精品解析：广西柳州市2026届高三第一次模拟考试数学试题

柳州市2026届高三第一次模拟考试 数学 （考试时间120分钟 满分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再洗涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过复数的除法运算求出复数,再根据复数的模的计算公式求出. 【详解】复数z满足， 得, . 故选：B 2. 记等差数列的前n项和为,,,则（ ） A. 120 B. 130 C. 140 D. 150 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列下标和的性质与等差数列前项求和公式计算即可. 【详解】 故选：D. 3. 设向量，，则（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】由向量平行、垂直的坐标表示求得，再结合充分、必要条件的概念逐个判断即可. 【详解】若，则解得：或， 若，则解得：或， 所以“”是“”的不必要条件， “”是“”的不必要条件， “”是“”的不充分条件， “”是“”的充分条件， 故选：D 4. 甲、乙等5人站成一排，若甲和乙之间恰好有2人，且甲不在两端，则不同排法共有（ ） A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种 【答案】B 【解析】 【分析】分乙站第一个位置，甲站第四个位置，和甲站第二个位置，乙站第五个位置，两类情况求解即可. 【详解】从左向右看，若甲和乙之间恰好有2人，且甲不在两端，有两种情况： 乙站第一个位置，甲站第四个位置，有种， 甲站第二个位置，乙站第五个位置，有种， 共有种， 故选：B 5. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数在上的值排除B, 利用奇偶性排除A, 利用函数在上的单调性排除D 【详解】对于A，，定义域为， 又，所以为偶函数，故A错误； 对于B，当时， 易知，，所以，不满足，故B错误； 对于D，当时，， 由反比例函数的性质可知，在上单调递减，故D错误； 检验选项C，满足图中性质。 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 6. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 的周长为6 B. 的最小值为1 C. 面积的最大值为 D. 椭圆C的离心率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆的定义与性质对选项进行分析，从而确定各选项的正确性. 【详解】如图： 依题意，， 所以的周长为，A选项正确； 若为椭圆上任意点，则，即， 当为椭圆长轴顶点时取等号，但P为椭圆C上异于长轴端点的动点，所以等号不成立，B选项错误； 当为椭圆短轴顶点时，的面积最大，为，C选项正确； 椭圆的离心率为，D选项正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 7. 若，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据指对互化，以及对数换底公式和运算公式，即可求解. 【详解】由，得，， 所以. 故答案为：1 8. 已知定义在上的函数，为的导函数，定义域也是，满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】对条件等式左右求导可判断出的对称中心，然后根据对称性可计算出结果. 【详解】因为，所以， 所以的对称中心为， 又因为， 所以， 所以 ， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9. 已知函数，设锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）若，，求b，c的值； （2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将代入中求出的值，再根据得出，利用余弦定理求值即可； （2）将化简，再通过平移规律得到，根据（1）得到，进而求出的取值范围. 【小问1详解】 由题， 所以， 因为，所以，所以，所以， 因为，所以，即， 又，所以，即，所以，； 【小问2详解】 ， 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象， 则， 由（1）可知，所以， 在锐角中，，解得 所以，， 因为，所以， 所以，所以， 所以的取值范围为. 10. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）将代入解析式，计算出，由直线的点斜式方程可求时的切线方程； （2）计算出并因式分解，根据和进行分类讨论，由此可分析出单调性； （3）当时，直接分析即可；当时，先根据计算出的初步范围，然后再证明在定义域上有两个零点，从而求解出的取值范围. 【小问1详解】 当时，，所以， 所以， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 因为，所以， 当时，显然，故在上单调递减， 当时，令，解得， 若，则，故在上单调递减， 若，则，故在上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 当时，在上单调递减，此时不可能有两个零点， 当时，由（2）可知， 若有两个零点，则一定有， 令，则，所以在上单调递增， 因为，所以若，则有， 下面证明：时，有两个零点； 因为， 由零点的存在性定理可知在上存在唯一零点， 当时，由的单调性可知，所以， 所以，所以，所以， 又因为， 令，所以，令，解得， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，所以，当且仅当时取等号， 所以， 故当时，， 由零点的存在性定理可知在上存在唯一零点， 所以有两个零点， 综上所述，若有两个零点，则的取值范围是. 11. 从双曲线的一个焦点出发的光线，经过双曲线的反射后，反射光线是散开的，反射光线的反向延长线过另一个焦点，它们就好像是从另一个焦点射出的一样，双曲线的这一光学性质也被人们广泛应用．如图，已知双曲线的渐近线方程为．O为坐标原点，，分别为左、右焦点，，分别为左、右顶点．由其光学性质知．由发出的光线经双曲线上一点反射后，反射光线的反向延长线过点，连接交双曲线于，也是一个反射点，连接交双曲线于，则也是一个反射点，再连接，交双曲线于，则也是一个反射点，……，由各反射点连线得到折线，设第n个反射点为． （1）求双曲线C的标准方程； （2）求直线的斜率； （3）证明：当为偶数时，直线与直线的斜率之积为定值． 【答案】（1） （2） （3） 证明：当为偶数时，取连续3个反射点，，， 则直线的方程为，与双曲线交于点， 联立，消去得， 由韦达定理得，两式相除得， 可得，故， 将代入直线的方程，得， 所以双曲线与直线的另一个交点为， 同理，双曲线与直线的另一个交点为， 故， 即， 所以当为偶数时，直线与直线的斜率之积为定值； 【解析】 【分析】（1）根据渐近线方程及点在双曲线上列式计算求参得出双曲线方程； （2）根据题意求出点的坐标，再根据斜率公式即可得解； （3）当为偶数时，取连续3个反射点，求出直线的方程，联立方程，利用韦达定理可求出，再代入直线的方程，求出，同理求出的坐标，再根据斜率公式化简整理即可得出结论； 【小问1详解】 因为在双曲线上， 联立，解得， 则双曲线C的标准方程为； 【小问2详解】 因为，， 联立，解得或（舍去），则， 已知，则； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柳州市2026届高三第一次模拟考试 数学 （考试时间120分钟 满分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再洗涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 记等差数列的前n项和为,,,则（ ） A. 120 B. 130 C. 140 D. 150 3. 设向量，，则（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 4. 甲、乙等5人站成一排，若甲和乙之间恰好有2人，且甲不在两端，则不同排法共有（ ） A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种 5. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 6. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 的周长为6 B. 的最小值为1 C. 面积的最大值为 D. 椭圆C的离心率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 7. 若，则______． 8. 已知定义在上的函数，为的导函数，定义域也是，满足，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9. 已知函数，设锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）若，，求b，c的值； （2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求的取值范围． 10. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求的取值范围． 11. 从双曲线的一个焦点出发的光线，经过双曲线的反射后，反射光线是散开的，反射光线的反向延长线过另一个焦点，它们就好像是从另一个焦点射出的一样，双曲线的这一光学性质也被人们广泛应用．如图，已知双曲线的渐近线方程为．O为坐标原点，，分别为左、右焦点，，分别为左、右顶点．由其光学性质知．由发出的光线经双曲线上一点反射后，反射光线的反向延长线过点，连接交双曲线于，也是一个反射点，连接交双曲线于，则也是一个反射点，再连接，交双曲线于，则也是一个反射点，……，由各反射点连线得到折线，设第n个反射点为． （1）求双曲线C的标准方程； （2）求直线的斜率； （3）证明：当为偶数时，直线与直线的斜率之积为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $