精品解析：湖北省黄冈市部分高中2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025年秋季黄冈市部分高中高二年级期中考试数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点关于坐标平面的对称特征可得. 【详解】点关于坐标平面对称点为，所以点关于坐标平面对称的点坐标为. 故选：D 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将方程变为斜截式，可得斜率，根据斜率与倾斜角的关系，即可求得答案. 【详解】直线，变形可得， 所以斜率， 又倾斜角，， 所以. 故选：A 3. 已知，，三点不共线，是平面外一点，且，若，，，四点共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据四点共面的向量关系，即可求得答案. 【详解】因为，，，四点共面，且， 所以，解得. 故选：A 4. 已知圆：与圆：恰有3条公切线，则实数的值为（） A. 10 B. C. 14或 D. 10或 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知圆和圆外切，利用列等式求解即可 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， ∵圆与圆恰有3条公切线，圆和圆外切， ，即，解得或， 故选：C 5. 甲乙两人同时射击同一目标，若每人独立击中目标的概率为0.6，则这个目标能够被击中的概率为（ ） A. 0.84 B. 0.72 C. 0.36 D. 0.16 【答案】A 【解析】 【分析】利用对立事件的概率公式结合独立事件的性质求解即可. 【详解】设甲击中目标是事件，乙击中目标是事件， 由题意得这个目标能够被击中的对立事件为两个人都没击中， 由题意得， 则这个目标能够被击中的概率为，故A正确. 故选：A 6. 已知，，若点在直线上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，应用向量线性关系的坐标运算求出，再由向量数量积的坐标运算列式求最值. 【详解】由题意，令且，， 所以， 当且仅当时取等号，则的最小值为. 故选：B 7. 若，则函数有零点的概率为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型的概率计算公式即可. 【详解】记为样本点，则总体样本空间，共有25个样本点， ①当时，，函数有零点，则， 所以满足函数有零点的样本点有共4个； ②当时，若函数有零点，则，即， 所以满足函数有零点的样本点有，共7个， 记“函数有零点的概率”为事件A， 则， 故选：D 8. 已知直线与直线相交于点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线恒过定点及两直线垂直，可求得点P的轨迹方程，分析可得，要使四边形面积的最大，只需取得最大值，根据点与圆的位置关系，分析计算，可求出，进而可得，计算即可得答案. 【详解】变形为，恒过， 变形为，恒过， 因为，所以， 所以交点P的轨迹是以和为直径端点的圆， 则圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为圆：的直径，直线：与轴交于点，则（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆恒有公共点 C. 面积的最大值为4 D. 直线被圆截得弦长的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】P是一个在圆内的定点，可以判断AB选项；根据AB是定值可以判断到的距离最大时，三角形面积最大，从而判断C选项；l被C截得的弦的长度的最小时，圆心到直线的距离最大，从而判断D选项. 【详解】直线：过定点，A选项正确； 直线与x轴交于点P，， 且P在圆内部， 所以l与C恒有公共点，B正确； P到AB的最大距离，即到圆心的距离为2， ，故C错误； l被C截得的弦的长度的最小时，圆心到直线的距离最大， 且此距离为P到圆心的距离为2，故弦长为，故D正确. 故选：ABD 10. 抛掷一红一白的两枚骰子，用表示红色骰子朝上的点数，用表示白色骰子朝上的点数，用表示一次实验结果．记事件：“”，：“”，：“”，：“”，则（ ） A. 事件与互斥 B. 事件与对立 C. 事件与相互独立 D. 事件与相互独立 【答案】ACD 【解析】 【分析】列举出事件、、、所包含的基本事件，利用互斥事件的定义判断A；利用对立事件的定义判断B；利用独立事件的定义判断CD. 【详解】事件包含的基本事件有：，共个基本事件， 事件包含的基本事件有：，共3个基本事件， 事件包含的基本事件有：，共12个基本事件， 事件包含的基本事件有：，共个基本事件， 对于A，，事件与互斥，A正确； 对于B，，即事件与互斥，而事件与可以同时不发生， 如事件发生，因此事件与不对立，B错误； 对于C，事件包含的基本事件有：，共2个基本事件， ，，事件与相互独立，C正确； 对于D，事件包含的基本事件有，共1个基本事件，， ，事件与相互独立，D正确. 故选：ACD 11. 在棱长为2的正方体中，点满足，点满足，则（ ） A. 当时， B. 当时，线段的最小值为 C. 当且≠时，与的夹角为定值 D. 的最小值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间向量求解计算即可判定各选项的正误. 【详解】考虑棱长为 2 的正方体 ，建立空间直角坐标系，以点  为坐标原点： ，，，，，，，. 由 ，其中 ，，， 得：, 所以点  的坐标为 . 由 ，其中 ，， 得：. 设 ，则：, 解得：, 所以点  的坐标为 . 选项 A：  代入 ，得  距离 . 故选项 A 正确. 选项 B：  由 ，得 ，点 ， 距离：. 函数  在  上的最小值为 . 最小值，不相等. 故选项 B 错误. 选项 C： 由 ，得 ，,. 夹角  的余弦： . 当  且  时， 为常数，夹角为定值. 故选项 C 正确. 选项 D：  , 所以：. 表达式为 ，其中  是点  与点  的距离： . 对固定 ，取 ，（均在  内），则： , 此时： 当 ， 时，等号成立（例如  时 ，，，，，和为 ;  时 ，，，，，和为 ), 故最小值为 2. 选项 D 正确. 选项 A、C、D 正确，选项 B 错误. 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 与圆关于直线对称的圆的方程为______． 【答案】（ 或） 【解析】 【分析】先求得圆的圆心和半径，根据点关于直线对称点的求法，可求得圆心关于直线的对称点，分析即可得答案. 【详解】圆的圆心为，半径为2， 设关于直线的对称点为， 则，解得，即对称点坐标为， 所以对称圆的方程为. 故答案为：（ 或） 13. 在鳖臑（四个面均为直角三角形的三棱锥）中，底面，，，，分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】把三棱锥放置在一个棱长为的正方体中，以为原点，求得的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】把三棱锥放置在一个棱长为的正方体中，以为原点，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得， 则， 设异面直线与所成角为，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 14. 给正方体的8个顶点涂色，规则：从顶点开始涂色，之后每选取一个未涂色顶点且与上次所涂顶点不在同一条棱上的顶点进行涂色．若涂色3次，则第3次恰好涂在点的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】按照分步乘法计数原理即可得到结果 【详解】 正方体中，从顶点开始涂色，第一次涂色后，与不在同一条棱上的顶点有,共种选择； 第二次涂色时，需选择一个与第一次所涂顶点不在同一条棱上的顶点。 假设第二次涂,则第三次可选,共种； 假设第二次涂,则第三次可选,共种； 假设第二次涂,则第三次可选,共种； 假设第二次涂,则第三次可选,共种； 所以总的路径为种，其中第3次恰好涂在点的有种，所以概率为. 故答案为： 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在四棱锥中，平面，底面是边长为的正方形，，点，分别为，的中点． （1）求； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，再根据向量数量积的坐标运算公式求解； （2）方法一：先求出平面的法向量，再利用点到平面距离的向量公式计算点到平面的距离； 方法二：先求出三棱锥体积，再求出面积，利用等体积法求出到平面的距离. 【小问1详解】 如图以为原点分别为轴、轴、轴建立直角坐标系， 则，，，，，， ，， ∴． 【小问2详解】 方法一：由（1）知 ， 设平面的法向量为，则 令则， ，． 点到平面的距离为． 方法二：三棱锥体积为． 平面，平面且，，, 根据线面垂直定理可得，根据勾股定理可得， ∴面积为． 设到平面的距离为，则，∴． 因为点是的中点，所以点到平面的距离为． 16. 在平面直角坐标系中，已知的两个顶点，． （1）求边所在的直线方程； （2）若边上中线的方程为，且面积为33，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据两点式方程，化简整理，即可得答案. （2）先求得BC长，根据面积，可求得点A到直线BC的距离，结合点到直线距离公式，化简计算，即可得答案. 【小问1详解】 由两点式方程得边所在的直线方程，整理得． 【小问2详解】 ∵， 设到直线BC距离为d，则，∴． ∴，联立， 解得，或，， ∴A的坐标为或． 17. 小明参加投篮比赛，每次投中的概率为，且每次是否投中相互独立． （1）若规定连续两次未投中就停止投篮，求小明恰好投篮4次停止投篮的概率； （2）求小明投篮5次投中3次，且3次中有且仅有2次是连续投中的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由相互独立事件同时发生的概率公式和互斥事件的加法公式即可求解； （2）由相互独立性事件同时发生的概率公式和互斥事件的加法公式即可求解. 【小问1详解】 依题意有第3，4次没投中，第2次必中，则所求概率为 ． 【小问2详解】 记投中为√，不中为×，投篮5次投中3次，且3次中有且仅有2次是连续投中情形有： ×√√×√，×√×√√，√×√√×，√××√√，√√×√×，√√××√，共6种． 其概率为． 18. 已知斜三棱柱的底面是正三角形，侧面是边长为2的菱形，且与底面的夹角为，，点为中点． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证. （2）结合（1）中信息，以O为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 在斜三棱柱中，由点为等边边的中点，得， 在菱形中，由，得为正三角形，， 而平面，则平面，又平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）知为侧面与底面所成的角，则， 由，得，则为正三角形， 在平面内过点作于D，由平面平面， 平面平面，则平面，过作， 则直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 设直线：，：，过点斜率为的直线与，分别交于点，（，纵坐标均为正数），为坐标原点． （1）求面积的最小值； （2）设点且满足． ①求点的轨迹方程； ②若为定值，求实数的取值范围． 【答案】（1）12 （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）设l：，再得到点A，B，表示出面积，再通过换元法求最值即可； （2）①依据题意，再化简即可得到点的轨迹方程；②设直线m：，n：，则为定值，即该圆在两平行直线m，n之间，结合直线与圆的位置关系求解即可． 【小问1详解】 设l的直线方程为，则l与的交点为， l与的交点为， 又A，B纵坐标均为正数，∴∴． ∴． 令，则，， ∴．当且仅当，即时等号成立． 故面积的最小值为12． 【小问2详解】 （i）依题意有．化简得． 点M的轨迹方程为． （ii）设直线m：，n：， 点M到平行直线m，n的距离之和为 若为定值，则T为定值． 而点M轨迹是圆心为，半径为的圆，则该圆在两平行直线m，n之间． 又圆心到直线n的距离为． 圆心到直线m的距离为． ∴∴或． 直线m的纵截距为，直线m在圆的下方，结合图象有．． 则a的取值范围为． 或解：依题意，点M轨迹是圆心为，半径为的圆， 令，则有， ∴， 若为定值，即为定值， ∴恒成立， ∴，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季黄冈市部分高中高二年级期中考试数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，三点不共线，是平面外一点，且，若，，，四点共面，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆：与圆：恰有3条公切线，则实数的值为（） A. 10 B. C. 14或 D. 10或 5. 甲乙两人同时射击同一目标，若每人独立击中目标的概率为0.6，则这个目标能够被击中的概率为（ ） A. 0.84 B. 0.72 C. 0.36 D. 0.16 6. 已知，，若点在直线上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则函数有零点的概率为（） A. B. C. D. 8. 已知直线与直线相交于点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为圆：的直径，直线：与轴交于点，则（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆恒有公共点 C. 面积的最大值为4 D. 直线被圆截得弦长的最小值为 10. 抛掷一红一白的两枚骰子，用表示红色骰子朝上的点数，用表示白色骰子朝上的点数，用表示一次实验结果．记事件：“”，：“”，：“”，：“”，则（ ） A. 事件与互斥 B. 事件与对立 C. 事件与相互独立 D. 事件与相互独立 11. 在棱长为2的正方体中，点满足，点满足，则（ ） A. 当时， B. 当时，线段的最小值为 C. 当且≠时，与的夹角为定值 D. 的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 与圆关于直线对称的圆的方程为______． 13. 在鳖臑（四个面均为直角三角形的三棱锥）中，底面，，，，分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______． 14. 给正方体的8个顶点涂色，规则：从顶点开始涂色，之后每选取一个未涂色顶点且与上次所涂顶点不在同一条棱上的顶点进行涂色．若涂色3次，则第3次恰好涂在点的概率为______． 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在四棱锥中，平面，底面是边长为的正方形，，点，分别为，的中点． （1）求； （2）求点到平面的距离． 16. 在平面直角坐标系中，已知的两个顶点，． （1）求边所在的直线方程； （2）若边上中线的方程为，且面积为33，求点的坐标． 17. 小明参加投篮比赛，每次投中的概率为，且每次是否投中相互独立． （1）若规定连续两次未投中就停止投篮，求小明恰好投篮4次停止投篮的概率； （2）求小明投篮5次投中3次，且3次中有且仅有2次是连续投中的概率． 18. 已知斜三棱柱的底面是正三角形，侧面是边长为2的菱形，且与底面的夹角为，，点为中点． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 设直线：，：，过点斜率为的直线与，分别交于点，（，纵坐标均为正数），为坐标原点． （1）求面积的最小值； （2）设点且满足． ①求点的轨迹方程； ②若为定值，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $