第二章 方程（组）与不等式（组）专项分类练习 2026年中考数学一轮专题复习（河北）

第二章 方程（组）与不等式（组） 培优集训一 根的判别式与根与系数的关系的应用 类 型 一 已知方程，判断根的情况 1. [25·扬州]关于一元二次方程 x2 -3x+1=0 的根的情况，下列结论正确的是 （ ） A． 有两个不相等的实数根 B． 有两个相等的实数根 C． 没有实数根 D． 无法判断根的情况 2. [25·邯郸 23 中三模]已知关于 x 的一元二次方程-x2 +4ax+4=0，以下结论不正确的是 （ ） A． 此方程必有实数根 B． 若方程有一个根为 2，则另一个根为-2 C． 两根之积为-4 D． 两根之和为-4 3. 数形结合 [25·保定模拟] 如图，点 A，C 在不完整的数轴上，对应的数分别为 a，c，原点与点 A，C 均不重合. 若 AC= |a| +|c| ，则方程 ax2 +bx+c=0 的根的情况是（ ） A． 没有实数根 B． 有两个不相等的实数根 C． 有两个相等的实数根 D． 两根之和为 类 型 二 已知方程根的情况，判断未知字母的值 4.易错点 [25·内江]若关于 x 的一元二次方程（a-1）x2 +2x+1=0 有实数根，则实数 a的取值范围是（ ） A． a≤2 B． a＜2 C． a≤2 且 a≠1 D． a＜2 且 a≠1 5. [25·石家庄二模]关于 x 的一元二次方程x2 -4x-k=0 存在两实数根 x1，x2，下列说法错误的是（ ） A． 若 x1=x2，则 k=-4 B． 若 x1≠x2，则 k＞-4 C． x1 和 x2 一定异号 D． 若 x1=x2+2，则 k=-3 6. [25·上海 ]一元二次方程 2x2 +x+m=0 没有实数根，那么 m 的取值范围是 _____. 类型三 根据根与系数的关系求代数式的值 7. [25·邢台模拟] 设 a，b 是一元二次方程x2 +x-2 025=0 的两个实数根，则 a-ab+b的值为 （ ） A． 1 B． 2 024 C． 2 025 D． 2 026 8. [25·唐山 12 中二模] 已知 m，n 是一元二 次方程 x2+3x-2=0 的两根，则的值是 （ ） 9. 已知 a，b 是一元二次方程 x2 +（m-2）x- 2m=0 的两个根，若 ab=6，则 a+b=_____． 10. [25·南充] 设 x1，x2 是关于 x 的方程（x-1）（x-2）=m2 的两根． （1）当 x1=-1 时，求 x2 及 m 的值； （2）求证：（x1-1）（x2-1）≤0． -20- 第二章 方程（组）与不等式（组） 培优集训一 根的判别式与根与系数的关系的应用 1. A 2. D 3. B 4. C 5. C 6. 7. B 8. B 9. 5 10. 解：（1）把 x1=-1 代入方程（x-1）· （x-2）=m2 ，得 m2 =6，∴m=± ． ∴（x-1）（x-2）=6，即 x2 -3x-4=0． ∴（x-4）（x+1）=0，∴x1=-1，x2=4； （2）证明：方程（x-1）（x-2）=m2 可化为 x2 -3x+2-m2 =0． ∵Δ=9-4（2-m2 ）=4m2 +1＞0， ∴ 方程有两个不相等的实数根． ∵ 方程（x-1）（x-2）=m2 即 x2 -3x+2-m2 =0 的两根为 x1，x2， ∴x1+x2=3，x1 ·x2=2-m2 ． ∴（x1-1）（x2-1）=x1 ·x2-（x1+x2）+1=2- m2 -3+1=-m2 ． ∵m2 ≥0，∴-m2 ≤0， 即（x1-1）（x2-1）≤0． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程（组）与不等式（组） 培优集训二 一元一次不等式（组）的解法及含参问题 类 型 一 一元一次不等式（组）的解法及数轴表示 1. [24·河北]下列数中，能使不等式 5x-1＜6 成立的 x 的值为 （ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 2. [25·福建]不等式 的解集在数轴上表示正确的是 （ ） 3. [25·上海]不等式组的解集是______． 4. 对于 x,符号[x]表示不大于 x 的最大整数.如:[3.14]=3,[-7.59]=-8,则满足关系式的 x 的整数值有______ 个． 5. [25·扬州]解不等式组并写出它的所有负整数解. 6. 运算能力 解不等式组并将它的解集在数轴上表示出来． 7. 过程纠错 以下是圆圆同学解不等式x-2 的解答过程： 解：去分母，得 1-x＞2x-2． 移项，得-x-2x＞-2-1． 合并同类项，得-3x＞-3． 两边都除以-3，得 x＞1． 圆圆的解答过程是否有错误？ 如果有错误，请写出正确的解答过程． 类 型 二 一元一次不等式（组）的含参问题 8. [25·石家庄模拟]关于 x 的一元一次不等式的解集为 x≥4，则 m 的值为 （ ） A． 14 B． 7 C． -2 D． 2 9. 若关于 x 的一元一次不等式组的整数解共有 4 个，则 m 的取值范围是（ ） A． 6＜m＜7 B． 6＜m≤7 C． 6≤m≤7 D． 6≤m＜7 10.[25·沧州模拟]已知关于 x 的不等式组 下面是某小组给出的结论： 结论 1：当 m＜-1 时，此不等式组无解； 结论 2：若不等式组的解集是-1＜x≤3，则 m=3； 结论 3：若此不等式组有整数解，则m≥-1； 结论 4：若不等式组的整数解只有 0，1，2，则 m=2． 其中结论正确的有（ ） A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个 -23- 第二章 方程（组）与不等式（组） 培优集训二 一元一次不等式（组）的解法及含参问题 1. A 2. C 3. x＞2 4. 3 5. 解： 解不等式①，得 x≤1， 解不等式②，得 x＞-3， ∴ 不等式组的解集为-3＜x≤1． 负整数解有-2，-1． 6. 解：解第一个不等式，得 x≥-4， 解第二个不等式，得 x＜3， 故原不等式组的解集为-4≤x＜3， 在数轴上表示该解集如图所示： 7. 解：圆圆的解答过程有错误. 正确的解答过程如下： 去分母，得 1-x＞2x-4， 移项，得-x-2x＞-4-1， 合并同类项，得-3x＞-5， 系数化为 1，得 8. D 9. B 10. B 提示：解 得 x＞-1，解 x-m≤0，得 x≤m； 结论 1：当 m＜-1 时，此不等式组无解，结论正确； 结论 2：若不等式组的解集是-1＜x≤3，则 m=3，结论正确； 结论 3：若此不等式组有整数解，则m≥0，结论错误； 结论 4：若不等式组的整数解只有0，1，2，则 2≤m＜3，结论错误． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程（组）与不等式（组） 第二章综合达标检测卷 [时间:60 分钟 满分:120 分] 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1.[ 25·衡水模拟]若不等式“x■3”可以表示“不超过 3 的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（ ） A． ≤ B． ＜ C． ≥ D． ＞ 2. 若是关于 x，y 的二元一次方程x-ay=4 的一组解，则 a 的值为（ ） A． -2 B． -1 C． 1 D． 2 3. 已知 a＜b，那么下列不等式组中，无解的不等式组为（ ） 4. [25·湖北]一元二次方程 x2 -4x+3=0 的两个实数根为 x1，x2，下列结论正确的是（ ） A． x1+x2=-4 B． x1+x2=3 C． x1x2=4 D． x1x2=3 5. 同解 若关于 x，y 的方程组与有相同的解，则 m+n 的值为（ ） A． -2 B． -1 C． 3 D． -5 6.《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八盈三；人出七不足四．问人数、物价各几何？ ”其大意是“现在有几个人共同买一件物品，若每人出 8 钱就多出 3钱；若每人出 7 钱就差 4 钱，问人数、物品价格各是多少？ ”设人数为 x，则下列说法正确的是（ ） A． 8x+3=7x+4 B． 8x+3=7x-4 C． 人数为 8 D． 物品价格为53钱 7. 传统文化《千里江山图》是宋代王希孟的 作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为 2.4 m、宽为 1.4 m 的矩形，装裱 后，整幅图画宽与长的比是 8∶13，且四周 边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是 少米？ 设边衬的宽度为 x m，根据题意 可列方程为（ ） 8. 若关于 x 的一元二次方程（m+1）x2 -2x+1=0 有两个不相等的实数根，则 m 可取得的最大整数值为（ ） A． -2 B． -1 C． 0 D． 1 9. 关于 x 的分式方程解的情况，下列说法正确的是（ ） A． 若 a=0，则此方程无解 B． 若 a=-1，则此方程无解 C． 若方程的解为负数，则 a＜1 D． 若 a=1，则方程的解为正数 10. 新定义 [25·泸州] 对于任意实数 a，b，定 义新运算：给出下列结论：①8※2=8；②若 x※3=6，则 x=6；③a※b=（-a）※（-b）；④若（2x-4）※2＜5x，则x 的取值范围为 其中正确结论的个数是（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 二、填空题（每小题 4 分，共 16 分） 11. [25·南充]不等式组的解集 是 x＞2，则 m 的取值范围是 ______． 12. 换元法 实数x，y满足（x2 +y2 ）2 -2（x2 +y2）- -25- 3=0，则 x2 +y2 =______． 13. 用大小完全相同的长方形纸片在平 面直角坐标系中摆成如图所示图案，已 知点A（-1，5），则点 B 的坐标是 ______. 14. 易错点 如图，数轴上点 A，B 表示的数 别为-6，7，点 P 在 A，B 之间，若图中有一条线段是另一条线段的两倍，则点P 表示的数可以为 _____. 三、解答题（共 64 分） 15.（10 分）一个计算程序如图 1 所示，输入一个实数 x，便可输出一个相应的实数y. （1）若输入 x 的值为 2，求输出 y 的值； （2）若输出的 y 落在如图 2 所示的范围内，求输入 x 的最大整数值. 16.（12 分）已知关于 x 的一元二次方程x2 -（k+5）x+5+2k=0． （1）求证：此方程总有两个不相等的实数根； （2）若此方程恰有一个根为 1，求方程的另一个根． 17.（12 分）端午节是中国的传统节日，人们有吃粽子的习俗.某商场预测今年端午节期间 A 粽子能够畅销.根据预测，每千克 A 粽子节前的进价比节后多 2 元，节前用 240 元购进 A 粽子的数量与节后用 200 元购进的数量相同． （1）该商场节后每千克 A 粽子的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进 A 粽子 400 kg，且总费用不超过 4 600 元，那么该商场节前最多购进多少千克 A 粽子？ 18.（14 分） 方案设计 文创产品是融合文化元素与创意设计的实用商品，某文创工作室开发 A，B 两种主题的书签进行销售，制作 2 套 A 主题书签和 5 套B 主题书签的总成本为 110 元，制作 3 套 A 主题书签和 4 套 B 主题书签的总成本为130 元． （1）求制作 1 套 A 主题书签和 1 套B主题书签的成本分别为多少元； -26- -26- -26- （2）现工作室要制作 A，B 两种主题的书签共 80 套推向市场，A 种主题的书签每套售价 100 元，B 种主题的书签每套售价 30 元，已知 A 主题书签的制作数量不少于 B 主题书签的数量的且总成本不能超过 1 400 元．为使销售利润最大，请设计获得最大利润的销售方案，并求出最大利润值． 19.（16 分）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌芒果采摘机器人可以自动完成范围内芒果的识别，并对成熟的芒果进行采摘，它的一个机械手平均 8 s 可以采摘一个芒果，已知采摘工人平均 5 s 可以采摘一个芒果． （1）同一范围内的芒果，采用机器人（1个机械手）或者人工采摘，若机器人采摘比工人采摘多用了 h，求这个范围 内的芒果有多少个； （2）为了提高工作效率，公司为该智能机器人搭载了 m 个机械手（m＞1），升级了智能机器人的操作系统，测得每个机械手平均每 8 s 可摘（1+m）个芒果，据统计，该智能机器人工作 1 h 采摘的芒果数量与 5 个采摘工人工作 m h 采摘的芒果数量相等，求 m 的值． -27- 第二章 方程（组）与不等式（组） 第二章综合达标检测卷 1. A 2. B 3. B 4. D 5. A 6. D 7. D 8. A 提示：∵ 关于 x 的一元二次方程 （m+1）x2 -2x+1=0 有两个不相等的 实数根， ∴Δ=4-4（m+1）＞0，且 m+1≠0，∴m＜ 0 且 m≠-1，∴m 的最大整数值为-2. 9. B 提示： 去分母可得 ax-1-x-1=0，整理得（a-1）x=2， A.若 a=0，则解得 x=-2，经检验，x=-2 是分式方程的解，选项说法错误，不符合题意； B.若 a=-1，则解得 x=-1，此时 x+1=0，此方程无解，选项说法正确，符合题意； C.若方程的解为负数，则 且a≠-1，选项说法错误，不符合题意； D.若 a =1 时，则方程（a -1）x =2 无解，即分式方程无解，选项说法错误，不符合题意． 10. B 提示：①∵8＞2，∴8※2=8，正确； ②若 x≥3，则 x=6；若 x＜3，则-x=6，此时 x=-6；错误； ③若 a=b，则-a=-b， ∴a※b=a，（-a）※（-b）=-a，此时 a※b≠（-a）※（-b），错误； ④若 2x-4≥2，即 x≥3 时，由（2x-4）※2＜5x 得 2x-4＜5x，解得 此时 x≥3；若 2x-4＜2，即 x＜3 时，由（2x-4）※2＜5x 得-2x+4＜5x，解得 x＞；此时 ＜x＜3；综上，若（2x-4）※ 2＜5x，则 x 的取值范围为 x＞ ，正确． 11. m≤3 12. 3 13. 14. 提示：设点 P 表示的数为 x，则 AP=x-（-6）=x+6，BP=7-x，AB=7-（-6）=13，当 BP=2AP 时，7-x=2（x+6），解得当 AB=2AP 时，13=2（x+6），解得当 AB=2BP 时，13=2（7-x），解得当 AP=2BP 时，x+6=2（7-x），解得 综上所述，点 P 表示的数可以为 15. 解：（1）若输入 x 的值为 2，则-2×（-22 ）-4=-2×（-4）-4=8-4=4，即输出 y 的值为 4； （2）由题意得-x×（-22 ）-4≤-5，整理得 4x-4≤-5，解得 x≤-0.25， 则 x 的最大整数解为-1． 16. 解:(1)∵Δ=[-(k +5)]2-4 ×1 ×(5 +2k)=k2 +2k+5=(k+1)2 +4>0, ∴ 方程总有两个不相等的实数根; (2)设方程的另一个根为 m,则故该方程的另一个根为 3． 17. 解：（1）设该商场节后每千克 A 粽子的进价是 x 元，则节前每千克 A 粽子的进价是（x+2）元，根据题意得解得 x=10，经检验，x=10 是原分式方程的解，且符合题意.答：该商场节后每千克 A 粽子的进价是 10 元； （2）由（1）可知，x+2=12（元），设该商场节前购进 m kg A 粽子，则节后购进（400-m） kg A 粽子，根据题意得 12m+10（400-m）≤4 600，解得 m≤300. 答：该商场节前最多购进 300 kg A粽子． 18. 解：（1）设制作 1 套 A 主题书签的成本是 x 元，1 套 B 主题书签的成本是 y 元，根据题意得 解得 答：制作 1 套 A 主题书签的成本是30元，1套B主题书签的成本是10元； （2）设制作 m 套 A 主题书签，则制作（80-m）套 B 主题书签，根据题意得 解得 16≤m≤30， 设全部售出后的获得的总利润为 w 元， 则 w=（100-30）m+（30-10）（80-m）， 即 w=50m+1 600， ∵50＞0，∴w 随 m 的增大而增大， ∴ 当 m=30 时，w 取得最大值，最大值为 50×30+1 600=3 100（元），此时 80-m=80-30=50（套）． 答：当工作室制作 30 套 A 主题书签，50 套 B 主题书签时，销售利润最大，最大利润为 3 100 元． 19. 解：（1）设这个范围内的芒果有 x 个， 1 h=3 600 s，根据题意得 8x-5x=×3 600，解得 x=600.答：这个范围内的芒果有 600 个； （2）根据题意得整理得 m2 -3m=0，解得 m1=0（不符合题意，舍去），m2=3． 答：m 的值为 3． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程（组）与不等式（组） 第二节 分式方程及其应用 立足教材·夯实基础 1. [25·湖南]将分式方程去分母后得到的整式方程为 （ ） A． x+1=2x B． x+2=1 C． 1=2x D． x=2（x+1） 2. 运算能力 若关于 x 的分式方程的解为 x=3，则 m 的值为 （ ） A． -3 B． -9 C． 3 D． 9 3. 已知关于 x 的分式方程有增根，则 m 的值是（ ） A． -3 B． -2 C． 0 D． 2 4.[25·张家口模拟]我国古代数学著作《九章算术》中有一道关于“驿站送信”的题目，其大意为：把一封信送到 900 里外的地方，若用慢马送，则晚 1 天送达；若用快马送，则早 3 天送达，已知快马的速度是慢马速度的 2 倍，问规定的时间为多少天？马的速度为多少？ 下列说法错误的是（ ） A．设规定的时间为 x 天，所列方程为 B． 设慢马的速度为 y 里/天，所列方程为 C． 快马用了 4 天送达 D． 慢马用了 8 天送达 5.[25·衡水模拟]若关于x的分式方程 无解，则 m=______． 6.[教材人八上 P152 例 3 变式]DeepSeek 公司研发的两个 AI 模型 R1 和 R2 共同处理一批数据．已知R2 单独处理数据的时间比 R1 少 2 h．若两模型合作处理，仅需1.2 h 即可完成.设 R1 单独处理需要 x h， 则可列方程____________________________. 7. 过程纠错 下面是小倩同学解方程的过程，请认真阅读并解答相应 问题． （1）以上解题过程中，第 ____ 步开始出现错误； （2）写出该方程正确的解题过程． 8. [25·云南[某化工厂采用机器人 A、机器人 B 搬运化工原料，机器人 A 比机器人B 每小时少搬运 20kg，机器人 A 搬运800 kg 所用时间与机器人 B 搬运 1 000 kg所用时间相等．求机器人 A、机器人 B 每小时分别搬运多少千克化工原料. 拓展进阶·提高能力 9. 错中求解 在求 3x 的倒数的值时，嘉淇同学误将 3x 看成了 8x，她求得的值比正确答案小 5．下列说法正确的是（ ） -16- 10. 运算能力 [25·眉山]若关于 x 的不等式组 至少有两个正整数解，且关于 x 的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数 a 的值之和为（ ） A． 8 B． 14 C． 18 D． 38 11. 某工程队改造一条长 3 000 m 的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“×××”，设实际每天改造人行道 x m，则可得方程根据已有信息，题中用“×××”表示的缺失的条件应补充为（ ） A． 每天比原计划少铺设 10 m，结果延迟 10 天完成 B． 每天比原计划多铺设 10 m，结果延迟 10 天完成 C． 每天比原计划少铺设 10 m，结果提前 10 天完成 D． 每天比原计划多铺设 10 m，结果提前 10 天完成 12. 开放性问题 [25·沧州模拟]若关于 x 的分式方程的解是负数，则 a 的值可能是_____. 13. [25·重庆]某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多 50 个，3 天时间生产的甲种文创产品的数量比 4天时间生产的乙种文创产品的数量多 100 个． （1）求该厂每天生产的甲、乙两种文创产品数量分别是多少个？ （2）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种 文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2 倍 . 若 生 产 甲 、 乙 两种 文创产品各1 400个，乙比甲多用 10 天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量. 核心素养·中考新考法 14. 跨学科·音乐 数学的美无处不在.数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是 15∶12∶10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声 do，mi，so.研究15，12，10 这三个数的倒数发现：我们称 15，12，10 这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x，8，5（x＞8），则 x 的值是（ ） A． 5 B． 10 C．15 D． 20 -17- 第二章 方程（组）与不等式（组） 第二节 分式方程及其应用 立足教材·夯实基础 1. A 2. D 3. D 提示：∵关于x的分式方程有增根，∴x-1=0，解得 x=1， 方程两边同乘 x-1，得 2x=m+5（x-1），解得 4. B 提示：设规定的时间为 x 天，依题意，得 选项 A 正确，故不符合题意；设慢马的速度为y 里/天，则快马的速度为 2y 里/天，依题意得选项 B 错误，故符合题意； 解得 x=7，经检验，x=7 是原方程的解且符合题意，则快马用了 7-3=4（天）送达，慢马用了 7+1=8（天）送达，选项 C，D 正确，故不符合题意. 5. -1 提示：方程两边同时乘 x-2，得x+m-1=3x-6，解得∵ 原方程无解， 是原方程的增根，由 x-2=0，得 x=2， 6. 7. 解：（1）一 3x+1-2（x-3）=2， 3x+1-2x+6=2， x=2-1-6， x=-5， 经检验 x=-5 是原方程的根，故分式方程的解为 x=-5． 8. 解：设机器人 A 每小时搬运 x kg 化工原料，则机器人 B 每小时搬运（x+20） kg 化工原料，根据题意，得解得 x=80，经检验，x=80 是分式方程的解，且符合题意，∴x+20=80+20=100（kg）． 答：机器人 A 每小时搬运 80 kg 化工原料，机器人 B 每小时搬运 100 kg化工原料. 拓展进阶·提高能力 9. D 10. B 提示： 解①得 x≤5，解②得 x≥ ∵ 关于 x 的不等式组至少有两个正整数解． ∴ 不等式组的解集为 当 时，解集至少包含两个正整数解 4，5，此时 a≤9， 分式方程化简为 ∵ 分式方程的解为正整数且 x≠1， ∴为大于或等于 2 的整数，即 a 为大于或等于6 的偶数，∵a≤9，∴a=6 或 8， ∴ 所有满足条件的整数 a 之和为 6+8=14． 11. D 提示：根据方程可知 x-10 在分母上，表示工作效率，∵ 实际每天改造人行道 x m， ∴x-10 表示原计划比实际每天少铺设 10 m，即每天比原计划多铺设 10 m，表示实际天数，而 则表示原计划的天数，很明显原计划时间长，∴ 提前 10 天完成，∴“×××”表示的缺失的条件应补充：每天比原计划多铺设 10 m，结果提前 10 天完成． 12. -5（答案不唯一） 提示：方程两边同时乘（x+1）（x-1）， 得 a+1-3（x-1）=0，去括号，得 a+1-3x+3=0，解得 ∵ 分式方程的解是负数，∴x＜0 且 x≠±1， 即∴a＜-4 且 a≠-7， ∴a 的值可能是-5． 13. 解：（1）设该厂每天生产甲种文创产品的数量是 x 个，则每天生产乙种文创产品的数量是（x-50）个，根据题意得 3x-4（x-50）=100，解得 x=100， ∴x-50=100-50=50（个）． 答：该厂每天生产甲种文创产品的 数量是 100 个，每天生产乙种文创产品的数量是 50 个； （2）设每天生产的乙种文创产品增加的数量是 y 个，则每天生产的甲种文创产品增加的数量是 2y 个，根据题意得解得 y=20，经检验，y=20 是所列方程的解且符合题意． 答：每天生产的乙种文创产品增加的数量是 20 个． 核心素养·中考新考法 14. D 提示：根据调和数的定义可列分式方程得 整理得2x=40，解得 x=20，经检验，x=20 是分式方程的解且符合题意，所以 x 的值为20. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程（组）与不等式（组） ［任务情境创新练］ 方程（组）与不等式（组） （以自驾游为任务情境） “这么近，那么美，周末到河北.”周末，嘉淇一家出发去自驾游. 在路上 1. 如图是某道路的限速标志，规定小型汽车在该路段行驶的速度不超过 80 km/h.若用 v（km/h）表示小型 汽车的速度，则符合该路段限速规定的不等式是（ ） A． v≤80 B． v＜80 C． v＞80 D． v≥80 2. 从家到景区，汽车原来需要行驶 7 h，开通高速公路后，路程比原来缩短了 20 km，车速平均每小时比原来增加了 40 km，现在只需要 4 h 即可到达，求家到景区之间高速公路的路程． 观看表演 3. 景区在一块正方形空地进行无人机表演，从这块空地上划出部分区域作为安全区（如图），原空地一边减少了 4 m，另一边减少了 2 m，剩余空地为起飞区.若起飞区的面积为 120 m2 ，求原正方形空地的边长． 购买纪念品 4. 嘉淇了解到景区内某旅游商品经销店欲购进 A，B 两种纪念品，可用 380 元购进 A 种纪念品 7 件，B 种纪念品 8 件；也可用 380 元购进 A 种纪念品 13件，B种纪念品 4 件． （1）求 A，B 两种纪念品的进价分别为多少； （2）若该商店每销售 1 件 A 种纪念品可获利 5 元，每销售 1 件 B 种纪念品可获利 7 元，该商店准备用不超过 900 元购进A，B 两种纪念品 40 件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于 216 元，问共有几种方案，并求出利润的最大值. 5. 景区内甲，乙两个商店以相同价格出售同样的纪念品，并各自推出了不同的优惠方案：在甲店累计购物超过 150 元后，超出 150 元的部分打八五折；在乙店累计购物超过 100 元后，超出 100 元的部分打九折.若嘉淇准备购买标价为 x（x＞150）元的纪念品，到哪个商店购买更划算. -24- 第二章 方程（组）与不等式（组） ［任务情境创新练］方程（组）与不等式（组） 1. A 2. 解：设家到景区之间高速公路的路程为 x km，则家到景区之间普通公路的路程为（x+20） km，根据题意得解得 x=400． 答：家到景区之间高速公路的路程为400 km． 3. 解：设原正方形空地的边长为 x m，根据题意可得（x-2）（x-4）=120，整理得 x2 -6x-112=0， 解得 x1=14，x2=-8（舍去）． 答：原正方形空地的边长为 14 m. 4. 解：（1）设 A，B 两种纪念品的进价分别为 x 元/件，y 元/件． 根据题意得解得 答：A 种纪念品的进价为 20 元/件，B 种纪念品的进价为 30 元/件； （2）设商店购进 A 种纪念品 a 件，则购进 B 种纪念品（40-a）件. 根据题意，得 解得 30≤a≤32；故共有 3 种方案： a=30，利润：5×30+7×10=220（元）； a=31，利润：5×31+7×9=218 元）； a=32，利润：5×32+7×8=216（元）， ∵220>218>216， ∴ 利润的最大值为 220. 答：一共有 3 种方案，当购进 A 种纪念品 30 件，B种纪念品 10 件时，获得最大利润 220 元． 5. 解：（1）x＞150 时，在甲、乙两个商店购买都能享受优惠． ①若到甲店购买花费较少，则 150+0.85（x-150）＜100+0.9（x-100），解得x＞250，即 x＞250 时，到甲店购买花费较少； ②若到乙店购买花费较少，则 150+0.85（x-150）＞100+0.9（x-100），解得x＜250，即 150＜x＜250 时，到乙店购买花费较少； ③若到两店购买花费相同，则 150+0.85（x-150）=100+0.9（x-100），解得x=250，即 x=250 时，到两店购买花费相同.故当累计购物超过 150 元而不超过250 元时，到乙店购买花费较少；当累计购物正好 250 元时，到两店购买花费相同；当累计购物超过 250元 时，到甲店购买花费较少． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程（组）与不等式（组） 第四节 一元一次不等式（组）及其应用 立足教材·夯实基础 1. 几何直观 [25·唐山模拟]如图，可知x□20，则“□”内应填的符号是 （ ） A． ＞ B． ＜ C． = D． ≥ 2. [教材人七下 P117 练习高仿]若 a＜b，则运 用不等式性质变形正确的是 （ ） A． a+3＞b+4 B． a-3＞b-2 C． D． -2a＞-2b 3. [25·山西改编]不等式组的解集是（ ） A． x＜2 B． x≥3 C． 2＜x≤3 D． 无解 4.[25·邯郸模拟]关于 x 的不等式 2x-m≤-1 的解集如图所示，则 m 的值是（ ） A． 3 B． -3 C． 2 D． -2 5. 难点 不等式 2x-3a≤-2a 的正整数解为1 和 2，则 a 的取值范围是（ ） A． 4≤a≤6 B． 4＜a＜6 C． 4＜a≤6 D． 4≤a＜6 6. 开放性问题 写出一个满足不等式 x-1＜2的正整数 x 的值 ______． 7. 应用意识 淇淇第一次以 5 元/kg 的价格买了 2 kg 西红柿，第二次以 x 元/kg 的价格买了 4 kg 西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于 5 元且小于 6 元，若 x 恰好是整数，则 x=______． 8. [25·天津]解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得 _________； （2）解不等式②，得 _________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集为 _________． 9. [25·石家庄 44 中二模]某闯关小游戏，玩家初始能量值为 100 点，每通过 1 关可 获得固定能量奖励；相反，每失败 1 关 需要扣除固定能量惩罚，有低级的关 卡胜利才能到高级的关卡.例如：玩家闯 第 1 关，一次成功，能量值变为 115 点； 玩家闯第2关，第一次失败，能量值变 为 110 点． （1）求每关的奖励值和惩罚值；（用正负数表示奖励和扣除） （2）嘉嘉同学通过第 4 关后能量值变为了 145，则嘉嘉同学闯关中一共失败了几次； （3）嘉嘉要想能玩到第 11 关，且能量值不低于 220 点，则嘉嘉最多能失败几次？ -21- 拓展进阶·提高能力 10. [25·邯郸 25 中二模]如果点 P（2x+6，x-4）在平面直角坐标系的第四象限内，那么 x 的取值范围在数轴上可表示为（ ） 11. [25·张家口模拟]某服装店现有一款热卖的羽绒服，进价为 280 元/件，售价为400 元/件．现准备打折销售，在保证利润率不低于 10%的情况下，打 x 折，则下列说法正确的是 （ ） A． 依据题意得 400x-280≥280×10% B． 依据题意得 C． 该款羽绒服可以打七五折 D． 该款羽绒服最多打七七折 12. 新定义 对于 x，y 定义了一种新运算 G，规定 G（x，y）=x+3y.若关于 a 的不等式组 恰好有3个整数解，则实数 P 的取值范围是_________． 13. 方案设计[25·遂宁]为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A，B 两种型号的新型垃圾桶． 现有如下材料： 材料一：已知购买 3 个 A 型号的新型垃圾桶和购买 2 个 B 型号的新型垃圾桶共 380 元；购买 5 个 A 型号的新型垃圾桶和购买 4 个 B 型号的新型垃圾桶共700 元． 材料二：据统计，该社区需购买 A，B 两种型号的新型垃圾桶共 200 个，但总费用不超过 15 300 元，且 B 型号的新型垃圾桶数量不少于 A 型号的新型垃圾桶数量的 请根据以上材料，完成下列任务： 任务一：求 A，B 两种型号的新型垃圾桶的单价； 任务二：有哪几种购买方案？ 任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？ 核心素养·中考新考法 14. 真实情境 某超市需要解决购物车从 1楼到 2 楼的转运问题．已知购物车的尺寸如图 1 所示.为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列.如图 2 所示，3 辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为 1.6 m.购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运.为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24 辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2 列长度均为 2.6 m 的购物车列． （1）求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； （2）若该超市需转运 100 辆购物车，使用电梯总次数为 5 次，则有哪几种使用电梯次数的分配方案？ 请说明理由． -22- 第二章 方程（组）与不等式（组） 第四节 一元一次不等式（组）及其应用 立足教材·夯实基础 1. B 2. D 3. A 4. A 5. D 6. 1（答案不唯一） 7. 6 8. 解：（1）x≤1 （2）x≥-2 （3）如图； （4）-2≤x≤1 9. 解：（1）115-100=15（点），110-115=-5（点），∴ 每关的奖励值为+15 点，惩罚值为-5 点； （2）设一共失败了 n 次， 根据题意得 100+4×15+（-5）n=145， 解得 n=3. 答：一共失败了 3 次； （3）设嘉嘉失败了 x 次， 根据题意得 100+10×15+（-5）x≥220， 解得 x≤6，∴x 最大取 6. 答：嘉嘉最多能失败 6 次． 拓展进阶·提高能力 10. C 11. D 12. -17≤P＜-7 提示：∵G （x,y）=x+ 3y，∴ 关于 a 的不等式组 ∴ 解不等式①，得 a≤1，解不等式②， 得 ∵ 不等式组有 3 个整数解， ∴ 不等式组的解集为 ∴ 整数解为-1，0，1， 13. 解：任务一：设 A 型号的新型垃圾桶的单价是 x 元，B 型号的新型垃圾桶的单价是 y 元，根据题意得 解得 答：A 型号的新型垃圾桶的单价是60 元，B 型号的新型垃圾桶的单价是 100 元； 任务二：设购买 m 个 A 型号的新型垃圾桶，则购买（200-m）个 B 型号的新型垃圾桶，根据题意，得 解得 又∵m为正整数，∴m可以为118，119，120，∴ 共 3 种购买方案，方案 1：购买 118 个 A 型号的新型垃 圾桶，82 个 B 型号的新型垃圾桶； 方案 2：购买 119 个 A 型号的新型垃圾桶，81 个 B 型号的新型垃圾桶； 方案 3：购买 120 个 A 型号的新型垃圾桶，80 个 B 型号的新型垃圾桶； 任务三：选择方案 1 所需费用为60×118+100×82=15 280（元）； 选择方案 2 所需费用为 60 ×119 +100×81=15 240（元）； 选择方案 3 所需费用为 60 ×120 +100×80=15 200（元）， ∵15 280＞15 240＞15 200， ∴ 方案 3 更省钱，最低购买费用是15 200 元． 核心素养·中考新考法 14. 解：（1）由题意，车身总长 L 与购物车辆数 n 的关系式为 L=0.2n+1.当L=2.6 时，0.2n+1=2.6， ∴n=8，2×8=16（辆）． 即该超市直立电梯一次最多可以转运 16 辆购物车； （2）有 3 种，理由：设使用扶手电梯转运 m 次，则使用直立电梯转运（5-m）次，由（2）得，该超市直立电梯一次最多可以转运 16 辆购物车， ∵m 为正整数，∴m=3，4，5， ∴ 共有 3 种分配方案：①扶手电梯转运 3 次，直立电梯转运 2 次；②扶手电梯转运 4 次，直立电梯转运 1 次；③扶手电梯转运 5 次. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程（组）与不等式（组） 第三节 一元二次方程及其应用 立足教材·夯实基础 1. 易错点 若关于 x 的一元二次方程（k-2）·x2 +2x+k2 -4=0 的一个根为 0，则 k 的值为 （ ） A． k=2 B． k=0 C． k=-2 D． k=±2 2. [25·河南]一元二次方程 x2 -2x=0 的根的情况是 （ ） A． 有两个不相等的实数根 B． 有两个相等的实数根 C． 只有一个实数根 D． 没有实数根 3. [25·福建]为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为 5 m 的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块 6 m2 的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长 为 x m，根据题意可（ ） A． 5x2 =6 B． 5（1+x2 ）=6 C． x（5-x）=6 D． 5（1+x）2 =6 4.[25·重庆]某景区 2022 年接待游客 25 万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区 2024 年接待游客达到 36 万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ） A． 10% B． 20% C． 22% D． 44% 5.一题串练 原创 已知一元二次方程 x2 -6x+□=0． （1）若□=5，用配方法解一元二次方程x2 -6x+□=0，将它化成（x+p）2 =q 的形式，则 p+q 的平方根为 ________； （2）若“□”表示一个字母，且一元二次方程 x2 -6x+□=0 有实数根，则“□”的最大值为 ______，“□”的值最大时方程的解为 _______________； （3）已知 x1，x2 是 x2 -6x+□=0 的两个实数根，且 x1 2 x2 2 -x1-x2=115.则 ①□的值为 _______； ②此方程的解为 ___________________． 6.[教材人九上 P14 例 3 变式]小颖与小明两位同学解方程 x（x-2）=x-2 的过程如下框： （1）你认为他们的过程是否正确？ 若正确，请在横线上打“√”；若错误，请在横线上打“×”：小颖 _____，小明 _____； （2）写出你的解答过程． 7. 每每问题 某商场一种商品的进价为30元/件，售价为 40 元/件，该商品平均每天可以销售 48 件，商场为尽快减少该商品的库存，经调查，若该商品每件降价 1 元，则每天可多销售 8 件，若商场销售该商品想要每天获得 504 元的利润，则每件应降价多少元？ -18- 拓展进阶·提高能力 8. [25·邯郸模拟]已知 x1=-1 是关于 x 的方程 x2 +bx+c=0 的一个解，该方程的另一个解为 x2，则下列说法正确的是（ ） A． b-c=-1 B． b2 ≤4c C． b=1-x2 D． c=x2 9. [25·石家庄 48 中二模]如图，点阵 M 的层数用 n 表示，点数总和用S 表示，当 S=66 时，则 n 的值为 （ ） A． 10 B． 11 C． 12 D． 13 10. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东 西就会被遗忘（ 取 1.4）．假设每天“遗忘”的百分比为 x，根据“两天不练丢一半”，有下列说法： 甲：可列方程（1-x）2 = 乙：可列方程 1-2x=50%； 丙：每天“遗忘”的百分比约为 30%； 丁：每天“遗忘”的百分比约为 25%． 其中正确的是（ ） A． 甲、丙 B． 甲、丁 C． 乙、丙 D． 乙、丁 11. [25·广安]已知方程 x2 -5x-24=0 的两根分别为 a 和 b，则代数式 a2 -4a+b 的值为______． 12. 难点 已知关于 x 的一元二次方程 x2 - kx+k2 =3 有解． （1）当 k=0 时，方程的解为 ______； （2）若 m 是该一元二次方程的一个根，令 y=-m2 +km+k2 ，则 y 的最大值和最小值的和为 _____. 13. [25·威海]如图，某校有一块长 20 m、宽 14 m 的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为 24 m2 的 9 个矩形地块，请你求出小路的宽度． 核心素养·中考新考法 14. 应用意识 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 250 元，每桶水的进价是 5 元，规定销售单价不得高于12 元/桶，也不得低于 7 元/桶，调查发现日均销售量 p（桶）与销售单价 x（元） 的函数图象如图所示． （1）求日均销售量 p（桶）与销售单价x（元）的函数关系； （2）若该经营部希望日均获利 1 350 元，那么销售单价是多少？ -19- 第二章 方程（组）与不等式（组） 第三节 一元二次方程及其应用 立足教材·夯实基础 1. C 2. A 3. C 4. B 5.（1）±1 （2）9 x1=x2=3 （3）①-11 ②x1=3+2 ，x2=3-2 6. 解：（1）× × （2）x（x-2）=x-2，x（x-2）-（x-2）=0， （x-2）（x-1）=0，∴x-2=0 或 x-1=0， 解得 x1=2，x2=1． 7. 解：设每件应降价 x 元，则每件商品的利润为（40-x-30）元，由题意得（40-x-30）（48+8x）=504， 解得 x1=1（不符合题意，舍去），x2=3. 答：每天要想获得 504 元的利润，每件应降价 3 元． 拓展进阶·提高能力 8. C 9. B 10. A 11. 29 12.（1）x1= ，x2=- （2）2 提示：（1）当 k=0 时，则 x2=3，解得x1= ，x2=- ； （2）∵ 关于 x 的一元二次方程 x2-kx+k2 =3 有解，∴Δ=k2 -4（k2 -3）≥0， ∴k2 ≤4，∴-2≤k≤2． 若 m 是该一元二次方程的一个根，则 m2 -km+k2 =3，∴-m2 +km=k2 -3，∴y=-m2 +km+k2 =2k2 -3，当 k=0 时，y 有最小值-3，当k=2 或 k=-2 时，y 有最大值为5，∴y 的最大值和最小值的和为 5+（-3）=2. 13. 解：设小路的宽度为 x m，则 9 块矩形地块可合成长为（20-4x） m，宽为（14-4x） m 的矩形，根据题意得（20-4x）（14-4x）=24×9， 整理得 2x2 -17x+8=0，解得（不符合题意，舍去）． 答：小路的宽度为m. 核心素养·中考新考法 14. 解：（1）设日均销售量 p（桶）与销售单价 x（元）的函数关系为 p=kx+b,根据题意得 所以日均销售量 p（桶）与销售单价x（元）的函数关系为 p=-50x+850； （2）根据题意得（x-5）（-50x+850）-250=1 350，解得 x1=9，x2=13（不符合题意，舍去）. 答：若该经营部希望日均获利1 350 元，那么销售单价是 9 元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程（组）与不等式（组） 第一节 一次方程（组）及其应用 立足教材·夯实基础 1. [25·石家庄 27 中模拟]如图，小明将等式5a-2b=3a-2b 进行变形，最后得到一个错误的结论，则下列说法正确的是 （ ） A． 第一步错误 B． 第二步错误 C． 第三步错误 D． 三步都正确，原等式错误 2. [教材冀七下 P27,T3 高仿]已知是二元一次方程组的解，则 a-b 的值为 （ ） A． 3 B． 2 C． 1 D． -1 3. [25·浙江] 手工社团的同学制作两种手工艺品 A 和 B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如表． 如果一共用了 17 张彩色纸和 10 捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？ 设手工艺品 A 有 x 个，手工艺品 B 有 y 个，则 x 和 y 满足的方程组是（ ） 4. 数学文化 在数学文化节游园活动中， “智取九宫格”的活动规则是：在九宫 格的每一个方格中填入一个数，使每一 横行、每一竖列以及每条对角线上的 3 个数之和都相等．小明抽取到的题目如图所示，则 a= （ ） A． 4 B． 5 C． 6 D． 7 5. 已知关于 x，y 的方程组则x+y 的值为 ______． 6. 缺项 嘉淇在解关于 x 的一元一次方程 时，发现正整数“○”被污染了． 【任务 1】（1）若这道题的答案是 x=-1，求“○”代表的正整数； 【任务 2】（2）嘉淇问同学小明，小明也记不清“○”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数．嘉淇经过深入思考，将“○”设为 m，通过计算，很快得到了“○”的值．你知道她是怎么计算的吗？ 请你求出“○”的值． 拓展进阶·提高能力 7.[25·邢台模拟]某同学在解关于 x 的一元一次方程 2a+x=3 时，误将+x 看作÷x，得到方程的解为x=2，则原方程的解为 （ ） A． x=-3 B． x= C． x=2 D． x=3 8.[ 25·自贡]某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10 块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形，若大平行四边形短边 长40 cm，则小地砖短边长 （ ） A． 7 cm B． 8 cm C． 9 cm D． 10 cm-14- 9. 跨学科·语文 草船借箭是一个流传很广的故事.按照这个故事所说的，我们假定诸葛亮一共派出大小草船共 20 艘，回 来清点发现平均每艘小船上借的“箭”约有 4 800 支，平均每艘大船上借的“箭”约有 6 200 支，已知一共借箭112 800 支，设派出大船 x 艘，则下列说法正确的是（ ） A． 依题意得 4 800x+6 200（20-x）=112 800 B． 依题意得 4 800（20-x）+6 200x=112 800 C． 派出大船 8 艘 D． 派出小船 14 艘 10. 已知关于 x，y 的方程组 且 x-y=2，则 k=____． 11.[25·江西]某文物考古研究院用 1∶1 复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共 16 kg；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共 36 kg，且所用的粮食糟醅量是第一次的 2 倍，芋头糟醅量是第一次的 3 倍． （1）求第一次实验分别用了多少千克粮食糟醅和芋头糟醅； （2）受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为 ，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少千克大米？ 核心素养·中考新考法 12. 大单元综合 定义新运算:①在平面直角坐标系中,{a,b}表示动点从原点出发,沿着x 轴正方向(a≥0)或负方向(a<0). 平移 |a |个单位长度,再沿着 y 轴正方 向(b≥0)或负方向(b<0)平移 |b |个单位长度.例如,动点从原点出发,沿着 x 轴负方平移 2 个单位长度,再沿着 y 轴正方向平移 1 个单位长度,记作 {-2,1}.②加法运算法则:{a,}{c,d}= {a+c,b+d},其中 a,b,ｃ,ｄ 为实数.若 {2,5}+{m,n}={1,-2},则m+n=_____. -15- 第二章 方程（组）与不等式（组） 第一节 一次方程（组）及其应用 立足教材·夯实基础 1. C 2. D 3. C 4. C 5. -3 6. 解：（1）将 x=-1 代入原方程，得 解得○=5， ∴“○”代表的正整数为 5； （2）根据题意得解得 又 ∵x，m 均为正整数， ∴“○”的值为 2． 拓展进阶·提高能力 7. A 8. B 9. B 10. -2 11. 解：（1）设第一次实验用了 x kg 粮食糟醅，y kg芋头糟醅，根据题意， 答： 第一次实验用了 40 kg 粮食糟醅，20 kg 芋头糟醅； （2）设需要准备 m kg 大米，根据题意，得 （40+40×2）×30%，解得m=37.5． 答：需要准备 37.5 kg 大米． 核心素养·中考新考法 12. -8 提示:∵{2,5}+{m,n}={1,-2}, ∴m+n=-1-7=-8． 学科网（北京）股份有限公司 $