2025-2026学年青岛版八年级数学上册 第四章《图形的轴对称》测试题

2025-2026 学年八年级数学上学期第四章《图形的轴对称》 测试题 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 ．（3 分）下列图形中，不是轴对称图形的是 ( ) A ． B ． C ． D ． 2 .（3 分）一副三角板如图方式摆放，BM平分∠ABD ，DM平分∠BDC ，则∠BMD的度数为 ( ) . A ．102° B ．107.5° C ．112.5° D ．115° 3 ．等腰三角形的周长是 13cm ，其中一边长是 3cm ，则该等腰三角形的腰长为 ( ) A ．3cm B ．7cm C ．5cm D ．3cm 或 5cm 4 ．如图，三条公路将 A，B ，C 三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是 ( ) A ．三条高线的交点 B ．三条中线的交点 C ．三条角平分线的交点 D ．三边垂直平分线的交点 5 ．（3 分）如图，在△ABC中，DE垂直平分AB ，连接BD ，△BDE的周长为 20 ，△ABC的周长比四边形BCDE的周长多10 ，则线段DE的长为 ( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 6．如图，D为△ABC边AB上一点，连接CD，则下列推理过程中，因果关系与所填依据不符的是( ) A ． ∵∠A = ∠B（已知） ∴BC = AC（等角对等边） B ． ∵AC = BC，AD = BD（已知） ∴∠ACD = ∠BCD（等腰三角形三线合一） C ． ∵AD = BD ，∠ACD = ∠BCD（已知） ∴CD 丄 AB（等腰三角形三线合一） D ． ∵AD = BD ，CD 丄 AB（已知） ∴AC = BC（线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等） 7 ．（3 分）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB = AC ．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，使点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠A的大小为 ( ) A ．30° B ．32° C ．36° D ．40° 8．（3 分）如图，点 C 是线段AB上一点，△ ACM、△ BCN是等边三角形．AN与CM交于点 E，BM与CN交于点 F，AN与BM交于点 D．下列结论：①AN = BM；②CD 丄 EF；③△ ECF是等边三角形； ④DC平分∠ADB ．其中正确的有（ ）个 A ．4 个 B ．3 个 C ．2 个 D ．1 个 1 学科网（北京）股份有限公司 二、填空题：本题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分。 9 ．在平面直角坐标系中，若点A(—1, b)与点B(a, 3)关于x轴对称，则 2b—a = ． 10 ．已知等腰三角形的一个角是 100°，则底角的度数是 ． 11 ．（3 分）已知A(a - 2, - 1)与点B(-1, b + 2)关于 x 轴对称，则a + b = ． 12 ．（3 分）如图，在 Rt △ ABC中，∠C = 90。，∠CAB = 2∠B ，AD平分∠CAB，若CD = 2 ，则BD的长度为 ． 13．如图，在△ ABC中，AB = AC，BC = 4，面积是10，AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E， D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为 ． 三、解答题：本题共 5 小题，共 68 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14 ．（10分）如图，格点△ABC 在网格中的位置如图所示． （1）画出△ABC 关于直线 MN 的对称△A'B'C'； （2）若网格中每个小正方形的边长为 1 ，则△A'B'C'的面积为 ； （3）在直线 MN 上找一点 P ，使 PA+PC 最小（不写作法，保留作图痕迹）． 15 ．（12分）如图，在△ ABC中，AB的垂直平分线分别交AB ，BC于点D ，E，AC的垂直平分线分别交AC ，BC于点F ，G． (1)若BC=10 ，求△AEG的周长； (2)若∠BAC=105°，求∠EAG的度数． 16．（12 分）如图，△ABC的外角∠CBD，∠BCH的平分线BP，CP相交于点 P，PE丄AD于点 E，PF丄AC于点 F． (1)求证：PE=PF； (2)连接AP ，若ABC=40°，求∠APC的度数． 17 ．（17 分）如图，△ABC和△ADE是等边三角形，CE、BD交于点 F，连接AF． (1)求证：CE=BD； (2)求证：∠AFC=60°； (3)判断线段AF 、BF、CF的数量关系，并说明理由． 18 ．（17分）等腰 Rt△ACB，ACB=90。，AC=BC，点A、C分别在X轴、Y轴的正半轴上． (1)如图1 ，求证：∠BCO =∠CAO； (2)如图2 ，若OA=5 ，OC=2 ，求B点的坐标； (3)如图3 ，点C0 ，3 ，Q，A两点均在X轴上，且S△CQA =18.分别以AC、CQ为腰在第一、第二象限作等腰 Rt△CAN、等腰 Rt△QCM，AC=CN ，CM=CQ ，连接MN交Y轴于P点，OP的长度是否发生改变？若不变，求出OP的值；若变化，求OP的取值范围． 2025-2026 学年八年级数学上学期第四章《图形的轴对称》 测试题（参考答案） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 ．（3 分）下列图形中，不是轴对称图形的是 ( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】A【分析】考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A 、不是轴对称图形，符合题意；B 、是轴对称图形，不符合题意； C 、是轴对称图形，不符合题意；D 、是轴对称图形，不符合题意；故选 A． 2 .（3 分）一副三角板如图方式摆放，BM平分∠ABD ，DM平分∠BDC ，则∠BMD的度数为 ( ) . A ．102° B ．107.5° C ．112.5° D ．115° 【答案】C 【分析】主要考查角平分线的性质、三角形内角和为180。，掌握其性质及两特殊三角形角的度数是解题的关键． 由题可知∠ABD=75°，∠BDC=60°，再结合角平分线及三角形内角和为180。即可求解． 【详解】根据题意∠ABC=45°。, ∠CBD=30°, ∠BDC=60°， : ∠ABD=75°， 又BM平分∠ABD ，DM平分∠BDC， 所以∠MBD ∠BDM=30。， 在△ BDM中，∠MBD+∠BDM+∠BMD=37.5°+30°+∠BMD=180°，解得∠BMD=112.5°．故选：C． 3 ．等腰三角形的周长是 13cm ，其中一边长是 3cm ，则该等腰三角形的腰长为 ( ) A ．3cm B ．7cm C ．5cm D ．3cm 或 5cm 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 已知给出了其中一边长为3cm ，没有明确该边的名称，所以长为3的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论． 【详解】解：由题意知，应分两种情况： 当腰长为3cm时，则另一腰也为3cm ，底边为13一2×3=7cm， ∵3+3<7， ∴边长分别为 3,3, 7 不能构成三角形； 当底边长为 3cm 时，腰的长=(13-3)÷2=5cm， ∵0<3<5+5=10， ∴边长为 3,5,5 ，能构成三角形，则该等腰三角形的一腰长是5cm ．故选 C． 4 ．如图，三条公路将 A，B ，C 三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是 ( ) A ．三条高线的交点 B ．三条中线的交点 C ．三条角平分线的交点 D ．三边垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形三边垂直平分线的交点的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形三边垂直平分线的交点的性质．根据到三个村庄的距离相等，即确定一个点到三角形三个顶点都相等，根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得这个点是三角形三个垂直平分线的交点． 【详解】解： ∵由三条公路连接的A ，B ，C 三个村庄所构成的三角形区域内修建一个集贸市场，且使集贸市场到三个村庄的距离相等，到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，∴这个集贸市场应建在三角形ABC三边垂直平分线的交点处．故选：D． 微信公众号：瑾言教育资料库 3 学科网（北京）股份有限公司 5 ．（3 分）如图，在△ABC中，DE垂直平分AB ，连接BD ，△BDE的周长为20 ，△ABC的周长比四边形BCDE的周长多10 ，则线段DE的长为 ( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】B【分析】考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．先根据线段垂直平分线的性质得到DA = DB，AE = BE，再利用△ BDE的周长为 20 得到BE+BD=20-DE，接着利用AB+AC+BC-(CD+DE + BE+BC)=10 得到BE+BD- DE =10 ，所以20-DE - DE =10 ，然后解方程即可． 【详解】解： ∵DE垂直平分AB， ∴DA=DB ，AE=BE， ∵△BDE的周长为 20 ， ∴DE + BE +BD=20 ， ∴BE+BD=20-DE，∵△ABC的周长比四边形BCDE的周长多10， ∴AB+AC+BC-(CD+DE+BE+BC) = 10， 即 2BE+AD+CD+BC-CD-DE-BE-BC=10， ∴BE+BD-DE=10， ∴20-DE-DE=10 ，解得DE=5 ．故选：B． 6．如图，D为△ ABC边AB上一点，连接CD，则下列推理过程中，因果关系与所填依据不符的是( ) A ． ∵∠A =∠B（已知） ∴BC = AC（等角对等边） B ． ∵AC = BC，AD = BD（已知） ∴∠ACD = ∠BCD（等腰三角形三线合一） 8 学科网（北京）股份有限公司 C ． ∵AD = BD ，∠ACD = ∠BCD（已知） ∴CD 丄 AB（等腰三角形三线合一） D ． ∵AD = BD ，CD 丄 AB（已知） ∴AC = BC（线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等） 【答案】C 【分析】对各个选项进行推理论证即可逐项判断． 【详解】解：选项 C 的已知条件中，没有能直接说明△ ABC是等腰三角形的条件，不能用三线合一，不符合因果关系，符合题意，故选 C． 【点睛】本题考查了等角对等边、等腰三角形三线合一、线段垂直平分线性质相关的证明，理解并掌握推理的因果关系是解题关键． 7 ．（3 分）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB = AC ．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，使点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠A的大小为 ( ) A ．30° B ．32° C ．36° D ．40° 【答案】C【分析】主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键．设∠A = x ，由折叠的性质得到∠EDA = ∠A = x，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得到∠ABC = C = 2x ，再利用三角形内角和定理求出x，即可求出答案． 【详解】解：设∠A = x， 由折叠得：∠EDA = ∠A = x ，∠C = ∠BED = ∠A + ∠EDA = 2x， “ AB = AC， : ∠ABC = ∠C = 2x， “ ∠A + ∠ABC + ∠C = 180。， : x + 2x + 2x = 180。， ∴ x = 36。， : ∠A = x = 36。．故选：C． 8．（3 分）如图，点 C 是线段AB上一点，△ACM、△BCN是等边三角形．AN与CM交于点 E，BM与CN交于点 F，AN与BM交于点 D．下列结论：①AN = BM；②CD 丄 EF；③△ ECF是等边三角形； ④DC平分∠ADB ．其中正确的有（ ）个 A ．4 个 B ．3 个 C ．2 个 D ．1 个 【分析】主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，找出全等三角形是解题的关键．由 SAS 可证△ACN ≌△MCB ，可得AN=BM，故①正确；由 ASA 可证△ACE ≌△MCF ，可得CE = CF，可证△ ECF是等边三角形，故③正确；由全等三角形的性质可得∠AEC = ∠MFC，可得∠CED + ∠MFC = 180。，则可证DE不一定等于DF ，即CD不一定垂直平分EF ，故②错误；由全等三角形的性质可得S△ACN ≌ S△MCB ，由面积公式可证CH = CG，由 HL 可证 Rt△CDG ≌ Rt△CDH，可得∠CDG = ∠CDH，故④正确． 【详解】解： ∵△ACM、 △BCN是等边三角形， ∴AC = CM ，CN = CB，∠ACM = ∠BCN = 60。， ∴∠ACN = ∠MCB， 在△ ACN和△ MCB中， AC=CM,∠ACN=∠MCB,CN=CB ， ∴△ACN ≌△MCB(SAS)， ∴AN = BM ，∠CMB = ∠CAN ，故①正确； ∵∠ACM = ∠BCN = 60°， ∴∠MCN = 60°= ∠ACM， 在△ACE和△MCF中，∠ACE=∠MCF, AC = MC ,∠CAE=∠CMF ， ∴△ACE≌△MCF(ASA)， ∴CE = CF， ∵∠ECF = 60°， ∴△ECF是等边三角形，故③正确， ∵△ACE≌△MCF， ∴∠AEC = ∠MFC， 9 学科网（北京）股份有限公司 ∵∠AEC + ∠CED = 180。， ∴∠CED + ∠MFC = 180。， ∴∠CED不一定等于∠CFM， ∴∠DEF不一定等于∠DFE， ∴DE不一定等于DF， 又∵CE = CF， ∴CD不一定垂直平分EF ，故②错误； 如图，过点 C 作CG 丄 AN于 G ，CH 丄 MB于 H， ∵△ACN ≌△MCB， ∴S△ACN ≌S△MCB， ∴AN . CG BM . CH， ∴CH = CG， 在 Rt△CDG和 Rt△CDH中，CG = CH，CD=CD ∴Rt△CDG ≌ Rt△CDH(HL) ， ∴∠CDG = ∠CDH， ∴CD平分∠ADB ，故④正确；综上所述：正确的有①③④ , 一共 3 个；故选：B． 二、填空题：本题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分。 9 ．在平面直角坐标系中，若点A(—1, b)与点B(a, 3)关于x轴对称，则 2b—a = ． 【答案】—5 【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的性质及代数式求值，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而代入求值即可． 【详解】解：“点A(—1, b)与点Ba, 3关于x轴对称， : a = — 1 ，b = — 3， : 2b — a = 2 × —3 — —1 = — 5 ．故答案为：—5． 10 ．已知等腰三角形的一个角是 100°，则底角的度数是 ． 【答案】40° 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的内角和．分 100°角是顶角和底角两种情况讨论即可 【详解】解： ∵等腰三角形的一个角是 100°， 微信公众号：瑾言教育资料库 11 学科网（北京）股份有限公司 ∴这个 100°角是顶角时， ∴底角的度数是 40°，当这个 100°角是底角时， 则 100° + 100° > 180°，不能构成三角形；故答案为：40°． 11 ．（3 分）已知A(a - 2, - 1)与点B(-1, b + 2)关于 x 轴对称，则a + b = ． 【答案】0 【分析】根据关于 x 轴对称，横不变，纵坐标互为相反数，列式解答即可．考查了 x 轴对称的特点，求代数式的值，熟练掌握对称是解题的关键． 【详解】解：A(a - 2, - 1)与点B(-1, b + 2)关于 x 轴对称， 故a - 2 =- 1, b + 2 = 1，解得a = 1, b =- 1， 故a + b = 1 - 1 = 0 ，故答案为：0． 12 ．（3 分）如图，在 Rt△ABC中，∠C = 90。，∠CAB = 2∠B ，AD平分∠CAB，若CD = 2 ，则BD的长度为 ． 【答案】4 【分析】考查直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，由直角三角形的性质得∠B = 30°，∠CAB = 60。，进而由角平分线的定义得∠CAD = ∠BAD ∠CAB = 30°，即得AD = 2CD = 4， ∠BAD = ∠B ，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解： ∵∠C = 90°， ∴∠CAB + ∠B = 90°， ∵∠CAB = 2∠B， ∴3∠B = 90°， ∴∠B = 30°， ∴∠CAB = 60°， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD = ∠BAD ∠CAB = 30°， ∴AD = 2CD = 4 ，∠BAD = ∠B ， ∴BD = AD = 4，故答案为：4． 13．如图，在△ ABC中，AB = AC，BC = 4，面积是10，AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E， D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质是解题的关键．由垂直平分线的性质可得A与B关于ED对称，连接AP，当A、P、F三点共线时，△ PBF周长最小为AF + FB的长． 【详解】解：“ ED是线段AB的垂直平分线， : A与B关于ED对称， 连接AP，: AP = PB， :△ PBF周长= PB + PF + FB = AP + PF + FB ≥ AF + FB，当A、P、F三点共线时，△PBF周长最小， “ F为BC边的中点，AB = AC， : AF 丄 BC， : S△ABC × BC × AF = 10， “ BC = 4， AF = 5， :△PBF周长= AF + FB = 5 + 2 = 7， ∴△PBF周长的最小值为 7 ，故答案为 7 12 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题：本题共 5 小题，共 68 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14 ．（10分）如图，格点△ABC 在网格中的位置如图所示． （1）画出△ABC 关于直线 MN 的对称△A'B'C'； （2）若网格中每个小正方形的边长为 1 ，则△A'B'C'的面积为 ； （3）在直线 MN 上找一点 P ，使 PA+PC 最小（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析；（2）3.5 ；（3）见解析 【分析】（1）依据轴对称的性质，首先确定A 、B 、C 三点的对称点位置，再连接即可； （2）依据割补法进行计算，即可得到△A'B'C'的面积； （3）依据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，连接 AC′，与 MN 的交点位置就是点 P 的位置 ． 【详解】解：（1）如图所示：△A'B'C'即为所 14 学科网（北京）股份有限公司 （2）△A'B'C'的面积： 3×3-×1×3-×2×3-×1×2=9-1.5-3-1=3.5 ；故答案为：3.5； （3）如图，点 P 即为所求． 【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换作图，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 15 ．（12分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB ，BC于点D ，E，AC的垂直平分线分别交AC ，BC于点F ，G． (1)若BC = 10 ，求△AEG的周长； (2)若∠BAC = 105°，求∠EAG的度数． 【答案】(1)△ AEG的周长为10；(2) ∠EAG = 30°． 【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE = BE，AG = CG，然后求出△ AEG的周长= BC； （2） 根据DE、GF分别垂直平分AB和AC ，则AE = BE，AG = CG根据等边对等角可得 ∠B = ∠BAE， ∠C = ∠GAC ，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解； 此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． 【详解】（1）解： ∵DE、GF分别垂直平分AB和AC， ∴AE = BE，AG = CG， ∴△ AEG的周长= AE + AG + EG = BE + GC + EG = BC = 10； （2）解： ∵DE、GF分别垂直平分AB和AC， ∴AE = BE，AG = CG， ∴ ∠B = ∠BAE， ∠C = ∠GAC， ∵ ∠B +∠BAE + ∠C + ∠GAC + ∠EAG = 180°，∠ BAC = ∠BAE + ∠GAC + ∠EAG = 105°， ∴ ∠B + ∠C = 75°， ∴∠EAG = 30°． 16．（12 分）如图，△ ABC的外角∠CBD，∠BCH的平分线BP，CP相交于点 P，PE 丄 AD于点 E，PF 丄 AC于点 F． (1)求证：PE = PF； (2)连接AP ，若ABC = 40°，求∠APC的度数． 【答案】(1)见解析；(2)20° 【分析】主要考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． （1） 过 P 作PG 丄 BC于 G ，根据角平分线性质得出PE = PG ，PF = PG ，得出答案即可； （2） （2）根据角平分线的判定得出AP平分∠BAC ，根据角平分线定义得出∠CAP ∠BAC ，根据三角形外角性质得出∠PCH = ∠CAP + ∠APC ，根据∠BCH = ∠BAC + ∠ABC ，得出∠BAC + ∠ABC) =∠BAC + ∠APC ，最后求出结果即可． 【详解】（1）证明：过 P 作PG 丄 BC于 G ，如图所示： ∵PB平分∠CBD ，PE 丄 BD， ∴PE = PG， 同理：PF = PG， 15 学科网（北京）股份有限公司 ∴PE = PF； （2）解： ∵PE 丄 AD ，PF 丄 AC ，PE = PF， ∴AP平分∠BAC， ∴∠CAP ∠BAC， ∵CP平分∠BCH， ∴∠PCH ∠BCH， ∵∠PCH = ∠CAP + ∠APC ， ∵∠BCH = ∠BAC + ∠ABC， ∴∠BAC + ∠ABC ∠BAC + 匕∠APC， ∴∠APC ∠ABC × 40°= 20° 17 ．（17 分）如图，△ABC和△ADE是等边三角形，CE、BD交于点 F，连接AF． (1)求证：CE = BD； (2)求证：∠AFC = 60°； (3)判断线段AF 、BF、CF的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)CF = AF + BF，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到AB = AC ，AD = AE ，∠BAC = ∠DAE = 60°，再证明∠CAE = ∠BAD，进而证明△ BAD ≌△ CAE，则可证明CE = BD； （2）过点A 分别作CF，DF的垂线，垂足分别为 G 、H，设AB ，CF交于 M，由全等三角形的性质得到∠ACG = ∠∠ABH ，再证明△ACG≌△ABH ，得到AG = AH ，进而证明 Rt△AFG ≌ Rt△AFH ，得到∠AFC = ∠AFD ，证明∠BFM = ∠CAM = 60°，则由平角的定义可证明结论； （3）在CF上取一点 N 使得CN = BF，连接AN，证明△ACN ≌△ABF，得到AN = AF，再证明△ ANF是等边三角形，得到AF = NF ，据此根据线段的和差关系可得结论． 17 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）证明： ∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴AB = AC ，AD = AE ，∠BAC = ∠DAE = 60°， ∴∠BAC + ∠BAE = ∠DAE + ∠BAE，即∠CAE = ∠BAD， ∴△BAD≌△CAE(SAS)， ∴CE = BD； （2）解；如图所示，过点A 分别作CF，DF的垂线，垂足分别为 G 、H，设AB ，CF交于 M， ∴∠AGC = ∠AHB = 90°， ∵△BAD ≌△CAE， ∴∠ACG = ∠ABH， 又∵AC = AB， ∴△ACG≌△ABH(AAS)， ∴AG = AH， ∴又∵AF = AF， ∴Rt△AFG ≌ Rt△AFHHL ， ∴∠AFC =∠AFD， ∵∠MBF = ∠MCA，∠BMF = ∠AMC， ∴∠BFM = ∠CAM = 60°， ∴∠AFC = ∠AFD = 180°—2∠BFM = 60°； 18 学科网（北京）股份有限公司 （3）解：CF = AF + BF ，理由如下： 如图所示，在CF上取一点 N 使得CN = BF ，连接AN， ∵△BAD ≌△CAE， ∴∠ACN = ∠ABF， 又∵AC = AB ，BF = AN， ∴△ACN ≌△ABF(SAS)， ∴AN = AF， 又∵∠AFN = 60°， ∴△ANF是等边三角形， ∴AF = NF， ∵CF = CN + NF， ∴CF = AF + BF． 18 ．（17分）等腰 Rt△ACB，∠ACB = 90。，AC = BC，点A、C分别在X轴、Y轴的正半轴上． (1)如图1 ，求证：∠BCO =∠CAO； (2)如图2 ，若OA = 5 ，OC = 2 ，求B点的坐标； (3)如图3 ，点C0 ，3 ，Q，A两点均在X轴上，且S△CQA = 18.分别以AC、CQ为腰在第一、第二象限作等腰 Rt△CAN、等腰 Rt△QCM，AC = CN ，CM = CQ ，连接MN交Y轴于P点，OP的长度是否发生改变？若不变，求出OP的值；若变化，求OP的取值范围． 【答案】(1)见解析；(2)B( — 2 ， — 3) ；(3)OP的长度不会发生改变，长度始终是 9 ，理由见解析 【分析】（1）根据∠ACB = 90°，∠AOC=90°，得到∠BCO + ∠ACO =∠CAO +∠ACO = 90°，即可证明∠BCO = ∠CAO； （2）过点B作BD 丄 Y轴于点D，证明△CDB≌△AOC，得到: BD = CO = 2 ，CD = AO = 5，进而得到OD = 3 ．点B在第三象限，即可得到B( — 2 ， — 3)； （3）过点N作NH//CM，交Y轴于点H，先证明△HCN ≌△QAC，得到CH = AQ，HN = QC．根据点C（0 ，3），S△CQA = 18，求出AQ = 12，进入得到CH =12，再证明△PNH ≌△PMC，得到CP = PH = CH = 6 ，即可求出OP = 9 ，从而得到OP的长度始终是 9 ，问题得解． 【详解】（1）证明： ∵∠ACB = 90°，∠AOC=90°， : ∠BCO + ∠ACO = ∠CAO +∠ACO = 90°， ∴∠BCO =∠CAO； （2）解：如图 2 ，过点B作BD 丄 Y轴于点D，则∠CDB =∠AOC = 90°， 在△CDB和△AOC中， ∴△CDB≌△AOC， : BD = CO = 2 ，CD = AO = 5， : OD = CD — OC = 5 — 2 = 3． ∵点B在第三象限， ∴B( — 2 ， — 3)； （3）答：OP的长度不会发生改变． 理由：如图 3 ，过点N作NH//CM ，交Y轴于点H，则CNH + MCN = 180°， ∵△CAN和△QCM都是等腰直角三角形， :∠MCQ + ∠ACN = 180°， : ∠ACQ + ∠MCN = 360°— 180°= 180°， : ∠CNH = ∠ACQ． 又“ ∠HCN + ∠ACO = 90°= ∠QAC + ∠ACO， : ∠HCN = ∠QAC， 19 学科网（北京）股份有限公司 在△HCN和△QAC中， ∴△HCN ≌△QAC， : CH = AQ ，HN = QC． “ QC = MC， : HN = CM． ∵点C（0 ，3），S△CQA = 18， : OC = 3， × AQ × CO = 18， : AQ = 12， : CH = 12． “ NH//CM， : ∠PNH = ∠PMC． :在△PNH和△PMC中， ∴△PNH≌△PMC， 又“ CO = 3， : OP = CO + CP = 3 + 6 = 9，即OP的长度始终是 9． 【点睛】本题为等腰直角三角形与平面直角坐标系结合综合题，综合性强，难度较大，考查了平面直角坐标系，直角三角形两锐角互余，全等三角形的判定与性质等知识，理解题意，根据已知条件添加适当辅助线，构造全等三角形是解题关键 21 学科网（北京）股份有限公司 22 学科网（北京）股份有限公司 $