精品解析：河南省鹤壁市2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

九年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各组图中，不是相似图形的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的图形是相似图形． 根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】解：选项A、B、D的形状相同，但大小不同，符合相似形的定义； 选项C形状不相同，不符合相似形的定义； 故选：C． 2. 一元二次方程的二次项系数是1，则下列说法错误的是（ ） A. 一次项系数是 B. 常数项是6 C. 是它的一个根 D. 是它的一个根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的根，解一元二次方程，将方程化为一般形式后，确定各项系数，即可判断选项A、B；利用因式分解法解方程即可判断选项C；再将代入方程，即可判断选项D． 【详解】解：∵方程化为一般形式为， ∴一次项系数为，常数项为，故A、B正确； 解方程， ， 解得 或 ， ∴是根，C正确； 当时，，故不是根，D错误． 故选：D． 3. 如图，小义同学想测量池塘A，B两处之间的距离．他先在A，B外选一点C，取的中点D，E，测得，则A，B之间的距离为（ ） A. 40m B. 60m C. 70m D. 80m 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线，根据三角形中位线的性质解答即可求解，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选C． 4. 当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查“二次根式有意义的条件”和“分式有意义的条件”​的综合应用，二次根式有意义，则被开方数；分式有意义的条件是分母；解答本题的关键在于是否考虑到两个条件都要同时满足，遗漏一个条件便不成立，这也是本题的易错点．本题可以直接将代入每一个选项，若得出分母为或者被开方数小于0，都是无意义的，即可排除选项． 【详解】A、，分母，代数式无意义，选项A不符合题意； B、，被开方数，且分母，代数式有意义；选项B符合题意； C、， 被开方数，代数式无意义，选项C不符合题意； D、，被开方数，代数式无意义，选项D不符合题意. 故选B． 5. 9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行．分列式阅兵过程中，预警探测方队受阅的4型装备都是国产新一代高机动雷达，是守望国家空天安全的“千里眼”．如图，在一个平面区域内，O处的雷达探测器测得在A，B，C，D，E处均有目标出现．屏幕显示可知A在探测器的北偏东，2海里处，则下列说法正确的是（ ） A. B在探测器的南偏东，2海里处 B. C在探测器的北偏西，3海里处 C. D在探测器的南偏西，3海里处 D. E在探测器的正东方向，1海里处 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是用坐标系确定位置，理解方位角的意义是解题的关键．根据A在探测器的北偏东，2海里处，结合方位角即可判断点B、C、D、E的位置． 【详解】解：A、B在探测器的南偏东，2海里处，故错误； B、C在探测器的北偏西，3海里处，正确； C、D在探测器的南偏西，2海里处，故错误； D、E在探测器的正西方向，1海里处，故错误； 故选：B． 6. 汉语拼音是一种辅助汉字读音的工具．如图，书写拼音用的“四线三格”是由等距离、等长度的四条平行横线组成的，同一条直线上的三点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，掌握平行线的性质，构造三角形相似是解题的关键． 如图所示，过点作平行线的垂线，分别交于点，可得，则有，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作平行线的垂线，分别交于点， ∵“四线三格”是由等距离、等长度的四条平行横线组成， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 7. 用四张同样大小的长方形纸片拼成一个正方形，如图所示，它的面积是50，，图中空白处是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（ ） A. B. C. 2 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查正方形的性质，二次根式的运用，看清图意，搞清小长方形的长和宽之间的关系是解决问题的关键． 首先由正方形的面积是50，开方求得边长，也就是小长方形的长与宽的和，减去，得出长，进一步利用长减去宽再乘4得出答案即可． 【详解】解：小正方形边长为： ． 所以这个小正方形的周长为：． 故选：A． 8. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 4050 B. 4054 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ， ， 故选：B． 9. 若m为实数，在的“□”中添上一种运算符号（在“+”“”“×”或“÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则m的值不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，无理数的定义，根据二次根式的运算法则并结合无理数的定义逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，为有理数，故A可能为有理数，不符合题意； B、，，，，其结果均为无理数，故B不可能，符合题意； C、，为有理数，故C可能为有理数，不符合题意； D、，为有理数，故D可能为有理数，不符合题意； 故选：B． 10. 如图，已知平面直角坐标系中四点，，，．若点P在y轴上，且，，所围成的三角形与，，所围成的三角形相似，则所有符合条件的点P的个数是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】画出平面直角坐标系，把点标出来，找到符合条件的点P，通过相似三角形的判定去证明是否成立．本题考查相似三角形的存在性问题，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，注意分类讨论的时候把情况考虑全面． 【详解】解：设, ∵，，，， ∴，，，． ①如图，P点在B、D之间，此时， ∴， ∴， 解得， ∴； ②如图，P点在B点上方时，此时， ∴， ∴， 解得，或（舍去）， ∴； ③P点在B点下方时，有两种情况； （ⅰ）时， 则， ∴， 解得（舍去），或， ∴； （ⅱ）时， 则， ∴， 解得， ∴． 综上，所有符合条件的点P点有4个 ． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了比例的性质，由已知比例式，通过设参数表示变量，再求比值． 【详解】解：设（）， 则，， 因此． 故答案为：． 12. 若是整数，则正整数m的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，把分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴m最小值为， 故答案为：． 13. 如图，已知梯形，，对角线相交于点O，与的面积之比为4：25，若，则的长是______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据题意证得，得，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：15． 14. 在平面直角坐标系中，已知点，点，且轴，则点M的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查坐标系中与y轴平行的直线上点的坐标特点：根据轴，可知点M与点N的横坐标相等，从而建立方程求解． 【详解】解：因为轴，点N的横坐标为， 所以点M的横坐标， 解得， 代入点M的纵坐标， 故点M的坐标为， 故答案为：． 15. 已知是方程的一个根，则______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，则把代入，得，整理得，再把整理得，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程的一个根， ， 即， ， 则 ， 故答案为：2025． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，二次根式的混合运算． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用完全平方公式结合二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：（1）， ，，， ，则方程有两个不相等实数根， 所以， 即，； （2）原式 ． 17. 如图，在正方形中，P为的中点，Q为上一点，已知，．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是正方形，， ∴，． ∵P为CD的中点， ∴． ∵，， ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、正方形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 由正方形的性质得出，，易得，进而得，最后根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明结论． 【详解】略 18. 已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式加法，二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，运用整体的思想解题是关键． 根据分式的性质将原式化简，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，． ∴ ． 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长是1． （1）画出向右平移5个单位长度后得到的，则点的坐标是______； （2）以点C为位似中心，在网格内画出，使与位似，且相似比为2，则点的坐标是_____； （3）的面积是______． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2）如图，即为所求． （3）10 【解析】 【分析】此题考查了平移的作图、位似图形的作图等知识，准确作图是关键． （1）根据平移方式作图，再写出点的坐标即可； （2）根据位似图形的作图方法作图，再写出点的坐标即可； （3）利用矩形的面积减去三角形周围直角三角形的面积即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 点的坐标是； 故答案为：； 【小问3详解】 的面积是． 故答案为：10． 20. 国庆前夕，某校举行了升旗仪式．小明为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计了如下的测量方案：如图所示，竖直标杆的高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，E，C，A三点共线，于点M，交于点N．求旗杆的高度． 【答案】旗杆AB的高度为 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的应用，证明．得到，求出．即可求出答案． 【详解】解：由题可得，四边形都是矩形，， ∴，，，，． ∴ ∵，，，， ∴，，． ∴． ∴． ∴． 答：旗杆的高度为． 21. 某展览中心新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示、已知每层长米，宽米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层的喷漆面积为平方米． （1）求通道的宽是多少米； （2）据调查分析，停车楼剩余个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为元？ 【答案】（1）通道的宽是米 （2）当每个车位的月租金上涨元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设通道的宽是米，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设每个车位的月租金上涨元，根据题意列出方程，解出的值，结合优惠大众选择较小的的值即可解答． 【小问1详解】 解：设通道的宽是x米， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：通道的宽是米； 【小问2详解】 设每个车位月租金上涨元， 根据题意，得：， 解得，， ∵租金需要优惠大众， ∴， 答：当每个车位的月租金上涨元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为元． 22. 【阅读感知】 我们知道，解形如的方程可以通过因式分解，将其转化为，这样就可以得到：或，从而求出方程的解．类似地，我们也可以利用因式分解来解一些新的方程，例如一元三次方程，可以通过提公因式法把它转化为，从而得到或，再解方程，就可以得到原一元三次方程的解为，，． 【理解应用】 （1）将因式分解得________________； （2）解方程：； 【知识拓展】 （3）运用“转化”的思想解方程：． 【答案】（1）；（2），，；（3） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解方程是解题的关键： （1）提公因式法进行因式分解即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）方程两边平方，将无理方程转化为一元二次方程求解，注意检验增根． 【详解】解：（1）∵， ∴； 故答案为：． （2）∵， ∴． ∴或． 解，得，． ∴原方程的解为，，． （3）方程的两边平方，得． 整理，得． 解得，． ∵，， ∴． ∴原方程的解为． 23. 我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题． 例：求的算术平方根． 解：∵， ∴的算术平方根是． 根据以上材料，回答下列问题： （1）_____________； （2）化简：； （3）在中，，，，那么BC边的长为多少？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，勾股定理，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）将变形为完全平方式的形式，然后开平方即可； （2）先利用（1）中得到的结论，把换成，然后将变形为完全平方式，最后开平方即可； （3）先利用勾股定理表示出，最后开平方即可． 【小问1详解】 解： 故答案为： 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 在中，由勾股定理，得 ， 即边的长度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各组图中，不是相似图形的一组是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数是1，则下列说法错误的是（ ） A. 一次项系数是 B. 常数项是6 C. 是它的一个根 D. 是它的一个根 3. 如图，小义同学想测量池塘A，B两处之间的距离．他先在A，B外选一点C，取的中点D，E，测得，则A，B之间的距离为（ ） A. 40m B. 60m C. 70m D. 80m 4. 当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（ ） A. B. C. D. 5. 9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行．分列式阅兵过程中，预警探测方队受阅的4型装备都是国产新一代高机动雷达，是守望国家空天安全的“千里眼”．如图，在一个平面区域内，O处的雷达探测器测得在A，B，C，D，E处均有目标出现．屏幕显示可知A在探测器的北偏东，2海里处，则下列说法正确的是（ ） A. B在探测器的南偏东，2海里处 B. C在探测器的北偏西，3海里处 C. D在探测器的南偏西，3海里处 D. E在探测器的正东方向，1海里处 6. 汉语拼音是一种辅助汉字读音的工具．如图，书写拼音用的“四线三格”是由等距离、等长度的四条平行横线组成的，同一条直线上的三点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 7. 用四张同样大小的长方形纸片拼成一个正方形，如图所示，它的面积是50，，图中空白处是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（ ） A. B. C. 2 D. 8 8. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 4050 B. 4054 C. D. 9. 若m为实数，在的“□”中添上一种运算符号（在“+”“”“×”或“÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则m的值不可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知平面直角坐标系中四点，，，．若点P在y轴上，且，，所围成的三角形与，，所围成的三角形相似，则所有符合条件的点P的个数是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知，则____________． 12. 若是整数，则正整数m的最小值是______． 13. 如图，已知梯形，，对角线相交于点O，与的面积之比为4：25，若，则的长是______． 14. 在平面直角坐标系中，已知点，点，且轴，则点M的坐标为___________． 15. 已知是方程的一个根，则______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）解方程：； （2）计算：． 17. 如图，在正方形中，P为的中点，Q为上一点，已知，．求证：． 18. 已知，，求的值． 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长是1． （1）画出向右平移5个单位长度后得到的，则点的坐标是______； （2）以点C为位似中心，在网格内画出，使与位似，且相似比为2，则点的坐标是_____； （3）的面积是______． 20. 国庆前夕，某校举行了升旗仪式．小明为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计了如下的测量方案：如图所示，竖直标杆的高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，E，C，A三点共线，于点M，交于点N．求旗杆的高度． 21. 某展览中心新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示、已知每层长米，宽米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层的喷漆面积为平方米． （1）求通道的宽是多少米； （2）据调查分析，停车楼剩余个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为元？ 22. 【阅读感知】 我们知道，解形如的方程可以通过因式分解，将其转化为，这样就可以得到：或，从而求出方程的解．类似地，我们也可以利用因式分解来解一些新的方程，例如一元三次方程，可以通过提公因式法把它转化为，从而得到或，再解方程，就可以得到原一元三次方程的解为，，． 【理解应用】 （1）将因式分解得________________； （2）解方程：； 【知识拓展】 （3）运用“转化”的思想解方程：． 23. 我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题． 例：求的算术平方根． 解：∵， ∴的算术平方根是． 根据以上材料，回答下列问题： （1）_____________； （2）化简：； （3）在中，，，，那么BC边的长为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $