精品解析：重庆市黔江新华中学校等“大一联盟”2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

“大一联盟”2025-2026学年（上）高2027届期中考试 数学试题 命题学校：重庆市黔江新华中学校 2025.11 注意事项： 1．本试卷满分150分． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后．用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 4．考试结来后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 135° D. 150° 2. 空间中，若，，则，两点间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 3 3. 椭圆的焦距是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 4. 已知圆与圆相交于、两点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 在平行六面体中，,,则的值为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 8 6. 已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的最小值是（ ） A. 3 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，圆则下列说法正确的是（ ） A. 是直线的一个方向向量的坐标 B. 过点作圆的切线，切点为，则 C. 若直线与直线垂直，则 D. 直线与圆相交于、两点，则 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，右顶点为，直线与交于点，两点，则（ ） A. 直线恒过点 B. 当直线时， C. 的周长为40 D. 点到直线的最大距离是 11. 如图，在三棱锥中，，平面，，，，，分别为，，，的中点，是的中点，是线段上的动点（不包括端点），三棱锥的外接球为球，三棱锥的外接球为球，则（ ） A. 的取值范围为 B. 存在点，使得 C. ，，三点共线 D. 球球面上点到平面距离最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是_____． 13. 在正方体中，，分别为，的中点,则三棱锥的体积是_____． 14. 若点是圆上一动点，则的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点分别为，， （1）求边上的垂直平分线所在直线的方程； （2）求的面积． 16. 已知长方体中，，，是与的交点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知点，，是平面内的一个动点，且， （1）求动点的轨迹方程； （2）圆与动点的轨迹有两个公共点，求的范围． 18. 如图，在几何体中，已知四边形是边长为的正方形，，，. （1）证明：平面平面； （2）设为中点，求点到直线的距离； （3）在线段EF（含端点）上是否存在点，使平面与平面所成角的余弦值为，若存在，求的值，若不存在，说明理由． 19. 已知焦点在轴上的椭圆，长轴长为4，离心率为，点，，是椭圆上不同的三个点． （1）求椭圆的方程； （2）已知为椭圆上顶点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求证：直线过定点； （3）若的斜率存在，且，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ “大一联盟”2025-2026学年（上）高2027届期中考试 数学试题 命题学校：重庆市黔江新华中学校 2025.11 注意事项： 1．本试卷满分150分． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后．用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 4．考试结来后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 135° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】直线可化简为，直线斜率为， 设直线倾斜角为，得， ， 故选：B. 2. 空间中，若，，则，两点间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由空间两点间距离公式可得. 【详解】由题意可得. 故选：A. 3. 椭圆的焦距是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的方程，求得的值，结合，即可求解. 【详解】由椭圆，可得，则， 所以椭圆的焦距为. 故答案为：C. 4. 已知圆与圆相交于、两点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算可得两圆相交，将两圆方程相减即可得解. 【详解】由可得其圆心为、半径， 由可得， 则其圆心为、半径， 则，有， 故两圆相交，则两圆方程作差即为相交弦方程， 有， 化简得. 故选：C. 5. 在平行六面体中，,,则的值为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量线性运算，可得,再利用数量积运算性质即可得出. 【详解】 故选：D. 6. 已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知圆与圆的半径相等，求得点关于直线的对称点，即可得圆的方程. 【详解】圆的圆心为半径. 由题意知，关于直线对称，设点的坐标为 则，解得， 所以圆的圆心坐标为 所以圆的方程为. 故选：B. 7. 若直线与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据曲线的方程可得曲线是以原点为圆心，为半径的圆的上半部分（包含点和点），求出直线与圆相切时的值，再结合图形即可求解． 【详解】由得， 所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆的上半部分（包含点和点）， 当直线与圆相切时， 圆心到直线的距离，且， 解得或（舍去）， 当直线过点时， 可得，则 结合图形可得实数的取值范围是． 故选：A． 8. 已知，则的最小值是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点之间的距离公式，将转化为点，，，之间的距离的长度的和，作图分析线段和最小值情况即可得结论. 【详解】因为表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 设，，，， 则表示的长度的和， 如图所示： 当四点共线时，和最小为， 故的最小值是. 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，圆则下列说法正确的是（ ） A. 是直线的一个方向向量的坐标 B. 过点作圆的切线，切点为，则 C. 若直线与直线垂直，则 D. 直线与圆相交于、两点，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由直线的斜率和方向向量可判断A；由两点间距离公式和勾股定理可判断B；利用两直线垂直系数关系可判断C；由几何法可得弦长进而可判断D. 【详解】对于A，直线的斜率为2，所以是直线的一个方向向量的坐标，故A正确； 对于B，圆心，，所以，故B错误； 对于C，若直线与直线垂直，则，故C正确； 对于D，圆心到直线的距离， 所以由弦长公式得，故D错误. 故选：AC. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，右顶点为，直线与交于点，两点，则（ ） A. 直线恒过点 B. 当直线时， C. 的周长为40 D. 点到直线的最大距离是 【答案】ABD 【解析】 【分析】将直线转化为，求定点，即可判断A；利用，求出，即可判断B；利用椭圆的定义求出的周长即可判断C；利用当时点到直线的最大距离可判断D. 【详解】由椭圆，得，，， 可知左右焦点，，上顶点为，右顶点为， 对于选项A，将直线转化为，所以直线l恒过点，故选项A正确； 对于选项B，当直线时，因为，则直线的斜率为，故选项B正确； 对于选项C，由椭圆的定义及直线过椭圆右焦点，可知的周长为， 故选项C错误； 对于选项D，因为直线l过椭圆右焦点，且与椭圆C交于点M，N， 当时点到直线的距离最大，最大距离为，故选项D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在三棱锥中，，平面，，，，，分别为，，，的中点，是的中点，是线段上的动点（不包括端点），三棱锥的外接球为球，三棱锥的外接球为球，则（ ） A. 的取值范围为 B. 存在点，使得 C. ，，三点共线 D. 球球面上点到平面距离最大值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得A、B，由墙角模型可得C，利用球面上点到平面的最大距离等于球心到平面的距离加上半径可得D. 【详解】在三棱锥中，平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，由是线段上的动点，设 对于A，，，A正确； 对于B，则，， 由，则不存在点，使得，B不正确； 对于C，由题意易得三棱锥的外接球为球即为墙角模型的的外接球球心，其球心位于正方体的体对角线的中点，所以， 同理三棱锥的外接球为球， 由可得，，三点共线，故C正确； 对于D，球心在以为顶点为棱的正方体的中心，其半径为， 又，易得平面的法向量为，且 所以到平面距离为，所以球球面上点到平面距离最大值是，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由两平行线间距离公式求解即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以它们之间的距离是. 故答案为：. 13. 在正方体中，，分别为，的中点,则三棱锥的体积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据棱锥的体积公式可求三棱锥的体积. 【详解】由正方体的性质可得平面， 而是以为直角的等腰直角三角形，且， 故其面积为， ， 故答案为： 14. 若点是圆上一动点，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可先求的范围，再根据双勾函数得到范围即可． 【详解】点为圆上的点，如图所示，设直线与圆相切， 则圆心到直线的距离为，即：， 据此可得：，又，所以， ． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点分别为，， （1）求边上的垂直平分线所在直线的方程； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用垂直关系和斜率定义式求出边上的垂直平分线所在直线的斜率，再求出中点，然后由点斜式可得； （2）由点斜式得到边直线方程，再求出点到的距离，然后由三角形面积公式可得. 【小问1详解】 ，所以边上的垂直平分线所在直线的斜率为， 中点为， 由点斜式可得， 所以边上的垂直平分线所在直线的方程. 【小问2详解】 边直线方程为，即， 点到的距离， 又， 所以的面积为. 16. 已知长方体中，，，是与的交点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，由几何关系得到，再利用线面平行的判定定理证明即可； （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量，再代入空间线面角公式计算可得. 【小问1详解】 连接交于点，连接， 在长方体中，四边形为矩形， 且为中点，为中点， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则， 取，则，所以， 设直线与平面所成的角为， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知点，，是平面内的一个动点，且， （1）求动点的轨迹方程； （2）圆与动点的轨迹有两个公共点，求的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出点坐标，求出坐标，根据已知条件利用向量的坐标运算即可求解； （2）写出圆的标准方程，根据两圆位置关系列不等式求解即可. 【小问1详解】 设，则，， 因为，可得，即 所以动点的轨迹方程为. 【小问2详解】 由圆，可得为圆，圆心，半径， 又由圆心，半径为3， 圆与动点的轨迹有两个公共点，即两圆相交， 所以， 解得. 18. 如图，在几何体中，已知四边形是边长为的正方形，，，. （1）证明：平面平面； （2）设为中点，求点到直线的距离； （3）在线段EF（含端点）上是否存在点，使平面与平面所成角的余弦值为，若存在，求的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，且 【解析】 【分析】（1）由勾股定理逆定理可得、，再利用正方形性质可得，则可建立适当空间直角坐标系，再求出平面与平面的法向量后计算即可得； （2）借助空间中点到直线的距离公式计算即可得； （3）假设存在并设，借助可表示出平面的法向量，再求出平面的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得解. 【小问1详解】 由题可得、，， 则，故、， 又，则、、两两垂直， 则可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则、、、、、， 则、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 取，则、， 则，故， 故平面平面； 【小问2详解】 ，，， 则点到直线的距离； 【小问3详解】 假设存在，且，则， 则， 设平面的法向量为， 则， 取，则，，即， 由轴平面，故是平面的法向量， 则， 整理得，解得， 由，则， 故存在，且. 19. 已知焦点在轴上的椭圆，长轴长为4，离心率为，点，，是椭圆上不同的三个点． （1）求椭圆的方程； （2）已知为椭圆上顶点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求证：直线过定点； （3）若的斜率存在，且，求的面积． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设椭圆方程为，由椭圆的长轴长和根据离心率即可求解； （2）分类讨论，当直线斜率不存在时，设直线方程为，联立方程组，结合得出直线过定点横坐标为；当斜率存在时，设方程为，联立方程组，由韦达定理及已知得出，代入直线方程即可证明； （3）设，分类讨论，当直线的斜率不存在时得出面积表达式，当直线斜率存在，设直线方程为，由表示出点坐标，代入椭圆方程得，再根据椭圆弦长公式和点到直线距离公式即可计算面积． 【小问1详解】 设椭圆方程为， 由题可知，又离心率为， 所以， 所以椭圆方程为． 【小问2详解】 设， 当直线斜率不存在时，设直线方程为， 由得，， ； 当斜率存在时，设方程为， 由得，， 则， 则 ， 所以直线方程为， 所以直线过点， 综上所述，直线过定点． 【小问3详解】 设， ①当直线斜率不存在，此时点关于轴对称， 又点是椭圆上不同的三个点，所以点必在长轴顶点处， 不妨设，且， 由得，，即， 将代入，得，则， 点到的距离为，则； ②当直线斜率存在，如图： 由（2）知，,，， 进而，. 由得，， 所以， 因为点在椭圆上，所以， 整理得， 代入韦达定理得，， 线段， 点到直线的距离 ， 所以 ， 综上所述，的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $