2.3 有理数的乘除运算 第3课时 课件 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

第二章 有理数及其运算 第3课 有理数的乘除运算 第3课时 有理数除法法则 2024版北师大数学七年级数学上册 学习目标 1.借助丰富大量的实例,类比有理数乘法法则探究有理数除法的法则. 2.掌握“除以一个数等于乘这个数的倒数”的转化方法,能熟练进行有理数的除法运算 3.能准确计算有理数的连除运算,区分运算顺序对结果的影响. 教学设计的基本环节： 协作破阵 问题萌生 情境趣引 教师演示 巩固拓能 当堂小测 反思拾贝 作业妙想 情境趣引 问题:如何利用乘法的知识,解决有理数的除法运算问题？ 我们已经知道:(−3)×4=−12,那如果现在知道积是−12,其中一个因数是−3,怎么求另一个因数？你列出的算式是？ 2.小学里我们说“除法是乘法的逆运算”,那对于有理数来说，这个关系还成立吗？比如已知5×(−5)=−25,你能写出对应的除法算式吗？ 3.观察(−2)×(−6)=12,如果把它变成除法算式12÷(−2)，结合乘法的结果,你能直接说出这个除法的商是多少吗？它的符号和绝对值是怎么来的？ (-12)÷(-3) (-25)÷(-5)=5 (-25)÷5=-5 -6,符号和绝对值需要探究 4 问题萌生 乘法算式 对应除法算式 (−4)×(−5)=20​ 20÷(−4)=？；20÷(−5)=？ 6×7=42​ 42÷6=？；42÷7=？ (−3)×8=−24​ −24÷(−3)=？；−24÷8=？ 9×(−2)=−18​ −18÷9=？；−18÷(−2)=？ (−​)×(−​)= ÷(−​​)=？；​÷(−​​)=？ 1.5×(−4)=−6​ −6÷1.5=？；−6÷(−4)=？ 0×(−7)=0​ 0÷(−7)=？ (−9)×0=0​ 0÷(−9)=？ 问题1:观察左列的乘法算式，你能快速回答右边的除法算式吗？你的依据是什么？ 乘法和除法是互逆运算 问题萌生 0÷(−7)=0；0÷(−9)=0 追问1:观察上面两个算式，你有怎样的发现？ 0除以一个数得0 追问2:这个数可以是任意有理数吗？怎样说更严谨？ 这个数不能是0,0除以任何非0的数都得0. 结论1:0除以任何非0的数都得0 问题萌生 42÷6=7，42÷7=6，−24÷(−3)=8， −18÷(−2)=9，−6÷(−4)=1.5 追问3:观察上面五个算式，类比有理数的乘法法则，你有怎样的发现？ 同号两数相除，商的符号为正，再把绝对值相除. 20÷(−4)=-5,20÷(−5)=-4, −24÷8=-3, −18÷9=-2, ÷(−​​)=−, ​÷(−​​)=−, −6÷1.5=-4 追问4:观察上面七个算式，类比有理数的乘法法则，你有怎样的发现？ 异号两数相除，商的符号为负，再把绝对值相除. 结论2:同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 问题萌生 有理数除法法则 两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除,0除以任何非0的数都得0. 注意:0不能作除数 对比项 有理数乘法法则 有理数除法法则 基本法则 两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘,0乘以任何数都得0. 两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除,0除以任何非0的数都得0. 符号规律 同号（++ 或 --）→ 结果为正；异号（+- 或 -+）→ 结果为负；有0→结果为0 同号（++ 或 --）→ 结果为正；异号（+- 或 -+）→ 结果为负；有0→结果为0；除数不能为0！ 绝对值处理 直接相乘 直接相除 关键步骤 ① 判断符号（同号正/异号负）； ② 绝对值相乘； ③ 有0直接得0 ① 判断符号（同号正/异号负）； ② 绝对值相除 ③除数不能为 0！ 协作破阵 一、判断题（对的打 “√”，错的打 “×”） 若两个数的商为正数,则这两个数一定都是正数（ ） (−12)÷(−3)=−4（ ） 0÷(−5)=0,(−5)÷0=0（ ） 两数相除（除数非0）,绝对值相除的结果就是商的绝对值（ ） 2.若÷b的结果为负数， 且∣∣÷∣b∣=3， 则下列结论正确的是（ ） A. 𝑎 、b同号， ÷b=3 B. 𝑎 、b异号，𝑎 ÷b=−3 C. 𝑎 、b同号，𝑎 ÷b=−3 D. 𝑎 、b异号，𝑎 ÷b=3 二、选择题 下列运算结果正确的是（ ） A.(−8)÷(−2)=−4 B. 6÷(−​)=−1 C. 0÷(−​)=0 D. (−​)÷​=2 × × × √ C B 9 问题萌生 例4 计算： （1）(−15)÷(−3)；　　　（2）12÷(−​)； （3）(−0.75)÷0.25；　　（4）(−12)÷(−​)÷(−100) 解：（1）(−15)÷(−3)=+(15÷3)=5； （2）12÷(−​)=−(12÷​)=−48； （3）(−0.75)÷0.25=−(0.75÷0.25)=−3； （4）(−12)÷(− )÷(−100) =+(12÷​)÷(−100) =144÷(−100) =−(144÷100) =−1.44 协作破阵 问题2:比较下列各组数的计算结果,你能得到什么结论？换一些算式再试一试,并与同伴进行交流. （1）1÷(−)与1×(−​)； （2）0.8÷(−​)与0.8×(−​)； （3）(−​)÷(−​)与(−​)×(−60) （1）组 1÷(− )=1×(− ​)=− ​ 1×(− ​)=− ​ 结论：两者结果相等 （2）组 0.8÷(− ​)=0.8×(−​)=−​ 0.8×(−​​)=− 结论：两者结果相等 协作破阵 （3）组 (−)÷(−)=(−)×(−60)=15 (−​)×(−60)=15 结论：两者结果相等 除以一个数等于乘这个数的倒数 ÷=× 除法统一成乘法了！ 除以一个数等于乘这个数的倒数 教师演示 问题3:将除法转化为乘法有什么好处？ 将除法转化为乘法的好处： 1.统一运算类型：把除法运算转化为更熟悉的乘法运算,减少运算类型的区分,降低计算复杂度； 2.利用乘法运算律：可以借助乘法的交换律、结合律等简化计算 3.适用范围更广:分数、小数的除法转化为乘法后,计算更直接（比如除以分数等价于乘它的倒数,避免复杂的通分操作） 教师演示 问题4:有理数的乘除法与小学数学中的乘除法相比较,有哪些相同点和不同点？与同伴进行交流. 维度 相同点 不同点 运算本质 都遵循“乘法是加法的简便运算、除法是乘法的逆运算” 的核心关系；绝对值运算规则一致 有理数运算需要先判断符号,小学仅涉及正数 含0运算 0乘任何数都得0；0除以非 0数都得0 有理数中明确“0 不能作除数”,小学阶段虽有提及但较少强调 运算方法 基本的绝对值计算方法一致 有理数会涉及负数的乘除,小学仅涉及正数、0的运算 巩固拓能 例:某潜水员在海底作业时,需要记录不同深度的温度变化.规定:海平面记为0米,下潜为负,上浮为正;温度上升为正,下降为负. 已知： ① 潜水员先从当前位置下潜12米,对应的温度变化是“下降了6℃”； ② 之后上浮8米,对应的温度变化是“上升了4℃” （1）分别计算“下潜1米对应的温度变化”和“上浮1米对应的温度变化”（结果用“℃/米”表示）； （2）若该潜水员接下来从当前位置下潜10米,对应的温度会如何变化？变化了多少℃？ （3）若“某一深度变化对应的温度变化为-2℃”,请分析:这个深度变化是下潜还是上浮？变化了多少米？ 巩固拓能 下潜1米对应的温度变化： 已知下潜12米,温度下降6℃ 单位温度变化=总温度变化÷总深度变化=(−6)÷(−12) 依据有理数除法法则:同号得正,绝对值相除,即(−6)÷(−12)=+(6÷12)=0.5（℃/米） 结论:下潜1米对应的温度变化为0.5℃ 上浮1米对应的温度变化： 已知上浮8米,温度上升4℃ 单位温度变化=(+4)÷(+8) 依据有理数除法法则:同号得正,绝对值相除,即(+4)÷(+8)=+(4÷8)=0.5（℃/米） 结论:上浮1米对应的温度变化为0.5℃ (1)计算单位深度变化对应的温度变化 巩固拓能 （3）分析温度变化为−2℃对应的深度变化 已知单位深度变化对应的温度变化为0.5℃/ 米,总温度变化为−2℃ 列式:总深度变化=总温度变化÷单位温度变化=(−2)÷0.5 依据有理数除法法则:异号得负,绝对值相除，即(−2)÷0.5=−(2÷0.5)=−4（米） 结论:该深度变化是下潜,变化了4米 （2）下潜10米对应的温度变化 下潜10米,单位下潜温度变化为0.5℃/米 总温度变化=单位温度变化×总深度变化=0.5×(−10) 依据有理数乘法法则:异号得负,绝对值相乘，即0.5×(−10)=−(0.5×10)=−5（℃） 结论:下潜10米对应的温度下降了5℃ 当堂小测 1.计算： （1） ___ ___. （2）___ ___ ___. （3）__ ____. （4） ___. 6 4 7 3 - 0 18 当堂小测 2.将输入的数分别除以 ，请在横线上写出输出的数. 19 当堂小测 3.计算： （1） . 解：原式 . （2） . 解：原式 . 当堂小测 4.小丽有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，并回答下列问题： （1）从中取出3张卡片，如何抽取才能使这3张卡片上的数字先两个相 乘，再除以第3个的结果最大？最大值是多少？ 解：抽取，， ， 最大值为 . 当堂小测 （2）从中取出3张卡片，如何抽取才能使这3张卡片上的数字先两个相 除，再乘第3个的结果最小？最小值是多少？ 解：抽取，， ， 最小值为［或. 反思拾贝 1.有理数除法和小学的除法运算,最大的区别是什么？你是怎么快速确定商的符号的？ 2.为什么“除以一个数等于乘它的倒数”这个方法,能帮我们简化除法运算？举一个例子说明. 3.计算连除运算时,你会先确定运算顺序还是先转化为乘法？哪种方式更不容易出错？ 作业秒想 一、基础巩固作业： 课本第54页 第1题 二、素养类作业 制作有理数除法运算题卡，和同学玩题卡游戏. 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $