精品解析：湖南省湘潭市雨湖区2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

2025年下学期期中考试试卷 九年级数学科 （时量：120分钟 总分：120分） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 已知反比例函数的图象经过点，则的值是（ ） A. B. 6 C. D. 2. 一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0中的一次项系数和常数项分别是（　　） A. 1，﹣5 B. 1，5 C. ﹣3，﹣5 D. ﹣3，5 3. 已知如图，A是反比例函数的图象上的一点，轴于点B，且的面积是3，则k的值是（ ） A. 3 B. C. 6 D. 4. 若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 5. 下列方程中，有两个不等实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 2025世界人形机器人运动会于8月在国家速滑馆举办，旨在通过各项比赛展示机器人应用技术的多样性和创新性．某高校科研团队为了选拔参加本次运动会自由搏击赛的机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，每组x个机器人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 7. 如果，那么（ ） A. B. C. D. 8. 如图，DEBC，在下列比例式中，不能成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直线轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接，，已知的值为8，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 二、填空题（每小题3分，共计24分） 11. 若点，都在反比例函数的图像上，则，的大小关系是______． 12. 反比例函数，当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数=的图象与一次函数=kx+b的图象交于A、B两点．若＜，则x的取值范围是_____． 14. 若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是______． 15. 在比例尺的地图上，量得，两地的距离是，则，两地的实际距离是________米. 16. 如图，中，，，，，则的长度______． 17. 已知m为方程的根，那么的值为______． 18. 在平面坐标系中，正方形的位置如图所示，点A的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作正方形，延长交轴于点，作正方形，…按这样的规律进行下去，第2025个正方形的面积为__________. 三、简答题（19～20题，每小题6分，21～22题，每小题8分，23～24题每小题9分，25～26题每小题10分，共计66分） 19. 解方程： 20. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于A、B两点．已知A点坐标为． （1）求m的值及B点坐标； （2）求的面积． 21. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 22. 如图，四边形中，平分，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 24. 阅读下列材料： 【例题】解方程． 解：（1）当时，原方程化为， 解得，（舍去）． （2）当时，原方程化为， 解得，（舍去）， 所以或是原方程的根． 请参照例题解方程：． 25. 如图1，矩形在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B坐标为．反比例函数的图象与交于点E，与交于点F． （1）若点E为中点，求证：； （2）若的面积为，求反比例函数的解析式； （3）如图2，在（2）的条件下，将沿x轴的正方向平移得到，若线段在内部的长度为3．求点P的坐标． 26. （1）[基础巩固]如图①，在三角形纸片ABC中，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为______； （2）[思维提高]如图②，在三角形纸片ABC中，，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值； （3）[拓展延伸]如图③，在三角形纸片ABC中，，，，将沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点处，折痕为CM．求线段AC的长； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期期中考试试卷 九年级数学科 （时量：120分钟 总分：120分） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 已知反比例函数的图象经过点，则的值是（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】把点代入反比例函数得，，故选A 2. 一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0中的一次项系数和常数项分别是（　　） A. 1，﹣5 B. 1，5 C. ﹣3，﹣5 D. ﹣3，5 【答案】C 【解析】 【分析】在一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）中， ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项. 【详解】解：一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0中的一次项系数和常数项分别是﹣3、﹣5． 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握在一般形式中确定二次项系数，一次项系数，常数项的方法. 3. 已知如图，A是反比例函数的图象上的一点，轴于点B，且的面积是3，则k的值是（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义． 根据题意，设，由图形面积得到，再根据点在反比例函数的图象上，且图形经过第一象限，由此即可求解． 【详解】解：设， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上，且图形经过第一象限， ∴， ∴， 故选：C． 4. 若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象与其系数的关系，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限；当时，图象在二、四象限，据此求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴， 故选：C． 5. 下列方程中，有两个不等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查判断一元二次方程的根的情况，通过计算每个方程的判别式，判断实数根的情况：若，则有两个不等实数根；若，则有两个相等实数根；若，则无实数根． 【详解】解：对于A：，∵ , ∴ ，故有两个不等实数根； 对于B：，∵, ∴，故无实数根； 对于C：，∵, ∴，故无实数根； 对于D：，整理得，∵, ∴，故无实数根； 综上，只有A有两个不等实数根， 故选：A． 6. 2025世界人形机器人运动会于8月在国家速滑馆举办，旨在通过各项比赛展示机器人应用技术的多样性和创新性．某高校科研团队为了选拔参加本次运动会自由搏击赛的机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，每组x个机器人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程， 根据每组x个机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，则每个机器人参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【详解】解：每组x个机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，则每个机器人参加场比赛，则共有场比赛， 所以： 故选：A． 7. 如果，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；由题意可设，然后代入进行求解即可． 【详解】解：由可设， ∴； 故选B． 8. 如图，DEBC，在下列比例式中，不能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行直线所截，所得的对应线段的长度成比例． 【详解】 B.错误 故选B． 【点睛】平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行直线所截，所得的对应线段的长度成比例． 9. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 10. 如图，直线轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接，，已知的值为8，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义，熟练利用反比例函数的几何意义计算三角形面积是解题的关键． 根据反比例函数的几何意义得出的面积为，再根据即可得出． 【详解】解：根据反比例函数的几何意义可知：的面积为，的面积为， 的面积为， ， 的面积为， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共计24分） 11. 若点，都在反比例函数的图像上，则，的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题关键是根据反比例函数的系数判断其增减性，再结合点的纵坐标大小比较横坐标的大小． 先判断反比例函数的增减性（，各象限内随增大而减小），再根据点纵坐标的正负确定所在象限，进而比较的大小． 【详解】反比例函数中， 函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小． 点的纵坐标，所以点A在第一象限，因此，点的纵坐标，所以点B在第三象限，因此， ． 12. 反比例函数，当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质． 根据反比例函数的性质可得，当时，在每个象限内，随的增大而增大；当时，在每个象限内，随的增大而减小，据此可得，求解即可． 【详解】解：反比例函数 中， ， 由题意，当 时随的增大而增大， 所以，即，解得 ， 故答案为 ． 13. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数=的图象与一次函数=kx+b的图象交于A、B两点．若＜，则x的取值范围是_____． 【答案】x<0或1<x<3 【解析】 【分析】根据题意观察图象即可得到解答． 【详解】解：观察函数图象，当x＜0或1＜x＜3时，反比例函数图象都在一次函数图象下方， 故答案为：x＜0或1＜x＜3． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数图象的综合判断题，解决本题的关键是读懂题目意思． 14. 若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于，代入已知根即可求解另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为， 由一元二次方程，得，， 根据根与系数的关系，两根之和， 把代入得：， 解得：． 故答案为：． 15. 在比例尺的地图上，量得，两地的距离是，则，两地的实际距离是________米. 【答案】 【解析】 【分析】图上距离和比例尺已知,依据"实际距离-图上距离比例尺"即可求出A、 B 两地的实际距离． 【详解】解:∵比例尺为1：10000，A，两地的距离是3cm， 设A，B两地的实际距离为cm， ∴ ∴， ∵， ∴A，B两地的实际距离为300米． 故答案为:300． 【点睛】本题主要考查图上距离、际距离和比例尺之间的关系，解答时要注意单位的换算． 16. 如图，中，，，，，则的长度______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，可证明得到，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 17. 已知m为方程的根，那么的值为______． 【答案】125 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，一元二次方程的解是使方程两边相等的未知数的值，则，进而可得，进一步可得，然后代入求解即可． 【详解】解：∵m为方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：125． 18. 在平面坐标系中，正方形的位置如图所示，点A的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作正方形，延长交轴于点，作正方形，…按这样的规律进行下去，第2025个正方形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形对应边成比例得到的正方形的边长，进而表示正方形的面积，然后观察得到的正方形的面积即可得到规律，从而得到结论． 【详解】解：∵正方形的点A的坐标为，点D的坐标为，，， ，， 延长交x轴于点，作正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴第2个正方形的面积为：， 同理可得，， 即第3个正方形的面积为：， … ∴第2025个正方形的面积为：， 故答案为：． 三、简答题（19～20题，每小题6分，21～22题，每小题8分，23～24题每小题9分，25～26题每小题10分，共计66分） 19. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】利用直接开平方法计算即可． 本题考查了直接开平方法求解一元二次方程方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴, ∴或， 解得． 20. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于A、B两点．已知A点坐标为． （1）求m的值及B点坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用了数形结合的思想，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解． （1）联立一次函数与反比例函数解析式，求出方程组的解得到A与B的坐标即可； （2）由一次函数求出y的值，确定出D坐标，即为的长，依据三角形面积三角形面积三角形面积，求出即可． 【小问1详解】 解：联立两函数解析式得：， 解得：或， 即， ∴； 【小问2详解】 解：令中，得到， 即， ∴， ∴． 21. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 【答案】 （1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）或 【解析】 【分析】（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值． 【详解】（1）略 （2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=， 即x1=k，x2=k+1， ∵k＜k+1， ∴AB≠AC． 当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5； 当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4， 所以k的值为5或4． 【点睛】本题考查了：1．根的判别式；2．解一元二次方程；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质． 22. 如图，四边形中，平分，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据两组对角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据相似三角形的对应边成比例，可知，由此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， ， ∴， ∴， ∴． 23. 公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为20% （2）在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线 【解析】 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%． 【小问2详解】 解：设增加x条生产线． ， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． 24. 阅读下列材料： 【例题】解方程． 解：（1）当时，原方程化为， 解得，（舍去）． （2）当时，原方程化为， 解得，（舍去）， 所以或是原方程的根． 请参照例题解方程：． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是正确分类讨论，化简绝对值． 分两种情况讨论，再由因式分解法解方程即可． 【详解】解：时，， ， ∴，（舍去）， 时，，， ∴，（舍去）， 综上所述或． 25. 如图1，矩形在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B坐标为．反比例函数的图象与交于点E，与交于点F． （1）若点E为中点，求证：； （2）若的面积为，求反比例函数的解析式； （3）如图2，在（2）的条件下，将沿x轴的正方向平移得到，若线段在内部的长度为3．求点P的坐标． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵E为的中点， ∴，即， 把点E坐标代入中，得， 即， ∵， ∴当时，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）反比例函数解析式为 （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，则根据点坐标可得，则可证明四边形为正方形，得到，，可求出点的坐标．则．证明△△，即可证明． （2）根据列式求解即可； （3）由（2）易得，，可求出直线解析式为，直线解析式为，直线解析式为；设，由平移的性质可得，，，则平移方式为向右平移个单位长度，则，可得直线的解析式为，直线解析式为，直线解析式为；再分当与交于，与交于，当与交于，与交于，分两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴反比例函数解析式为； 【小问3详解】 解：由（2）知，反比例函数解析式为； ∵点B坐标为， ∴，， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为． 同理可得直线解析式为，直线解析式为． 设，由平移的性质可得，，， 则平移方式为向右平移m个单位长度，则， ∴直线的解析式为，直线解析式为， 直线解析式为． ①当与交于G，与交于H， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴，， ∴，解得， ∴． ②当与交于K，与交于H， 同理可得，， ∴，解得， ∴． 综上，若线段在内部的长度为3，则点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，反比例函数与几何综合，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 26. （1）[基础巩固]如图①，在三角形纸片ABC中，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为______； （2）[思维提高]如图②，在三角形纸片ABC中，，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值； （3）[拓展延伸]如图③，在三角形纸片ABC中，，，，将沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点处，折痕为CM．求线段AC的长； 【答案】（1）AM＝BM （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可； （2）利用相似三角形的性质求出BM，AM即可； （3）证明△BCM∽△BAC，推出，由此即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图①中， ∵△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN， ∴MN垂直平分线段BC， ∴CN＝BN， ∵∠MNB＝∠ACB＝90°， ∴MN∥AC， ∵CN＝BN， ∴AM＝BM． 故答案为AM＝BM． 【小问2详解】 如图②中， ∵CA＝CB＝6， ∴∠A＝∠B， 由题意MN垂直平分线段BC， ∴BM＝CM， ∴∠B＝∠MCB， ∴∠BCM＝∠A， ∵∠B＝∠B， ∴△BCM∽△BAC， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 如图③中， 由折叠的性质可知，CB＝CB′＝6，∠BCM＝∠ACM， ∵∠ACB＝2∠A， ∴∠BCM＝∠A， ∵∠B＝∠B， ∴△BCM∽△BAC， ∴ ∴， ∴BM＝4， ∴AM＝CM＝5， ∴， ∴． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $