂直的性质定理证明即可； （ⅱ）先利用线面垂直的判定定理得平面，建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，利用向量的夹角公式，得，结合换元以及基本不等式即可求解的最大值得解. 【小问1详解】 因为平面OAB，平面OAC，平面OBC两两垂直，所以， 所以球面三角形面积为． 【小问2详解】 （ⅰ）由是球的直径，得， 且，平面， 则平面，又平面，则； （ⅱ）由（ⅰ）知，， 而，平面， 于是平面，由直线与平面所成的角分别为， 得， 不妨取，得， 以C为坐标原点，直线分别为x，y轴，过点C作的平行线为z轴，建立空间直角坐标系， 设，则， ， 则， 设平面法向量，则， 取，得， 设平面法向量，则， 取，得， 因此 ， 令，则， 于是， 当且仅当时取等号，取最大值， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $