精品解析：上海市松江二中2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年上海市松江二中高一年级上学期 期中数学试卷 2024．11 一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分． 1. 已知集合，集合，若，则实数______． 【答案】0 【解析】 【分析】由，得到，再结合集合元素互异性即可求解. 【详解】因为， 所以．解得（舍，集合元素互异性）或0． 故答案为：0 2. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式移项通分，解不等式即可 . 【详解】，则. 故不等式解集为. 故答案为：. 3. 函数的对称中心是__________． 【答案】 【解析】 【分析】变形函数解析式，再借助反比例函数的性质，结合函数图象平移变换求解即得. 【详解】函数， 显然函数的图象可以由函数的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位而得， 而函数的图象的对称中心为，所以函数的图象的对称中心为. 故答案为： 4. 已知，，则用a、b表示__________. 【答案】 【解析】 【分析】由对数的换底公式及对数运算法则求解． 【详解】， 故答案为：． 5. 若关于方程的两实根的平方和为14，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据韦达定理求解． 【详解】设已知方程两根为，则， 所以，解得或， 又，即或，所以， 故答案为： 6. 已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为________． 【答案】（不唯一） 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性奇偶性即可得解. 【详解】因为在上单调递增，又在区间上单调递减， 所以可以偶函数，不妨取， 此时，函数定义域为， 且，故为偶函数， 满足在区间上单调递减. 故答案为：（不唯一） 7. 若正数x，y满足，则的最小值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】变形得到，故，利用基本不等式求出最小值. 【详解】正数x，y满足，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 8. 在平面直角坐标系中，设点，，定义：．若点，点B为直线上的动点，则的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据定义，结合三角绝对值不等式即可求解最值. 【详解】设， 则．当且仅当同号时取等号. 故答案为：3. 9. 人类已进入大数据时代．目前，数据量已经从级别跃升到乃至级别．国际数据公司的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为2010年增长到．若从2008年起，全球产生的数据量与年份的关系为，其中均是正的常数，则2023年全球产生的数据量是2022年的______倍. 【答案】1.5## 【解析】 【分析】通过题目数据求出函数解析式，然后利用指数运算即可求解. 【详解】由题意，，所以，所以， 所以2022年全球产生的数据量为，则2023年全球产生的数据量， 所以2023年全球产生的数据量是2022年的倍. 故答案为：1.5 10. 已知常数，函数经过点、．若，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据点在函数上化简得出，，再结合已知得出则，最后因为求值即可. 【详解】函数经过点、， 则，，解得，， ，则，因为，解得． 故答案为：4. 11. 若关于的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，，且为方程的一个解，由参变量分离法可知，直线与函数在上的图象有三个公共点，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】当时，由可得，解得，不合乎题意，所以，， 显然为方程的一个解， 由可得，令， 则直线与函数在上的图象有三个公共点， 且，如下图所示： 由图可知，当时，即当时， 则直线与函数在上的图象有三个公共点， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 12. 已知集合，集合，其中．若集合B表示的区间为一个闭区间，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据集合A，得出B集合的最大值和最小值，再结合区间是闭区间得出计算即可求解. 【详解】由题意知，，则的最小值为，最大值为， 所以，又因为， 所以，又集合B表示的区间为一个闭区间， 则，化简可得，又，解得． 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. “”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质分析判断即可. 【详解】由，又， 所以，即，充分性成立. 当时，即，显然，时成立，必要性不成立. 故“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 14. 标准的围棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是（ ）（参考数据：） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对取对数，利用对数的运算求解即可得. 【详解】， 所以，分析选项知C中与其最接近． 故选：C． 15. 已知函数,若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出的图象，得到，问题转化为，换元后进行求解，得到答案. 【详解】作出的图象，如图所示： 由，可得， 则， 令， 则， 故． 故选：D． 16. 已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域，结合图形分析求解即可. 【详解】对任意给定，则，且， 可知，即， 再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域， 如图阴影部分所示，其中， 可知任意两点间距离最大值， 阴影部分面积. 故选：C. 【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解． 三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 记全集，集合． （1）若，求a的取值范围； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求解绝对值不等式，由，确定不等式组求解即可； （2）通过和两类情况讨论即可. 【小问1详解】 ． ①当时，， ②当时，， 则， 若，则， 所以的取值范围为； 【小问2详解】 由（1）知由， 则①， ②， 则的取值范围为． 18. 已知函数（且）． （1）若在区间上的最大值与最小值之差为2，求实数的值； （2）若函数的值域为，求使得的实数的取值范围． 【答案】（1）2或 （2） 【解析】 【分析】（1）分及讨论，结合对数运算即可得； （2）借助对数定义及函数值域计算可得，再借助对数函数计算即可得解. 小问1详解】 ①当时，在上单调递增，则，； ②当时，在上单调递减，则，； 则实数的值为； 【小问2详解】 因为函数的值域为， 则，即有，解得， ，即有， ，则实数的取值范围为． 19. 汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，如图所示．当车速为v（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，）． 阶段 0．准备 1．人的反应 2．系统反应 3．制动 时间 秒 秒 距离 米 米 （1）请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间； （2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？ 【答案】（1），2； （2）108 【解析】 【分析】（1）利用求得函数关系式，并利用基本不等式求得最短时间. （2）化简不等式，利用分离常数法，结合一元二次不等式的解法求得的取值范围. 【小问1详解】 由题意得， 所以， 当时，， （秒， 即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2秒． 【小问2详解】 根据题意要求对于任意，恒成立， 即对于任意，，即恒成立， 由，得，所以即，解得 ，所以， 因为， 故要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在108千米小时． 20. 已知函数，其中． （1）若“存在，使得成立”是假命题，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集； （3）已知函数的定义域是使得解析式有意义的的集合.如果对于定义域内的任意实数，函数值均为正，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知，对任意的，恒成立，分、两种情况讨论，当时，直接检验即可；当时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可求得实数的取值范围； （2）将所求不等式变形为，将实数的取值进行分类讨论，根据一次不等式和二次不等式的解法可得出原不等式的解集； （3）分析可知，对于函数，分子和分母的判别式均小于零，由此可求得实数的取值范围；然后讨论时，不满足题意，由此可得出结论. 【小问1详解】 由题意知，对任意的，恒成立， 即恒成立， ①当时，符合题意， ②当时，则， 则实数的取值范围． 【小问2详解】 由，可得， 即， 当时，则有，解得； 当时，则，解原不等式可得； 当时，方程的两根分别为， 当时，即，解原不等式得或； 当时，即，原不等式即为，解得； 当时，即，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【小问3详解】 ， ①当时，分子分母都是二次三项式，若满足题意，则对应的图象都是开口向上的抛物线， 若分子分母对应的方程是同解方程，则方程无解，则舍去， 若分子分母对应的方程不是同解方程，要保证对于定义域内的任意实数， 函数值均为正，则需要分子分母的判别式均小于， 即，解得； ②当时，，不符合题意舍去. 则实数的取值范围为. 21. 若函数的定义域为，且对任意，都有，则称具有“性质”． （1）当时，判断是否具有“性质”，并说明理由； （2）当时，证明：具有“性质”； （3）如果定义域为R的函数具有“性质”，求实数的取值范围． 【答案】（1）不具有，理由见解析 （2）证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）取验证即可判断； （2）通过，转换成证明恒成立即可. （3）通过对任意恒成立，讨论三种情况即可. 【小问1详解】 当时，，则不具有“性质”． 【小问2详解】 若要证具有“性质”，则 只需要证成立即可， 又，则，恒成立， 则具有“性质”． 【小问3详解】 因为函数定义域为R，所以, 因函数具有“性质”， 所以， 则对任意恒成立， 当时，成立， 当时，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上海市松江二中高一年级上学期 期中数学试卷 2024．11 一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分． 1. 已知集合，集合，若，则实数______． 2. 不等式的解集为______． 3. 函数的对称中心是__________． 4 已知，，则用a、b表示__________. 5. 若关于方程的两实根的平方和为14，则实数的值为______． 6. 已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为________． 7. 若正数x，y满足，则的最小值是___________. 8. 在平面直角坐标系中，设点，，定义：．若点，点B为直线上的动点，则的最小值为______． 9. 人类已进入大数据时代．目前，数据量已经从级别跃升到乃至级别．国际数据公司研究结果表明，2008年全球产生的数据量为2010年增长到．若从2008年起，全球产生的数据量与年份的关系为，其中均是正的常数，则2023年全球产生的数据量是2022年的______倍. 10. 已知常数，函数经过点、．若，则______． 11. 若关于的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围是______． 12. 已知集合，集合，其中．若集合B表示的区间为一个闭区间，则a的取值范围为______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. “”是“”（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 标准的围棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 15. 已知函数,若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 记全集，集合． （1）若，求a的取值范围； （2）若，求a的取值范围． 18. 已知函数（且）． （1）若在区间上的最大值与最小值之差为2，求实数的值； （2）若函数值域为，求使得的实数的取值范围． 19. 汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，如图所示．当车速为v（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，）． 阶段 0．准备 1．人的反应 2．系统反应 3．制动 时间 秒 秒 距离 米 米 （1）请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间； （2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？ 20 已知函数，其中． （1）若“存在，使得成立”是假命题，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集； （3）已知函数的定义域是使得解析式有意义的的集合.如果对于定义域内的任意实数，函数值均为正，求实数的取值范围． 21. 若函数的定义域为，且对任意，都有，则称具有“性质”． （1）当时，判断是否具有“性质”，并说明理由； （2）当时，证明：具有“性质”； （3）如果定义域为R的函数具有“性质”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $