精品解析：青海省西宁二中教育集团2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

西宁二中教育集团2025-2026学年第一学期 高三数学学科期中考试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息，考试时间：120分钟 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（5*8=40分） 1. 已知复数（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助复数运算法则结合模长定义计算即可得. 【详解】， 故. 故选：C. 2. 已知集合，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由，分析集合的端点值，知，求解即可 【详解】由题意可得，且，解得． 故选：B. 3. 设，向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量垂直得，再利用向量夹角的坐标运算求解即可. 【详解】因为， 又，所以，得到， 所以，得到， 所以. 故选：D 4. 已知公差不为0的等差数列中，且，则（ ） A. 30 B. C. D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】假设首项和公差，列等式即可求解，再用前n项和公式求解即可. 【详解】假设等差数列的首项为，公差为， 由且得， 因为公差解，所以解得， 所以， 故选：C. 5. 甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（ ） A. 156 B. 210 C. 211 D. 216 【答案】D 【解析】 【分析】共有三种情况，3人站一个台阶，或2人站一个台阶另1人站另一个台阶，或3人各站一个台阶，然后根据分类计数加法原理即可求解． 【详解】若三人站在一个台阶上，有种站法， 若三人站在两个台阶上，有种站法， 若三人站在三个台阶上，有种站法， 所以，一共有种站法. 故选：D. 6. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用正弦定理求的外接圆半径，再求点到平面的距离，设三棱锥外接球半径为，根据勾股定理列方程求出，进一步计算球的表面积. 【详解】如图： 在中，， 由余弦定理：, 所以，所以外接圆半径为，即. 在直角三角形中，，，所以. 设棱锥外接球半径为，在直角三角形中，， 解得：. 所以球的表面积为：. 故选：A 7. 已知函数的图象向左平移后所得的函数为奇函数，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】平移后的解析式为奇函数得到，求出的最小值. 【详解】因为为奇函数，则， 所以，又，所以，解得， 因为，所以时，取得最小值，最小值为8. 故选：D 8. 已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，过作的垂线，并与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合余弦定理求出离心率. 【详解】设椭圆半焦距为，如图所示，， 设关于原点对称的点为，则为平行四边形， 由，得三点共线，且，设，则， 在中，，解得，而， 在中，由余弦定理得，，解得，即， 所以椭圆的离心率. 故选：C 二、多选题（每题6分，少选得相应分，错选、多选不得分） 9. 已知的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在区间单调递减 C. 在区间的值域为 D. 在区间有个极值点 【答案】AD 【解析】 【分析】根据图象求出函数解析式，赋值即可判断A选项，根据解析式求出函数的单调递减区间和值域，可判断B、C选项，借助换元思想可求出函数在区间内的极值点个数，进而判断D选项. 【详解】对于A，由图象得，，则， 故，此时， 将代入函数解析式，得， 故，，解得，， 因为，所以，此时， 则，选项A正确； 对于B，令，，解得，， 当时，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 即在区间上不单调，选项B错误； 对于选项C，当时，， 所以，即， 即在上的值域为，选项C错误； 对于选项D，当时，， 而，，，， 易知在区间内无其他极值点， 即当且仅当取时，取得极值，选项D正确. 故选：AD. 10. 如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间，设事件为奇数，事件，事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于AD：根据概率的性质结合古典概型分析求解；对于BC：根据概率性质结合条件概率分析求解. 【详解】由题意可知：， 可得. 对于选项A：因为，则， 所以，故A正确； 对于选项B：因为，则， 可得， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，所以，故C正确； 对于选项D：因为，所以，故D错误； 故选：ABC. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称． B. 的图象关于点对称． C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，直接得到即可判断；对于B，由为偶函数，所以，求导可得即可判断；对于D，求出的周期为，再根据即可判断；对于C，由题意举出反例即可淘汰. 【详解】对于A，因为为奇函数，所以，即， 所以的图象关于中心对称，故A错误； 对于B，由为偶函数，所以， 所以，即， 即，则， 所以的图象关于中心对称，故B正确； 对于D，由，，知， 又，，所以， 所以，即， 所以为周期是的函数，即，故D正确. 对于C，由题意及上述分析知是以为周期的函数，且， 不妨设，所以，周期均为且， 所以，所以C错误； 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：对于选项C，通过举反例的形式淘汰答案，不妨设，所以，所以周期为，且，所以. 第II卷（非选择题） 三、填空题（5*3=15分） 12. 若展开式中的常数项为，则实数______. 【答案】1 【解析】 【分析】求得二项展开式的通项，结合通项求得的值，代入列出方程即可求解. 【详解】由二项式展开式的通项为， 令，可得， 代入通项公式可得，解得. 故答案为：1. 13. 的内角的对边分别为，已知的周长，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的定义可得，结合余弦定理和周长可得，即可根据基本不等式求解. 【详解】，故， 又余弦定理可得， 因此， 由于，故， 故， 当且仅当时，等号成立， 结合，故，因此最大值为， 故答案为： 14. 已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】对不等式进行合理变形同构得，构造函数利用函数的单调性计算即可. 【详解】易知，由可得， 即，则有， 设，则，所以在上单调递增， 故，所以，即， 设，令，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以，则有，解得． 故答案为：. 四、解答题 15. 某班统计了全班50名同学在某一周内到图书馆借阅次数的相关数据，结果如下表： 借阅次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 2 5 3 5 5 1 2 2 25 女生人数 4 4 5 5 3 2 1 1 25 合计人数 6 9 8 10 8 3 3 3 50 若将该周内到图书馆借阅次数不少于3次的学生，称为“爱好阅读生”；少于3次的学生称为“一般阅读生”． （1）请完成以下列联表；问：能否有90％的把握认为爱好阅读与性别有关？ 性别 阅读 合计 一般 爱好 男生 女生 合计 附：，． 0.1 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 （2）班主任从该周内在图书馆借阅次数为0的同学中，一次性随机抽取3人了解有关情况，求抽到的男生人数的概率分布和数学期望． 【答案】（1） 性别 阅读 合计 一般 爱好 男生 10 15 25 女生 13 12 25 合计 23 27 50 没有90％的把握认为喜爱阅读与性别有关 （2） 0 1 2 【解析】 【分析】（1）完成2×2列联表，计算出即可得出判断； （2）由题可知，随机变量服从超几何分布，由此求出的概率分布和数学期望． 【小问1详解】 列联表： 性别 阅读 合计 一般 爱好 男生 10 15 25 女生 13 12 25 合计 23 27 50 提出假设：是否喜爱阅读与性别没有关系， 根据列联表的数据，可以求得： ， 所以没有90％的把握认为喜爱阅读与性别有关． 【小问2详解】 随机变量服从超几何分布，可能取0，1，2， ，，， 则的分布列为： 0 1 2 所以. 16. 如图，在三棱柱中，平面平面，为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明，可证明结论； （2）如图建立空间直角坐标系，求出平面与平面法向量，后由空间向量知识可得答案. 【小问1详解】 证明：因为为的中点，且， 所以在中，有，且， 又平面平面，且平面平面， 所以平面， 又平面，则， 由，得， 因为， 所以由勾股定理，得， 又平面， 所以平面. 【小问2详解】 如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系， 可得， 所以， 设平面的法向量为， 由，令，得，所以. 由（1）知，平面， 所以平面的一个法向量为， 记平面与平面的夹角为 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 在等差数列中，；记为数列的前项和，且. （1）分别求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，利用的关系可得为等比数列求解， （2）利用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 解：设数列的首项为，公差为d， ，则， 所以数列的通项公式为． 因为，所以当时，，则． 当时，，则， 所以是以首项为，公比为2的等比数列，所以． 【小问2详解】 因为，设数列的前项和为， ① ② ①-②得 ∴ ， 则． 18. 设函数. （1）求的极值； （2）若对任意，有恒成立，求的最大值. 【答案】（1）极小值，无极大值； （2）. 【解析】 【分析】（1）求导，判断函数单调性即可确定极值; （2）分离参数并构造新函数，求导，判断函数单调性求出最小值即可求解. 【小问1详解】 . 令，得，令，得. 故在单调递减，在单调递增. 在处取得极小值，无极大值. 【小问2详解】 对恒成立，即对恒成立. 令，则只需即可. . 易知均在上单调递增， 故在上单调递增且. 当时，单调递减； 当时，单调递增. .故，故的最大值为. 19. 已知椭圆的焦点为，左、右顶点分别为，点为椭圆上异于的动点，的周长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线交直线于点，连接交椭圆于点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值； 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的焦点坐标及的周长，可得的值，从而可求解椭圆方程； （2）先利用点的坐标表示出两条直线的斜率，再结合椭圆的方程，代入化简即可. 【小问1详解】 依题意可设椭圆，且， 又的周长为，即， 所以， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 设,，,，， 由（1）可知，， 所以，， 因为，即，所以， 所以， 又，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁二中教育集团2025-2026学年第一学期 高三数学学科期中考试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息，考试时间：120分钟 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（5*8=40分） 1. 已知复数（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 设，向量，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知公差不为0的等差数列中，且，则（ ） A. 30 B. C. D. 40 5. 甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（ ） A. 156 B. 210 C. 211 D. 216 6. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象向左平移后所得的函数为奇函数，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，过作的垂线，并与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，少选得相应分，错选、多选不得分） 9. 已知的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在区间单调递减 C. 在区间的值域为 D. 在区间有个极值点 10. 如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间，设事件为奇数，事件，事件，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称． B. 的图象关于点对称． C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题（5*3=15分） 12. 若展开式中的常数项为，则实数______. 13. 的内角的对边分别为，已知的周长，则的最大值为__________. 14. 已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围是___________． 四、解答题 15. 某班统计了全班50名同学在某一周内到图书馆借阅次数的相关数据，结果如下表： 借阅次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 2 5 3 5 5 1 2 2 25 女生人数 4 4 5 5 3 2 1 1 25 合计人数 6 9 8 10 8 3 3 3 50 若将该周内到图书馆借阅次数不少于3次的学生，称为“爱好阅读生”；少于3次的学生称为“一般阅读生”． （1）请完成以下列联表；问：能否有90％的把握认为爱好阅读与性别有关？ 性别 阅读 合计 一般 爱好 男生 女生 合计 附：，． 0.1 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 （2）班主任从该周内在图书馆借阅次数为0的同学中，一次性随机抽取3人了解有关情况，求抽到的男生人数的概率分布和数学期望． 16. 如图，在三棱柱中，平面平面，为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 在等差数列中，；记为数列的前项和，且. （1）分别求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 18. 设函数. （1）求的极值； （2）若对任意，有恒成立，求的最大值. 19. 已知椭圆的焦点为，左、右顶点分别为，点为椭圆上异于的动点，的周长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线交直线于点，连接交椭圆于点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $