精品解析：浙江省舟山市普陀区2025-2026学年九年级上学期11月期中联考数学试题

2025学年第一学期期中素养监测试题卷 九年级 数学 一 、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分．） 1. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 明天早上会下雨 B. 掷一枚硬币，正面朝上 C. 任意一个三角形，它的内角和等于 D. 一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等 2. 已知的半径是3，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在外 B. 点P在上 C. 点P在内 D. 不能确定 3. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 某种幼树在相同条件下移植实验的结果如表： 移植总数n 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数m 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活的频率 根据以上数据可以估计幼树成活的概率约为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么（ ） A. B. C. D. 6. 将二次函数通过配方法化为顶点式的形式，结果是() A. B. C. D. 7. 如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（a是常数，且），下列结论正确的是（ ） A. 当时，函数图象过点 B. 不论a取何值，函数图象都经过点 C. 函数图象与x轴必有两个交点 D. 当时，y随x的增大而减小 9. 某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底．纸条的上下边缘分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则该纸杯杯底的直径为（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，A，B是上的两定点，圆上一动点P从点A出发，按逆时针方向匀速运动到点B，运动时间是，线段的长度是，图②是y关于x的函数图象，最高点，且经过、和点，下列说法错误的是（） A. B. C. 点在该函数图象上 D. 二 、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 从甲、乙、丙三人中任选两人参加“青年志愿者”活动，甲被选中的概率为___． 12. 抛物线经过三点，则的大小关系为___________ 13. 如图，正五边形的边长为4，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是______． 14. 直角三角形的两直角边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于__________． 15. 某二次函数一部分自变量和函数值的对应情况如上表所示．当时，自变量x的取值范围是________________． x … 0 1 2 3 … y … 3 4 3 0 … 16. 如图，矩形的边，M为的中点，P是矩形内部一动点，满足，N为边上的一个动点，连接，则的最小值为______ 三 、解答题（本题共8小题，共72分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为． （1）将绕点B顺时针旋转后得到，请在图中画出； （2）在（1）的条件下，求出点C经过的路径长． 18. 已知二次函数的图象过点． （1）求该函数的关系式； （2）判断点是否在这条抛物线的图象上 ？ 19. 如图，的弦，相交于点E，且．求证： （1）= （2）． 20. 小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2，3，4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．若和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜． （1）请你用画树状图或列表的方法，求出小明和小亮各自获胜的概率； （2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？说说你的理由． 21. 某商场销售一种小商品，进货价为40元/件．当售价为60元/件时，每天的销售量为300件．在销售过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．设销售价格上涨x元/件（x为偶数），每天的销售量为y件． （1）当销售价格上涨10元时，每天对应的销售量为 件． （2）请写出y与x的函数关系式． （3）设每天的销售利润为w元，为了让利于顾客，则每件商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 22. 在中，半径垂直于弦，垂足为D，，E为弦所对的优弧上一点． （1）如图1，求和的度数； （2）如图2，与相交于点F，过点E作垂足为H，若，求证：． 23. 在二次函数中， （1）当时， ①求该二次函数图象的顶点坐标； ②当时，求的取值范围； （2）若，两点都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围． 24. 如图1，C，D是半圆上的两点，若直径上存在一点P，满足，则称是的“幸运角”． （1）如图2，是的直径，弦，是弧上一点，连结交于点P，连结，是的“幸运角”吗？请说明理由； （2）如图3，是的直径，弦，是的“幸运角”， 的“幸运角”为． ①连结，求证： ． ②当直径，时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期中素养监测试题卷 九年级 数学 一 、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分．） 1. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 明天早上会下雨 B. 掷一枚硬币，正面朝上 C. 任意一个三角形，它的内角和等于 D. 一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，熟练掌握定义是解题的关键．根据事件的分类，结合数学知识，生活经验解答即可． 【详解】解：A、明天早上会下雨，是随机事件，不符合题意； B、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意； C、任意一个三角形，它的内角和等于，是必然事件，符合题意； D、一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等，是不可能事件，不符合题意； 故选∶C． 2. 已知的半径是3，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在外 B. 点P在上 C. 点P在内 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解题关键．将点到圆心的距离（即的长度）与的半径进行比较即可得． 【详解】解：∵的半径为，，且， ∴点在外， 故选：A． 3. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图像的平移变换，“左加右减，上加下减”即可求解，本题考查了图像的平移变换，解题的关键是：熟记变换规则． 【详解】解：将抛物线向上平移2个单位长度，可得：， 故答案为：． 4. 某种幼树在相同条件下移植实验的结果如表： 移植总数n 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数m 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活的频率 根据以上数据可以估计幼树成活的概率约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根据频率求概率，根据概率的统计定义，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数即为概率的估计值．根据移植总数最大时对应的成活频率最接近真实概率，进行求解即可． 【详解】解：∵大量重复试验中，频率稳定于概率， 又∵移植总数时，成活频率为， ∴估计幼树成活的概率约为． 故选：C． 5. 如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键．根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，再由圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 6. 将二次函数通过配方法化为顶点式的形式，结果是() A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了通过配方法将二次函数化为顶点式，关键步骤是完成平方，即加上和减去一次项系数一半的平方． 【详解】解： ∴顶点式为， 故选：D． 7. 如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先解得，根据旋转的性质可得，，，根据三角形内角和定理可得，进而可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上， ∴，，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 8. 已知函数（a是常数，且），下列结论正确的是（ ） A. 当时，函数图象过点 B. 不论a取何值，函数图象都经过点 C. 函数图象与x轴必有两个交点 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与轴的交点问题，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵ 函数， 当时，， ∴ 不论取何值（），函数图象都经过点，故选项B正确． 当时，函数为， 代入，得， ∴ 图象不过点 ，故A错误． ∵， ∴， ∵ ，可能为正、负或零（例如时 ）， ∴ 图象与轴不一定有两个交点，故C错误． 抛物线的对称轴为， 若，当时，随的增大而减小； 若，当时，随增大而增大，故D错误； 故选B． 9. 某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底．纸条的上下边缘分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则该纸杯杯底的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，设圆心，过点O作于N，交于点M，连接，， ， ∵， ， ，， 设， ， ，， ， ， ， ， ， 纸杯的直径为． 故选：B． 10. 如图①，A，B是上的两定点，圆上一动点P从点A出发，按逆时针方向匀速运动到点B，运动时间是，线段的长度是，图②是y关于x的函数图象，最高点，且经过、和点，下列说法错误的是（） A. B. C. 点在该函数图象上 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据所给选项判断出点P在圆上的具体位置是解决本题的关键．根据所给选项，判断出点P运动到点C，D，E，F处时分别在圆O的什么位置，进而判断出相应的时间和AP的长即可判断所给选项是否正确． 【详解】解：延长交于点，连接，如图1， ∴最高点， ∴此时点运动3秒，点在的延长线与的交点处， ∴函数图象经过点， ∴此时点在点处，且， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故A正确，不符合题意； ∴函数图象过， ∴此时，如图2， ∴点走一个半圆需要3秒，从走到点需要2秒， ∴从走到需要1秒， ∴从走到需要1秒， ∴， 故B正确，不符合题意； 当时，如图3，点运动到处，连接， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在该函数图象上， 故C正确，不符合题意； 当时，点P在的中点处，如图 4， ∴， ∴， ∴， 故D错误，符合题意． 故选：D． 二 、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 从甲、乙、丙三人中任选两人参加“青年志愿者”活动，甲被选中的概率为___． 【答案】 【解析】 【分析】画出树状图求解即可． 【详解】解：如图， 一共有6中不同的选法，选中甲的情况有4种， ∴甲被选中的概率为： 故答案为． 【点睛】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图或表格，然后用符合条件的情况数m除以所有等可能发生的情况数n即可,即． 12. 抛物线经过三点，则的大小关系为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得抛物线开口向上，对称轴为直线，则在对称轴左侧y随x增大而减小，再根据关于对称轴对称的点为，且可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴左侧y随x增大而减小， ∵关于对称轴对称的点为，且， ∴， 故答案为：． 13. 如图，正五边形的边长为4，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：正五边形的外角和为， 每一个外角的度数为， 正五边形的每个内角为， 正五边形的边长为4， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正五边形的内角的度数并牢记扇形的面积计算公式，难度不大． 14. 直角三角形的两直角边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形外接圆的性质，难度不大，注意直角三角形的斜边是其外接圆的直径是解题的关键. 由直角三角形的两直角边长分别为6，8，利用勾股定理可求得其斜边；又由直角三角形的斜边是其外接圆的直径，即可求得答案． 【详解】∵直角三角形的两直角边长分别为6，8， ∴斜边长为： ∴这个三角形的外接圆半径是， 故答案为5． 15. 某二次函数一部分自变量和函数值的对应情况如上表所示．当时，自变量x的取值范围是________________． x … 0 1 2 3 … y … 3 4 3 0 … 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对称点求对称轴，抛物线与轴的交点，以及利用交点解不等式． 根据表格数据，二次函数对称轴为，开口向下，且经过点，利用对称性求得另一个根为，从而确定时x的取值范围． 【详解】解：由表格可知，当时，；时，； ∴因此二次函数图像关于直线对称， ∵，随着的增大而减小， ∴抛物线开口向下， ∵时，根据对称性，另一个与轴交点的横坐标为，即点， ∴当时，自变量x的取值范围是或， 故答案为：或． 16. 如图，矩形的边，M为的中点，P是矩形内部一动点，满足，N为边上的一个动点，连接，则的最小值为______ 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，先找出点的运动路径为以为直径且位于矩形内部的半圆，作以为直径的半圆，圆心为，作点关于直线的对称点，连接交半圆于点，连接，推出的最小值为，再求出的长度即可，推出的最小值为是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴点的运动路线为以为直径且位于矩形内部的半圆， 作以为直径的半圆，圆心为，作点关于直线的对称点，连接交半圆于点，连接，    则， ∴， ∴的最小值为； 连接， ∵四边形是矩形，点是的中点，点为的中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴的最小值为， 故答案为：7． 三 、解答题（本题共8小题，共72分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为． （1）将绕点B顺时针旋转后得到，请在图中画出； （2）在（1）的条件下，求出点C经过的路径长． 【答案】（1） 为所求的三角形， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，勾股定理，弧长公式，掌握以上知识的计算是关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）由网格的特点，结合勾股定理得到，根据弧长公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴点C经过的路径长为． 18. 已知二次函数的图象过点． （1）求该函数的关系式； （2）判断点是否在这条抛物线的图象上 ？ 【答案】（1） （2）不在这条抛物线的图象上 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的表达式，二次函数图象上点的坐标特征，正确的求得解析式是解题的关键． （1）把点代入二次函数的解析式，解方程即可得到结论； （2）把点代入函数解析式，看是否满足方程成立即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象过点， ， ， ∴这个二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：把点代入函数解析式， ， ∴点不在抛物线上． 19. 如图，的弦，相交于点E，且．求证： （1）= （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∴ 即． （2）证明：∵ ∴ ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查圆的基本性质以及等腰三角形的判定定理（等角对等边）；掌握同圆内弦、弧、圆周角之间的相互转化关系，通过逐步推导实现角与边的关系转化，是解题的关键． （1）同圆中等弦对等弧，由得对应弧相等，两段弧同加一段公共弧，即证目标弧相等； （2）同圆中等弧对等圆周角，由前述相等的弧得对应两角相等，依等角对等边，即证 ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2，3，4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．若和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜． （1）请你用画树状图或列表的方法，求出小明和小亮各自获胜的概率； （2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？说说你的理由． 【答案】（1） （2） 不公平，理由如下： 由（1）得两数之和为奇数的概率为，两数之和为偶数的概率为， ∵， 所以这个游戏规则对双方不公平． 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率（注意树状图与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的情况）．解题的关键是理解概率=所求情况数与总情况数之比． （1）首先根据题意列表，然后分别求出和为奇数、和为偶数的概率，再利用概率公式求解即可； （2）分别求出和为奇数、和为偶数的概率，即可得出游戏的公平性． 【小问1详解】 解：根据题意，列出表格，如下： 总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，和为奇数有4种，和为偶数有种， 所以； 【小问2详解】 略 21. 某商场销售一种小商品，进货价为40元/件．当售价为60元/件时，每天的销售量为300件．在销售过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．设销售价格上涨x元/件（x为偶数），每天的销售量为y件． （1）当销售价格上涨10元时，每天对应的销售量为 件． （2）请写出y与x的函数关系式． （3）设每天的销售利润为w元，为了让利于顾客，则每件商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）200 （2） （3）售价定为64元时，每天获利最大为6240元 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数和二次函数的应用，读懂题意，正确列函数解析式是解题的关键． （1）根据销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件即可得到答案； （2）根据销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件可得到与的函数关系式； （3）先求出利润关于x的二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件， ∴当销售价格上涨10元时，每天对应的销售量为（件）， 故答案为：200； 【小问2详解】 解：设销售价格上涨元/件， 销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件. 其销售量； 【小问3详解】 解：依题意可得每天的销售利润为， ∵ 故当时，最大值， 但为偶数，当或时，有最大利润， 为了让利于顾客， ，符合题意，此时． 此时销售单价为（元）， ∴每件商品的销售单价定为64元时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 22. 在中，半径垂直于弦，垂足为D，，E为弦所对的优弧上一点． （1）如图1，求和的度数； （2）如图2，与相交于点F，过点E作垂足为H，若，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：如图2，连接， ，， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由垂径定理得到，因此，得到，由圆周角定理即可求出的度数； （2）连接，可得，所以得出，根据圆周角定理得，所以，根据对顶角相等得，再根据三角形内角和定理得，即可得出结论． 【小问1详解】 解：半径垂直于弦， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数，掌握相关知识是解决问题的关键． 23. 在二次函数中， （1）当时， ①求该二次函数图象的顶点坐标； ②当时，求的取值范围； （2）若，两点都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围． 【答案】（1）①；② （2）且 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的知识点． （1）将代入即可求出顶点，再根据二次函数的特点即可求解； （2）求出二次函数的对称轴，再分情况讨论即可． 【小问1详解】 解：①把代入得， 抛物线的顶点坐标为； ②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 当时，有最大值， 当时，；当时，， 当时，； 【小问2详解】 抛物线的对称轴为直线， ①当，即时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离 ，解得， ， ②当，即时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 成立， ， ③对称轴在点左侧不合题意，舍去 综上所述，且． 24. 如图1，C，D是半圆上的两点，若直径上存在一点P，满足，则称是的“幸运角”． （1）如图2，是的直径，弦，是弧上一点，连结交于点P，连结，是的“幸运角”吗？请说明理由； （2）如图3，是的直径，弦，是的“幸运角”， 的“幸运角”为． ①连结，求证： ． ②当直径，时，求的长． 【答案】（1） 是的“幸运角”． 弦 是的直径， 平分 为的垂直平分线， ， 是的“幸运角” （2）①连接 的幸运角为， 弦 是的直径， 平分 为的垂直平分线， 即 ② 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理得出垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，根据“三线合一”的性质得出，利用对顶角相等，结合“幸运角”的定义即可得答案； （2）①如图，连接、，根据“幸运角”的定义得出，，即可得出，，根据圆周角定理可得，利用垂径定理结合等腰直角三角形的性质得出； ②过点作于点，根据已知可得,进而求得，由（1）可知，则；根据垂径定理可得，根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②如图，过点作于点， 弦 是的直径， 平分 为的垂直平分线， ∴ ∴， ∵ 由①可得，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质、圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，理解并熟练运用新定义解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $