精品解析：上海市松江、金山等四校2025-2026学年高一上学期期中联考数学试题

2025学年第一学期期中质量调研测试 高一数学试卷 （完卷时间：90分钟 卷面分值：100分 命题人：沈阳） 考生注意 1.答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号在答题纸上填写正确. 2.请考生须在答题纸上作答，答案写在试卷上一律不给分. 一、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分） 1. 已知集合且，请用列举法表示该集合__________. 2. 计算：__________. 3. 不等式的解集为_________． 4. 已知一元二次方程的两个根分别为、，则__________. 5. 用反证法证明命题“如果两个实数的和与积都为正数，那么这两个数都为正数”时，第一步应假设：__． 6. 设集合满足，则满足条件集合有__________个. 7. 已知，，则______．（用数字作答） 8. 若，，且是的充分条件，则实数的取值范围是__________. 9. 若实数、满足：，则的最小值为__________. 10. 已知关于的不等式：的解集为，则实数的取值范围是__________. 11. 已知关于的不等式解集为，则实数的取值范围是__________. 12. 已知关于的不等式组有且仅有一个整数解，则的取值范围为______. 二、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知集合，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 14. 已知实数，，满足，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 15. 设全集为，集合，是的子集，其文氏图如图所示.下列选项中，能够表示该图中阴影部分的集合是（ ） A. B. C. D. 16. 如图所示的“大方图”称为“赵爽弦图”，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》"勾股网方图"作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中．他用数学符号语言将其表示为"若直角三角形两直角边为a、b，斜边为c（a、b、c均为正数）．则，．某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长8cm的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（ ） A. 24 B. 30 C. 32 D. 36 三、解答题（本大题共有5题，第17、18、19、20题每题10分，第21题12分，满分52分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17 已知全集，集合，集合. （1）求集合与集合； （2）求 18. 已知实数，，满足： （1）若满足方程：，求的值； （2）若，求的值. 19. 已知关于的不等式的解集为． （1）求实数值； （2）讨论关于不等式的解集． 20. 如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. （1）若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ （2）若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 21. 已知集合，，，若，，或，则称集合具有“包容”性. （1）判断集合和集合是否具有“包容”性，并说明理由； （2）若集合具有“包容”性，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期中质量调研测试 高一数学试卷 （完卷时间：90分钟 卷面分值：100分 命题人：沈阳） 考生注意 1.答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号在答题纸上填写正确. 2.请考生须在答题纸上作答，答案写在试卷上一律不给分. 一、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分） 1. 已知集合且，请用列举法表示该集合__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据常用数集，用列举法写出集合. 【详解】由集合且，得. 故答案为： 2. 计算：__________. 【答案】8 【解析】 【分析】利用指数运算性质计算得解. 【详解】. 故答案为：8 3. 不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】 【分析】 将分式不等式转化为整式不等式求解即可． 【详解】依题意，不等式等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了不等式的解法，主要考查计算能力和转化求解能力，属于基础题． 4. 已知一元二次方程的两个根分别为、，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的韦达定理即可求得结果. 【详解】因为是一元二次方程的两个根， 所以根据韦达定理得. 所以. 故答案为：. 5. 用反证法证明命题“如果两个实数的和与积都为正数，那么这两个数都为正数”时，第一步应假设：__． 【答案】这两个数不都为正数． 【解析】 【分析】根据反证法的定义写出假设. 【详解】根据反证法的定义，假设命题结论的反面成立，即这两个数不都为正数. 故答案为：这两个数不都为正数 6. 设集合满足，则满足条件的集合有__________个. 【答案】3 【解析】 【分析】根据子集和真子集的定义进行求解即可. 【详解】满足的集合有： 共3个. 故答案为：3. 7. 已知，，则______．（用数字作答） 【答案】6 【解析】 【分析】将对数式化为指数式，利用指数幂的运算法则计算出结果. 【详解】因为，所以，故. 故答案为：6 8. 若，，且是的充分条件，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据充分条件的定义进行求解即可. 【详解】因为是的充分条件， 所以对应的集合是对应的集合的子集， 所以. 故答案为：. 9. 若实数、满足：，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数的运算法则得，再由基本不等式即可求解. 【详解】由有：，， 所以， 当且仅当时，等号成立， 故答案为：. 10. 已知关于的不等式：的解集为，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据解集为，得出不等式恒成立，再分是否为0，分类讨论列式求解. 【详解】因为关于的不等式：的解集为，所以关于的不等式：恒成立， 当时，不等式为恒成立，符合题意； 当时，必须且只需，解得； 综上，. 故答案为：. 11. 已知关于的不等式解集为，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】因为不等式在上恒成立， 所以当时，恒成立，即恒成立； 此时，的最小值为，所以要使不等式成立，则. 当时，恒成立，即恒成立； 此时，的最小值为，所以要使不等式成立，则. 当时，，即. 综上，. 故答案为：. 12. 已知关于的不等式组有且仅有一个整数解，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】解不等式得或，分，，三种情况，结合的解集列不等式求解即可. 【详解】解不等式，得，得或； 解方程，得，， ①当时，原不等式无解，此时不满足题意； ②当，即时，不等式解满足， 此时不等式组的解集为， 若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即； ③当，即时，不等式的解为， 因为比大，且与最接近的整数是， 所以若不等式组仅有一个整数解， 则，即， 综上所述，可知的取值范围为， 故答案为： 二、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知集合，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合集合相等列式求解即可. 【详解】因为集合，且， 则，解得. 故选：A. 14. 已知实数，，满足，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A： 因为，比如，那么此时，所以A错误； 对于B： 因为，比如，那么此时，所以B错误； 对于C： 因为，不等式两边同除以一个正数，符号不变，所以C正确； 对于D： 因为，若，则，所以D错误. 故选：C. 15. 设全集为，集合，是的子集，其文氏图如图所示.下列选项中，能够表示该图中阴影部分的集合是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦恩图得出集合间关系判定选项. 【详解】图中阴影部分的集合是. 故选：B. 16. 如图所示的“大方图”称为“赵爽弦图”，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》"勾股网方图"作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中．他用数学符号语言将其表示为"若直角三角形两直角边为a、b，斜边为c（a、b、c均为正数）．则，．某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长8cm的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（ ） A. 24 B. 30 C. 32 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，，利用基本不等式求的最小值. 【详解】由题可知，，， 则，即，所以，当且仅当时，等号成立， 又“赵爽弦图”的面积为， 所以当时，“赵爽弦图”的最小面积为. 故选：C 三、解答题（本大题共有5题，第17、18、19、20题每题10分，第21题12分，满分52分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知全集，集合，集合. （1）求集合与集合； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的性质进行求解即可. （2）根据交集的定义进行求解即可. 【小问1详解】 集合. 集合. 【小问2详解】 因为，所以. 而集合，所以. 18. 已知实数，，满足： （1）若满足方程：，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据一元二次方程求出，然后根据指数和对数的互换求出. （2）根据指数和对数的互换和对数的性质进行求解即可. 【小问1详解】 因为满足，所以， 解得或. 因为，所以. 所以. 【小问2详解】 因为，所以. 因为，所以. 所以，所以. 19. 已知关于的不等式的解集为． （1）求实数的值； （2）讨论关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由题知的两个根分别是，把代入中，解方程即可； （2）利用一元二次不等式解法，根据的范围分类讨论可得. 【小问1详解】 由题知两个根分别是，2， 且解得. 【小问2详解】 因为，即， 所以，所以． 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 20. 如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. （1）若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ （2）若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 【答案】（1） （2），宣传单的面积最小，最小的面积为 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围； （2）设cm，则cm，设宣传单面积为，根据题意可得出关于的函数关系式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的值，即可得解. 【小问1详解】 由宣传单的面积不超过可得：， 化简得，解得， 又，所以，故的最大值为. 【小问2详解】 设cm，则cm，设宣传单的面积为， 则， 当且仅当，即时取等号. 所以当长为，宣传单的面积最小，最小的面积是 21. 已知集合，，，若，，或，则称集合具有“包容”性. （1）判断集合和集合是否具有“包容”性，并说明理由； （2）若集合具有“包容”性，求的值. 【答案】（1）集合不具有“包容”性，集合具有“包容”性，理由见解析 （2）1 【解析】 【分析】（1）根据“包容”性的定义进行判断即可. （2）根据“包容”性的定义进行计算即可. 【小问1详解】 对于集合，集合中的， 所以，集合不具有“包容”性； 对于集合， 该集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合， 所以，集合具有“包容”性. 【小问2详解】 若集合具有“包容”性，记， 则，易得，从而必有， 不妨令，则且， 则，且， 当时，若得， 此时具有包容性. 若，得舍去；若无解， 当时，则， 由且，可知无解，故， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $