12.2.5 斜边直角边 教学设计 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦“斜边直角边（HL）”定理，通过舞台背景直角三角形的实际问题导入，衔接已学的四种全等三角形判定方法，引导学生思考直角三角形“边边角”的特殊性，构建全等判定体系，为后续学习奠定基础。 特色在于以动手操作为核心，让学生按步骤作图并叠合验证定理，培养几何直观与创新意识（数学眼光），通过规范符号语言证明和分层练习（必做、选做、综合拓展），强化推理能力与模型应用（数学思维与语言），实例丰富（风筝制作、滑梯计算），助力学生掌握定理应用，为教师提供清晰教学流程与实用资源。

12.2.5 斜边直角边 教学设计 学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 第十二章 课题 12.2.5 斜边直角边 课时 1课时 课标要求 通过本节课的学习掌握判定两个直角三角形全等的 “斜边、直角边” 定理，能运用该定理解决简单的几何证明和计算问题。同时经历 “观察 — 猜想 — 验证 — 推理” 的探究过程，体会数形结合思想和转化思想在几何中的应用。最后培养学生的逻辑推理能力、动手实践能力和合作交流意识，感受几何图形的严谨性和实用性。 教材分析 本节课是华师大版八年级上册数学第 12 章 “全等三角形” 第 2 节 “全等三角形的判定” 的第 5 课时，属于几何推理的核心内容。此前学生已学习了四种全等三角形的判定方法，且对直角三角形的性质有了初步认识。本节课的 “斜边、直角边”（HL）定理是直角三角形特有的全等判定方法，既是对全等三角形判定体系的补充，也是后续学习直角三角形性质、勾股定理、相似三角形等内容的重要基础。教材通过 “操作探究 — 归纳定理 — 例题应用 — 练习巩固” 的结构编排，注重让学生在动手实践中发现规律，符合八年级学生从具体到抽象的认知特点。 学情 分析 八年级学生已具备一定的几何直观和简单的逻辑推理能力，能够通过动手操作（如剪纸、拼图）探究几何图形的性质。但由于直角三角形的特殊性，学生可能会混淆 “HL” 定理与其他判定方法，容易忽略 “直角三角形” 这一前提条件。此外，学生在运用定理进行几何证明时，可能存在步骤不规范、逻辑不清晰的问题。同时，八年级学生好奇心强，喜欢动手实践，适合通过小组合作、探究实验等方式激发学习兴趣，突破思维难点。 核心素养目标 1.通过操作实验，抽象出直角三角形全等的 “斜边、直角边” 判定定理，理解定理的本质属性。​ 2.能运用 “HL” 定理证明两个直角三角形全等，培养严谨的推理能力和规范的表达能力。​ 3.将实际问题转化为直角三角形全等的几何模型，运用定理解决实际问题，体会数学与生活的联系。 教学重点 1.掌握 “斜边、直角边” 定理的内容及适用条件。​ 2.能运用 “HL” 定理判定两个直角三角形全等，并解决相关的证明和计算问题。 教学难点 1. 理解 “斜边、直角边” 定理的推导过程（如何通过 “SSS” 或其他判定方法验证 HL 定理）。 2.区分 “HL” 定理与其他全等判定方法，准确把握定理的适用范围（仅适用于直角三角形）。 教学 准备 多媒体课件、学习资料 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 二次备课 一、引新 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量. 若不移动花盆，你能帮他想个办法吗？ 我们已经知道，对于两个三角形，如果有“边边角”分别相等，那么不能保证这两个三角形全等. 在两个直角三角形中，当斜边和一条直角边分别相等时，也属于“边边角”相等的情况，这时这两个直角三角形是否全等呢？ 学生思考教师提出的问题，积极举手回答。 二、探究 探究斜边直角边判定三角形全等 为此我们以已知两条线段为直角三角形的直角边和斜边，作直角三角形，看看你和同伴所作的直角三角形是否全等. 如图 ，已知线段a、b(b >a)，试作 Rt△ABC，使∠B=90°，BC=a，AC=b. 作法： (1)作线段BC，使BC=a； (2)作∠CBM=90°； (3)以点C为圆心、线段b的长为半径作圆弧， 交射线BM 于点A； (4)连结AC. 如图，△ABC即为所要求作的三角形. 把你作的直角三角形与其他同学作的直角三角形进行比较，或剪下你作的直角三角形，放到其他同学作的直角三角形上，看看是否完全重合，所作的直角三角形都全等吗？ 换两条线段，试试看，是否有同样的结论？ 由以上操作，可以发现它们完全重合，所作的直角三角形都全等. 于是可得：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 简写成“斜边直角边”或“HL”. 用符号语言表达为： 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中， ∵AC=A'C'， ∴BC=B'C'， ∴ Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C'（HL）. 【拓展提高】 1.适用范围：HL（斜边、直角边）判定方法仅适用于直角三角形。使用前必须明确所涉及的三角形为直角三角形，可通过标注直角符号或证明直角存在来确认。 2.对应关系：必须确保两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，书写时需先写斜边相等，再写直角边相等。 3.使用HL判定时，需在三角形符号前加上“Rt△”以表明是直角三角形。 【例8】如图，AC=BD，∠C= ∠D= 90°. 求证：BC=AD. 分析：由于AD 和 BC分别属于△BAD 和△ABC，所以只需证明这两个三角形全等即可. 证明 ∵∠C=∠D=90°(已知)， ∴△ABC和△BAD都是直角三角形(直角三角形的定义). 在Rt△ABC和Rt△BAD中， ∵AB=BA(公共边)，AC=BD(已知)， ∴Rt△ABC ≌Rt△BAD(HL). ∴BC=AD(全等三角形的对应边相等). 学生按照教师的要求进行动手操作，认真画三角形、剪三角形，并尝试将两个三角形叠放，观察是否完全重合。 学生根据自己的操作结果，积极回答教师的问题。 学生认真倾听教师对例题的分析和讲解，思考教师提出的问题，理解证明思路和方法。对照教师书写的证明过程，学习规范的推理书写格式，明确每一步推理的依据。 三、尝试 【知识技能类作业】必做题： 1.如图，能用“HL”判断Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是( C ). A. AC=DF，BC=EF B. ∠A= ∠D，AB=DE C. AC=DF，AB=DE D. ∠B = ∠E，BC=EF 2. 如果两个直角三角形具备下述的条件，它们一定全等吗？若全等，其依据是什么？ (1)一条直角边及一锐角对应相等. (全等，ASA或AAS) (2)斜边和一锐角对应相等. (全等，AAS) (3)两条直角边对应相等. (全等，SAS) 3.如图，Rt△ABE≌Rt△ECD，其中AB的对应边为 EC，点B、E、C在一条直线上，则以下结论：①AE=ED；② AE⊥DE；③BC=AB+CD；④AB∥CD，其中一定成立的是（D). A.① B.①② C.①②③ D.①②③④ 4. 如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E， BE与CD交于点O，OB= OC，连结OA，则图中全等的直角三角形共有( B ). A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 【知识技能类作业】选做题： 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E， BE =BC，连结BD，若AC=8，则AD +DE等于( C ). A.6 B.7 C.8 D.10 6.南阳光武大桥，建于2012年，被称为“南阳之门”. 其侧面示意图如图所示，其中AB⊥CD，现添加以下条件，不能判定△ABC≌△ABD的是( A ）. A. ∠ACB = ∠BAC B. ∠ACB = ∠ADB C. AC=AD D. BC=BD 【综合拓展类作业】 7. 如图，AB=CD，DE ⊥AC，BF ⊥AC，垂足分别为E，F，DE =BF. 求证：AE=CF. 证明：∵DE ⊥AC，BF⊥AC， ∴∠DEC=∠BFA =90°. 在Rt△ABF和Rt△CDE中， ∵AB =CD， BF =DE， ∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL). ∴AF =CE，∴AF-FE =CE-FE，即AE=CF. 独立完成基础练习，在练习本上写出详细的解题过程。 四、提升 适时小结，兴趣延伸 1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 简写成“斜边直角边”或“HL”. 2.HL（斜边、直角边）判定方法仅适用于直角三角形。 3.使用HL判定时，需在三角形符号前加上“Rt△”以表明是直角三角形。 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。 板书 设计 12.2.5 斜边直角边 1.“HL”判定三角形全等 2.“HL”的应用 3.例题讲解 作业 设计 【知识技能类作业】必做题： 1.如图，BD⊥AB，BD⊥CD，添加下列条件后能用“HL”判定△ABD≌△CDB的是( A ). A.AD=CB B.AB =CD C.∠A=∠C D.AD//BC 2. 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直的墙上，其中左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等. 若DF=6m，DE=8m，AD=0.5m，则BF=__14.5___m. 3.下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是( A ). A. 两个锐角对应相等 B. 一个锐角和斜边对应相等 C. 两条直角边对应相等 D. 一条直角边和斜边对应相等 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点D，BC=BD. 如果AC=3cm，那么AE + DE =( C ) A.2 cm B.4 cm C.3 cm D.5 cm 【综合拓展类作业】 5.我国传统工艺中，风筝制作非常巧妙，其中蕴含着许多的数学知识.如图，这是某种风筝撑开时的示意图，已知CD⊥AB， BE⊥AC， 垂足分别为D，E，BE， CD相交于点F，BF=CF. 求证：∠BAF = ∠CAF. 证明：∵CD⊥AB， BE⊥AC，∴∠BDF=∠CEF =90°. 在△BDF和△CEF中， ∠BDF =∠CEF，∠BFD =∠CFE，BF=CF， ∴△BDF≌△CEF(AAS). ∴DF =EF. 在Rt△ADF和Rt△AEF中，AF =AF，DF = EF， ∴ Rt△ADF≌Rt△AEF(HL). ∴∠BAF = ∠CAF. 教学反思 本节课以 “复习导入 — 探究新知 — 例题讲解 — 巩固练习 — 课堂小结” 为主线，围绕 HL 定理的 “探究 — 理解 — 应用” 展开教学，基本达成了预设的核心素养目标。在教学过程中，通过折叠实验让学生直观感受定理的生成过程，有效突破了 “定理推导” 这一难点；通过例题和分层练习，强化了学生对定理的应用能力，规范了几何证明步骤。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $