专题3.3勾股定理的简单应用(九大题型+典题专练)2025-2026学年苏科版八年级数学上册

专题3.3勾股定理的简单应用. 题型梳理 [题型1 勾股定理与网格问题] [题型5 勾股定理应用之求大叔折断前的高度] [题型2 勾股定理与折叠问题] [题型6 勾股定理应用之解决水杯中筷子问题] [题型3 勾股定理应用之求旗杆高度] [题型7 勾股定理应用之解决航海问题] [题型4 勾股定理应用之求梯子滑落高度] [题型8 勾股定理应用之求最短路径] [题型9 勾股定理逆定理的实际应用] 一.应用体系总览(知识+题型+思想三位架构) 维度 核心内容 .知识基础 核心公式、变形公式、特殊直角三角形性质、勾股数、两点间距离公式 核心题型 基础计算、实际情境建模、几何综合、坐标与最值、分类讨论 数学思想 数形结合、建模思想、分类讨论、转化与化归 中考定位 分值占比 3%~8%，覆盖选择、填空、解答题（基础题必拿分，综合题拉分点） 二.核心知识夯实(应用的前提) (一)必记公式与性质. 1.核心定理:直角三角形两直角边a.b与斜边c满足：a2+b2=c2​ 2.变形公式(实用计算) 求斜边：c=​（边长为正，舍去负根）； 求直角边：a=​，b=​ 3.特殊直角三角形速算： *等腰直角三角形：斜边 = 直角边 ×​，面积 = ​× 直角边2 ； *含 30° 角直角三角形：斜边 = 30° 对边 ×2，另一直角边 = 30° 对边 ×​； 三.四大经典模型 模型类型 典型场景 解题关键步骤 垂直模型 梯子靠墙、旗杆与地面、桥洞高度 1. 识别水平 / 垂直直角边；2. 斜边为实际长度（梯子 / 绳长） 折叠模型 矩形 / 三角形折叠 1. 折叠前后对应边相等；2. 设未知数表示未知边；3. 构建直角三角形列方程 航海 / 路径模型 航海定位、最短路径 1. 方向角转化为直角（正东⊥正北）；2. 路程为直角边 / 斜边 测量模型 池塘两端、山高、不可直接测量距离 1. 构建直角三角形（可测量边为直角边）；2. 斜边为待求距离 通用解题模板：审题→画图→标注→列方程→求解→验证 1.审题：提取关键词（垂直、折叠、方向角、不可直接测量）； 2.画图：画出直角三角形示意图，标注直角、已知边长、未知边； 3.标注：折叠问题标注对应边相等，航海问题标注方向与路程； 4.列方程：未知边设未知数，代入勾股定理列方程； 5.求解：解方程（注意开方取正根）； 6.验证：结果符合实际情境（如长度为正、合理范围） 四.中考易错点专项突破 易错点类型 典型错误表现 突破策略 混淆直角边与斜边 代入公式时将斜边当作直角边（如∠C=90°，误列a2+c2=b2） 解题前标注直角和最长边，用不同颜色区分直角边与斜边 折叠问题漏用对应边 未利用 “折叠前后对应边相等”，无法构建直角三角形 折叠问题必画示意图，标注所有相等的边和角 单位不统一 一边为 “米”，一边为 “厘米”，直接代入计算 计算前统一单位（如均转化为 cm），纳入解题步骤 分类讨论漏解 已知两边求第三边时，只考虑第三边.为斜边的情况 牢记 “第三边可能是斜边或直角边”，强制分两种情况分析 勾股数应用错误 认为 6、8、9 是勾股数（6²+8²=100≠81） 熟记基础勾股数，验证勾股数需满足a2+b2=c2 （练习题） [题型1 勾股定理与网格问题] 1．如图，是由小正方形拼成的网格，若每个正方形的边长为1，连接2个格点可得到长为的线段，这样的线段的总数为（   ） A．6条 B．8条 C．12条 D．14条 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理．根据勾股定理可得长为的线段看作是长为2，宽为1的长方形的对角线，即可求解． 【详解】解：因为， 所以长为的线段看作是长为2，宽为1的长方形的对角线， 如图， 共有14条线段． 故选：D 2．如图，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．根据图形和三角形的面积公式求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图， 的面积， 由勾股定理得，， 则， 解得， 故选：C． 3．如图1，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出三角形ABC的面积，再根据三角形的面积公式即可求得AC边上的高． 【详解】解：四边形DEFA是正方形，面积是4； △ABF，△ACD的面积相等，且都是1×2＝1． △BCE的面积是：1×1． 则△ABC的面积是：4﹣1﹣1． 在直角△ADC中根据勾股定理得到：AC． 设AC边上的高线长是x．则AC•xx， 解得：x． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理，利用割补法求面积是解决本题的关键． 4．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“帥”“炮”两枚棋子所在格点之间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握在直角三角形中运用勾股定理． 直接根据网格的特点和勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，“帥”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为， 故答案为：． 5． 如图，在5×5的正方形网格中， 的顶点均在格点上，若 ，则点 P 与点 重合．（填“D”“E”或“F”，且点D，E，F均为格点） 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定等知识，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可求解． 【详解】解：如图，当点 P 与点D重合时， ，∴， ，∴， 在和中， ， ∴． 故答案为：D 6．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，则网格上的三角形中，边长不是有理数的有 条． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，利用勾股定理计算各条边长，即可计算得出结果． 【详解】解：如下图所示， 在中，， 应用勾股定理可知， ，长度为有理数， 同理可得， ，长度为无理数， ，长度为无理数． 故答案为：． 7．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点． (1)在图中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； (2)在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长为，，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理是解题关键． （1）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案； （2）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案． 【详解】（1）解：如图1所示：正方形即为所求； （2）如图2所示：三角形即为所求． [题型2 勾股定理与折叠问题] 8．如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为.若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查知识点是翻折变换的性质和勾股定理，解决这类题目的关键会利用勾股定理列出方程．设，在中，由勾股定理建立方程求解即可 【详解】解：设， 则， 由折叠的性质可得：， ∵四边形是长方形 ∴ 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 即的长为． 故选：C 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则点D到AB的距离（　　） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】】由将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，先求出AC'长度，再设CD=C'D=x，Rt△AC'D中用勾股定理列方程，即可得到答案． 【详解】解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6， ∴， ∵将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处， ∴BC'=BC=6，∠BC'D=∠C=90°，CD=C'D， ∴AC'=AB-BC'=4，∠AC'D=90°， 设CD=C'D=x，则AD=AC-CD=8-x， Rt△AC'D中，AC'2+C'D2=AD2， ∴42+x2=（8-x）2，解得x=3， ∴C'D=3， ∵∠BC'D=90°， ∴点D到AB的距离为C'D=3． 故选：A． 【点睛】本题考查直角三角形中的翻折问题，解题的关键是在Rt△AC'D中，用勾股定理列方程． 10．如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠使点B落在边上的点D处：再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E则的长是（    ）    A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据折叠，可知，，进一步可知，设，在中，根据勾股定理列方程，求解即可． 【详解】解：根据折叠，可知，， ，， ， ， ， ， 设， ，， ，， ， 在中，根据勾股定理，得， 解得， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 11．如图，中，，，，，，是直线上一点，把沿所在的直线翻折后，点落在直线上的点处，（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，分两种情况：当点在点左边时和当点在点右边时，分别画出图形，利用折叠的性质和勾股定理解答即可求解，正确画出图形并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当点在点左边时，如图所示， 由折叠可得，，， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 当点在点右边时，如图所示， 由折叠可得，， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 综上，或， 故选：． 12．如图，在中，，，，M是延长线上一点，，P是边上一动点，连接，作与关于对称（点D与点B对应），连结，则长的最小值是（   ） A．0.5 B．0.6 C． D． 【答案】C 【分析】如图，过点A作于点E，当点A在的上时的值最小，根据勾股定理依次求出，，，的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点A作于点E，连接， ∵ 当点A在上时的值最小，如图， ∵，， ∴， 由折叠得：， ∵， ∴∠， 又∵， ∴， 在中中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质，勾股定理，最值问题等知识，两边之差小于第三边，解题的关键是作出辅助线，从整体上把握题意，准确找到图形中数量关系． 13．如图，在长方形中，，，点E是边上一点，连接，将长方形沿翻折，点C落在点处，点D落在点处，且边恰好经过点A，再将沿翻折，点落在点处，连接，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题重点考查勾股定理与折叠问题，主要可根据折叠前后两图形的全等条件，把某个直角三角形的三边都用同一未知量表示出来，并根据勾股定理建立方程，进而可以求解，熟练掌握折叠的原理和勾股定理是完成本题的关键． 第一步先利用折叠原理，得到为直角三角形，求得的值，并得到的值；第二步，求解，先设，得到，利用第一步的结论，通过勾股定理得到的值；第三步过作交于，利用直角三角形的性质和勾股定理计算得到的值，第四步用三角形的面积公式，利用前两步的结论计算完成求解． 【详解】解：由已知条件和折叠可知，为直角三角形，，， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， 过作交于，如下图， 由翻转的性质知，为直角三角形， ∴，， 根据直角三角形的面积公式得， ∴， 故的高为的长，底边为， ∴， 故答案为：． 14．长方形纸片中，，，按如图所示方式折叠，使点与点重合，折痕交和于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．由折叠的性质知，设，在，由勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知：， 设，则， 在，由勾股定理得， ∴， 解得， 即的长为． 故答案为：． 15．如图，将三角形纸片沿折叠，使点C落在上的点E处，若,则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，由折叠的性质可得，，可得，，根据勾股定理可求的值． 【详解】解：将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处， ，， ， ，     ， ∴， 在中，， 在中，， ， 故答案为：16． 16．如图，在中，，，，为斜边上的一动点（不包含，两端点），以为对称轴将翻折得到，连结．当时，的长为 ．    【答案】/ 【分析】当时，过点作于，可知，，得出为等腰直角三角形，得到，求出和的长，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】过点作于， 在中，，，， ∴ ∵， ， 在中， ∴， 当时，如图    由折叠性质可知，， 又 ， 又， ， ， ， 又， ， 又， ， 又， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． [题型3 勾股定理应用之求旗杆高度] 17．将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①，彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用勾股定理求出长方形对角线长度，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度即为旗杆的高度减去彩旗的对角线的长． 【详解】解：彩旗下垂时最低处离地面的最小高度即为旗杆的高度减去彩旗的对角线的长， 彩旗的对角线长为， ∴． 则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度为． 故选：B． 18．图1中有一首古诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中于点，尺，尺，则的长度为（    ） A．3尺 B．3.75尺 C．4尺 D．4.25尺 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．设的长度为尺，则尺，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设的长度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长度为3.75尺， 故选：B． 19．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）（    ）． A．17 B．16 C．15 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，勾股定理的应用，作辅助线构造直角三角形是解题关键．过点作于点，设旗杆的高度为，则，，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，标注各点，过点作于点， ，， 设旗杆的高度为，则，， 在中，， ， 解得：， 故选：A 20．《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由绳索的长度，可得出木柱的高度，再利用勾股定理，即可得出方程，此题得解． 【详解】解：设绳索长x尺，则木柱高尺， 由题意得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出方程、数学常识以及勾股定理的应用，找准等量关正确列出方程是解题的关键． 21．今有立木，系索其木，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问：索长几何？（选自《九章算术》）题目大意：如图，在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后托在地面上的长度为3尺．在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直．那么这根绳索的长度为 尺． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设尺，则尺，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设尺， 由题意得，尺，尺，， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴尺， ∴这根绳索的长度为尺， 故答案为：． 22．数学实践活动中，小红想测量奶奶家民房的高度．她将绳子从房子顶端垂直放下，绳子接触地面后还多出，当她把绳子斜拉直，并让绳子的末端刚好接触地面时，测得绳子末端离房子底部．若设房子的高度为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理，解答即可． 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得直角三角形斜边长为，直角边长分别为，， 根据勾股定理，得， 故答案为：． 23．一彩旗为长是80cm，宽是60cm的长方形，现将其插在地面上，为使旗面不着地，则旗杆长至少应为 cm． 【答案】100 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，由于彩旗的长和宽与彩旗对角线，即旗杆长正好构成直角三角形，利用勾股定理计算是解题的关键． 【详解】解：旗杆长至少应为， 故答案为：100． 24．为了有效地控制沙尘暴等恶劣天气对人类环境的破坏，某地对刚刚种植的小树进行加固处理．如图，用两根木棒加固树干，木棒与树在同一平面内，且树杆与地面垂直，点在地面上的同一水平线上，，求树干的高度． 【答案】树干的高度为． 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用． 在和中，分别运用勾股定理表示出的长，建立方程求解即可． 【详解】解：在中，， 在中，， ∴， 解得：， 所以， 即树杆的高度为． [题型4 勾股定理应用之求梯子滑落高度] . 25．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也下滑，则梯子的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先根据题意可得，，，，再设，则，利用勾股定理求出，然后根据建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴， 设，则， ∴，， 又∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 故选：C． 26．一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动的距离为（   ） A．4米 B．6米 C．8米 D．15米 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求的长度是解题的关键． 根据梯子长度不会变这个等量关系，利用勾股定理，即可解题． 【详解】解：由题意知米，米，米， 在直角中，斜边， 米， 已知米，则米， 在直角中， 米， 米． 故选：C． 27．如图，鱼竿长，露在水面上的鱼线长为．钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿提起到的位置（图中所有点均在同一平面内），此时露在水面上的鱼线长为，鱼线水平方向移动的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，抓住鱼竿的长度不变是解题的关键． 在和中，分别用勾股定理求出和，即可求出渔线水平方向移动的距离的值． 【详解】解：在中， ，， ． 根据题意可得， ， 在中， ， ． 鱼线水平方向移动的距离是， 故选：B． 28．如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7米．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3米，木板顶端向下滑动了0.9米，则木板的长为 米． 【答案】2.5 【分析】本题考查了勾股定理的应用，能将实际问题转化为数学问题是解题的关键； 根据题意，作图，设米，米，两次利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】如图，由题知，，米，米，米， 米， 设米，米，，则米， 在直角中，，即， 在直角中，，即， ，解得， ，解得， 米，即木板的长为2.5米． 故答案为：2.5． 29．如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，，． （1） m； （2）若梯子的顶端下滑，则梯子的底端向外移动了 ． 【答案】 2.5 1.3 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是： （1）直接根据勾股定理求解即可； （2）在中根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：（1）在中，，， ∴， 故答案为：2.5； （2）∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 即梯子的底端向外移动了， 故答案为：1.3． 30．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，向左滑动滑块B，物体C升高．滑块B移动距离比物体C升高高度多，求此时物体C升高了多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）设物体C升高了，则滑块B移动距离为，进而表示出和的长，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，，，， ∴， ∴绳子的总长度为， 答：绳子的总长度为； （2）解：设物体C升高了，则滑块B移动距离为， 则，， ∴， ∵在中，， ∴， 解得， 答：物体C升高了． 31．消防员是城市的守护者．图1是消防员某次消防救援时的工作图，图2是其几何示意图，已知云梯长，云梯底部（点）距离地面，消防车从距离地面高的点处完成救援后，还要从距离地面高的点处进行救援，这时云梯底部需要向楼房靠近多少米？（点在同一水平线上，所有点在同一竖直平面内） 【答案】云梯底部需要向楼房靠近 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理以及梯长保持不变是解题的关键． 利用云梯的长度不变和勾股定理分别求出的长，再利用进行计算即可． 【详解】解：由题意可得，则． 在中，， 由勾股定理可得． 在中，， 由勾股定理可得． 所以． 答：云梯底部需要向楼房靠近． [题型5 勾股定理应用之求大叔折断前的高度] 32．《九章算术》“勾股”章记载：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”题目大意：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为多少？（注：1丈尺）．若设竹子未折断部分的高度为尺，根据勾股定理可列方程求解，则未折断部分的高度为（　　） A．4.55尺 B．5.45尺 C．6.35尺 D．7.25尺 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，准确计算是解题的关键． 本题可根据竹子折断后形成的直角三角形进行求解，关键是要利用勾股定理建立方程． 【详解】设竹子未折断部分的高度为尺，因竹子高尺，所以折断部分的高为尺， 根据题意可得出图形： ， 解得：； 故选． 33．古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺， 设为x尺， 则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设为x尺，则尺，运用勾股定理即可列出方程，利用题目信息构造直角三角形，运用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：设为x尺，则尺，依题意得： ， 故选：B． 34．一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度为（    ） A．4尺 B．尺 C．尺 D．5尺 【答案】A 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用．设折断处离地面的高度是x尺，根据勾股定理即可列出方程进行求解． 【详解】解：设折断处离地面的高度是尺， 根据勾股定理得， 解得． 故折断处离地面的高度是4尺， 故选：A． 35．如图，一棵高为8米的树木在离地米处折断，则树木的顶端离树木底端 米． 【答案】4 【分析】此题是勾股定理的应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题来解决． 由题意得，，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：4． 36．《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为 尺．（1丈尺） 【答案】4.55 【分析】本题考查勾股定理的应用，设折断处离地面的高度为尺，在直角三角形中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为尺， ， 解得， 故答案为：． 37．如图，山坡上，树甲从点A处折断，其树顶恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4m，BC＝10m，已知两棵树的水平距离为6m，则树甲原来高 ． 【答案】(4+6)m 【分析】过C作CD⊥AB于D，由题意知BC=10，CD=6，根据勾股定理可得BD=8，从而得到AD的长，再利用勾股定理可得AC的长，即可得到树原来的高度． 【详解】解：如图作CD⊥AB交AB延长线于D， 由题意知BC=10m，CD=6m， 根据勾股定理得：BD=8m， ∵AB=4m， ∴AD=8+4=12m， AC===6m， ∴这棵数原来的高度=（4+6）m， 故答案为：（4+6）m． 【点睛】此题考查了勾股定理在实际生活中的应用，解题的关键是添加辅助线，正确的计算AC的长． 38．如图在一棵树的高的处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，设树高为，则可用表示出，利用勾股定理可得到关于的方程，求解即可．用树的高度表示出，利用勾股定理得到方程是解题的关键． 【详解】解：设树高为，则， 由题意可知：， ∴， 根据题意知：，即为直角三角形， ∴， 即， 解得：， 即这棵树高． 故答案为：． 39．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 【答案】(1)旗杆距地面处折断； (2)行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）设AC长为，则长，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图，由题意可得，求得．根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，，， 设AC长为，则长， 在中，由勾股定理可得， ， 解得． 答：旗杆在距地面处折断； （2）如图，由题意可得， ∴． 在中，， 因为， 答：行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． [题型6 勾股定理应用之解决水杯中筷子问题] 40．平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了4尺．由此可知水池的深度是 A．7尺 B．尺 C．8尺 D．尺 【答案】B 【分析】本题考查了解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 设水池的深度为尺，利用勾股定理，列出关于的方程求解． 【详解】解：设水池的深度为尺， 则， 解得：， 故选：B． 41．《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，求出箭在投壶外面部分的最大长度和最小长度即可判断求解，利用勾股定理求出箭在投壶外面部分的最小长度是解题的关键． 【详解】解：由题意，箭在投壶外面部分的长度最长为， 最小长度为； 故箭在投壶外面部分的长度不可能是； 故选A． 42．如图，是一个长方体的盒子，长，宽，高分别为，，，现将一根长为的筷子插入到盒子的底部，则筷子露在盒外的部分的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方体中勾股定理的运用，解答此题的关键是要找出筷子最长和最短时在盒中所处的位置，然后计算求解． 根据题中已知条件，首先要考虑筷子放进盒里垂直于底面时露在盒外的长度最长为；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答，进而求出露在盒外的长度最短． 【详解】解：①当筷子放进盒子垂直于底面时露在盒外的长度最长，最长为； ②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形， 底面对角线长为，高为， 由勾股定理可得盒里面的筷子长为， 则露在盒外的长度最短为； 故选：B． 43．已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是和，．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，，则铅笔的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径平方；第二个笔筒中：直径平方；因直径相等，列方程即可求解． 【详解】解：设铅笔长度为，由题意得， ， 解得，， 故铅笔的长为； 故选：A． 44．如图，在单位长度均为的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图的边在坐标轴上，点坐标为．将一根长度为的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是 (结果保留整数，取3，壁厚忽略不计)． 【答案】2 【分析】本题考查了圆柱的性质、圆的直径与周长关系以及勾股定理的应用，解题的关键是明确圆柱内铅笔能放置的最大长度为以底面直径和高为直角边的直角三角形的斜边． 由点B坐标确定圆柱的高，根据圆柱侧面展开图的周长求出底面直径；利用勾股定理计算以底面直径和高为直角边的直角三角形的斜边长度，即笔筒内铅笔能放置的最大长度；用铅笔总长度减去该最大长度，得到露出部分的最小长度并保留整数． 【详解】解：如图，表示圆柱底面直径，为圆柱的高，示意铅笔能放置的最大长度，为露出部分的最小长度， ∵点坐标为， ∴，， ∴， ∵铅笔总长度为，即， ∴， ∵， ∴， ∴ 即， ∵结果保留整数， ∴露出部分的最小长度约为． 故答案为：2． 45．水池中有一根芦苇，长在离岸边远的水底，直立时，芦苇高出水面，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设水的深度为，则芦苇的长度为，根据题意，可得方程，解方程即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设水的深度为，则芦苇的长度为， 由题意可得，， 解得， ∴水的深度为， 故答案为：． 46．一株荷叶高出水面1米，一阵风吹来，荷叶被吹得贴着水面，这时它偏离原来的位置水平距离有2米远，如图所示，求荷叶的高度和水面的深度． 【答案】荷叶的高度为米，水面的深度为米． 【分析】设OA＝OB＝x米，则OC＝（x﹣1）米，在Rt△OBC中，利用勾股定理得：（x﹣1）2+22＝x2，解方程即可． 【详解】解：设OA＝OB＝x米，则OC＝（x﹣1）米，BC＝2米， 在Rt△OBC中，由勾股定理得： OC2+BC2＝OB2， ∴（x﹣1）2+22＝x2， 解得x＝， ∴OA＝（米），OC＝x﹣1＝（米）， 答：荷叶的高度为米，水面的深度为米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据题意建立方程是解题的关键． [题型7 勾股定理应用之解决航海问题] 47．一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，则A，C两港之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明是直角三角形是解题的关键．根据题意画出图形，易证是直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，根据题意，得，，，， ∵ ∴ ∴ ∴在中， 即，两港之间的距离为． 故选：C． 48．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行海里．它们离开港口小时后分别位于点处，此时两船的距离是（   ） A．20海里 B．24海里 C．30海里 D．32海里 【答案】C 【分析】本题考查了方位角，勾股定理的运用，理解方位角的意义，掌握勾股定理的计算是解题的关键．根据方位角可得，由勾股定理即可求解． 【详解】解：“远航”号沿东北方向航行，“海天”号沿西北方向航行， ∴， ∴， ∵“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里，它们离开港口小时， ∴（海里），（海里）， ∴（海里）， 故选：C． 49．一艘小船早晨出发，它以8海里/时的速度向东航行，1小时后，另一艘小船以12海里/时的速度向南航行，上午，两小船相距 海里． 【答案】20 【分析】本题考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息得到直角三角形是解题的关键．因为正东方向与正南方向正好构成直角，因而两船所经过的路线，与两船之间的连线正好构成直角三角形，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可知，如图，在直角中，海里，海里， 根据勾股定理：海里． 故答案为： 20 ． 50．如图，某景区的划船观景处位于离水面A处4米高的岸上C处（即米，于点A），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处拉船靠岸，开始时绳子的长为12米．为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处（点D在上），求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 【答案】米 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，二次根式的运算，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型． 在中，利用勾股定理计算出长，继而可得长，然后再利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】解：在中，，米，米， （米）， 工作人员以1米秒的速度收绳，7秒后游船移动到点处， （米）， 在中，（米）， 米． [题型8 勾股定理应用之求最短路径] 51．如图所示，有一个长、宽各2米，高为3米且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为（　　） A．3米 B．4米 C．5米 D．米 【答案】C 【分析】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，解题关键是把长方体展开后用了勾股定理求出对角线的长度．昆虫有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）两个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的路径． 【详解】解：由题意得， 路径一： ； 路径二： ； 路径三： ； ∵， ∴5为最短路径． 故选：C． 52．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在蜂蜜相对的正上方的点B处，则蚂蚁到达蜂蜜A的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理与最短路径问题，沿过点A的竖直直线将圆柱侧面展开，由两点之间线段最短可知，线段的长即为蚂蚁到达蜂蜜A的最短距离，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，沿过点A的竖直直线将圆柱侧面展开， 由题意得，， 由两点之间线段最短可知，线段的长即为蚂蚁到达蜂蜜A的最短距离， 在中，由勾股定理得， ∴蚂蚁到达蜂蜜A的最短距离为， 故选：C． 53．固定在地面上的一个正方体木块如图①所示，其棱长为4，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点爬行到点的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据两点之间线段最短，将图②展开，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，正方体上表面的对角线为，将图②展开，连接交于点，线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程， 由题意可知：为等边三角形，为等腰直角三角形， ，，， ， ， ， 正方体的棱长为4， ，， 在中，， 在中，， ． 故选：A． 54．如图是一个长、宽、高的长方体玻璃水槽，用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，外侧P处的小蚂蚁想去吃糖，则小蚂蚁所走的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作点P关于的对称点A，则，由于用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，故展开图中，，连接，交于点E，此时最短，解答即可． 本题考查了长方体的展开图，勾股定理，轴对称，熟练掌握定理和展开图是解题的关键． 【详解】解：作点P关于的对称点A，则， 由于用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖， 故展开图中，， 连接，交于点E，此时最短， 且 故选：D    ． 55．如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为4分米的圆形，一只蚂蚁从点A爬过管道到达点C，需要走的最短路程是 分米（结果化为最简二次根式）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用－最短路线问题，把圆柱侧面展开，由两点之间，线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径，利用勾股定理计算即可求解，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：把圆柱侧面展开，如图， 则分米，分米， 由两点之间，线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径， 由勾股定理得，分米， ∴需要走的最短路程是分米， 故答案为：． 56．如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4的半圆，其边缘，点E在上，，一滑行爱好者从点滑行到点，则他滑行的最短距离为 （π的值为3）．    【答案】20 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用—最短路径问题．通过将U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理求最短路径是解题的关键．将半圆面展开，连接，则是最短路径，根据，计算求解即可． 【详解】解：将半圆面展开如图：连接，则是最短路径，    ∴，， 由勾股定理得，． ∴滑行的最短距离约为， 故答案为：20． 57．如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙竖直安放，墙为长方形，，，该管道底面是周长为的圆，一只蚂蚁从点A爬过管道到达C，则需要走的最短路程是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了勾股定理的应用—最短路线问题，正确画出图形是解题的关键． 把圆柱侧面展开，根据两点之间、线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径，利用勾股定理计算即可解答． 【详解】解：如图：把圆柱侧面展开，则，， 由两点之间，线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径， 由勾股定理得：， ∴需要走的最短路程是． 故答案为：15． 58．如图，​为线段上一动点，分别过点、作，​，连接、．已知，，，设． (1)用含​的代数式表示的长； (2)请问点​满足什么条件时的值最小；并求出的最小值． (3)参照上面构图的思想方法，构图求代数式​的最小值． 【答案】(1)； (2)点C满足、、三点共线时，的值最小；的最小值是； (3)． 【分析】本题考查了勾股定理，两点之间线段最短． （1）根据题意，，，设，得到，利用勾股定理求解即可； （2）根据两点之间线段最短可得点C满足、、三点共线时，的值最小，过点作的延长线于点，得到四边形为长方形，利用长方形性质和勾股定理可得的最小值； （3）根据，构造，，，，当、、三点共线时，最小，最小值为，延长到点，过点作于点，则四边形是长方形，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：，设， ， ，，，， ，， ∴，， ； （2）解：点C满足、、三点共线时，的值最小， 过点作的延长线于点， 则四边形为长方形， ，， ， ； （3）解：如图所示，根据，构造，，，， 当、、三点共线时，最小，最小值为， 延长到点，过点作于点， 则四边形是长方形， ，，， ， 即的最小值为． [题型9 勾股定理逆定理的实际应用] 59．我国古代著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问沙田一段，有三斜，其中小斜3里，中斜4里，大斜5里，欲知为田几何？”题目大意：有一块三角形沙田，三条边长分别为3里，4里，5里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里，则该沙田的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键． 直接利用勾股定理的逆定理结合直角三角形面积求法得出答案． 【详解】解：∵， ∴三条边长分别为3里，4里，5里，构成了直角三角形， ∴该沙田的面积为（平方里）． 故选A． 60．如图所示的一块地，，，，，，求这块地的面积为（    ） A．24 B．36 C．72 D．90 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 连接，先利用勾股定理可得，则可得，再根据勾股定理的逆定理可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴这块地的面积 ， 故选：A． 61．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿 方向航行． 【答案】西北方向 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用和方向角，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形进行解答． 根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可． 【详解】解：由题知，海里，海里，海里，， ， ， 是直角三角形，且， ， “海天”号沿西北方向航行． 故答案为：西北方向 62．一根电线杆高，为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一拉线．拉线工人发现所用线长为（不计捆缚部分），则电线杆与地面 （填“垂直”或“不垂直”）． 【答案】垂直 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理得出“电线杆、地面、拉线围成了直角三角形”，得出电线杆与地面的垂直关系即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵电线杆高，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一拉线，拉线工人发现所用线长为， ∴， ∴电线杆、地面、拉线围成了直角三角形，电线杆与地面的线段是直角边， ∴电线杆与地面垂直， 故答案为：垂直． 63．如图是王叔叔建房时所挖地基的平面图，按标准，四边形四个角都应是直角，他在挖完后测量发现，则他挖的地基 ．（填“合格”或“不合格”） 【答案】合格 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用，掌握运用勾股定理逆定理判定三角形是直角三角形的方法成为解题的关键． 通过勾股定理逆定理判定三角形是直角三角形可得，即可判断是否合格． 【详解】解：∵， ∴，即， 同理：， ∴他挖的地基是合格的． 故答案为：合格． 64．如图是张伯伯承包的一块待开垦的四边形田地，为田间的一条小路，且，已知，，，．请用你学过的知识计算出这块四边形田地的面积 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到，分割法求出田地的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为直角三角形， ∴四边形田地的面积． 65．笔直的河流一侧有一旅游地C可直接到达河边两个漂流点A，B，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，为方便游客，决定在河边新建一个漂流点H（点A，H，B在同一直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，千米．试问：能否求出原路线的长？说明理由．    【答案】能，，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理，先判断，再根据勾股定理列方程解答即可．解题的关键是能够证明． 【详解】解：， ∴原路线的长为千米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3勾股定理的简单应用. 题型梳理 [题型1 勾股定理与网格问题] [题型5 勾股定理应用之求大叔折断前的高度] [题型2 勾股定理与折叠问题] [题型6 勾股定理应用之解决水杯中筷子问题] [题型3 勾股定理应用之求旗杆高度] [题型7 勾股定理应用之解决航海问题] [题型4 勾股定理应用之求梯子滑落高度] [题型8 勾股定理应用之求最短路径] [题型9 勾股定理逆定理的实际应用] 一.应用体系总览(知识+题型+思想三位架构) 维度 核心内容 .知识基础 核心公式、变形公式、特殊直角三角形性质、勾股数、两点间距离公式 核心题型 基础计算、实际情境建模、几何综合、坐标与最值、分类讨论 数学思想 数形结合、建模思想、分类讨论、转化与化归 中考定位 分值占比 3%~8%，覆盖选择、填空、解答题（基础题必拿分，综合题拉分点） 二.核心知识夯实(应用的前提) (一)必记公式与性质. 1.核心定理:直角三角形两直角边a.b与斜边c满足：a2+b2=c2​ 2.变形公式(实用计算) 求斜边：c=​（边长为正，舍去负根）； 求直角边：a=​，b=​ 3.特殊直角三角形速算： *等腰直角三角形：斜边 = 直角边 ×​，面积 = ​× 直角边2 ； *含 30° 角直角三角形：斜边 = 30° 对边 ×2，另一直角边 = 30° 对边 ×​； 三.四大经典模型 模型类型 典型场景 解题关键步骤 垂直模型 梯子靠墙、旗杆与地面、桥洞高度 1. 识别水平 / 垂直直角边；2. 斜边为实际长度（梯子 / 绳长） 折叠模型 矩形 / 三角形折叠 1. 折叠前后对应边相等；2. 设未知数表示未知边；3. 构建直角三角形列方程 航海 / 路径模型 航海定位、最短路径 1. 方向角转化为直角（正东⊥正北）；2. 路程为直角边 / 斜边 测量模型 池塘两端、山高、不可直接测量距离 1. 构建直角三角形（可测量边为直角边）；2. 斜边为待求距离 通用解题模板：审题→画图→标注→列方程→求解→验证 1.审题：提取关键词（垂直、折叠、方向角、不可直接测量）； 2.画图：画出直角三角形示意图，标注直角、已知边长、未知边； 3.标注：折叠问题标注对应边相等，航海问题标注方向与路程； 4.列方程：未知边设未知数，代入勾股定理列方程； 5.求解：解方程（注意开方取正根）； 6.验证：结果符合实际情境（如长度为正、合理范围） 四.中考易错点专项突破 易错点类型 典型错误表现 突破策略 混淆直角边与斜边 代入公式时将斜边当作直角边（如∠C=90°，误列a2+c2=b2） 解题前标注直角和最长边，用不同颜色区分直角边与斜边 折叠问题漏用对应边 未利用 “折叠前后对应边相等”，无法构建直角三角形 折叠问题必画示意图，标注所有相等的边和角 单位不统一 一边为 “米”，一边为 “厘米”，直接代入计算 计算前统一单位（如均转化为 cm），纳入解题步骤 分类讨论漏解 已知两边求第三边时，只考虑第三边.为斜边的情况 牢记 “第三边可能是斜边或直角边”，强制分两种情况分析 勾股数应用错误 认为 6、8、9 是勾股数（6²+8²=100≠81） 熟记基础勾股数，验证勾股数需满足a2+b2=c2 （练习题） [题型1 勾股定理与网格问题] 1．如图，是由小正方形拼成的网格，若每个正方形的边长为1，连接2个格点可得到长为的线段，这样的线段的总数为（   ） A．6条 B．8条 C．12条 D．14条 2．如图，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D．则的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图1，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是（    ） A． B． C． D． 4．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“帥”“炮”两枚棋子所在格点之间的距离是 ． 5． 如图，在5×5的正方形网格中， 的顶点均在格点上，若 ，则点 P 与点 重合．（填“D”“E”或“F”，且点D，E，F均为格点） 6．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，则网格上的三角形中，边长不是有理数的有 条． 7．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点． (1)在图中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； (2)在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长为，，． [题型2 勾股定理与折叠问题] 8．如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为.若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则点D到AB的距离（　　） A．3 B．4 C．5 D． 10．如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠使点B落在边上的点D处：再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E则的长是（    ）    A． B． C． D．5 11．如图，中，，，，，，是直线上一点，把沿所在的直线翻折后，点落在直线上的点处，（   ） A． B． C．或 D．或 12．如图，在中，，，，M是延长线上一点，，P是边上一动点，连接，作与关于对称（点D与点B对应），连结，则长的最小值是（   ） A．0.5 B．0.6 C． D． 13．如图，在长方形中，，，点E是边上一点，连接，将长方形沿翻折，点C落在点处，点D落在点处，且边恰好经过点A，再将沿翻折，点落在点处，连接，则的面积为 ． 14．长方形纸片中，，，按如图所示方式折叠，使点与点重合，折痕交和于点，则的长为 ． 15．如图，将三角形纸片沿折叠，使点C落在上的点E处，若,则的值为 ． 16．如图，在中，，，，为斜边上的一动点（不包含，两端点），以为对称轴将翻折得到，连结．当时，的长为 ．    [题型3 勾股定理应用之求旗杆高度] 17．将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①，彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（    ） A． B． C． D． 18．图1中有一首古诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中于点，尺，尺，则的长度为（    ） A．3尺 B．3.75尺 C．4尺 D．4.25尺 19．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）（    ）． A．17 B．16 C．15 D．14 20．《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 21．今有立木，系索其木，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问：索长几何？（选自《九章算术》）题目大意：如图，在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后托在地面上的长度为3尺．在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直．那么这根绳索的长度为 尺． 22．数学实践活动中，小红想测量奶奶家民房的高度．她将绳子从房子顶端垂直放下，绳子接触地面后还多出，当她把绳子斜拉直，并让绳子的末端刚好接触地面时，测得绳子末端离房子底部．若设房子的高度为，则可列方程为 ． 23．一彩旗为长是80cm，宽是60cm的长方形，现将其插在地面上，为使旗面不着地，则旗杆长至少应为 cm． 24．为了有效地控制沙尘暴等恶劣天气对人类环境的破坏，某地对刚刚种植的小树进行加固处理．如图，用两根木棒加固树干，木棒与树在同一平面内，且树杆与地面垂直，点在地面上的同一水平线上，，求树干的高度． [题型4 勾股定理应用之求梯子滑落高度] . 25．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也下滑，则梯子的长度为（    ） A． B． C． D． 26．一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动的距离为（   ） A．4米 B．6米 C．8米 D．15米 27．如图，鱼竿长，露在水面上的鱼线长为．钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿提起到的位置（图中所有点均在同一平面内），此时露在水面上的鱼线长为，鱼线水平方向移动的距离是（    ） A． B． C． D． 28．如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7米．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3米，木板顶端向下滑动了0.9米，则木板的长为 米． 29．如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，，． （1） m； （2）若梯子的顶端下滑，则梯子的底端向外移动了 ． 30．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，向左滑动滑块B，物体C升高．滑块B移动距离比物体C升高高度多，求此时物体C升高了多少？ 31．消防员是城市的守护者．图1是消防员某次消防救援时的工作图，图2是其几何示意图，已知云梯长，云梯底部（点）距离地面，消防车从距离地面高的点处完成救援后，还要从距离地面高的点处进行救援，这时云梯底部需要向楼房靠近多少米？（点在同一水平线上，所有点在同一竖直平面内） [题型5 勾股定理应用之求大叔折断前的高度] 32．《九章算术》“勾股”章记载：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”题目大意：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为多少？（注：1丈尺）．若设竹子未折断部分的高度为尺，根据勾股定理可列方程求解，则未折断部分的高度为（　　） A．4.55尺 B．5.45尺 C．6.35尺 D．7.25尺 33．古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺， 设为x尺， 则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 34．一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度为（    ） A．4尺 B．尺 C．尺 D．5尺 35．如图，一棵高为8米的树木在离地米处折断，则树木的顶端离树木底端 米． 36．《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为 尺．（1丈尺） 37．如图，山坡上，树甲从点A处折断，其树顶恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4m，BC＝10m，已知两棵树的水平距离为6m，则树甲原来高 ． 38．如图在一棵树的高的处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高 ． 39．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ [题型6 勾股定理应用之解决水杯中筷子问题] 40．平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了4尺．由此可知水池的深度是 A．7尺 B．尺 C．8尺 D．尺 41．《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 42．如图，是一个长方体的盒子，长，宽，高分别为，，，现将一根长为的筷子插入到盒子的底部，则筷子露在盒外的部分的取值范围是（   ） A． B． C． D． 43．已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是和，．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，，则铅笔的长是（    ） A． B． C． D． 44．如图，在单位长度均为的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图的边在坐标轴上，点坐标为．将一根长度为的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是 (结果保留整数，取3，壁厚忽略不计)． 45．水池中有一根芦苇，长在离岸边远的水底，直立时，芦苇高出水面，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度为 ． .46．一株荷叶高出水面1米，一阵风吹来，荷叶被吹得贴着水面，这时它偏离原来的位置水平距离有2米远，如图所示，求荷叶的高度和水面的深度． [题型7 勾股定理应用之解决航海问题] 47．一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，则A，C两港之间的距离为（　　） A． B． C． D． 48．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行海里．它们离开港口小时后分别位于点处，此时两船的距离是（   ） A．20海里 B．24海里 C．30海里 D．32海里 49．一艘小船早晨出发，它以8海里/时的速度向东航行，1小时后，另一艘小船以12海里/时的速度向南航行，上午，两小船相距 海里． 50．如图，某景区的划船观景处位于离水面A处4米高的岸上C处（即米，于点A），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处拉船靠岸，开始时绳子的长为12米．为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处（点D在上），求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） [题型8 勾股定理应用之求最短路径] 51．如图所示，有一个长、宽各2米，高为3米且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为（　　） A．3米 B．4米 C．5米 D．米 52．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在蜂蜜相对的正上方的点B处，则蚂蚁到达蜂蜜A的最短距离为（   ） A． B． C． D． 53．固定在地面上的一个正方体木块如图①所示，其棱长为4，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点爬行到点的最短路程为（    ） A． B． C． D． 54．如图是一个长、宽、高的长方体玻璃水槽，用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，外侧P处的小蚂蚁想去吃糖，则小蚂蚁所走的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 55．如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为4分米的圆形，一只蚂蚁从点A爬过管道到达点C，需要走的最短路程是 分米（结果化为最简二次根式）． 56．如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4的半圆，其边缘，点E在上，，一滑行爱好者从点滑行到点，则他滑行的最短距离为 （π的值为3）．    57．如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙竖直安放，墙为长方形，，，该管道底面是周长为的圆，一只蚂蚁从点A爬过管道到达C，则需要走的最短路程是 ． 58．如图，​为线段上一动点，分别过点、作，​，连接、．已知，，，设． (1)用含​的代数式表示的长； (2)请问点​满足什么条件时的值最小；并求出的最小值． (3)参照上面构图的思想方法，构图求代数式​的最小值． [题型9 勾股定理逆定理的实际应用] 59．我国古代著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问沙田一段，有三斜，其中小斜3里，中斜4里，大斜5里，欲知为田几何？”题目大意：有一块三角形沙田，三条边长分别为3里，4里，5里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里，则该沙田的面积为（　　） A． B． C． D． 60．如图所示的一块地，，，，，，求这块地的面积为（    ） A．24 B．36 C．72 D．90 61．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿 方向航行． 62．一根电线杆高，为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一拉线．拉线工人发现所用线长为（不计捆缚部分），则电线杆与地面 （填“垂直”或“不垂直”）． 63．如图是王叔叔建房时所挖地基的平面图，按标准，四边形四个角都应是直角，他在挖完后测量发现，则他挖的地基 ．（填“合格”或“不合格”） 64．如图是张伯伯承包的一块待开垦的四边形田地，为田间的一条小路，且，已知，，，．请用你学过的知识计算出这块四边形田地的面积 65．笔直的河流一侧有一旅游地C可直接到达河边两个漂流点A，B，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，为方便游客，决定在河边新建一个漂流点H（点A，H，B在同一直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，千米．试问：能否求出原路线的长？说明理由．   . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $