精品解析：河南省实验中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

河南省实验中学2025——2026学年上期期中试卷 高一 数学 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 若集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 命题“，是无理数”的否定是（ ） A. ，不无理数 B. ，是无理数 C. ，不是无理数 D. ，是无理数 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 若实数a，b，c满足，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.如图是一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图像构成，则“心形”在轴上方的图像对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义域为R的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 7. 关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 已知函数，是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列比较大小正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（ ） A. ， B. 的值域为 C. 若，则 D. 若，且，则 11. 已知定义在上的函数，满足，且，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 的图象关于点对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数是幂函数，且，则______． 13. 已知，若实数且，则最小值是______． 14. 已知点在函数的图象上，且有最小值，则常数的取值范围______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）化简：； （2）已知（且），求的值； （3）化简：． 16. 已知集合，，全集. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17. 2024年9月29日，渝昆高铁正式开通运行，重庆到泸州最快30分钟，完成了川渝两地旅客高铁出行的最后一块拼图.现在已知列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足.经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为720人；当时，载客量会减少，减少的人数，（k为常数），且发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为324人.记列车载客量为. （1）求的表达式； （2）为响应低碳出行，若载客量至少达到524人时，列车才发车，问列车发车间隔时间至少多少分钟？ （3）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 18. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求实数，的值； （2）若对任意恒成立，求的取值范围． 19. 定义：若对定义域内任意x，都有（a为正常数），则称函数为“a距”增函数． （1）若，(0，)，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由； （2）若，R是“a距”增函数，求a的取值范围； （3）若，(﹣1，)，其中kR，且为“2距”增函数，求最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省实验中学2025——2026学年上期期中试卷 高一 数学 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，得到集合，从而得到交集. 【详解】，所以． 故选：B． 2. 命题“，是无理数”的否定是（ ） A. ，不是无理数 B. ，是无理数 C. ，不是无理数 D. ，是无理数 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定形式判定选项即可. 【详解】命题“，是无理数”为全称量词命题， 该命题的否定为“，不是无理数”. 故选：A. 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知求得的范围，得到的定义域，再由题意列关于的不等式组求解. 【详解】因为的定义域为， 即，则， 对于函数，由，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D. 4. 若实数a，b，c满足，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值可判断ABC，做差可判断D. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，时不能做分母，故C错误； 对于D， 因为，所以，所以，所以，故D正确. 故选：D. 5. 心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.如图是一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图像构成，则“心形”在轴上方的图像对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将代入计算，即可排除A，由函数的奇偶性即可判断BD，然后分别验证函数的奇偶性以及单调性即可判断C 【详解】A选项：时，，故A错误； B选项：记，则，故为奇函数，不符合题意，故B错误； C选项：记，则，故为偶函数，当时，， 此函数在上单调递增，在上单调递减，且，故C正确； D选项：记，则， 故既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D错误. 故选：C 6. 已知函数是定义域为R的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先可以根据函数是定义域为R的偶函数判断出函数的对称轴，再通过在上单调递减判断出函数在上的单调性，进而由列出不等式求解即可． 【详解】因为函数是定义域为R的偶函数， 则函数关于轴对称， 所以函数关于对称， 又因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递增， 因为， 所以，即， 化简得，， 解得， 故选：A． 7. 关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程两根的大小关系，结合一元二次不等式的解法分类讨论进行求解即可. 【详解】， 当时，原不等式的解集为空集，不符合题意； 当时，原不等式的解集为， 因为原不等式恰有两个整数解， 所以这两个正整数一定为，因此； 当时，原不等式的解集为， 因为原不等式恰有两个整数解， 所以这两个正整数一定为，因此， 综上所述：实数的取值范围为或， 故选：D 8. 已知函数，是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的奇偶性的性质结合条件求出函数的解析式，再根据，可得函数在上递减，再根据函数的单调性分和列不等式求的取值范围. 【详解】因为函数是奇函数，是偶函数， 所以，， 又， 则； ∴，若对任意，都有， 即成立， 令，则函数在区间上单调递减； 当时，，则函数在区间上单调递减，符合题意． 当时，为二次函数，图像关于对称． 因为函数在上递减， 所以或，解得：或． 综上：a的取值范围是． 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列比较大小正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据指数函数与幂函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，由指数函数为单调递增函数，可得成立，所以A正确； 对于B，由幂函数上单调递增，可得成立，所以B不正确； 对于C，由指数函数为单调递减函数，可得成立，所以C正确； 对于D，由，所以，所以D不正确. 故选：AC. 10. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（ ） A. ， B. 值域为 C. 若，则 D. 若，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，，判断A；由指数函数的单调性判断BC；由偶函数的性质判断D. 【详解】对于A，∵过原点，∴，∴①， 又∵时，， ∴时，，由题，图象无限接近直线，则②， 由①②知，，故A正确； 对于B，由，，得， ，，故B正确； 对于C，由图知，在上单调递减，因为，则，故C错误； 对于D，∵函数为偶函数，∴， 又∵.，∴，∴，∴，故D正确．    故选：ABD 11. 已知定义在上的函数，满足，且，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 的图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】取可知A正确；取，结合A中式子可知B错误；令可求得为偶函数，分别令、可证得D正确；取，，结合D的结论可证得C正确. 【详解】对于A，取，则，A正确； 对于B，若恒成立，则，恒成立，显然不合题意， 不恒等于， 令，则，， 将代入A中式子可得：，即， ，B错误； 对于D，令，则，即， 为定义在上的偶函数，； 令，则， 令，则，即， ，的图象关于点对称，D正确； 对于C，取，，则， 由D知：，， 为奇函数，C正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数是幂函数，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，确定幂函数解析式，再求函数值. 【详解】设，则，所以. 故， 所以. 故答案为： 13. 已知，若实数且，则的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】先证明为奇函数，由可得，利用基本不等式常数代换技巧求解的最小值. 【详解】函数，定义域为R， ，则为奇函数， 若实数且，函数单调递增， 则有，即， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 14. 已知点在函数的图象上，且有最小值，则常数的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】分别画出函数和的图象，再根据条件求解. 【详解】设，，分别绘制，的草图如下： 其中有最小值，且； 无最小值，且，. 因为函数有最小值，所以； 点在的图象上，所以. 综上. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）化简：； （2）已知（且），求的值； （3）化简：． 【答案】（1）28；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）由根式的运算与幂的运算法则计算； （2）由幂的运算法则计算出与后可得； （3）根据对数的运算法则及换底公式计算可得． 【详解】（1）； （2）（且）， 则，， 所以； （3）． 16 已知集合，，全集. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，写出集合，利用补集和交集的定义可得出集合； （2）由题意可知，集合为集合的真子集，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，集合，全集，则或， 又因为集合，故. 【小问2详解】 若“”是“”的必要不充分条件，则集合为集合的真子集， 当时，，解得； 当时，由题意可得，解得， 检验：当时，，此时集合为集合的真子集，合乎题意； 当时，，此时集合为集合的真子集，合乎题意. 综上所述，实数取值范围是. 17. 2024年9月29日，渝昆高铁正式开通运行，重庆到泸州最快30分钟，完成了川渝两地旅客高铁出行的最后一块拼图.现在已知列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足.经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为720人；当时，载客量会减少，减少的人数，（k为常数），且发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为324人.记列车载客量为. （1）求的表达式； （2）为响应低碳出行，若载客量至少达到524人时，列车才发车，问列车发车间隔时间至少多少分钟？ （3）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 【答案】（1）； （2）至少5分钟； （3）时间间隔为3分钟时，每分钟的净收益最大为84元. 【解析】 【分析】（1）当时，，当时,,由题可求出,即可得到答案. （2）由（1）知，结合基本不等式和函数单调性即可求出的净收益最大值. 【小问1详解】 由题知，当时，； 当时,, 因为发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为人， 此时发车时间间隔为3分钟时的载客量为人， ，解得， 此时， 所以. 【小问2详解】 依题意， 当时，，满足题意； 当时，，即， 解得，所以列车发车间隔时间至少5分钟，列车载客量至少达到524人. 【小问3详解】 由（1）知 时，当且仅当等号成立， 时 当上,单调递减,则 综上，时间间隔为3分钟时，每分钟的净收益最大为84元. 18. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求实数，的值； （2）若对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，求解即可； （2）由函数单调性可得在上单调递减，再将问题转化为对任意恒成立，再设，根据二次不等式恒成立问题列式即可. 【小问1详解】 在上为奇函数，故，即，解得，故. 又，；解得. 故，. 【小问2详解】 ； 增大时，增大，减小，减小； 在上单调递减； 为奇函数，由得，； 又在上单调递减； ，该不等式对于任意恒成立； 对任意恒成立； 设，则对于任意恒成立； 设，△； 应满足：； 解得； 的取值范围为． 19. 定义：若对定义域内任意x，都有（a为正常数），则称函数为“a距”增函数． （1）若，(0，)，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由； （2）若，R是“a距”增函数，求a的取值范围； （3）若，(﹣1，)，其中kR，且为“2距”增函数，求的最小值． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用“1距”增函数的定义证明即可；（2）由“a距”增函数的定义得到在上恒成立，求出a的取值范围即可；（3）由为“2距”增函数可得到在恒成立，从而得到恒成立，分类讨论可得到的取值范围，再由，可讨论出的最小值． 【详解】（1）任意,, 因为,, 所以，所以，即是“1距”增函数． （2）. 因为是“距”增函数，所以恒成立， 因为,所以在上恒成立， 所以，解得，因为,所以. （3）因为，，且为“2距”增函数， 所以时，恒成立， 即时，恒成立， 所以， 当时，，即恒成立， 所以, 得; 当时，， 得恒成立， 所以,得, 综上所述，得. 又， 因为,所以， 当时，若，取最小值为； 当时，若，取最小值. 因为在R上是单调递增函数， 所以当，的最小值为；当时的最小值为， 即 . 【点睛】本题考查了函数的综合知识，考查了函数的单调性与最值，考查了恒成立问题，考查了分类讨论思想的运用，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $