精品解析：山东省烟台市2025-2026学年高一上学期期中学业水平诊断数学试题

2025～2026学年度第一学期期中学业水平诊断 高一数学 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间为120分钟. 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上. 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求，再求. 【详解】，所以. 故选：A 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用零次幂的底数不为零、被开方数为非负数且分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则，得. 故选：C. 3. 设集合，，则从到的函数可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义判断D，利用特殊值判断A、B、C. 【详解】对于A：，，则，故A错误； 对于B：，，则，故B错误； 对于C：，，则，故C错误； 对于D：，当时，，即， 又， 所以为从到的函数，故D正确. 故选：D 4. 为培养学生科学素养，某校开设了编程和创客两个社团，要求每位高一学生至少参加其中一个社团.若高一某班有25名学生参加编程社团，有35名学生参加创客社团，两个社团都参加的有15名学生，则该班学生总数为（ ） A. 40 B. 45 C. 50 D. 55 【答案】B 【解析】 【分析】只需将每个社团中的人数减去同时参加两个社团的人数，即可得到仅参加一个社团的人数，再加上同时参加两个社团的人数，即为该班学生人数. 【详解】25-15=10（人），因此仅参加编程社团的有10人，同理可得仅参加创客社团的有20人，因此仅参加一个社团的学生数为10+20=30（人）. 又因为每个学生至少参加了一个社团，因此只需将仅参加一个社团的学生数加上参加两个社团的学生数，即为该班学生总数. 因此该班学生总数为30+15=45（人）. 故选：B. 5. 已知，，，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】由可得，故， 故当时，取到最大值4， 故选：C 6. 已知幂函数为奇函数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求出m的值，再结合奇函数的性质确定m的最终取值进而分析函数的单调性，最后判断“”与“”之间的条件关系. 【详解】由为幂函数，得到，解得或 当时，，定义域为不关于原点对称，不是奇函数； 所以，其定义域为，在区间和都单调递减； 当时，，充分性不成立； 当时，有 ，必要性不成立； “”是“”的既不充分也不必要条件。 故选：D 7. 如图，某容器由两个高为的相同圆锥（去掉底面）构成，现将该容器竖直放置，且装满水，当容器底部的排水孔打开时开始计时，假设水从孔中匀速流出，记时刻时水面的高度为，则关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据下降的快慢，判断选项. 【详解】因为水的流速一样，所以相同时间内流出水的体积一样， 因为容器的特征是上下细，中间粗，使得关于的变化是:下降由快到慢，再变快，只有C选项符合. 故选：C 8. 已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，条件，通过整理得到，构造函数，得到在上的单调性，求出，分别按照，，讨论求解. 【详解】，，， ， ，， ，， 设，则， ，，在上是增函数， ，， 当时，，满足在上是增函数，符合题意； 当时，在上是增函数，开口向上， 又对称轴为，，； 当时，在上是增函数，开口向下， 又对称轴为，，； 综上可知，的取值范围为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合作差法，即可判断选项. 【详解】A.若，则，故A错误； B.若，则，所以，故B正确； C.，因为，所以，则，故C正确； D.若，则，，所以，故D正确. 故选：BCD 10. 设狄利克雷函数,符号函数,则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据两类分段函数各自的性质进行分类讨论逐一判断. 【详解】对于A：若.因此；若,同理可证时也成立，故A正确； 对于B：若为无理数，则,故B错误； 对于C：易知必为有理数，因此恒成立，而当为无理数时，,此时,故C错误； 对于D：证明D即证.易知与必同时为有理数或同时为无理数，因此,故即证. 当时，;当时，;当时，,故恒成立. 故得证，即D正确. 故选：AD. 11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 当时， B. 当时，无最小值 C. 若是上的减函数，则实数的取值范围为 D. 若且方程恰有3个不等实根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入得到函数解析式，先求再求即可判断A选项；当时根据函数的单调性求出函数的端点的值，并验证这个点是否是最小值判断B选项；根据分段函数单调性的定义列出不等式组，然后解得的范围，判断C选项；当得出函数解析式，然后作出函数大致图象，即可知道方程恰有3个不等实根时的取值范围，判断D选项. 【详解】当时，，， 则，A选项正确； 当时，，由二次函数可知，函数在上单调递减， ∴当时，当时，，即函数存在最小值0，B选项错误； 要想函数是上的减函数，则，即， ∴，C选项正确； 当时，，函数大致图像如下 若方程恰有3个不等实根，则，D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则计算可得. 【详解】 . 故答案为： 13. 定义在上的奇函数满足，且当时，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用奇偶性和对称性可证明周期性，即可求函数值. 【详解】由是奇函数，可得，即 又因为，所以， 则有，故是周期为2的函数， 所以有，， 则， 故答案为： 14. 定义区间的长度为.若关于的不等式组的解集用区间表示，其长度为，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】分别在、和的情况下，根据不等式组的解集的区间长度为，将两个不等式的解取交集，则可构造不等关系求得的取值范围. 【详解】由得：； 由得：； 当时，，的解为：或， 不等式组的解集区间长度为，则，又，； 当时，，则， 此时不等式组的解集为，满足题意； 当时，，的解为：或， 不等式组的解集区间长度为，则，又，； 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合，根据集合交集运算即可； （2）由题意可知，分，两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 当时，， 因为，所以； 【小问2详解】 因为，且，所以. 若，则，解得； 若，则有，解得. 综上，实数的取值范围为. 16. 已知是定义在上的偶函数，且时，. （1）求的解析式； （2）判断在区间上的单调性，并用定义法证明你的结论. 【答案】（1） （2） 在区间上单调递减.证明如下： 由（1）知，当时，. 任取，且， 则， ， 因为，且，所以，， 所以，即， 所以在区间上单调递减. 【解析】 【分析】（1）当时，，根据偶函数定义，求解； （2）利用单调性定义证明. 【小问1详解】 当时，，所以， 因为是偶函数，所以， 所以，当时，， 所以. 【小问2详解】 略 17. 如图，某市计划在一矩形场地上建设休闲公园，其中（单位：百米），（单位：百米），点，分别在线段，上（不含端点），且，按照规划，和均为绿化区域，其余区域为休闲广场； （1）求该公园绿化区域面积的最小值； （2）设绿化区域面积与休闲广场面积的比值为，求的取值范围. 【答案】（1）45000平方米. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用函数表达绿化面积，即可求最小值； （2）利用二次函数值域和分式函数值域求法即可求解. 【小问1详解】 设和的面积分别为，. 由题知，则， 且，，，， 所以，. 所以，且， 当时，（百米）（米）. 所以绿化区域面积的最小值为45000平方米. 【小问2详解】 由（1）知，且， 设休闲广场面积为，则， 所以，， 令，，则， 所以，， 所以的取值范围为. 18. 已知函数，. （1）若为奇函数，求的值； （2）若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）应用奇函数定义化简计算求参； （2）把不等式成立转化为最值关系，再分类讨论结合基本不等式计算求解. 【小问1详解】 因为恒成立， 所以，函数的定义域为. 若为奇函数，则， 即， 所以，即， 因为上式对任意的恒成立，所以. 【小问2详解】 因为对任意的，总存在， 使得，所以. 因为，， 所以求，只需考虑的情形， 此时， 当且仅当时，等号成立. 所以. 求，只需考虑的情形， 此时， 当且仅当时，等号成立. 所以. 于是， 解得. 19. 已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且对任意，，都有． （1）设函数，证明：为奇函数； （2）十九世纪著名数学家柯西研究并证明了如下结论：若函数的图象是连续不断的，且对任意，都有，则，其中为常数．假设． （ⅰ）求的解析式； （ⅱ）设，若不等式的解集为，求，的值． 【答案】（1） 函数的定义域为，关于原点对称，， 令，得，即， 令，得， ， ， ， 为奇函数． （2）（ⅰ）； （ⅱ）， 【解析】 【分析】（1）已知定义域为，关于原点对称，利用已知条件等式，结合赋值法得出函数，满足奇函数定义，命题得证； （2）利用（1）结论，结合已知条件等式，求出解析式；根据关系及不等式解集，结合解析式，分情况讨论得出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知，， ， ，，， ，． （ⅱ）不等式的解集为， 当时，有，即， ，故， 解得，，不合题意，舍去； 当且时，有，即，解得，； 当且时，有，即，解得，， 而，不合题意，舍去； 当时，有，即，解得或，或， ，，但，不合题意，舍去． 综上，，的值为，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期期中学业水平诊断 高一数学 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间为120分钟. 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上. 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 设集合，，则从到的函数可能为（ ） A. B. C. D. 4. 为培养学生科学素养，某校开设了编程和创客两个社团，要求每位高一学生至少参加其中一个社团.若高一某班有25名学生参加编程社团，有35名学生参加创客社团，两个社团都参加的有15名学生，则该班学生总数为（ ） A. 40 B. 45 C. 50 D. 55 5. 已知，，，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6. 已知幂函数为奇函数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 如图，某容器由两个高为的相同圆锥（去掉底面）构成，现将该容器竖直放置，且装满水，当容器底部的排水孔打开时开始计时，假设水从孔中匀速流出，记时刻时水面的高度为，则关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 10. 设狄利克雷函数,符号函数,则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 当时， B. 当时，无最小值 C. 若是上的减函数，则实数的取值范围为 D. 若且方程恰有3个不等实根，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的值为______. 13. 定义在上的奇函数满足，且当时，，则的值为______. 14. 定义区间的长度为.若关于的不等式组的解集用区间表示，其长度为，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知是定义在上的偶函数，且时，. （1）求的解析式； （2）判断在区间上的单调性，并用定义法证明你的结论. 17. 如图，某市计划在一矩形场地上建设休闲公园，其中（单位：百米），（单位：百米），点，分别在线段，上（不含端点），且，按照规划，和均为绿化区域，其余区域为休闲广场； （1）求该公园绿化区域面积的最小值； （2）设绿化区域面积与休闲广场面积的比值为，求的取值范围. 18. 已知函数，. （1）若为奇函数，求的值； （2）若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围. 19. 已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且对任意，，都有． （1）设函数，证明：为奇函数； （2）十九世纪著名数学家柯西研究并证明了如下结论：若函数的图象是连续不断的，且对任意，都有，则，其中为常数．假设． （ⅰ）求的解析式； （ⅱ）设，若不等式的解集为，求，的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $