精品解析：广西壮族自治区柳州市2025届高三第一次模拟考试数学试题

柳州市2025届高三第一次模拟考试 数学 （考试时间 120分钟 满分 150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的乘法和除法运算化简复数，即可得出答案. 【详解】因为，所以， 所以的虚部为. 故选：A. 2. 对于非零向量，，“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反向量一定是共线向量，共线向量不一定是相反向量可求解. 【详解】对于非零向量，，因为， 所以，则， 即“”能推出 ， 但当时，，显然 不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于双曲线，求出、，根据可求出的值. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，则， 且 ，，则，解得. 故选：B. 4. 若过点与圆 相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知，切线的斜率存在，设切线的方程为，利用圆心到切线的距离等于半径求出的值，再利用二倍角的余弦公式、弦化切可求得的值. 【详解】圆 的圆心为原点，半径为， 若切线的斜率不存在，则直线的方程为，且该直线与圆 相离，不合乎题意， 所以，切线的斜率存在，设切线的方程为，即， 则，解得， 不妨设直线的倾斜角为，因为，则，则， 所以，，故 . 故选：C. 5. 在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点,由题意列出方程，化简整理即得点的轨迹方程. 【详解】依题意，设点，由， 可得，即得点的轨迹方程为. 故选：A. 6. 设函数，已知，，且的最小值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出函数的最小正周期，再利用余弦型函数的周期公式可求得的值. 【详解】设函数的最小正周期为， 因为函数，已知，，且的最小值为， 则，可得，故. 故选：D. 7. 已知正四棱台的体积为，则与底面ABCD所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据体积求出正四棱台的高，分别取的中点，过作交 于，则为与底面所成的角，求解即可. 【详解】∵，，∴上，下底面的面积分别为， 设正四棱台的高为， 则其体积为，解得， 连接，分别取的中点， ∵ 面，面，∴ ， 过作交 于，则，面， ∴为与底面所成的角， ∵，， ∴， 即与底面所成角的正切值为. 故选：C. 8. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论求出 的值，然后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为， 若，则对任意的，， 则当时，，不合乎题意； 若时，当时，，，此时，，不合乎题意； 若，则当时，， ，此时，，不合乎题意. 所以，，此时，，则 ， 当时，，，此时，； 当时， ， ，此时，. 所以，对任意的，，合乎题意， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量服从正态分布，即，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由正态分布概念、组成的理解和正态分布曲线的对称性逐一判断即得. 【详解】由可得，，故A错误；B正确； 对于C，因,则，故C错误； 对于D，因，则,故，即D正确. 故选：BD. 10. 过抛物线：的焦点作倾斜角为的直线交于，两点，经过点和原点的直线交抛物线的准线于点，则下列说法正确的是（ ）． A. B. C. 以为直径的圆与轴相切 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设直线l的方程为，，，将该直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理可判断B；设，由可判断A；比较半径与圆心到轴的距离即可判断C；由抛物线的定义表示出，将韦达定理代入化简可判断D. 【详解】由题意可设过点的直线l的方程为，设，， 联立方程组，消去整理得， 即，所以，， ， 所以，所以，故B错误； 设，设直线的方程为 ，令，所以， , 所以直线 的斜率为，所以，故A正确. 因为，所以以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以圆心到轴的距离为，所以以为直径的圆与轴相切，故C正确； 由抛物线的定义知：， 所以 ，故D正确. 故选：ACD. 11. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知是定义在上的可导函数，其导函数为，若函数是奇函数，函数为偶函数，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用函数对称性的定义可判断A选项；举特例可判断BCD选项. 【详解】对于A选项，因为函数为奇函数， 所以，函数的图象关于点对称， 且函数的定义域为，则，A对； 对于B选项，不妨取， 因为为奇函数， 则函数符合题意，， 所以，为偶函数， 但，B错； 对于C选项，不妨取，则为奇函数， ，为偶函数，合乎题意， 但不是奇函数，C错； 对于D选项，若，则该函数的最小正周期为， ， 所以，，D错. 故选：BCD. 【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性： （1）若，则函数关于中心对称； （2）若，则函数关于对称； （3）若，则函数的周期为； （4）若，则函数的周期为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_________． 【答案】6 【解析】 【分析】对两边都除以可得，两边再平方可得答案. 【详解】由知， 可得，即， 所以， 则. 故答案为：6. 13. 在的展开式中，常数项为_________． 【答案】70 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式即可求解． 【详解】的通项公式， 令，解得 ， ∴常数项． 故答案为：70. 14. 如图，在的格子中，有一只蚂蚁从点爬到点，每次只能向右或向上移动一格，则从点爬到点的所有路径总数为_________，若蚂蚁只在下三角形（对角线 及以下的部分所围成的三角形）行走，则从点到点的所有总路径数为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】在的格子中，蚂蚁从点爬到点需要走步，从点爬到点的所有路径总数为从步中选择步横向的组合数；若蚂蚁只在下三角形行走，用列举法一一列举即可. 【详解】蚂蚁从点爬到点需要走步，其中步横向，步纵向， 所有路径数为从步中选择步横向的组合数，所以； 蚂蚁只在下三角形（对角线 及以下的部分所围成的三角形）行走，如下： 共 种. 故答案为：； . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若 ，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用辅助角公式计算得出，再结合角的范围即可求出角； （2）已知结合正弦定理化简计算得出，再应用两角和正弦公式计算，最后正弦定理计算边长即可得出周长. 【小问1详解】 由得，，即， 由于，； 【小问2详解】 由题设条件和正弦定理， 又，，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理得， 解得，， 故的周长为. 16. 如图，在圆锥中， 为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段 上，，． （1）证明：平面； （2）若圆锥的侧面积为，求二面角的正弦值． 【答案】（1） 平面 ，，故以为坐标原点，为轴正方向， 为轴正方向，与同向的方向为轴正方向建立空间直角坐标系． 设，故，，，，， ，，． ，． 故，， ，， 平面，平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明、，然后利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）根据圆锥的侧面积求得及，求出平面、平面 的一个法向量，利用向量法求得二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 圆锥的侧面积，， , 由（1）可知，为平面的法向量， 设平面 的法向量为，而，， 故，令得， 则， 所以二面角的正弦值为． 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【小问1详解】 当时，则， 可得 ，，即切点坐标为，切线斜率为 ， 所以切线方程为. 【小问2详解】 定义域为，且， 若，则对任意恒成立． 所以在上单调递减，无极值，不合题意， 若，令，解得，令，解得， 可知在上单调递减，上单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即. 令，，在上单调递增, 又，不等式等价于，解得 , 又，综上的取值范围是． 18. 在平面直角坐标系中，为直线上一动点，椭圆：的左右顶点分别为，，上、下顶点分别为，．若直线交于另一点，直线 交于另一点． （1）求证：直线 过定点，并求出定点坐标； （2）求四边形 面积的最大值． 【答案】（1）证明：由题意知， ，椭圆： 如图，设， 当时，直线的方程为： ，代入 ， 得 ，则，从而，点 又直线的方程为： ，代入 ， 得 则，从而，点 由对称性知，定点在轴上，设为 由，即，化简得 ， 因 故得 ，解得. 即直线 过定点 ，而当时，直线 也过定点 ． 综上，直线 恒过定点 ． （2） 【解析】 【分析】（1）依题求出椭圆方程，设，由直线，方程分别与椭圆方程联立，求出点的坐标，由对称性知，定点在轴上，设为，由求出的值即得； （2）根据图形，可得四边形 的面积，代入和，经过换元，运用基本不等式和函数的单调性即可求得面积最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图可知四边形 的面积为 ， 令，当且仅当时等号成立， 因在上单调递增，而， 故当时，四边形 面积有最大值． 【点睛】方法点睛：本题主要考查直线过定点和四边形面积的最值问题，数据计算较大. 求解直线过定点问题，一般是通过消参后将直线方程化成含一个参数的方程，再求定点；对于四边形面积问题，常运用合理的拆分或拼接，使其表达式易于得到，再利用基本不等式，或函数的单调性求其范围即可. 19. 某购物平台为了吸引更多的顾客在线购物，推出了和两个套餐服务，并在购物平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择和两个套餐之一，下图是该购物平台7天销售优惠券的情况（单位：千张）的折线图： （1）由折线图可看出，可用回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； （2）假设每位顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，其中包含一张优惠券，套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了张优惠券，设其概率为，求； （3）记（2）中所得概率的值构成数列，求数列的最值． 参考数据：，，， 参考公式：相关系数 【答案】（1） 由折线图中数据和附注中参考数据得，，， ， 所以相关系数， 因为与的相关系数近似为0.9632，说明与的相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系. （2） （3）最大值为，最小值为． 【解析】 【分析】（1）根据折线图中数据和附注中参考数据可计算相关系数； （2）根据题意得，由递推关系可得等比数列，利用等比数列的前项和公式计算即可； （3）利用指数函数的单调性和极限思想可求最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意得，，其中，， 则， 所以是以首项为，公比为的等比数列， 故成立， 则有， 所以，又， 则. 【小问3详解】 当为偶数时，，单调递减，最大值为， ， 当为奇数时，，单调递增，最小值为， ， 所以数列的最大值为，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柳州市2025届高三第一次模拟考试 数学 （考试时间 120分钟 满分 150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部为（ ）． A. B. C. D. 2. 对于非零向量，，“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则 （ ） A. B. C. D. 4. 若过点与圆 相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（ ）． A. B. C. D. 6. 设函数，已知，，且的最小值为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知正四棱台的体积为，则与底面ABCD所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 4 8. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量服从正态分布，即，则（ ）． A. B. C. D. 10. 过抛物线：的焦点作倾斜角为的直线交于，两点，经过点和原点的直线交抛物线的准线于点，则下列说法正确的是（ ）． A. B. C. 以为直径的圆与轴相切 D. 11. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知是定义在上的可导函数，其导函数为，若函数是奇函数，函数为偶函数，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_________． 13. 在的展开式中，常数项为_________． 14. 如图，在的格子中，有一只蚂蚁从点爬到点，每次只能向右或向上移动一格，则从点爬到点的所有路径总数为_________，若蚂蚁只在下三角形（对角线 及以下的部分所围成的三角形）行走，则从点到点的所有总路径数为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记内角，，的对边分别为 ，，，已知． （1）求； （2）若 ，，求的周长． 16. 如图，在圆锥中，为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段上，，． （1）证明：平面； （2）若圆锥的侧面积为，求二面角的正弦值． 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求 的取值范围． 18. 在平面直角坐标系中，为直线上一动点，椭圆：的左右顶点分别为，，上、下顶点分别为，．若直线交于另一点，直线 交于另一点． （1）求证：直线 过定点，并求出定点坐标； （2）求四边形 面积的最大值． 19. 某购物平台为了吸引更多的顾客在线购物，推出了和两个套餐服务，并在购物平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择和两个套餐之一，下图是该购物平台7天销售优惠券的情况（单位：千张）的折线图： （1）由折线图可看出，可用回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； （2）假设每位顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，其中包含一张优惠券，套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了张优惠券，设其概率为，求； （3）记（2）中所得概率的值构成数列，求数列的最值． 参考数据：，，， 参考公式：相关系数 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $