精品解析：河南省南阳市宛城区、卧龙区2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

2025年秋期期中质量评估检测九年级数学试题卷 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、考号、学校等填写在试题卷和答题卡相应的位置． 3．考生作答时，将答案涂、写在答题卡上，在本试题卷上答题无效． 4．考试结束，将答题卡和试题卷一并交回． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 已知方程没有实数解，你认为代表的数字可能是（ ） A. 9 B. 1 C. 0 D. 2. 最简二次根式与是同类二次根式，则（ ） A. 2 B. 3 C. 0 D. 4 （课本P55T5变式） 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作法中正确的是　　 A. B. C. D. （课本P46T19变式） 6. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 7. 医圣祠位于河南省南阳市城东温凉河畔，为纪念东汉医学家张仲景而建，为了纪念医圣张仲景，某中医药文化广场有一尊张仲景雕像．数学兴趣小组的同学为测量雕像的高度（顶端到水平地面的距离），在雕像旁的水平地面C处放置一面镜子，组员小明沿直线后退到点处，此时恰好在镜子里看到雕像的顶端．已知米，米，小明的眼睛距地面的高度米，则雕像的高度（ ）米 A. B. C. D. 8. 若点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，对角线．且，，点，分别是边，的中点，则的长度是（ ） A. B. 3 C. D. 2 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 12. 计算： ________ 13. 已知，，则的值为_____． 14. 如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…，则的值为______． 15. 把一条线段分割为两部分，较长部分与全长的比值等于较短部分与较大的比值．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，被称为黄金分割；其比值是，称之为“黄金比”．如图，点A、C是反比例函数在第一象限内图象上的任意点，轴于点B，连接．若，，在x轴上取一点P，使的值为“黄金比”，则点P的坐标为___． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，的顶点都在网格点上，点A的坐标为． （1）以点O为位似中心，把按放大，在y轴的左侧，画出放大后的； （2）点A的对应点D的坐标是______； （3） ______． 18. 阅读材料：如果一元二次方程的两根分别是，，那么，，借助该材料完成下列各题： （1）应用：一元二次方程的两个实数根为，，则 ， ； （2）提升：关于的方程，若斜边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 19. 白河，古称淯水、白水，是南阳母亲河，小宛想通过自己所学的数学知识计算河流的宽度．如图，河流两侧河岸平行，他在河的对岸选定一个目标作为点A，再在这一侧的河岸边选出点B和点C，分别在的延长线上取点D、E，连接DE，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为1200米．过点A作于点F（即为河流的宽度），请你根据提供的数据计算河流的宽度． 20. 在城市规划中，有一片空地规划建一个公园，如图：C处是公园的管理处，A处是一个观景台，B处是一个休闲广场，且刚好是一个直角，D是步道的中点，连接，管理处计划从B处修建一条垂直于延长线的便民小路（E为垂足）．已知观景台A到管理处C的距离米，． （1）求步道的长度； （2）求的值（即便民小路与步道夹角的余弦值）． （P42练习2变式） 21. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到1500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由； （3）该商场平均每天盈利最多多少元？达到最大值时应降价多少元？ 22. 图解方程就是把方程的解和几何图形建立联系，通过几何直观反映代数抽象．历史上有多种关于一元二次方程的几何解法，例如：欧几里德解法，花拉子米解法，卡莱尔解法，斯陶特解法，赵爽解法等．让我们一起来了解一下吧．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地，我们可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，一张边长为2的正方形的纸片，先折出，的中点E，F，再沿过点A的直线折叠，使点D落在线段上（即H处），折痕为，点G在边上，连接，． （1）用公式法求方程的解； （2）请利用等面积法借助分别求出线段，的长度，并说明哪条线段的长度值恰好是方程的一个正根． 23. 【问题背景】如图，等腰中，，点为的中点，过点作，交于，将绕点顺时针旋转，连结，如图①． 【基本感受】 （1）当时，判断与的数量关系，并说明理由； 【深入研究】 （2）当时，如图②，与满足怎样的数量关系？请给出证明； （3）在（2）的条件下，若，在旋转过程中，当三点共线时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期期中质量评估检测九年级数学试题卷 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、考号、学校等填写在试题卷和答题卡相应的位置． 3．考生作答时，将答案涂、写在答题卡上，在本试题卷上答题无效． 4．考试结束，将答题卡和试题卷一并交回． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 已知方程没有实数解，你认为代表的数字可能是（ ） A. 9 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，由于平方数具有非负性，当为负数时，方程无实数解，熟练掌握平方数具有非负性是解此题的关键． 【详解】解：∵对于所有实数，， ∴当时，方程没有实数解， 故选：D． 2. 最简二次根式与是同类二次根式，则（ ） A. 2 B. 3 C. 0 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据同类二次根式的根指数、被开方数相同可得出方程，解出即可得出答案．此题考查了同类二次根式的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握同类二次根式的根指数、被开方数相同． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴ 解得：， 故选：A． （课本P55T5变式） 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，由已知条件可得的值，再代入所求表达式化简即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 4. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，根据运算法则逐项计算，即可得出答案． 【详解】解：A．，计算错误，不合题意； B．，计算错误，不合题意； C．，计算错误，不合题意； D．，计算正确，符合题意； 故选D． 5. 已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作法中正确的是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理和比例的性质一一分析即可． 【详解】解：A、根据平行线分线段成比例定理得，故，故此选项错误； B、根据平行线分线段成比例定理得，故，故此选项错误； C、根据平行线分线段成比例定理得，故，故此选项错误； D、根据平行线分线段成比例定理得故，故此选项正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查了利用平行线的性质画图的方法． （课本P46T19变式） 6. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；由题意可得且，求解即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故选：D． 7. 医圣祠位于河南省南阳市城东温凉河畔，为纪念东汉医学家张仲景而建，为了纪念医圣张仲景，某中医药文化广场有一尊张仲景雕像．数学兴趣小组的同学为测量雕像的高度（顶端到水平地面的距离），在雕像旁的水平地面C处放置一面镜子，组员小明沿直线后退到点处，此时恰好在镜子里看到雕像的顶端．已知米，米，小明的眼睛距地面的高度米，则雕像的高度（ ）米 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了利用相似三角形测高，根据已知条件证明三角形相似是解题的关键． 根据处是一面镜子可得，再根据，得到，得到，代入求值即可； 【详解】由题可得：，， ， ， 米，米，米， ， （米）； 故选． 8. 若点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，根据这种关系转化为方程组的问题． 点关于轴的对称点为，则点的坐标是，点关于轴的对称点为，则的的坐标是，因而就得到关于，的方程组，从而求出，，得出点的坐标． 【详解】解：点关于轴的对称点为，则点的坐标是，点关于轴的对称点为，则的的坐标是， 根据题意得：， 解得：， 点的坐标为． 故选：D． 9. 我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 设周瑜逝世年龄的个位数字为，根据题意列出方程即可． 【详解】设周瑜逝世年龄的个位数字为， 根据题意得，． 故选：B． 10. 如图，在四边形中，对角线．且，，点，分别是边，的中点，则的长度是（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位线的性质，勾股定理；取的中点，连接，．根据中位线的性质可得,，，得到，进而勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接，． ，分别是边，的中点， ，分别是，的中位线， ，且， ，且． 又， ， ． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 12. 计算： ________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的计算，代入特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解： 原式 13. 已知，，则的值为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】此题考查二次根式的化简求值，化简二次根式是解决此题的关键． 将所求表达式化简，利用已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 故答案为：8． 14. 如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质.解题的关键是根据已知和矩形的性质可分别求得，再利用相似多边形的性质可发现规律，即可求解. 【详解】∵四边形是矩形， ， ， ∵按逆时针方向作矩形的相似矩形， ∴矩形的边长和矩形的边长的比为， ∴矩形的面积和矩形的面积的比, 故答案为：. 15. 把一条线段分割为两部分，较长部分与全长的比值等于较短部分与较大的比值．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，被称为黄金分割；其比值是，称之为“黄金比”．如图，点A、C是反比例函数在第一象限内图象上的任意点，轴于点B，连接．若，，在x轴上取一点P，使的值为“黄金比”，则点P的坐标为___． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，黄金分割，正确理解题意是解题的关键．根据题意可得，再把代入反比例函数解析式中计算求解即可；可得，根据题意可得，据此求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵轴，，， ∴， ∵反比例函数解析式为， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴（已检验）或（舍去）； 即， ∵的值为“黄金比”， ∴， ∴， ∵点P在x轴上， 当在x轴的负半轴上，则点P的坐标为， 当在x轴的正半轴上，则点P的坐标为， ∴点P的坐标为或． 故答案为：或 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，完全平方公式，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用完全平方公式展开，以及运用二次根式的性质化简，再运算乘除，最后运算加减，即可作答． （2）先化为一般式，再运用公式法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 则； 解得． 17. 如图，的顶点都在网格点上，点A的坐标为． （1）以点O为位似中心，把按放大，在y轴的左侧，画出放大后的； （2）点A的对应点D的坐标是______； （3） ______． 【答案】（1） 如图所示， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了位似作图，相似三角形的判定与性质，写出直角坐标系中点的坐标，准确画出位似图形是解题关键． （1）依据点O为位似中心，把按放大，在y轴的左侧，即可画出放大后的； （2）依据点D的位置，即可得到点A的对应点D的坐标； （3）依据相似三角形的面积之比等于位似比的平方，即可得到，进而得出． 【小问1详解】 解：位似中心为点，位似比，已知，，， ∴对应点的坐标分别是，，， 连接点， 【小问2详解】 解： 由（1）知， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，连接，， ， ， ， ∴， ∴设，则， ∴， 故答案为：． 18. 阅读材料：如果一元二次方程的两根分别是，，那么，，借助该材料完成下列各题： （1）应用：一元二次方程的两个实数根为，，则 ， ； （2）提升：关于的方程，若斜边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确计算是解题的关键． （1）根据方程确定，，，再根据，计算即可； （2）先写出和，根据勾股定理得到求出，即可得解； 【小问1详解】 一元二次方程， ，，， ，； 故答案是：，． 【小问2详解】 关于的方程，，恰好是这个方程的两个根， ，， ，，是的三边，且斜边， ， ， ， ， ， （负值舍去）， ， 的周长为． 19. 白河，古称淯水、白水，是南阳母亲河，小宛想通过自己所学的数学知识计算河流的宽度．如图，河流两侧河岸平行，他在河的对岸选定一个目标作为点A，再在这一侧的河岸边选出点B和点C，分别在的延长线上取点D、E，连接DE，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为1200米．过点A作于点F（即为河流的宽度），请你根据提供的数据计算河流的宽度． 【答案】800米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，掌握利用平行证明三角形相似，结合相似三角形的对应边成比例求解线段长度是解题的关键． 通过证明求出，再证明得，然后代入数据即可求解． 【详解】解：过点E作，垂足为H， ， ， ∴， ∴ ． ，， ． ， ， ，即 ∴． 答：河流的宽度为800米． 20. 在城市规划中，有一片空地规划建一个公园，如图：C处是公园的管理处，A处是一个观景台，B处是一个休闲广场，且刚好是一个直角，D是步道的中点，连接，管理处计划从B处修建一条垂直于延长线的便民小路（E为垂足）．已知观景台A到管理处C的距离米，． （1）求步道的长度； （2）求的值（即便民小路与步道夹角的余弦值）． 【答案】（1）50米 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）在中，先根据三角函数求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出的长； （2）过C点作于F，求出的长，再根据余弦函数的定义即可求解． 【小问1详解】 解：在中，， ， ， ， 又是边的中点， （米）； 【小问2详解】 解：过C点作于点F． ， ， ∵， ∴， ， ， ， ． （P42练习2变式） 21. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到1500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由； （3）该商场平均每天盈利最多多少元？达到最大值时应降价多少元？ 【答案】（1）20元； （2）不能达到1500元， 假设能达到，由题意，得， 整理，得， ， 即：该方程无解， 所以，商场平均每天盈利不能达到1500元； （3）平均每天盈利最多1250元，达到最大值时应降价15元． 【解析】 【分析】（1）设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可以售出，所以此时商场平均每天要盈利元，根据商场平均每天要盈利元，为等量关系列出方程求解即可． （2）假设能达到，根据商场平均每天要盈利元，为等量关系列出方程，看该方程是否有解，有解则说明能达到，否则不能． （3）设商场平均每天盈利元，由（1）可知商场平均每天盈利元与每件衬衫应降价元之间的函数关系为：，用“配方法”求出该函数的最大值，并求出降价多少． 【详解】解：（1）设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可以售出， 由题意，得， 即：， 解，得，， 为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以的值应为20， 所以，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元； （2） 略 （3）设商场平均每天盈利元，每件衬衫应降价元， 由题意，得， ， ， ， 当元时，该函数取得最大值为1250元， 所以，商场平均每天盈利最多1250元，达到最大值时应降价15元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，和二次函数的最值，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解，另外还用到的知识点有“根的判别式”和用“配方法”求函数的最大值． 22. 图解方程就是把方程的解和几何图形建立联系，通过几何直观反映代数抽象．历史上有多种关于一元二次方程的几何解法，例如：欧几里德解法，花拉子米解法，卡莱尔解法，斯陶特解法，赵爽解法等．让我们一起来了解一下吧．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地，我们可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，一张边长为2的正方形的纸片，先折出，的中点E，F，再沿过点A的直线折叠，使点D落在线段上（即H处），折痕为，点G在边上，连接，． （1）用公式法求方程的解； （2）请利用等面积法借助分别求出线段，的长度，并说明哪条线段的长度值恰好是方程的一个正根． 【答案】（1）， （2），，线段的长度恰好是方程的一个正根 【解析】 【分析】此题考查的是一元二次方程的应用，运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键． （1）直接用求根公式解答即可； （2）设，则，由折叠的性质可知≌，是的中点，则，，再由勾股定理得，然后由，求出，即可解决问题． 【小问1详解】 解：在方程 中，，，． ． 将其代入求根公式，得． 所以方程的解为，． 【小问2详解】 解：设，则， 由折叠的性质可知：，是的中点， ，， 根据勾股定理得：， ， ， 解得：，即， 的解为：， 取正值为， ∴线段的长度恰好是方程的一个正根． 23. 【问题背景】如图，等腰中，，点为的中点，过点作，交于，将绕点顺时针旋转，连结，如图①． 【基本感受】 （1）当时，判断与的数量关系，并说明理由； 【深入研究】 （2）当时，如图②，与满足怎样的数量关系？请给出证明； （3）在（2）的条件下，若，在旋转过程中，当三点共线时，求的面积． 【答案】 （1）．理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴为等边三角形， ∴； ∵点为的中点，过点作，交于， ∴， ∴为等边三角形， ∴； ∵，均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）；理由如下： 作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 同理，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）的面积为或． 【解析】 【分析】（1）证明，均为等边三角形，证明，即可得； （2）证明，均是等腰直角三角形，证明，即可得； （3）分两种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质结合解直角三角形，求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）∵和都是等腰直角三角形，， ∴， ∴，，， 如图，当三点共线时，作交的延长于点， 由旋转的性质知， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，当三点共线时，作于点， 同理，，， ∴， ∴； 综上，的面积为或． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、二次根式的混合运算等，熟练掌握相关性质与判定定理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $