精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第126中学2025-2026学年九年级上数学第二次联考试题

慈湖2025-2026学年上学期九年级数学第二次联考预考 一、单选题 1. 如图，下列所给图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念“把一个图形绕着一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”进行判断即可得． 【详解】解：A、不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意； B、不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意； C、不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意； D、是中心对称图形，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形． 2. 对于一元二次方程的根的情况，描述准确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判定根的情况 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况． 【详解】解：对于方程，其中，，， 则， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 3. 已知二次函数，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，将二次函数化为顶点形式，根据二次函数的性质判断各选项。 【详解】解：∵ ， ∴ ，抛物线开口向上，A正确； 对称轴为直线 ，B正确； 顶点坐标为 ，C正确； ∵ 开口向上，对称轴 ， ∴ 当 时， 随 的增大而减小，故D错误。 故选D. 4. 如图，绕点顺时针旋转到的位置．如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，旋转的定义，角的和差关系，掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质可知，，再根据角的和差关系即可解答． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转到的位置， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5. 已知的半径为5，圆心到一直线上的一点距离等于5，则直线与关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交或相离 D. 相交或相切 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据垂线段最短，圆心到直线上一点的距离为5，则圆心到直线的距离，结合半径，判断直线与圆的位置关系为相交或相切. 【详解】解：∵ 圆心O到直线上一点P的距离， 且圆心到直线的距离d为垂线段的长， ∴（垂线段最短）。 ∴ , ∵ 圆的半径， ∴ 当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相切, ∴ 直线与圆相交或相切, 故选D. 6. 如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（ ） A. 2 B. 6 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，半圆（直径）所对的圆周角是直角，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，证明，结合圆内接四边形的性质得到，再利用含角直角三角形的性质，以及勾股定理，建立方程求解，即可解题． 【详解】解：四边形内接于，是直径， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 解得， 则的半径长为； 故选：C． 7. 如图，、切⊙O于点A、B，，切于点E，交、于C、D两点，则的周长是（　　） A. 10 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线长定理得出，，，求出的周长是，代入求出即可． 【详解】解：∵、切⊙O于点A、B，切于点E， ∴，，， ∴的周长是 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线长定理的应用，解题的关键是求出的周长． 8. 已知二次函数和一次函数，则这两个函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质．熟练掌握二次函数和一次函数的图象的性质是解答本题的关键．本题可先由二次函数的图象得到字母系数a、b的正负，再与一次函数图象得到字母系数的正负，相比是否一致． 【详解】解：A、图象中二次函数，，一次函数，，故此选项不符合题意． B、图象中二次函数，，一次函数，，故此选项不符合题意． C、图象中二次函数，，一次函数，，故此选项符合题意． D、图象中二次函数，，一次函数，，故此选项不符合题意． 故选：C． 9. 已知二次函数的图象如图所示．有下列结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数）；⑥若，，，是抛物线上三点，则；⑦关于的一元二次方程的两根之和为2；⑧关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的结论的个数是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象系数之间的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图形的性质．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴，抛物线与x轴交点情况推理，抛物线的性质进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可知：，，，则， ，故①正确，符合题意； ②当，，则，故②正确，符合题意； ③当，，则， ， ，故③错误，不符合题意； ④根据图象得抛物线与x轴有两个交点，则，即，故④错误，不符合题意； ⑤抛物线的对称轴为，则时，有最小值为， ，即，故⑤错误，不符合题意； ⑥抛物线的对称轴为，且开口向上， 抛物线上的点离对称轴的距离越远，函数值越大，反之则越小， ，，是抛物线上三点， 且，即， ，故⑥正确，符合题意； ⑦∵，关于的一元二次方程的两根之和为，故⑦正确，符合题意； ⑧，，且， 将看作一条平行于x轴的直线，且位于x轴上方（包括与x轴重合）， 抛物线的图象与这条直线始终有两个交点，且位于x轴上方（包括与x轴重合）， 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故⑧正确，符合题意；； 综上所述，共有①②⑥⑦⑧符合题意，共5个， 故选：B． 二、填空题 10. 点与点关于原点对称，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律，代数式求值．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．根据平面直角坐标系中两个关于原点对称的点的坐标特点：横坐标和纵坐标都互为相反数，即可解答． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 11. 将抛物线向左平移一个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 【答案】y=2x2+1 【解析】 【分析】先将抛物线的解析式改写成顶点式，然后根据平移的规律进行求解即可得. 【详解】解：∵y=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1， ∴向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为y=2（x+1﹣1）2+1=2x2+1， 故答案为y=2x2+1． 【点睛】本题考查了抛物线的平移，熟练掌握函数图象平移的方法是解题的关键，函数图象平移的规律：横坐标方向“左加右减”、纵坐标方向“上加下减”. 12. 将一个母线长为的圆锥模型侧面展开后得到一个扇形，已知扇形的圆心角为，则扇形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图、扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．先根据圆锥的侧面展开图可得扇形的半径为，再利用扇形的面积公式计算即可得． 【详解】解：∵将一个母线长为的圆锥模型侧面展开后得到一个扇形， ∴这个扇形的半径为， 又∵扇形的圆心角为， ∴扇形的面积为， 故答案为：． 13. 在半径为的圆内接正方形和内接正六边形，则正方形面积与正六边形的面积的比值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了圆内接正四边形和圆内接正六边形的半径和边心距之间的关系．根据圆内接正方形和内接正六边形的性质，将问题转化为关于三角形的问题，可求出正方形和正六边形的面积，据此求解即可． 【详解】解：如图1， 在圆内接正方形中，，， 则内接正方形的边长为， 其面积为； 如图2，在圆内接正六边形中，作于点， ∴， ∴为正三角形， 则内接正六边形的边长为R， ∴， ∴内接正六边形的面积为， ∴正方形面积与正六边形面积的比值为： ， 故答案为：． 14. 如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点逆时针旋转，每次旋转，那么经过2025次旋转后，顶点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质，旋转，坐标变换，根据点绕原点逆时针旋转的坐标变换公式求解是解题的关键．先求出点的坐标，根据正六边形每次旋转，旋转4次为一个周期可知，正六边形旋转了506个周期，经过2025次旋转后，点落在第二象限，根据旋转后的坐标变换规律即可求解． 【详解】解:在正六边形中，, ， 在中，， ， 点的坐标为， 正六边形关于直线对称， 点的坐标为 余1， 正六边形经过2025次旋转后，相当于旋转了506个周期加1次，即逆时针旋转90°一次， 点的坐标为． 故答案为：． 15. 如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P，Q分别是直线BC，AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是____． 【答案】8 【解析】 【分析】如图作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′，由DP=PD′，推出PD+PF=PD′+PF，又EF=EA=2是定值，即可推出当E、F、P、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值=ED′﹣EF． 【详解】如图作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′， Rt△EDD′中，∵DE=6，DD′=8， ∴ED′==10， ∵DP=PD′， ∴PD+PF=PD′+PF， ∵EF=EA=2是定值， ∴当E、F、P、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值=10﹣2=8， ∴PF+PD的最小值为8， 故答案为8． 【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题. 三、解答题 16. （1）解方程① ② （2）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支． 【答案】（1）① ；②，；（2）每个支干长出9个小分支 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解法与实际应用； （1）①用因式分解法求解即可； ②利用公式法求解方程即可； （2）由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，所以支干有x个，小分支共有个，根据“主干、支干和小分支的总数是91”即可列方程，再解方程即可求解． 【详解】解：（1）①， ， ， 或 解得，； ②， ，，，， ∴ ∴，； （2）由题意设每个支干长出x个小分支，则支干有x个，小分支共有个， 由题意得：， 整理得， 解得，（舍去）， 即每个枝干长出9个小分支． 17. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即求解即可； （2）由韦达定理把和分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案． 【详解】（1）由题意可得： 解得： 即实数m的取值范围是． （2）由可得： ∵； ∴ 解得：或 ∵ ∴ 即的值为-2． 【点睛】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当时，方程有实数根；（2）掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点都在格点上，坐标分别为，，． （1）将绕原点顺时针旋转，得到，写出的坐标，求出扫出的面积． （2）作出的外接圆，不写做法，保留作图痕迹，并直接写出圆心的坐标． 【答案】（1）图见解析，的坐标为，扫出的面积为； （2）图见解析，圆心的坐标为． 【解析】 【分析】（1）根据旋转作图步骤画出，进而写出的坐标，由旋转得到扫出的图形为一个圆心角为的扇形，结合勾股定理求出扇形半径，再结合扇形面积公式求解，即可解题； （2）根据垂直平分线作法，以及方格特点，作的垂直平分线，的垂直平分线交点即为圆心，连接，以为半径画圆即可得到外接圆，再利用垂直平分线特点，以及勾股定理进行计算求解，即可得到圆心的坐标． 【小问1详解】 解：所作如图所示： 由图知，的坐标为， ， 扫出的面积为； 【小问2详解】 解：所作的外接圆如图所示： ，，． 由垂直平分线的性质可知，， 设， ， ， 解得， 即圆心的坐标为． 【点睛】本题考查了旋转作图，扇形面积公式，勾股定理，垂直平分线作法，垂直平分线性质，作三角形外接圆，解题的关键在于熟练掌握相关知识点． 19. 某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为40元，销售单价不低于成本价，但不高于72元．在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量（个）与销售单价（元）满足如图所示的一次函数关系． （1）若销售单价为64元，连续两次降价后销售为36元，若每次下降的百分率相同，每次下降的百分率为_____； （2）每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为_____元时，该商家每天的销售利润为2400元？ （3）当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为70元时，该商家每天的销售利润为2400元 （3）当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为2432元． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数及二次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意，正确求得函数解析式及方程是解决本题的关键． （1）设，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式，再根据销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍，即可求得x的取值范围； （2）先利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据题意即可列出一元二次方程，解方程即可求解； （3）设每天获得的利润为w元，根据题意即可求得二次函数，再根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为x， 根据题意可知：， 解得或（舍去）， 即每次下降的百分率为． 【小问2详解】 解：设， 把点，分别代入解析式，得 ， 解得：， ∴， ∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍， ∴自变量x取值范围是：； 则， 整理得：， 解得，， ∵， ∴不合题意，舍去， 答：每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为70元时，该商家每天的销售利润为2400元； 【小问3详解】 解：设每天获得的利润为w元，根据题意得： ∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为，销售单价不得高于72元， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值，最大值为， 答：当毛绒玩具“拉伊卜”销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为2432元． 20. 护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为，设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底所在的水平方向为轴，处所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，原点为，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为． （1）求图中水柱所在抛物线函数表达式； （2）若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离； （3）给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？ 【答案】（1） （2）18米 （3）米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、二次函数平移等知识，熟练掌握与灵活运用相关知识，运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． （1）设抛物线解析式为，将代入并求解，即可获得答案； （2）对于抛物线，令，求解即可获得答案； （3）设浇灌装置还要升高米，则抛物线解析式为，再确定点坐标，将点坐标代入，求解即可获得答案． 【小问1详解】 解：根据题意可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为， 将代入，可得， 解得 ， ∴水柱所在抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 对于抛物线， 令，可得， 整理可得， 解得，（舍去）， ∴该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，此时喷到处的水柱距出水口的水平距离为18米； 【小问3详解】 设浇灌装置还要升高米，则抛物线解析式为， 对于直线：， 令，可得， 解得，即， 将点代入， 可得， 解得， ∴浇灌装置还要升高米． 21. 如图，是的直径，点，在上，，交于点，． （1）求的度数； （2）若是的切线，与的延长线交于点，．直接写出图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可以求出∠B和∠BCD的度数，从而得到∠BEC的度数； （2）根据AC求出圆半径，然后可以得到直角三角形FOD和圆扇形OAD的面积，求出两者之差即得解答． 【小问1详解】 ∵为的直径， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【小问2详解】 ∵是的切线， ∴∠FDO=90°， 又∠DOB=120°， ∴∠FOD=60°，∠OFD=30°， ∵， ∴AB=， ∴OD=2，FD=2， ∴所求阴影面积= = =． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆的有关概念、圆周角定理、圆切线的性质、扇形面积的计算等是解题关键． 22. 如图，中，，点是的内心．点在边上．以点为圆心．长为半径的圆恰好经过点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，延长交于，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）延长交于，利用三角形内心性质，以及等腰三角形性质，证明， ，再根据切线判定定理证明即可； （2）根据等腰三角形性质得到，再利用勾股定理计算求解，即可解题． 【小问1详解】 证明：延长交于， 点是的内心． 分别平分， ， 中，， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：由（1）知， ，，平分， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形内心性质，等腰三角形性质，切线判定定理，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 23. 如图，在中，，，是斜边所在直线上一点（不与点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图①，当点在线段上时，则线段与的数量关系是_____；位置关系是_____． （2）（2）如图②，当点在线段上，且时，连接交于点，求线段与的数量关系．并说明理由； （3）如图③，当点在的延长线上时，试判断、、之间的数量关系．并说明理由． 【答案】（1）， （2），理由见详解 （3），理由见详解 【解析】 【分析】（1）证明，再根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质解答； （2）证明，进而，根据，得出，得出，进而得出，即可得出结果； （3）将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接、，同理（1）得出，，进而得出，则，根据可证得，进一步得出． 【小问1详解】 解：线段绕点A逆时针旋转得到线段， ，， ， 即， 在和中， ， ， ；， ∵， ∴， ∴， 则， 【小问2详解】 解：，理由如下： ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，则， ； 【小问3详解】 解：将线段绕点A逆时针旋转得到线段， 连接、， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ， ∴，即， 在和中， ， ， ∴，， ，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等，对应边的夹角等于旋转角；全等三角形对应边相等，对应角相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 慈湖2025-2026学年上学期九年级数学第二次联考预考 一、单选题 1. 如图，下列所给图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 对于一元二次方程的根的情况，描述准确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判定根情况 3. 已知二次函数，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 4. 如图，绕点顺时针旋转到的位置．如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知的半径为5，圆心到一直线上的一点距离等于5，则直线与关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交或相离 D. 相交或相切 6. 如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（ ） A. 2 B. 6 C. 4 D. 8 7. 如图，、切⊙O于点A、B，，切于点E，交、于C、D两点，则的周长是（　　） A. 10 B. 18 C. 20 D. 22 8. 已知二次函数和一次函数，则这两个函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象如图所示．有下列结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数）；⑥若，，，是抛物线上三点，则；⑦关于的一元二次方程的两根之和为2；⑧关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的结论的个数是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 二、填空题 10. 点与点关于原点对称，则的值为__________． 11. 将抛物线向左平移一个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 12. 将一个母线长为圆锥模型侧面展开后得到一个扇形，已知扇形的圆心角为，则扇形的面积为_______． 13. 在半径为的圆内接正方形和内接正六边形，则正方形面积与正六边形的面积的比值为_____． 14. 如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点逆时针旋转，每次旋转，那么经过2025次旋转后，顶点的坐标为_____． 15. 如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P，Q分别是直线BC，AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是____． 三、解答题 16. （1）解方程① ② （2）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支． 17. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点都在格点上，坐标分别为，，． （1）将绕原点顺时针旋转，得到，写出的坐标，求出扫出的面积． （2）作出的外接圆，不写做法，保留作图痕迹，并直接写出圆心的坐标． 19. 某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为40元，销售单价不低于成本价，但不高于72元．在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量（个）与销售单价（元）满足如图所示的一次函数关系． （1）若销售单价为64元，连续两次降价后销售为36元，若每次下降的百分率相同，每次下降的百分率为_____； （2）每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为_____元时，该商家每天的销售利润为2400元？ （3）当毛绒玩具“拉伊卜”销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 20. 护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为，设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底所在的水平方向为轴，处所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，原点为，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为． （1）求图中水柱所在抛物线的函数表达式； （2）若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离； （3）给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？ 21. 如图，是的直径，点，在上，，交于点，． （1）求的度数； （2）若是的切线，与的延长线交于点，．直接写出图中阴影部分的面积． 22. 如图，中，，点是的内心．点在边上．以点为圆心．长为半径的圆恰好经过点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，延长交于，求的长． 23. 如图，在中，，，是斜边所在直线上一点（不与点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图①，当点在线段上时，则线段与的数量关系是_____；位置关系是_____． （2）（2）如图②，当点在线段上，且时，连接交于点，求线段与数量关系．并说明理由； （3）如图③，当点在的延长线上时，试判断、、之间的数量关系．并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $