第一章勾股定理同步练习2025-2026学年北师大版八年级数学上册

第一章 勾股定理 同步练习 一、单选题 1．下列各组数中，能构成直角三角形的是（    ） A．5，6， 7 B．8， 10， 12 C．6， 8， 11 D．5， 12， 13 2．如图，在正方形网格，四边形的四个顶点都在格点上，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 3．某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，两轮中心的距离，则点C到的距离为（    ） A．48 B．50 C．54 D．56 4．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B． C． D．10 5．如图在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交于两点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，则为（   ） A． B． C． D． 6．《九章算术》“勾股”章有一题大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7．中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（   ） A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米 8．如图，在中，，，，点是线段上一动点，点在线段上，当时，的最小值为（　　） A． B． C． D． 9．如图，一张长方形纸片剪去一个角后，剩下的纸片是一个梯形，则这个梯形的周长为（   ） A．10 B．22 C．24 D．32 10．如图，在长方形中，，，动点从点出发，沿运动，速度为单位/秒，设运动时间为秒，当是以为腰的等腰三角形时，的值为（　　） A．或或 B．或或 C．或 D．或 二、填空题 11．若一个三角形的三边长分别为，当 时，这个三角形是直角三角形，且斜边长为． 12．如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为 ． 13．如图是一株勾股树，其中四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是7、5、7、9，则正方形的面积是 ． 14．如图，中，，，点D在边上，点A关于所在直线的对称点为点E，连接、．若于点F，则的长为 ． 15．在中，，，，点在线段上从点向点移动，同时，点在线段上由点向点移动，当点与点重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连接，，则的最小值为 ． 三、解答题 16．如图，在四边形中，垂直平分，且，连接． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)求四边形的面积． 17．如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出 ； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出的面积为 ． 18．在中，，，，若，如图1，则有；若是锐角三角形，小明猜想． 理由：如图2，过点A作，垂足为D，设．在中，，在中，，，整理得，，，，，当是锐角三角形时，，小明的猜想是正确的． (1)请你猜想：当是钝角三角形且为钝角时，________（填“>”、“=”、“<”）； (2)根据图3证明你猜想的结论是正确的； (3)若，，，则的面积是________． 19．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图，火柴盒的一个侧面是一个长方形倒下到的位置，连接，设，，． (1)试用、有关的代数式表示梯形的面积； (2)试用、、有关的代数式分别表示、、的面积； (3)由和的结论证明勾股定理：． 20．已知的三边长分别为，，． (1)中国数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的图形，其中四边形和四边形都是正方形，用它证明了勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种表示方法，一种是__________________，另一种是__________________，得到结论； (2)若用两个与全等的三角形按如图2所示的方式放置，其中，，你是否能得到呢？若能，请用该图形证明；若不能，请说明理由； (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，即，得到图3所示的“数学风车”．若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为28，求这个风车图案的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第一章 勾股定理 同步练习2025-2026学年北师大版八年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A C A A A B D D 1．D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解决本题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 判断各组数是否满足，其中c为最大边，从而能否构成直角三角形． 【详解】解：选项A：，，，不能构成直角三角形； 选项B：，，，不能构成直角三角形； 选项C：，，，不能构成直角三角形； 选项D：，，，能构成直角三角形． 故选：D． 2．D 【分析】本题主要考查了勾股定理和网格问题，勾股定理逆定理的应用，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟记勾股定理和逆定理． 取格点E，使，连接，可得，再由，可得，然后根据勾股定理逆定理可得为等腰直角三角形，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，取格点E，使，连接， ∵， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即． 故选：D 3．A 【分析】本题考查了点到直线的距离和勾股定理的逆定理，解题的关键是连接，过作于，求出，根据勾股定理的逆定理求出是直角三角形，根据三角形的面积公式得出，再求出即可． 【详解】解：连接，过作于， 是直角三角形， 根据的面积，得， 解得：， 即点到的距离为48， 故选：A． 4．C 【分析】本题考查了勾股定理与正方形面积公式的综合应用，解题的关键是利用勾股定理建立三个正方形面积的关系，结合已知条件求出相关正方形面积，再根据阴影部分与该正方形的面积关系得出答案． 先由勾股定理得出直角三角形三边平方的关系，即对应正方形面积的关系；将该关系代入已知等式求出目标正方形的面积；最后根据阴影部分面积是目标正方形面积的一半，计算出阴影面积． 【详解】解：∵ 在中，， ∴ 由勾股定理得． ∵ 正方形面积等于边长的平方，且，，， ∴ ． 又∵ ， ∴ 将代入得：． 化简得，解得． ∵ 阴影部分面积等于面积的一半， ∴ 阴影部分面积． 故选：C． 5．A 【分析】由题意可得是的角平分线，根据角平分线的性质可得，利用勾股定理求得，证明，可得，设，则，，，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由尺规作图痕迹可知，是的角平分线， 过D点作于H点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ， 设，则，，， 在中，由勾股定理：， 即， 解得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查作图−角平分线、角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、解一元一次方程，熟练掌握角平分线的作法得出是的角平分线是解题的关键． 6．A 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据题意，甲、乙的路径构成直角三角形，利用勾股定理列出方程． 【详解】解：设相遇时行走了个单位时间，则乙向东行走的距离为步，甲先向南走步，然后斜向东北行走的距离为步． 如图，由勾股定理，得 ∵ ∴ 即 ． 故选A． 7．A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意可得，底面周长为米，柱身高为6米， ∵有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的点， 米，（米）， （米）， 故雕刻在木柱上的巨龙长至少为（米）， 故选：A． 8．B 【分析】作点B关于的对称点，连接交于点P，则，可得的最小值为的长，过点作于点H，得到，从而得到，由勾股定理可得，再由，可得，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，作点B关于的对称点，连接交于点P，则， ∴， ∴的最小值为的长， 过点作于点H， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称最值问题，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 9．D 【分析】本题主要考查了长方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理解直角三角形． 根据长方形的性质求出相关边长，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：根据长方形的性质得， ，，， 根据勾股定理得， ∴梯形的周长为， 故选：D． 10．D 【分析】本题考查了勾股定理的应用和等腰三角形，解题关键是熟练掌握利用分类讨论的数学思想解答问题．当点的运动时间为秒时，分两种情况讨论：①，②，然后根据勾股定理求出长，由此即可解题． 【详解】解：当点的运动时间为秒时，分两种情况讨论： ①当点在上时，， ， ； ， 时，， ②当点在上时，， 同理可得：， ， 时，， 综上可知：当或时，是以为腰的等腰三角形． 11．5 【分析】本题主要考查勾股定理；由题意结合勾股定理得到，计算求解即可． 【详解】解：由题意得，， 整理得， 解得； 故答案为：5． 12． 【分析】本题考查了勾股定理，根据长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为， ∴， 故答案为：． 13．28 【分析】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方是解答此题的关键． 中间左边正方形的面积=正方形的面积+正方形的面积，中间右边正方形的面积=正方形的面积+正方形的面积，正方形的面积等于中间两个正方形的面积之和，由此即可得出结论． 【详解】解：设中间两个正方形的边长分别为、，最大正方形的边长为， 由勾股定理得：，，， 即最大正方形的面积为28． 故答案为：28． 14．2 【分析】本题考查三线合一，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键。作于点，作于点，三线合一结合勾股定理，求出的长，等面积法求出的长，再利用勾股定理求出的长，证明，进而得到，，线段的和差求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：作于点，作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵对称， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴； 故答案为：2． 15． 【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，全等三角形的判定及性质，直角三角形两锐角互余等知识，先证为直角三角形，则，作交于，作，并使得，过点作交延长线于点，连接，然后证明，所以，，根据等面积法求得，由勾股定理得，则有，所以，证明，所以，故有，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，则， 作交于，作，并使得，过点作交延长线于点，连接，， 则，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵点，点运动速度相同， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，当点在上时，取等号， ∴的最小值为， 故答案为：． 16．(1)是直角三角形，证明见解析四边形 (2)的面积． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理，二次根式的化简，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键． （1）由题意可知垂直平分，得到，再根据勾股定理的逆定理求解即可； （2）由勾股定理求出，进而得出，再求出，即可得到四边形的面积． 【详解】（1）解：是直角三角形，证明如下： 垂直平分， ， ，， ， ，即是直角三角形； （2）解：，，， ， 点E是的中点， ， ， ， 四边形的面积． 17．(1) (2)直角三角形，理由见详解 (3) 【分析】本题考查网格中求线段长、判断三角形是直角三角形及网格中求三角形面积等知识，熟练掌握在网格中由勾股定理求线段长是解决问题的关键． （1）由图可知，即可得到答案； （2）由图可知，、、，从而得到即可得到答案； （3）由（2）知，是直角三角形，根据三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可知，， 故答案为：； （2）解：直角三角形， 理由如下： 由图可知，、、， ， 则， 是直角三角形； （3）解：由（2）知，是直角三角形， ， 故答案为：． 18．(1)< (2)见解析 (3)66 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 对于（1），根据题意猜想即可； 对于（2），先过点A作，交的延长线于点D，设，再根据勾股定理得，整理可得答案； 对于（3），先说明三角形的形状，再根据勾股定理求出x，进而得出答案． 【详解】（1）解：是钝角三角形且为钝角时，． 故答案为：； （2）如图所示，过点A作，交的延长线于点D，设， 根据勾股定理得， 则， 即． ∵， ∴； ； （3）∵， ∴， ∴时钝角三角形． 过点A作，交的延长线于点D，设， 由（2），得， ∴， 解得， ∴． 在中，根据勾股定理，得， ∴． 故答案为：66． 19．(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，需注意：组成的图形的面积有两种表示方法：大的面积的表示方法和各个组成部分的面积的和． （1）根据梯形面积公式表示梯形的面积； （2）根据三角形面积公式分别表示、、的面积； （3）根据，列出方程并整理可证． 【详解】（1）解：梯形的面积； （2）解：， 为直角三角形， ； （3）解：由图形可知， 则 ． 因此，． 20．(1)， (2)能得到，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理是解决问题的关键． （1）根据和作答即可； （2）仿照（1）根据等面积法证明即可； （3）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得，又设故，又在 中，，则，求出后可列式计算得解． 【详解】（1）解：大正方形的面积有两种表示方法，一种是，另一种是，得到结论； 故答案为：，； （2）解：能得到，证明如下： 如图， ∵， ， ∴， 即； （3）解：由题意，如图， ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为， ， 设则， 在中， ， 将，代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于 ∴风车的面积为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $