13.1.2 直角三角形的判定 教学设计 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“直角三角形的判定”，以古埃及人画直角情境导入，衔接勾股定理“由形定数”的性质，引导学生探究“由数定形”的逆定理，构建知识脉络支架。 突出“情境—探究—证明—应用”流程，通过动手画三角形验证三边关系培养几何直观，用构造全等直角三角形法强化推理能力，分层作业结合毕达哥拉斯图案等情境提升应用意识，助力教师突破难点，发展学生抽象能力与逻辑推理素养。

13.1.2 直角三角形的判定 教学设计 学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 第十三章 课题 13.1.2 直角三角形的判定 课时 1课时 课标要求 通过本节课的学习，理解勾股定理的逆定理的证明思路，掌握勾股定理的逆定理的内容。能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形，并解决相关的简单问题。了解勾股数的概念，能识别常见的勾股数，探索勾股数的简单规律。经历“提出猜想—验证猜想—证明定理—应用定理”的探究过程，体会“数形结合”“构造法”等数学思想，培养逻辑推理能力和探究能力。 教材分析 《直角三角形的判定》是华师大版八年级上册第13章“勾股定理”第1节的第2课时内容，是在学生已经学习了勾股定理、全等三角形的判定与性质、平方根等知识的基础上进行的。从知识逻辑来看，勾股定理是直角三角形的性质定理，揭示了直角三角形三边之间的数量关系（由“形”定“数”）；而勾股定理的逆定理则是直角三角形的判定定理，揭示了由三边数量关系判断三角形形状的方法（由“数”定“形”）。两者互为逆定理，共同构成了直角三角形的核心知识体系，为后续学习解直角三角形、圆的相关性质以及立体几何中空间直角三角形的判断等内容奠定了重要基础。 学情 分析 八年级学生已初步具备观察、猜想、动手操作和简单逻辑推理的能力，对“实验—探究—验证”类教学活动兴趣浓厚，尤其是通过实际情境或动手操作引入的课题，能快速激发其学习积极性。同时，学生已接触“逆命题”的概念，为理解“勾股定理与逆定理的关系”奠定了基础。学生对“逆定理”的证明思路构建存在困难，尤其是“构造全等直角三角形”的辅助线添加方法，缺乏主动构造图形的意识；在运用逆定理判断三角形形状时，容易忽略“先确定最长边”这一关键步骤；对勾股数的概念理解不透彻，难以准确识别勾股数并探索其规律；逻辑推理的严谨性不足，证明过程中容易出现论据不充分或表述不规范的问题。 核心素养目标 1.通过对“古埃及人画直角”和“三角形边长与形状关系”的探究，抽象出勾股定理的逆定理的本质内涵，能用符号语言准确表示逆定理。 2.经历“提出猜想—实验验证—严谨证明”的完整过程，掌握“构造法”证明逆定理的思路，能模仿证明过程进行简单推理，培养演绎推理和归纳推理能力。 3.能将“判断三角形是否为直角三角形”的问题转化为“验证三边平方关系”的数学问题，能运用逆定理解决与三角形形状相关的实际问题。 教学重点 1.勾股定理的逆定理的探究与证明过程。 2.运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形。 教学难点 1.勾股定理的逆定理的证明思路构建，尤其是“构造全等直角三角形”的辅助线添加方法。 2.运用逆定理时，“先确定最长边并验证其平方是否等于另外两边平方和”的关键步骤的把握。 教学 准备 多媒体课件、学习资料 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 二次备课 一、引新 想一想：如何判定一个三角形是直角三角形？ 如果∠A +∠B =90°，那么△ABC就是一个直角三角形，∠C为直角. 即有如下的直角三角形的判定方法： 有两个角互余的三角形是直角三角形. 由勾股定理，你能猜想是什么特殊关系吗？ 古埃及人曾经用下面的方法画直角： 将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图所示钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角. 你知道这是什么道理吗？ 认真观看图片，感受古埃及人的智慧，激发探究兴趣。 计算3、4、5的平方关系，思考教师提出的问题，结合逆命题概念，尝试提出猜想。 二、探究 探究勾股定理的逆定理 【试一试】试作出三边长分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形： (1)a=3，b=4，c=5； (2)a=4，b=6，c=8； (3)a=6，b=8，c=10. 可以发现，按(1)(3)所作的三角形都是直角三角形，最长边所对的角是直角；按(2)所作的三角形不是直角三角形. 观察上面三组数据，结合上节课学习的勾股定理，算一算，你能发现什么？ （1）32+42=52 （3）62+82=102 在这三组数据中，（1）（3）两组数据恰好都满足 a2+b2=c2. 总结归纳 对于直角三角形的判定，有一般的结论： 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角. 已知：如图①，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b， a2+b2=c2. 求证：∠C =90°. 证明：如图②，作△A'B'C'，使 ∠C'=90°， A'C'=b， B'C'=a， 则A'B'=a2+b2=c2，即A'B'=c. 在△ABC和△A'B'C'中， ∵BC=a=B'C'，AC =b=A'C'，AB =c=A'B'， ∴△ABC≌△A'B'C'. ∴∠C= ∠C'= 90°. 【例4】在△ABC中，AB=n2-1，BC= 2n，AC= n2+1( n为大于1的整数 ). 问：△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由. 解：∵ AB2+BC2=(n2- 1)2 +( 2n )2 =n4 - 2n2+1+ 4n2 =n4+ 2n2+1 =(n2 +1)2=AC2, ∴△ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角. 想一想，为什么选择AB2+BC2？ AB、BC、CA的大小关系是怎样的？ 拓展提高 利用边的关系判定直角三角形的步骤： (1)比较三边长a，b，c的大小，找出最长边． (2)计算两短边的平方和，看它是否与最长边的平方相等；若相等，则是直角三角形，且最长边所对的角是直角；若不相等，则此三角形不是直角三角形． 勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 例如：3、4、5，6、8、10，n2 - 1、2n、n2+1(n为大于1的整数)，等等，都是勾股数. 你能再举几个例子吗？ 5，12，13 8，15，17 7，24，25 判断勾股数的方法： (1)确定是不是三个正整数； (2)确定最大数； (3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方． 易错警示：勾股数必须同时满足两个条件： (1)三个数都是正整数； (2)两个较小数的平方和等于最大数的平方． 按照要求用尺规画三角形，规范操作，确保边长准确。 测量每个三角形的最大角，记录测量结果。 跟随教师引导，明确已知、求证，思考证明直角的方法。 理解“构造全等直角三角形”的思路，尝试分析△ABC与Rt△A'B'C'的全等条件。 理解勾股数的定义，验证常见勾股数的正确性。 三、尝试 【知识技能类作业】必做题： 1.下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（ C ）. A. 1.5，2，2.5 B. 7，24，25 C. 8，12，15 D. 6，8，10 2.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（D）. A.三内角之比1：2：3 B.三边长的平方之比为1：2：3 C.三边长之比为3：4：5 D.三内角之比为3：4：5 3.如图，在△ABC中，CD是高，AD=4，CD =2，BD=1， 求证：∠ACB=90°. 证明：∵ CD是△ABC的高，∴∠ADC=∠BDC=90°, ∴AC2=AD2 +CD2 =42+22=20， BC2=BD2 +CD2 =12+22=5， AB2=(AD + BD)2 =(4 +1)2 = 25， ∴ AC2 +BC2=AB2， ∴ △ABC是直角三角形，且∠ACB=90°. 4.如图是用三张正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片，面积分别是1，3，4，5，8，选取其中三种（可重复选取）按如图的方式组成图案，要使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则所选取的三种纸片的面积分别是( D ) A.1，4，5 B.3，4，8 C.3，4，5 D.4，4，8 【知识技能类作业】选做题： 5.已知△ABC的三边长分别为5，13，12，则△ABC的面积为（　A） A．30 B．60 C．78 D．不能确定 6.如图所示的网格是正方形网格，P，A，B均在格点上，则∠PAB + ∠PBA = ___45°____. 【综合拓展类作业】 7. 如图，在△ABC中，AB=AC，E是AC上的一点，CE=5m，BC=13m，BE=12m. (1)判断△ABE的形状，并说明理由； 解：△ABE是直角三角形. 理由：BC =13m，BE =12 m，CE =5 m，132=169，122=144，52=25，∴BE2 + CE2= BC2, ∴∠BEC=90°，∴∠AEB=90°，∴△ABE是直角三角形. (2)求线段AB的长. 解：设AB =AC=xm，则AE =( x-5 )m， 由(1) 可知∠AEB=90°，∴BE2 + AE2 = AB2 , ∴122 +(x- 5)2= x2，解得x=16.9， ∴线段AB的长为16.9 m. 独立完成基础练习，在练习本上写出详细的解题过程。 四、提升 适时小结，兴趣延伸 1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角. 2.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。 板书 设计 13.1.2 直角三角形三边的判定 1.勾股定理的逆定理 2.勾股定理逆定理的证明 3.例题讲解 作业 设计 【知识技能类作业】必做题： 1.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且a2- b2=c2，则下列说法正确的是( C ). A.∠C是直角 B.∠B是直角 C.∠A是直角 D.∠A是锐角 2.已知△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是( A ). A. ∠A：∠B：∠C = 3：4：5 B. ∠C=∠A-∠B C. a2 + b2 = c2 D. a： b： c = 8： 15： 17 【知识技能类作业】选做题： 3.判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形， (1)a = 5，b=7，c=8； (2)a = 20，b=21，c=29. 解：（1）52 +72 ≠82，不是直角三角形. （2）202+212=292，是直角三角形. 4.若△ABC的三边长a、b、c满足(a - b)2 +|a2 + b2 - c2| = 0， 则△ABC是( C ). A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 【综合拓展类作业】 5.如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA = 3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果同时出发，则经过3s时，△BPQ的面积为多少？ 解：设AB的长为3xcm(x>0)，则BC的长为4xcm，AC的长为5xcm ∵△ABC的周长为36cm，即AB+BC +AC=36 cm， ∴3x + 4x + 5x = 36，解得x=3， ∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm. ∴AB2 +BC2 = AC2， ∴△ABC是直角三角形，∠B= 90°. 当经过3s时， BP=9 - 3×1= 6( cm ), BQ = 2×3 = 6( cm )， ∴S△PBQ = BP ·BQ = ×6×6 =18(cm2). 教学反思 本节课以“勾股定理的逆定理”为核心，遵循“情境导入—实验验证—严谨证明—应用巩固—小结作业”的教学流程，注重知识的形成过程和学生能力的培养，基本达成预设的核心素养目标。本节课基本达成教学目标，但在难点突破和个体差异关注方面仍需改进。后续教学中，将更加注重以学生为中心，根据学生的实际反馈调整教学策略，提升教学效果。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $