重难点专题02 勾股定理与最短路径问题6重难点（专项训练）数学苏科版2024八年级上册

重难点专题02 勾股定理与最短路径问题 重难点一 蚂蚁沿着长方体表面爬行，求最短路径 长方体蚂蚁爬行的最短路径为 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为（    ） A．20 B．22 C．24 D．25 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：长方体侧面展开图如图所示． 由题意，得，． 在中，， 故选：D． 2．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，有一长方体容器， ，，，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点 A爬到点的最短爬行路程是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，画出展开图找到最短路径是解题的关键． 画出展开图，从点A爬到点的最短爬行距离为的长度根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在长方体容器，，，， ，，， ①当从正面和右侧面爬行时，从点A爬到点的最短爬行距离为的长度，如图， 在中 ， ②当从前面和上面爬行时，从点A爬到点的最短爬行距离为的长度，如图 在中 ， ③如图，当从上面和右侧面爬行时，从点A爬到点的最短爬行距离为的长度，， 在中 ， ， 从点 A爬到点的最短爬行路程是10， 故选：C 3．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，有一棱长为的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点到点拉一条捆绑线绳，使线绳经过、、、四个面，则所需捆绑线绳的长至少为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用，把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到捆绑线绳的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于两个棱长，另一条直角边长等于个棱长，利用勾股定理可求得，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”解题的关键． 【详解】如图，将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段即为最短路线， 展开后由勾股定理得：， ∴，即有：， 故选：． 4．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，一个长方体蛋糕盒的长、宽、商分别为，点到点的距离为．现有一只蚂蚁从点出发，沿着长方体的表面爬行到点处，则蚂蚁需要爬行的最短距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考虑蚂蚁从正面和上面沿直线爬到点，从正面和右侧面沿直线爬到点，从左侧面和上面沿直线爬到点，画出图形，利用勾股定理求出距离，进行比较即可解答． 【详解】解：当蚂蚁从正面和上面沿直线爬到点，如图所示：    此时，则， ； 当蚂蚁从正面和右侧面沿直线爬到点，如图所示：    此时，则， ； 从左侧面和上面沿直线爬到点，如图所示：    此时，则， ； ， 蚂蚁需要爬行的报短距离是， 故选：C． 【点睛】此题考查了最短路径问题，利用了转化的思想，解题的关键是将立体图形展为平面图形，利用勾股定理的知识求解． 5．（21-22八年级上·安徽宿州·期末）如图，正四棱柱的底面边长为4cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从点A出发，沿棱柱外表面到点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（    ） A． B．14cm C． D．10cm 【答案】D 【分析】把正四棱柱展开为平面图形，分两种情形求出路径，比较即可解答． 【详解】解：把正四棱柱展开为平面图形，分两种情形： 如图1中，， 如图2中，， ∵ ， ∴爬行的最短路径是10cm． 故选:D 【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，涉及了勾股定理的应用，解题的关键是将问题进行转化，然后根据勾股定理求解． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，长方体的棱长为3，棱长为5，棱长为2，P为中点，一只蚂蚁从点A出发，在长方体表面沿如图所示的路径到点P处吃食物，则它爬行的最短路程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最短路径，勾股定理等知识，在展开图中，根据勾股定理求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图： 由题意可知，此时的路程最短， 在中，， ∴它爬行的最短路程是， 故答案为：． 7．（23-24八年级上·山西太原·期中）包装纸箱是我们生活中常见的物品．如图1，创意DIY小组的同学将一个的长方体纸箱裁去一部分（虚线为裁剪线），得到图2所示的简易书架．若一只蜘蛛从该书架的顶点出发，沿书架内壁爬行到顶点处，则它爬行的最短距离为 ． 【答案】50 【分析】本题考查了勾股定理的应用，平面展开一最短路径问题，把书架侧面展开，A，B点如图所示，连接A，B，则爬行最短距离为的长，再根据勾股定理求出的长即可，将立体图形展开在平面图形中求解是解题的关键． 【详解】解：如图，把书架侧面展开，A，B点如图所示，连接A，B，则爬行最短距离为的长， 由图可知：， ， 在中， ， 则它爬行的最短距离为， 故答案为：． 8．（20-21八年级上·陕西·期末）如图，一个无盖长方体容器，其底面是一个边长为的正方形，高为． (1)一只蚂蚁在点（容器外部）发现容器的外部距离顶部处的点有一滴蜂蜜，它想沿长方体侧面以最短的路程到达处．请问蚂蚁走的最短路程是多少？ (2)小明想用一根彩带从容器底面点开始绕长方体四个侧面缠绕1周到达点（假设彩带完美贴合长方体的表面，彩带宽度不计）．请问彩带的长度最短是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，把空间问题转化为平面图形问题是解题的关键； （1）将长方体的正面和右侧面展开，连接，则即为蚂蚁走的最短路程，利用勾股定理即可求解． （2）将长方体的侧面沿展开，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：如图，将长方体的正面和右侧面展开，连接，则即为蚂蚁走的最短路程． 在Rt中，， ． 答：蚂蚁走的最短路程是． （2）解：如图，将长方体的侧面沿展开， 则， ． 答：彩带的长度最短是． 9．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）如图，在棱长为的正方体上有一些线段，把所有的面都分成9个小正方形，每个小正方形的边长都为．若一只蚂蚁每秒爬行，则它从下底面点沿表面爬行至右侧点最少要花多长时间？    【答案】 【分析】把正方形的点所在的面展开，然后在平面内，由于展开图有两种情况：在直角三角形中，一条直角边长等于5，另一条直角边长等于2；一条直角边长等于4，另一条直角边长等于3；利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．再比较即可得到答案． 【详解】解：如图所示，分两种情况讨论： ①如图1，将正方体的正前和右侧两面展开，使点，在同一平面内．则点到点的最短路径是线段， 由题意，得，， 根据勾股定理，得； ②如图2，将正方体的正前和上底两面展开，使点，在同一平面内，则点到点的最短路径为线段， 由题意，得，， 根据勾股定理．得． ∵， ∴图1中的路径最短， ∴这只蚂蚁至少要爬行的时间为．      【点睛】本题考查了勾股定理的拓展应用，“化曲面为平面”是解决“怎么爬行最近”这类问题的关键． 10．（22-23八年级下·湖南永州·阶段练习）如图是长、宽、高的长方体容器． (1)求底面矩形的对角线的长； (2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？ (3)一只蚂蚁从D点爬到E点最短路径是多少？ 【答案】(1)底面矩形的对角线的长为 (2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是 (3)蚂蚁从D点爬到E点最短路径 【分析】（1）根据题意运用勾股定理即可得出结果； （2）根据题意连接、，两次运用勾股定理即可得出结果; （3）分别求出三种情况下蚂蚁爬行的最短距离，然后进行比较，得出蚂蚁爬行的最短距离即可． 【详解】（1）解：∵、，， ∴对角线的长为：； 答：底面矩形的对角线的长为． （2）解：连接、，如图所示： 在中， ∵、，， ∴， 在中， ． 答：这个盒子最长能放的棍子． （3）解：将前面的面和右边的面展开，如图所示： 此时蚂蚁从D点爬到E点最短路径为： ； 将前面的面和上边的面展开，如图所示： 此时蚂蚁从D点爬到E点最短路径为： ； 将左边的面和上边的面展开，如图所示： 此时蚂蚁从D点爬到E点最短路径为： ； ∵， ∴蚂蚁从D点爬到E点最短路径． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用，根据题意，作出辅助线、构造出直角三角形是解答此题的关键． 重难点二 蚂蚁沿着圆柱表面爬行，求最短距离 圆柱类问题化曲为平，立体图形转化为平面图形，再转成直角三角形求解，此类问题特别要注意的是蚂蚁爬行半个侧面还是整个侧面. 11．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，圆柱形玻璃容器高，底面圆的周长为，在外侧距下底的点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查平面展开-最短路径问题，画出正确的平面展开图，作出辅助线构造直角三角形利用勾股定理求解是解题关键． 先把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图，点为点A展开后的对应点，根据两点之间线段最短得到最短路线长度为 的长度，然后根据勾股定理计算的长即可． 【详解】解：把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图，点为点A展开后的对应点， 作于， 由题意得：，， ， ∴ ， 在中，． 故选D． 12．（23-24八年级下·广西北海·期中）如图，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，若，点P移动的最短距离为，则圆柱的底面周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，先根据题意画出圆柱的侧面展开图，然后连接，再利用勾股定理即可得出的长即可得到结论．利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 在圆柱的侧面展开图中，，，设， ∵点移动的最短距离为， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴圆柱的底面周长为：． 故选：C． 13．（23-24八年级上·山西太原·期中）山西太原晋祠圣母殿的大殿正面八根下檐柱上有木制雕龙缠绕，这就是作为晋祠“古建三绝”之一的盘龙雕柱．国庆期间，某小区计划将门口的四根圆柱形立柱仿照盘龙雕柱用彩带装饰，为了美观，每根立柱需要按如图所示的方式从点A沿立柱表面缠绕三周到其正上方的点B处．若每根立柱的底面周长为，高为，则每根立柱所用彩带的最短长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱的平面展开图、勾股定理的应用，将圆柱的问题转化为关于直角三角形的问题是解题关键．如图（见解析），将圆柱展开成长方形，则彩带的长度为3个小长方形的对角线（虚线）长之和，再在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，将圆柱展开成长方形，则彩带的长度为3个小长方形的对角线（虚线）长之和．    由题意可知，在长方形中，，，， 则由勾股定理得：， 所以， 所以每根立柱所用彩带的最短长度为， 故选：C． 14．（21-22七年级上·山东烟台·期末）如图，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱高为8cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（    ） A．10cm B．20cm C．cm D．100cm 【答案】B 【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度． ∵圆柱底面的周长为12 cm，圆柱高为8cm， ∴AB=8dm，BC=BC′=6cm， ∴AC2=62+82=100， ∴AC=10， ∴这圈金属丝的周长最小为2AC=20（cm）， 故选：B． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键． 15．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如图，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是分米，当一段葛藤绕树干沿最短路线盘旋圈升高为分米时，这段葛藤的长为 分米． 【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．根据题意画出图形，利用圆柱侧面展开图，结合勾股定理求出即可． 【详解】解：圆柱的侧面展开图如下，则分米，分米， （分米）， 这段葛藤的长分米， 故答案为：． 16．（2023八年级上·全国·专题练习）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上．    （）若绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是 尺． （）若绕周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是 尺． 【答案】 ； ． 【详解】（）根据题意画出图形，在中，再根据勾股定理求解即可； （2）在中根据勾股定理求解即可； 本题考查的是平面展开—最短路径问题，能够根据题意画出图形，构造出直角三角形是解题的关键． （）解：如图所示，      在中，，， ∴（尺） 故答案为：； （）解：在中，，， ∴（尺）， 故答案为：． 17．（23-24八年级下·河北·期中）【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 【答案】（1）34cm；（2）秒． 【分析】题目主要考查圆柱及棱柱的展开图，勾股定理解三角形，最短距离等问题，理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关键． （1）根据题意将圆柱展开，然后利用勾股定理求解即可； （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒．在中，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：（1）如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段就是蜘蛛走的最短路线． 由题意可得在中， ，，， ∴， ∴蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm． （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒． 如图2，在中， ∵长方体的棱长，， ∴，，，， ∴， 解得． 答：昆虫乙至少需要秒才能捕捉到昆虫甲． 18．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）如图a，圆柱的底面半径为，圆柱高为，是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线： 路线1：高线＋底面直径，如图a所示，设长度为． 路线2：侧面展开图中的线段，如图b所示，设长度为． (1)你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由； (2)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算．（结果保留） ①此时，路线1的长度 ，路线2的长度 ； ②所以选择哪条路线较短？试说明理由． 【答案】(1)选择路线1较短，理由见解析 (2)①8，；②选择路线2较短，理由见解析 【分析】（1）利用勾股定理计算后，比较大小即可； （2）把条件改成：“圆柱底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算即可． 【详解】（1）解：剪开前，，， ∴， 剪开后，，， ∴； ∵ ∴即所以选择路线1较短； （2）解：①， ． ②， ∴即所以选择路线2较短． 【点睛】此题主要考查了平面展开最短路径问题，比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便，比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．注意运用类比的方法做类型题． 19．（21-22八年级上·江西景德镇·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长． (3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ 【答案】(1)A (2) (3) 【分析】（1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题； （2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （3）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍． 【详解】（1）解：因圆柱的侧面展开面为长方形，展开应该是两线段，且有公共点． 故选：A； （2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． 圆柱底面的周长，圆柱的高， 该长度最短的金属丝的长为． （3）解：若将金属丝从点B绕四圈到达点A， 则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍： ． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 重难点三 蚂蚁爬楼梯问题 蚂蚁爬楼梯的最短路径为 20．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题的是平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：， 解得：． 故选：C． 21．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为、、．和是台阶两个相对的端点，在点有一只蚂蚁，想到点去觅食，那么它爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，勾股定理．根据题意画出台阶的侧面展开图，再根据勾股定理求出的长即可得出结论． 【详解】解：如图所示， ， ． 故选C． 22．（20-21八年级上·甘肃·期末）如图，在一个长方形草坪上，嵌入一根长方体的木条，已知米，米，该木条的较长的棱长与平行，露出地面部分的横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木条到达点C处需要走的最短路程是（   ） A．13米 B．10米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，解题的关键是将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：由题意可知，将木条展开，相当于是个正方形的宽， ∴长为米；宽为6米， 于是最短路径为：（米）． 故选：D． 23．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是，宽都是，长都是40cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查两点之间线段最短、立体图形展开为平面图形求最小值问题、勾股定理等知识，根据展开成平面图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：把这个台阶示意图展开为平面图形得图①：    在中， ，, ∴， ∴一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是． 故选：C． 24．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程． 【答案】 【分析】本题考查的是平面展开-最短路线问题，解答中涉及勾股定理，将中间半圆柱的凸起展平，使原来的长方形长增加而宽不变，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，长度变为半圆周长， ∴，则， 连接， 在长方形中，，， 由勾股定理，得， ∴蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走的路程． 故答案为：． 25．（21-22八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且长于草地宽，木块的上下底面是边长为米的正三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要爬行的最短路程是 米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，长方形的长为米，因为长方形的宽为1米，一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长， ∴长方形的长为米， ∵长方形的宽为1米， ∴一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线， ∴米， 故答案为：． 26．（23-24八年级下·山东聊城·期中）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】 （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为________． 【应用】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是________．（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）蚂蚁爬行的最短距离为；（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 蚂蚁爬行的最短距离为； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，, ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 故答案为：． 27．（21-22八年级下·重庆九龙坡·期末）如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米． (1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？ (2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？ 【答案】(1)每一级台阶的高为2分米． (2)蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米． 【分析】（1）设每一级台阶的高为x分米，根据题意列方程即可得到结论； （2）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】（1）解：设每一级台阶的高为x分米， 根据题意得，18×（4＋x）×4＝432， 解得x＝2， 答：每一级台阶的高为2分米； （2）四级台阶平面展开图为长方形，长为18分米，宽为（2＋4）×4＝24分米， 则蚂蚁沿台阶面从点A爬行到C点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：AC＝（分米）， 答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米． 【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 重难点四 蚂蚁外壁+内壁爬行，求到顶点的最短距离 将该问题转化为将军饮马问题解决. 28．（河南省三门峡市实验中学2022-2023学年八年级上学期第一次月考数学试题）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（    ）（杯壁厚度不计）． A．14 B．18 C．20 D．25 【答案】C 【分析】如图（见解析），将杯子侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，将杯子侧面展开，作关于的对称点，连接，作，交延长线于点， 则， 由两点之间线段最短可知，当点、、在同一条直线上时，取得最小值，最小值为的长度， 由题意可知，，， 则， 即蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为， 故选：C． 【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 29．（河南省郑州市金水区郑州龙门实验学校2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题）有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深，在水面上紧贴内壁的G处有一块面包屑，G在水面线上，且，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为（    ）． A．100 B．110 C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，作点A关于的对称点，连接交与点Q，则小虫沿着的路线爬行时路程最短． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接交与点Q，则，此时小虫沿着的路线爬行时路程最短， ∵，高，水深，， ∴，， ∴， 在直角中，， 即最短路线长为． 故选：D 【点睛】本题主要考查了勾股定理—最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解． 30．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为（杯壁厚度不计）（   ） A． B．25 C． D．13 【答案】D 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，将杯子侧面展开，如图：延长至，使，作于，连接交于，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，延长至，使，作于，连接交于，    ∴，，， ∵底面周长为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴最短距离为． 故选：D． 31．（2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）    【答案】10 【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 32．（23-24八年级上·山西晋中·阶段练习）“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事．如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从A地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到B地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？    大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图②，作点B关于直线的对称点，连接与直线交于点P，连接，则的和最小． 请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答． 理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴______，______，（依据______） ∴______． 在中，∵，（依据______）， ∴，即最小． 【归纳总结】 在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P为与的交点，即三点共线）． 由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型． 【模型应用】 如图④，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为______． 【答案】，，轴对称的性质，，三角形三边关系；【模型应用】17． 【分析】由轴对称的性质和三角形三边关系解答即可； 把图④的半个侧面展开为矩形，如图，作点A关于的对称点，连接交于P，作于D，由【归纳总结】可得出最短路程为，再结合勾股定理求解即可． 【详解】理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴，，（依据轴对称的性质） ∴． 在中，∵，（依据三角形三边关系）， ∴，即最小； 故答案为：，，轴对称的性质，，三角形三边关系； 【模型应用】解：把图④的半个侧面展开为矩形，如图，作点A关于的对称点，连接交于P，作于D，    ∴． 由【归纳总结】可知蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为． ∵， ∴， ∴． 又∵圆柱形玻璃杯底面周长为， ∴， ∴， ∴蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为． 故答案为：17． 【点睛】本题考查轴对称的性质，三角形三边关系的应用，勾股定理．理解题意，掌握轴对称的性质是解题关键． 重难点五 数形结合思想 通过数形结合，将求的最小值转为为求AB的最短距离问题，则 33．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如： “当时，求代数式 的最小值”，其中 可看作两直角边分别为x和2的的斜边长， 可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知x，y均为正数，且．则 的最小值是（  ）    A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，动点问题，解题的关键是理解题中所给的思路，根据题干中的思路进行解答． 根据题中所给的思路，将可以可看作两直角边分别是和2的的斜边长，可以可看作两直角边分别是和4的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接，则的最小值为，再利用勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图：   可以可看作两直角边分别是和2的的斜边长，可以可看作两直角边分别是和4的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接，当A，P，B共线是，的最小值为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 34．（22-23九年级上·广东广州·自主招生）已知x为实数，则的最小值为（　　） A．5 B． C． D．6 【答案】A 【分析】 ，令，，，则表示，点到点和点的距离的和，如图，可得当三点共线时，的值最小，值为，计算求解即可． 【详解】解：∵ ， 令，，， ∴表示，点到点和点的距离的和，如图，    ∴当三点共线时，的值最小，值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用最短路径问题．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 35．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． (1)把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，．用含、、的式子分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理．上述图形的面积满足的关系式为________，经化简，可得到勾股定理． (2)如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）； (3)在（2）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求出的距离． (4)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3)千米 (4) 【分析】（1）根据可得四边形为直角梯形，则，根据，可得，则，由，可得，，进而可得，再根据可得，据此即可得出答案； （2）连接，过点作于点，根据，可得四边形是矩形，进而可得千米，千米，于是可得千米，然后利用勾股定理即可求得、两个村庄之间的距离； （3）由题意可知，点在的垂直平分线上，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求；设千米，则千米，在和中，分别利用勾股定理表示出和，然后通过建立方程，解方程即可求出的距离； （4）根据轴对称—最短路线的求法即可求出：先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则就是代数式的最小值；然后利用轴对称的性质、矩形的判定与性质及勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：依题意得：，，，， ， ， 四边形为直角梯形， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 整理，得：， 故答案为：； （2）解：如图，连接，过点作于点， ，， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， 千米， 两个村庄的距离为千米， 故答案为：； （3）解：由题意可知，点在的垂直平分线上， 如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：， 即：千米； （4）解：如图，， 先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设， 则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 【点睛】本题是四边形—三角形综合题，主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用（包括：选址使到两地距离相等、求最短路径等），轴对称—最短路线问题，线段的垂直平分线，矩形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，这是解本题的关键，而构造出直角三角形则是解本题的难点． 36．（19-20八年级上·江苏无锡·期中）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题： (1)几何应用：如图2，中，，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为 ； (2)代数应用：求代数式的最小值； (3)几何拓展：如图3，，，，若在、上各取一点M、N使的值最小，最小值是 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）作点E关于直线的对称点，连接，根据“将军饮马问题”得到的最小值为，根据勾股定理求出，得到答案； （2）根据勾股定理构造图形，根据轴对称——最短路线问题得到最小值就是求的值，根据勾股定理计算即可； （3）作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接，根据等边三角形的性质解答． 【详解】（1）解：如图2，作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为， 作交的延长线于F， 由题意得，，， ∴的最小值 故答案为：； （2）构造图形如图3所示，，，，于A，于B，， 则， 代数式的最小值就是求的值， 作点C关于的对称点，过作交的延长线于E． 则，，， ∴所求代数式的最小值是5； （3）解：如图4，作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接， 则，， ∴为等边三角形， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是轴对称——最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质，解这类问题的关键是将实际问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段． 37．（22-23八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一条河流的段长为，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，计划在上建一座桥，使得桥到村和村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题： (1)将桥建在何处时，可以使得桥到村和村的距离和最小？请在图中画出此时点的位置； (2)小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求出当______时，的值最小，且最小值为______； (3)结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值： ①的最小值______； ②的最小值为______． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)①；② 【分析】（1）直接根据两点之间线段最短，连接，交于点即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得出的长度，根据勾股定理求出即为最小值； （3）①根据题意可知的最小值，计算即可； ②将转换为，然后根据上述规律求最小值即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所作： ； （2）过点作，交与点, 则，， ， 设为，则， 则， 即， 解得， ，当时，最小值为， 故答案为：；； （3）①的最小值， 故答案为：； ② 的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，考查了数形结合的思想，读懂题意，将已知式子转换为相应的图形进行解答是本题的关键． 重难点六 勾股定理与将军饮马综合 38．（湖北省襄阳市四中、五中2022-2023学年自主招生数学试题）如图有一条直角弯道河流，河宽为2，、两地到河岸边的距离均为1，，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为　　    A． B． C．14 D．12 【答案】C 【分析】延长到，使得，延长到，使得，连接交河道于点，，得到两座桥，，此时的值最小． 【详解】解：延长到，使得，延长到，使得，连接交河道于点，，得到两座桥，，此时的值最小．    ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理：=， 延长交的延长线于点． ∴，， ∴，， 在中，， ， 的最小值为14． 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 39．（云南省文山薄竹镇乐诗冲中心学校2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）白日登山望烽火，黄香饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：如下图，诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若点A到水平直线l（l表示小河）的距离为3，点B到水平直线l的距离为2，A、B两点之间的水平距离是3，则最小值为（   ） A． B．4 C．5 D．― 【答案】A 【分析】作点A关于直线l的对称点，连接B交直线l于点P，此时AP＋PB最小，且的最小值为B的长度，然后求出EB和E，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时AP＋PB最小； ∵PA＝P， ∴AP＋PB＝P＋PB＝B， 过点B作BE⊥AC于点E， ∵AC⊥CD， ∴BECD， 又∵AC⊥CD，BD⊥CD， ∴CE＝BD＝2， 同理可得：EB＝CD＝3， ∵AC＝C＝3， ∴E＝2＋3＝5， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线的判定，平行线间的距离处处相等，轴对称最短路径问题以及勾股定理，准确找到点P的位置是解此题的关键． 40．（2022年广西贵港市桂平市初中毕业班第二次教学质量监测数学试题）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3．动点P满足＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由，得出动点在与平行且与的距离是2的直线上，作关于直线的对称点，连接，连接，则的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形中，由勾股定理求得的值，即的最小值． 【详解】设中边上的高是． ， ， ， 动点在与平行且与的距离是2的直线上，如图，作关于直线的对称点，连接，连接，则的长就是所求的最短距离． 在中，，， ， 即的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点所在的位置是解题的关键． 41．（江苏省常州市新北区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题）如图，在中，，，．直线，是上一动点．则的最小值是 ．    【答案】5 【分析】此题考查轴对称求最短路径，勾股定理，线段垂直平分线的性质，延长至点G，使，连接交于点F，连接，得到，当A、D、G三点共线时，的值最小，即线段的长度，勾股定理求出即可，正确理解最短路径问题的解题思路是解题的关键． 【详解】如图，延长至点G，使，连接交于点F，连接，    ∵，， ∴，即 ∴， ∵， ∴当A、D、G三点共线时，的值最小，即线段的长度， ∵，，， ∴ ∴, ∴的值最小值为5， 故答案为：5． 42．（陕西省西安市莲湖区2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷）如图，点在轴上，直线与两坐标轴分别交于，两点，，分别是线段，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，过点作于，则的最小值，三角形面积公式得到的长度便可． 【详解】解：如图，点关于的对称点，过点作交于点，连接，，， 则， 当、、三点共线，且、重合时，为的最小值， 直线的解析式为， ∴当时，， 当时，， ∴，， ， ， ， ∴， 即， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短问题、一次函数与坐标轴的交点、勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是利用对称性找到点、点位置，属于中考常考题型． 43．（江苏省无锡市江阴市南闸实验学校2024~2025学年八年级数学上学期期中复习练）如图，铁路上、两站相距，、为两个村庄，，，垂足分别为、，已知，，现在要在铁路上修建一个中转站，使得到、两村的距离和最短．请在图中画出点的位置，并求出的最小值． 【答案】图见解析，的最小值为． 【分析】本题考查了作图应用与设计作图，勾股定理的应用，轴对称最短路线问题．作点关于的对称点，连接与的交点就是点，点即为中转站的位置；然后根据勾股定理即可得的最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接与的交点就是点， 点即为中转站的位置； 过作的延长线于点， 则，， ， 在中，根据勾股定理，得 ， ， 的最小值为． 44．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召，决定在公路相距的A、B两站之间的E点修建一个土特产加工基地．如图，于点A，于B．已知，． (1)如图1，当C、D两村庄到基地E点的距离相等时，求基地E距A多远？ (2)如图2，当C、D两村庄到基地E点的距离之和最短时，求基地E距A多远？自行作图，并求出的最小值． 【答案】(1)基地E距A为 (2)基地E距A为，图见解析，的最小值为 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由勾股定理得，，则，设为，则，得，求解即可； （2）作点D关于的对称点，连接交于点E，的最小值为的值，即的长，过点作于点，交于点，过点作于点，根据平行线间距离相等，得到，，证明，得到，从而求出，再过点作，交的延长线于点F，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：∵C、D两村庄到基地E点的距离相等， ∴， 在和中，， ∴． 设，则， ∴， 解得：， 答：基地E距A为； （2）解：如图，作点D关于的对称点，连接交于点E，的最小值即为的值，最小值为的长， ∴， 过点作于点，交于点，过点作于点， ，， ， ， ， 又，， ， ， ，即基地E距A为， 过点作，交的延长线于点F，则四边形是长方形， ∴，， ∴， 在中，． ∴的最小值为． 45．（22-23八年级上·贵州六盘水·期末）如图，已知A，B两点的坐标分别为，，动点P从原点O出发在x轴上运动． (1)P点运动到什么位置时离A点最近？写出P点的坐标． (2)P点运动到什么位置时，的值最小，最小值是多少？ (3)P点运动到什么位置时，的值最大，最大值是多少？ 【答案】(1)P点运动到时距离A点最近 (2)见解析， (3)见解析， 【分析】本题考查了垂线段的性质、坐标与图形—轴对称变换、勾股定理、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据垂线段的性质即可得出答案； （2）作B点关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，此时最小，则，过A作x轴的垂线，过作x轴的平行线，交点为点C，则，再由勾股定理计算即可得出答案； （3）连接并延长，交x轴于点，则当P在点位置时最大，待定系数法求出直线解析式，得出，最后再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由垂线段最短可得：P点运动到时距离A点最近； （2）解：作B点关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，此时最小， ， 过A作x轴的垂线，过作x轴的平行线，交点为点C ，， 最小值为， （3）解：连接并延长，交x轴于点， ， ∵三角形任意两之差小于第三边， ∴当P在点位置时最大， 设直线的函数关系式为：， ，， ， ， ， 当时，，解得， ， ， 最大值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题02 勾股定理与最短路径问题 重难点一 蚂蚁沿着长方体表面爬行，求最短路径 长方体蚂蚁爬行的最短路径为 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为（    ） A．20 B．22 C．24 D．25 2．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，有一长方体容器， ，，，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点 A爬到点的最短爬行路程是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，有一棱长为的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点到点拉一条捆绑线绳，使线绳经过、、、四个面，则所需捆绑线绳的长至少为（    ）． A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，一个长方体蛋糕盒的长、宽、商分别为，点到点的距离为．现有一只蚂蚁从点出发，沿着长方体的表面爬行到点处，则蚂蚁需要爬行的最短距离是（    ）    A． B． C． D． 5．（21-22八年级上·安徽宿州·期末）如图，正四棱柱的底面边长为4cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从点A出发，沿棱柱外表面到点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（    ） A． B．14cm C． D．10cm 6．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，长方体的棱长为3，棱长为5，棱长为2，P为中点，一只蚂蚁从点A出发，在长方体表面沿如图所示的路径到点P处吃食物，则它爬行的最短路程是 ． 7．（23-24八年级上·山西太原·期中）包装纸箱是我们生活中常见的物品．如图1，创意DIY小组的同学将一个的长方体纸箱裁去一部分（虚线为裁剪线），得到图2所示的简易书架．若一只蜘蛛从该书架的顶点出发，沿书架内壁爬行到顶点处，则它爬行的最短距离为 ． 8．（20-21八年级上·陕西·期末）如图，一个无盖长方体容器，其底面是一个边长为的正方形，高为． (1)一只蚂蚁在点（容器外部）发现容器的外部距离顶部处的点有一滴蜂蜜，它想沿长方体侧面以最短的路程到达处．请问蚂蚁走的最短路程是多少？ (2)小明想用一根彩带从容器底面点开始绕长方体四个侧面缠绕1周到达点（假设彩带完美贴合长方体的表面，彩带宽度不计）．请问彩带的长度最短是多少？ 9．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）如图，在棱长为的正方体上有一些线段，把所有的面都分成9个小正方形，每个小正方形的边长都为．若一只蚂蚁每秒爬行，则它从下底面点沿表面爬行至右侧点最少要花多长时间？    10．（22-23八年级下·湖南永州·阶段练习）如图是长、宽、高的长方体容器． (1)求底面矩形的对角线的长； (2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？ (3)一只蚂蚁从D点爬到E点最短路径是多少？ 重难点二 蚂蚁沿着圆柱表面爬行，求最短距离 圆柱类问题化曲为平，立体图形转化为平面图形，再转成直角三角形求解，此类问题特别要注意的是蚂蚁爬行半个侧面还是整个侧面. 11．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，圆柱形玻璃容器高，底面圆的周长为，在外侧距下底的点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度是（   ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级下·广西北海·期中）如图，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，若，点P移动的最短距离为，则圆柱的底面周长为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24八年级上·山西太原·期中）山西太原晋祠圣母殿的大殿正面八根下檐柱上有木制雕龙缠绕，这就是作为晋祠“古建三绝”之一的盘龙雕柱．国庆期间，某小区计划将门口的四根圆柱形立柱仿照盘龙雕柱用彩带装饰，为了美观，每根立柱需要按如图所示的方式从点A沿立柱表面缠绕三周到其正上方的点B处．若每根立柱的底面周长为，高为，则每根立柱所用彩带的最短长度为（    ）    A． B． C． D． 14．（21-22七年级上·山东烟台·期末）如图，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱高为8cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（    ） A．10cm B．20cm C．cm D．100cm 15．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如图，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是分米，当一段葛藤绕树干沿最短路线盘旋圈升高为分米时，这段葛藤的长为 分米． 16．（2023八年级上·全国·专题练习）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上．    （）若绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是 尺． （）若绕周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是 尺． 17．（23-24八年级下·河北·期中）【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 18．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）如图a，圆柱的底面半径为，圆柱高为，是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线： 路线1：高线＋底面直径，如图a所示，设长度为． 路线2：侧面展开图中的线段，如图b所示，设长度为． (1)你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由； (2)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算．（结果保留） ①此时，路线1的长度 ，路线2的长度 ； ②所以选择哪条路线较短？试说明理由． 19．（21-22八年级上·江西景德镇·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长． (3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ 重难点三 蚂蚁爬楼梯问题 蚂蚁爬楼梯的最短路径为 20．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　） A． B． C． D． 21．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为、、．和是台阶两个相对的端点，在点有一只蚂蚁，想到点去觅食，那么它爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 22．（20-21八年级上·甘肃·期末）如图，在一个长方形草坪上，嵌入一根长方体的木条，已知米，米，该木条的较长的棱长与平行，露出地面部分的横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木条到达点C处需要走的最短路程是（   ） A．13米 B．10米 C．米 D．米 23．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是，宽都是，长都是40cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是（    ）    A． B． C． D． 24．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程． 25．（21-22八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且长于草地宽，木块的上下底面是边长为米的正三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要爬行的最短路程是 米． 26．（23-24八年级下·山东聊城·期中）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】 （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为________． 【应用】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是________．（杯壁厚度不计） 27．（21-22八年级下·重庆九龙坡·期末）如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米． (1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？ (2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？ 重难点四 蚂蚁外壁+内壁爬行，求到顶点的最短距离 将该问题转化为将军饮马问题解决. 28．（河南省三门峡市实验中学2022-2023学年八年级上学期第一次月考数学试题）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（    ）（杯壁厚度不计）． A．14 B．18 C．20 D．25 29．（河南省郑州市金水区郑州龙门实验学校2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题）有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深，在水面上紧贴内壁的G处有一块面包屑，G在水面线上，且，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为（    ）． A．100 B．110 C． D． 30．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为（杯壁厚度不计）（   ） A． B．25 C． D．13 31．（2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）    32．（23-24八年级上·山西晋中·阶段练习）“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事．如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从A地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到B地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？    大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图②，作点B关于直线的对称点，连接与直线交于点P，连接，则的和最小． 请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答． 理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴______，______，（依据______） ∴______． 在中，∵，（依据______）， ∴，即最小． 【归纳总结】 在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P为与的交点，即三点共线）． 由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型． 【模型应用】 如图④，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为______．   重难点五 数形结合思想 通过数形结合，将求的最小值转为为求AB的最短距离问题，则 33．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如： “当时，求代数式 的最小值”，其中 可看作两直角边分别为x和2的的斜边长， 可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知x，y均为正数，且．则 的最小值是（  ）    A． B． C． D．6 34．（22-23九年级上·广东广州·自主招生）已知x为实数，则的最小值为（　　） A．5 B． C． D．6 35．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． (1)把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，．用含、、的式子分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理．上述图形的面积满足的关系式为________，经化简，可得到勾股定理． (2)如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）； (3)在（2）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求出的距离． (4)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 36．（19-20八年级上·江苏无锡·期中）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题： (1)几何应用：如图2，中，，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为 ； (2)代数应用：求代数式的最小值； (3)几何拓展：如图3，，，，若在、上各取一点M、N使的值最小，最小值是 ． 37．（22-23八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一条河流的段长为，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，计划在上建一座桥，使得桥到村和村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题： (1)将桥建在何处时，可以使得桥到村和村的距离和最小？请在图中画出此时点的位置； (2)小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求出当______时，的值最小，且最小值为______； (3)结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值： ①的最小值______； ②的最小值为______． 重难点六 勾股定理与将军饮马综合 38．（湖北省襄阳市四中、五中2022-2023学年自主招生数学试题）如图有一条直角弯道河流，河宽为2，、两地到河岸边的距离均为1，，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为　　    A． B． C．14 D．12 39．（云南省文山薄竹镇乐诗冲中心学校2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）白日登山望烽火，黄香饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：如下图，诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若点A到水平直线l（l表示小河）的距离为3，点B到水平直线l的距离为2，A、B两点之间的水平距离是3，则最小值为（   ） A． B．4 C．5 D．― 40．（2022年广西贵港市桂平市初中毕业班第二次教学质量监测数学试题）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3．动点P满足＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为（    ） A． B． C． D． 41．（江苏省常州市新北区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题）如图，在中，，，．直线，是上一动点．则的最小值是 ．    42．（陕西省西安市莲湖区2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷）如图，点在轴上，直线与两坐标轴分别交于，两点，，分别是线段，上的动点，则的最小值为 ． 43．（江苏省无锡市江阴市南闸实验学校2024~2025学年八年级数学上学期期中复习练）如图，铁路上、两站相距，、为两个村庄，，，垂足分别为、，已知，，现在要在铁路上修建一个中转站，使得到、两村的距离和最短．请在图中画出点的位置，并求出的最小值． 44．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召，决定在公路相距的A、B两站之间的E点修建一个土特产加工基地．如图，于点A，于B．已知，． (1)如图1，当C、D两村庄到基地E点的距离相等时，求基地E距A多远？ (2)如图2，当C、D两村庄到基地E点的距离之和最短时，求基地E距A多远？自行作图，并求出的最小值． 45．（22-23八年级上·贵州六盘水·期末）如图，已知A，B两点的坐标分别为，，动点P从原点O出发在x轴上运动． (1)P点运动到什么位置时离A点最近？写出P点的坐标． (2)P点运动到什么位置时，的值最小，最小值是多少？ (3)P点运动到什么位置时，的值最大，最大值是多少？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $