6.2 排列与组合（第一课时）课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦排列与排列数的概念及公式，通过DNA碱基排列、音乐音符排序等生活实例导入，结合温故知新环节复习分类与分步计数原理，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生从具体问题抽象出排列定义。 其亮点在于以数学建模和从特殊到一般的思想为主线，通过问题链（选同学、排数字）培养抽象能力，典型例题（无重复三位数）用位置分析、间接法等多种解法发展逻辑推理，德育结语渗透秩序与创新的辩证关系。学生能感受数学与生活联系，教师可借助丰富实例和分层作业提升教学效果。

人教A版 数学 选择性必修 第三册 第六章 计数原理 6.2 排列与组合 第一课时 排列与排列数 2 情景导入 2 生活中的排列 情景导入 学习目标 一 二 三 学习目标 理解排列和排列数的定义，掌握排列数公式及其推导方法，能够熟练地计算，并能利用排列和排列数公式解决简单的计数问题。 经历从具体实例（田忌赛马、演讲顺序）中抽象出排列概念的过程，体会数学建模思想。通过推导排列数公式，体验从特殊到一般、化归的数学思想方法。 感受数学与生活的密切联系及历史传承，体会数学的实用价值和理性精神。通过帕斯卡的问题形成课堂闭环，获得解决问题的成就感。在德育结语中感悟秩序与创新、规则与自由的辩证关系。 6 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 不同点 注意点 完成一件事 每类方案中的每一种方法都能_____完成这件事 每步_________才算完成这件事情（每步中的每一种方法 完成这件事） 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整 独立 依次完成 不能独立 用来计算“_____________”的方法种数 温故知新 6 探索新知 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？ 核心思考：不同的选法中，什么因素导致的结果的不同？ 如何完成这件事？一步还是分步？ 如何计数？尝试用我们学过的计数原理计算出结果； 能否枚举？不重不漏地列举出来，写在你们的学案上； 分步 第1步，确定参加上午活动的同学； 根据分步乘法计数原理， 上午 下午 第2步，确定参加下午活动的同学． 不同的选法种数为： 树状图 甲 乙 丙 乙 丙 甲 丙 甲 乙 甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙 新知探究 探索新知 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？ 新知探究 甲乙、乙甲是相同的选法吗？ 问题1中的顺序是什么？ 问题1的顺序为参加活动的顺序， 即参加上午的活动在前, 参加下午的活动在后. 不是 树状图 甲 乙 丙 乙 丙 甲 丙 甲 乙 甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙 探索新知 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？ 如果把问题1中对象“同学”抽象为“元素”.那么还可以怎样叙述问题1? 从3个不同元素a, b, c 中任取2个，然后按一定顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法 ？ 所有不同排列是 ab , ac , ba , bc , ca , cb . 不同的排列方法种数为 3×2＝6 . 探索新知 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？ 探索新知 问题2：从这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 解：由分步乘法计数原理可得，不同的三位数有 4×3×2＝24 个，所有的三位数如下： 百位 十位 个位 1 2 3 4 3 4 2 4 2 3 2 1 3 4 3 4 1 4 1 3 3 1 2 4 2 4 1 4 1 2 4 1 2 3 2 3 1 3 1 2 由此可写出所有的三位数： 123 124 132 134 142 143 213 214 231 234 241 243 312 314 321 324 341 342 412 413 421 423 431 432 如果把问题2中对象“数字”抽象为“元素”.那么还可以怎样叙述问题2? 从4个不同的元素a, b, c, d中任意取出3个，并按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法? 所有不同排列是 不同的排列方法种数为 4×3×2＝24 . abc abd acb acd adb adc bac bad bca bcd bda bdc cab cad cba cbd cda cdb dab dac dba dbc dca dcb 探索新知 问题2：从这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 问题1 . 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动,其中1名参加上午的活动,1名参加下午的活动,有哪些不同的排法? 问题2 .从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 实质是: 从3个不同的元素中,任取2个, 按一定的顺序排成一列, 共有多少种不同的排列方法 ？ 实质是: 从4个不同的元素中, 任取3个, 按照一定的顺序排成一列, 共有多少种不同的排列方法 ？ 思考：以上问题1、2的共同特点是什么？ 从一些__________中取出_________，并按照____________排成一列的方法数. 我们把这种计数方法称为排列. 不同元素 部分元素 一定的顺序 探索新知 问题3：上述问题1, 2的共同特点是什么? 你能将它们推广到一般情形吗? 注：1.我们所研究的排列问题，是不同元素的排列， “按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是不是排列问题的重要标志. 3.两个排列相同的充要条件：两个排列的元素完全相同，且排列顺序也相同. 2.定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”． （有序性） （互异性） 探索新知 一般地，从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素，并按照 一定的顺序 排成一列，叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列(arrangement). 1.排列定义 小试牛刀: 下列问题中哪些是排列问题？ （1）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？ （2）从1，2，3三个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？ （3）从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ （4）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条有向线段？可确定多少条直线？ （5）10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？ 是 不是 是 是 是 不是 探索新知 有无顺序是判断一个问题是不是排列问题的重要标志 典型例题 例1 (1) 一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1 盘菜，共有多少种不同的取法? （2） 学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法? 解：(1)可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.按分步乘法计数原理，不同的取法总数为 （2）可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法.按分步乘法计数原理，不同的选法总数为 例1(1) 一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜， 共有多少种不同的取法? (2) 学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少 种不同的选法? 问（2）：例3（1）是排列问题吗？ 问（3）：例3（2）是排列问题吗？ 问（1）：这两个问题的不同点是什么？ 是排列 不是排列 典型例题 探索新知 同学们，我们已经知道：从 n 个不同元素中取出m 个元素排成一列，就是一个排列。现在请思考： 问题4：从甲、乙、丙3人中选2人排队领奖，有多少种排法？ 问题5：若从全班30人中选5人担任升旗手（不同岗位），有多少种排法？ 那么有没有更好地表示排列的方式呢？ 探索新知 2.排列数的概念 排列数： 我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示. 元素总数 取出元素数 m.n所满足的条件是： 符号 中的A是英文arrangement(排列)的第一个字母 (1) m∈N*，n∈N* ； (2) m≤n . 探究 从n个不同元素中取出m个元素的排列数 (m≤n)是多少? 我们先从特殊情况开始探究，思考从n个不同元素中任取2个元素的排列数 是多少？ 排列数 可以按依次填2个空位得到： 同理，排列数 可以按依次填3个空位得到： 那么排列数 就可以按依次填m个空位得到： ··· ? 你能说一下排列数公式的特点吗？ 探索新知 排列数公式的特点： 1. 公式中是m个连续正整数的连乘积； 2. 连乘积中最大因数为n，后面依次减1，最小因数是(n－m＋1). 小试牛刀： 特别地，我们把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫作n个元素的一个全排列． 解： 例2 计算： 典型例题 典型例题 证明： 排列数公式的阶乘形式： 例3：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 典型例题 1.讨论一下，如果直接套用我们刚学的排列数公式   来计算，得出的结果是正确的吗？为什么？ 2.请集思广益，开动脑筋，至少找出一种你们认为最清晰、最可靠的解决方法，并派代表准备分享你们的思路和最终答案。 【小组讨论任务】   这个结果对吗？为什么？ 如何解决这个“陷阱”？请找出至少一种方法，并算出正确答案。 百位 十位 个位 图6.2-5 解法1：如图6.2-5所示，由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成： 例3：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 特殊位置分析法 典型例题 百位 十位 个位 百位 十位 个位 百位 十位 个位 0 0 例3：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 特殊元素分析法 解法2：符合条件的三位数可以分成3类 第一类，每一位数字都不是0的三位数有 个 第二类，个位数字是0的三位数有 个， 第三类，十位数字是0的三位数有 个 典型例题 根据分类加法计数原理，所求三位数为 例3：用0~9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解法3： 从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为 其中0在百位上的排列数是 所求三位数为 正难则反(间接法) 典型例题 方法总结 对于有限制条件的计数问题，通常有两种基本思路， （1）直接法： 位置分析法：以位置为主，特殊（受限）的位置优先考虑，有两个以上的约束条件时，往往根据其中的一个条件分类处理。 元素分析法：以元素为主，特殊（受限）的元素优先考虑，有两个以上的约束条件时，往往根据考虑一个元素的同时，兼顾其他元素。 （2）间接法：先不考虑限制条件来计算出所有种数，再从中减去不符合条件的种数，从而得出符合条件的种数。 当堂达标 解： 1. 计算： 15 6 2. 当堂达标 3.同学们，今天我们穿越时空，与帕斯卡先生进行了一场对话，学习了强大的数学工具—排列数公式。现在，大家是否拥有破解帕斯卡密码的能力了呢？ 当堂达标 （1）帕斯卡问：A、B、C、D四位学者一共有多少种不同的入场顺序？ （2）追问：学者增加至20位呢？若是学者增加到n位呢？ 课堂小结 1. 3个定义：排列、排列数、全排 2.排列数公式： (1)乘积形式： (2)阶乘形式：.(，，并且 （3）性质：.我们规定，. 3.数学方法：由特殊到一般、直接法、间接法等 课后作业 1.基础题（必做）：人教A版课本练习题第1、2、3题。（巩固公式计算） 2.应用题（必做）：课本第4题。（解决实际问题） 3.探究题（选做）：结合“帕斯卡三角”，查阅资料，探究 C(n, m)（组合数）与 A(n, m)（排列数）以及二项式系数之间有怎样的关系？为下节课学习组合做铺垫。 启示 “数学从不冰冷——帕斯卡三角的和谐，排列公式的严谨，都在诉说：真正的自由，是秩序中的绽放；真正的卓越，是规则下的创新。  下节课，我们将探索‘去序’的组合世界，感受数学的包容之美！ $