精品解析：陕西省咸阳市实验中学2025-2026学年九年级上学期第二次质量检测数学试卷

试卷类型：A 咸阳市实验中学2025-2026学年度第一学期第二次质量检测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0．5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若线段、、、是成比例线段，且，，，则的值为（ ） A. B. 8 C. 10 D. 12 2. “月壤砖”是模拟月壤原料制成的一种建筑材料．如图是一种“月壤砖”的示意图，其左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线、、被直线、所截，且，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 4. 若关于的方程有实数根，则的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 5. 如图，在正方形中，以对角线为边在右侧作菱形，点、分别在、的延长线上，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 对于任意实数、，定义新运算：，例如：，则方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. 7. 如图，小明从路灯底部处，向前走了5米到达处（即米），在处发现自己在路灯下的影子的长是2米，已知，，点A、D、E在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，如果小明的身高为1.6米（即米），那么路灯灯泡离地面的高度为（ ） A. 8.5米 B. 7.5米 C. 5.6米 D. 4.6米 8. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，平分交边于点，点是的中点，连接，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知“台灯下笔筒的影子”属于中心投影，请仿照它写出一个平行投影的现象：_____．（写出一个即可） 10. 已知五边形五边形，且五边形与五边形的周长比为，则的值为_____． 11. 植树造林不仅具有为生物生存提供场所、防风固沙等重要功能，还能为人类生产大量可再生木质和非木质林产品，具有很大的生态、经济和社会效益．我国某地决定加快植树造林的速度，计划用两年的时间将防风林的面积从2万亩扩大到2.42万亩，则该地这两年防风林面积的年平均增长率为_____． 12. 如图，在正方形中，点为对角线上一点，过点作于点，若，，则的长为_____． 13. 在实数，，0，1中随机选取一个数作为的值，再在剩下的三个数中随机选取一个数作为的值，那么大于的概率是_____． 14. 如图，在菱形中，，点E是边的中点，点F是边上一点，连接．若，则的长为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 一个不透明的布袋中装有除颜色不同外其余均相同的7个黑球、5个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有40次摸到红球，请你估计袋中红球的个数． 17. 某几何体的示意图如图所示，请画出该几何体的三视图． 18. 如图，在等腰中，，为边上一点，连接，请你用尺规作图法在上作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在矩形中，点在的上方，连接、、、，，求证：． 20. 以“新质生产力·农业新未来”为主题的第32届中国杨凌农业高新科技成果博览会于2025年10月在陕西杨凌举办．小刚和小亮到博览会游玩，现将正面分别写有“A．国际农业交流合作展”“B．特色现代农业展”“C．农业实用技术推广展”“D．智慧农机装备展”“E．名特优新农产品展”的五张外观、大小、质地完全相同的不透明卡片背面朝上洗匀后放置在桌面上，小刚和小亮通过随机抽取卡片的方式选择要参观的展馆（区），小刚先随机抽取一张卡片记下展馆（区）后放回并洗匀，小亮再随机抽取一张卡片． （1）小刚抽到写有“B．特色现代农业展”卡片的概率为_____； （2）请用画树状图或列表的方法，求小刚和小亮中至少有一人抽到写有“E．名特优新农产品展”卡片的概率． 21. 位于咸阳市统一广场的秦始皇雕像兼具艺术性与历史象征意义，是咸阳市核心文化地标之一．某数学小组的同学利用课堂上学习的知识测量秦始皇雕像的高度．如图，他们在点处放置一面平面镜，随后从点处沿方向移动2米到达点处（即米），此时恰好从平面镜内看到雕像顶端的像；接着继续从点处沿方向移动5.5米到达点处（即米），在点处竖立一根高为1.5米的标杆（即米），此时标杆在阳光下的影子顶端和雕像的影子顶端重合于地面上的点处．经测量得到：米，米，已知，，，点、、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助该数学小组的同学计算秦始皇雕像的高度．（平面镜大小忽略不计） 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）请以原点为位似中心，在轴下方画出的位似图形（点、、的对应点分别为点、、），使得与的相似比为2：1，并直接写出点、的坐标； （2）若是的位似图形，且与的相似比为，则与的面积比为_____． 23. 如图，是正方形的对角线，过点作于点，过点分别作于点，于点． （1）四边形是正方形吗?请说明理由； （2）若，求四边形的面积． 24. 如图，在中，，延长至点，使得，连接，过点作，交于点，连接交于点． （1）求证：； （2）过点作于点，若的面积为24，，求的长． 25. 水墨画（中国画）是由水和墨经过浓度调配所画出的画，是中国传统绘画形式之一．某公司给如图所示的矩形水墨画安装上一个四周宽度相等的画框（空白部分），制成一个矩形工艺品进行销售． （1）已知该工艺品的长为，宽为，若该工艺品中间的水墨画的面积为，求画框（空白部分）的宽度； （2）已知该工艺品的成本是40元/件，若将其以90元/件的价格进行销售，则每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外还需支付其它费用共2000元．现该公司决定涨价销售该工艺品，经市场调研发现，每件工艺品的售价每上涨1元，每天将少售出10件，则当该公司将销售单价上涨多少元/件时，每天销售该工艺品所获得的利润为6250元． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，点在边上，连接，以为边在右侧作等腰直角，，点在边上，且，连接、．则的值为_____； （2）如图2，在矩形中，点在边上，连接，点是矩形外一点，连接、、，若，，求的值； 【问题解决】 （3）在学校的劳动教育实践基地中，该校计划在一块菱形空地（如图3）上规划种植区并搭建遮阳棚．该菱形空地的边长为米，，为了更好地适应不同作物的光照需求，工作人员决定在边上选取一点，并以为边向右侧搭建一个等腰三角形形状的遮阳棚，其中，且遮阳棚的顶角．遮阳棚的边界与边交于点，且．请根据上述劳动实践中的设计要求，求出点到点的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷类型：A 咸阳市实验中学2025-2026学年度第一学期第二次质量检测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0．5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若线段、、、是成比例线段，且，，，则的值为（ ） A. B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，根据比例线段的定义，，代入，，，求解的值，即可作答． 【详解】解：线段、、、是成比例线段， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 2. “月壤砖”是模拟月壤原料制成的一种建筑材料．如图是一种“月壤砖”的示意图，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解题关键是正确理解左视图．注意看不见的线用虚线表示. 根据左视图是从左边看得到的图形解答即可． 【详解】解：从左边看是矩形，两条看不见的线把矩形分成三个相邻的矩形． 故选：D． 3. 如图，直线、、被直线、所截，且，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．根据，得，即可求出，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4. 若关于的方程有实数根，则的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元一次不等式，准确的计算是解决本题的关键． 根据题意得，当判别式大于或等于零时，方程有实数根．由此列出不等式求解m的范围即可． 【详解】解：在中，， ∴ ， ∴ 解得． 故选：D． 5. 如图，在正方形中，以对角线为边在右侧作菱形，点、分别在、的延长线上，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形、菱形的性质和等腰直角三角形的判定和性质，掌握以上图形的性质是解决本题的关键． 根据题意可证是等腰直角三角形，则即可求出的度数，再根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， 故选C． 6. 对于任意实数、，定义新运算：，例如：，则方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查对新运算的理解和一元二次方程的解法，关键是将新运算转化为代数表达式后求解． 根据新运算的定义，将方程转化为一元二次方程，然后因式分解求解． 【详解】解：， ， 整理得：， 因式分解得：， 解得：，． 故选：A． 7. 如图，小明从路灯底部处，向前走了5米到达处（即米），在处发现自己在路灯下的影子的长是2米，已知，，点A、D、E在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，如果小明的身高为1.6米（即米），那么路灯灯泡离地面的高度为（ ） A. 8.5米 B. 7.5米 C. 5.6米 D. 4.6米 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．根据相似三角形对应边成比例可解． 【详解】解：∵米，米， ∴米， ∵，， ∴， ∴， ∴（米）， 故选：C． 8. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，平分交边于点，点是的中点，连接，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质、角平分线定义推得，则，再结合勾股定理求出，推出后，结合中位线定理即可得解． 【详解】解：矩形中，，， 又平分，， ，，， ， ， 中，， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， 即． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是矩形的性质、角平分线的定义、等角对等边、勾股定理解直角三角形、中位线定理，解题关键是熟练掌握中位线定理． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知“台灯下笔筒的影子”属于中心投影，请仿照它写出一个平行投影的现象：_____．（写出一个即可） 【答案】太阳光下旗杆的影子（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查投影，投影分为平行投影和中心投影，区别的关键是看光线是由一点发出的，还是平行的．熟练掌握由一点发出的光线，形成的投影是中心投影；由平行发出的光线，形成的投影是平行投影是解题的关键．根据中心投影的光源为点光源，光线发散；平行投影的光线平行．太阳光可视为平行光，因此太阳光下旗杆的影子属于平行投影． 【详解】解：太阳距离地球很远，其光线近似平行，因此太阳光下旗杆的影子是平行投影的现象． 故答案为：太阳光下旗杆的影子． 10. 已知五边形五边形，且五边形与五边形的周长比为，则的值为_____． 【答案】（或） 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的边长比等于周长比是解题关键．相似多边形的周长比等于相似比，而相似比等于对应边的比，因此的值即为周长比． 【详解】解：因为五边形五边形， 所以相似比等于周长比，即， 因此对应边与的比也为． 故答案为：． 11. 植树造林不仅具有为生物生存提供场所、防风固沙等重要功能，还能为人类生产大量可再生木质和非木质林产品，具有很大的生态、经济和社会效益．我国某地决定加快植树造林的速度，计划用两年的时间将防风林的面积从2万亩扩大到2.42万亩，则该地这两年防风林面积的年平均增长率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这两年平均每年的增长率为x，根据题意，得，解方程即可． 【详解】解：设这两年平均每年的增长率为x，根据题意得， ， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 故答案为：． 12. 如图，在正方形中，点为对角线上一点，过点作于点，若，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，由正方形的性质可得，，由勾股定理可得，再证明，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 在实数，，0，1中随机选取一个数作为的值，再在剩下的三个数中随机选取一个数作为的值，那么大于的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率问题，熟知用列举法是解题的关键．从四个数中随机选取m和n（有序对），总共有12种可能情况，其中满足的有6种情况，则概率即可求． 【详解】解：从实数，，0，1中随机选取一个作为m，再从剩余三个中随机选取一个作为n，总共有种可能的有序对．列出所有有序对并判断的情况： 当时，n可取-1、0、1，均不满足； 当时，n可取、0、1，其中满足； 当时，n可取、-1、1，其中、满足； 当时，n可取、-1、0，其中、、均满足． 满足的有序对共有6个，因此概率为． 故答案为：． 14. 如图，在菱形中，，点E是边的中点，点F是边上一点，连接．若，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】延长交的延长线于点，结合菱形的性质，证明出，再根据条件中线段与线段之间的关系求出，，由，得出，，继而求得，从而得到，再证明出即可求解． 【详解】解：延长交的延长线于点， 四边形是菱形， ，， ， ， 是的中点， ， 在与中， ， ， ，， ∵， ，， ， ， ， 又， ， ， 又， ， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形相似的判定及性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是添加合适的辅助线，构建相似三角形进行求解． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 用配方法求解即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得，． 16. 一个不透明的布袋中装有除颜色不同外其余均相同的7个黑球、5个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有40次摸到红球，请你估计袋中红球的个数． 【答案】估计袋中红球的个数为8个 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率；理解频率和概率的关系是解题的关键．根据摸到红球的频率，可得摸到红球的概率为，再根据概率计算公式列方程即可求得红球个数． 【详解】解：摸到红球的频率为， 估计摸到红球的概率为， 设袋中红球的个数为个， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的根， 估计袋中红球的个数为8个． 17. 某几何体的示意图如图所示，请画出该几何体的三视图． 【答案】 该几何体的三视图，如下图为所求： 【解析】 【分析】本题考查了画简单几何体的三视图，根据主视图是从正面看得到的图形，左视图是从左面看得到的图形，俯视图是从上面看得到的图形，画出图形即可，熟练掌握三视图的定义是解此题的关键． 【详解】略 18. 如图，在等腰中，，为边上一点，连接，请你用尺规作图法在上作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图所示，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似． 作交于点E即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 19. 如图，在矩形中，点在的上方，连接、、、，，求证：． 【答案】 证明：四边形是矩形， ，， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ∴， ． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，由矩形的性质可得，，由等边对等角可得，再证明，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】略 20. 以“新质生产力·农业新未来”为主题的第32届中国杨凌农业高新科技成果博览会于2025年10月在陕西杨凌举办．小刚和小亮到博览会游玩，现将正面分别写有“A．国际农业交流合作展”“B．特色现代农业展”“C．农业实用技术推广展”“D．智慧农机装备展”“E．名特优新农产品展”的五张外观、大小、质地完全相同的不透明卡片背面朝上洗匀后放置在桌面上，小刚和小亮通过随机抽取卡片的方式选择要参观的展馆（区），小刚先随机抽取一张卡片记下展馆（区）后放回并洗匀，小亮再随机抽取一张卡片． （1）小刚抽到写有“B．特色现代农业展”卡片的概率为_____； （2）请用画树状图或列表的方法，求小刚和小亮中至少有一人抽到写有“E．名特优新农产品展”卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率的运算，熟悉掌握列表法或树状图法是解题的关键． （1）分析可能性求解即可； （2）利用列表法求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有A，B，C，D，E五种情况，B为其中一种， ∴小刚抽到写有“B．特色现代农业展”卡片的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意列表可得： 小亮 小刚 由上表可知，一共有25种等可能的情况，其中小刚和小亮中至少有一人抽到写有“E．名特优新农产品展”卡片的情况有9种， ∴． 21. 位于咸阳市统一广场的秦始皇雕像兼具艺术性与历史象征意义，是咸阳市核心文化地标之一．某数学小组的同学利用课堂上学习的知识测量秦始皇雕像的高度．如图，他们在点处放置一面平面镜，随后从点处沿方向移动2米到达点处（即米），此时恰好从平面镜内看到雕像顶端的像；接着继续从点处沿方向移动5.5米到达点处（即米），在点处竖立一根高为1.5米的标杆（即米），此时标杆在阳光下的影子顶端和雕像的影子顶端重合于地面上的点处．经测量得到：米，米，已知，，，点、、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助该数学小组的同学计算秦始皇雕像的高度．（平面镜大小忽略不计） 【答案】秦始皇雕像的高度为14米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，能够找出相似三角形是解题的关键．根据题意先证，根据相似三角形的性质并推理得到，再证，根据相似三角形的性质并推理得到，将上面两个式子联立求解即可得解． 【详解】解：由题意得：， ，，， ， ，即， ，① ，， ， 又， ， ，即，② 联立①②得， 解得， 秦始皇雕像的高度为14米． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）请以原点为位似中心，在轴下方画出的位似图形（点、、的对应点分别为点、、），使得与的相似比为2：1，并直接写出点、的坐标； （2）若是的位似图形，且与的相似比为，则与的面积比为_____． 【答案】（1） 如图，即为所求． ， （2）9：1 【解析】 【分析】本题考查作图-位似变换，相似三角形的性质，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可． （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵与的相似比为， ∴与的面积比为， 故答案为：． 23. 如图，是正方形的对角线，过点作于点，过点分别作于点，于点． （1）四边形是正方形吗?请说明理由； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 解：四边形是正方形，理由如下： 四边形是正方形， ，，， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． 四边形是正方形． （2）4 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由正方形的性质可得，，，再证明四边形是矩形和，得出，即可得证； （2）由正方形的性质可得，，从而可得，进而得出，最后由正方形的面积公式计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是正方形， ，， ， ， 四边形是正方形， ， ， ． 24. 如图，在中，，延长至点，使得，连接，过点作，交于点，连接交于点． （1）求证：； （2）过点作于点，若的面积为24，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟练运用以上知识点是解题的关键． （1）先根据等边对等角得，再根据垂直平分线的性质得，可得，从而可得结论； （2）由三角形的面积可求得，再根据等腰三角形三线合一的性质得到，再证明得，代值计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 水墨画（中国画）是由水和墨经过浓度调配所画出的画，是中国传统绘画形式之一．某公司给如图所示的矩形水墨画安装上一个四周宽度相等的画框（空白部分），制成一个矩形工艺品进行销售． （1）已知该工艺品的长为，宽为，若该工艺品中间的水墨画的面积为，求画框（空白部分）的宽度； （2）已知该工艺品的成本是40元/件，若将其以90元/件的价格进行销售，则每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外还需支付其它费用共2000元．现该公司决定涨价销售该工艺品，经市场调研发现，每件工艺品的售价每上涨1元，每天将少售出10件，则当该公司将销售单价上涨多少元/件时，每天销售该工艺品所获得的利润为6250元． 【答案】（1）画框（空白部分）的宽度为 （2）当该公司将销售单价上涨5元/件时，每天销售该工艺品所获得的利润为6250元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设画框（空白部分）的宽度为，根据该工艺品中间的水墨画的面积为列出一元二次方程，解方程即可得解； （2）设销售单价上涨元/件，根据总利润单件利润销售量，列出一元二次方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：设画框（空白部分）的宽度为， 根据题意得：， 整理得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：画框（空白部分）的宽度为； 【小问2详解】 解：设销售单价上涨元/件， 根据题意得：， 整理得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：当该公司将销售单价上涨5元/件时，每天销售该工艺品所获得的利润为6250元． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，点在边上，连接，以为边在右侧作等腰直角，，点在边上，且，连接、．则的值为_____； （2）如图2，在矩形中，点在边上，连接，点是矩形外一点，连接、、，若，，求的值； 【问题解决】 （3）在学校的劳动教育实践基地中，该校计划在一块菱形空地（如图3）上规划种植区并搭建遮阳棚．该菱形空地的边长为米，，为了更好地适应不同作物的光照需求，工作人员决定在边上选取一点，并以为边向右侧搭建一个等腰三角形形状的遮阳棚，其中，且遮阳棚的顶角．遮阳棚的边界与边交于点，且．请根据上述劳动实践中的设计要求，求出点到点的距离． 【答案】（1）；（2）；（3）点到点的距离为米 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，，由等腰直角三角形的性质可得，，证明，为等腰直角三角形，即可得解； （2）在上取点，使得，连接，证明，得出，求出，，再由勾股定理得出，进而得出，即可得解； （3）在上截取，连接，证明得出，，由菱形的性质可得，，，求出，过点作，交的延长线于点，则，求出，由直角三角形的性质可得，由勾股定理得，证明得出，过点作于点，则，由直角三角形的性质可得，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）如图，在上取点，使得，连接， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． （3）如图，在上截取，连接， ， ，， ， ， ， ，， 四边形是菱形， ，，， ，， ， ，， ， ， 如图，过点作，交的延长线于点，则， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， ，， ， ， ， ，即， ， ， 如图，过点作于点，则， ， ， 由勾股定理得：，即， ， 点到点的距离为米． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活与运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $