专题04 相似三角形重要模型之一线三等角模型（几何模型讲义）数学苏科版九年级下册

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理相似三角形“一线三等角模型”，将同侧型、异侧型及中点型、一线三直角等变异型按“模型起源-条件结论-推理证明”逻辑呈现，清晰展示模型内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于动态构建与分层练习设计，通过几何图形动态旋转分析模型演变培养推理意识，例题涵盖中考真题如矩形动点最值问题，分层习题满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升学生模型观念与应用能力。

专题04 相似三角形重要模型之一线三等角模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 2 模型拓展 3 模型运用 4 模型1.一线三等角模型（相似模型） 4 10 动态旋转起源‌：该模型最初源于几何图形的动态构造，这种旋转过程揭示了模型从一般位置到特殊位置（如中点型、同侧型、异侧型等）的自然演变。‌“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似。 因模型在不同视角下呈现“K”或“M”形轮廓，各地教学中衍生出‌K型图‌（如华东地区）与‌M型图‌（如华北地区）的昵称差异。这种命名差异体现了模型视觉表现力的多样性。 （2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 模型1.一线三等角模型（相似模型） 例1（2023·山东东营·统考中考真题）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（        ）    A． B． C． D． 例2（2025·河南焦作·模拟预测）如图，矩形中，，，点P为边上不与端点重合的一动点，过点P作，交于点Q，在点P的移动过程中线段长度的最值说法正确的是（   ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 例3（2024九年级重庆·专题练习）如图，已知在梯形中，，且，P为上的一点，，求的长． 例4（2025·河南周口 校考一模）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 例5（23-24八年级下·河北石家庄·阶段练习）在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC所在直线上运动，作∠ADE=45°(A、D、E按逆时针方向)．(1)如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E． ①求证：△ABD ∽△DCE；②当△ADE是等腰三角形时，求AE的长． (2)①如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E'，是否存在点D，使△ADE'是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置：若不存在，请简要说明理由． ②如图3，若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使△ADE是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由． 例6（2024江苏中考数学模拟试题）如图，在中，．点是的中点，连结，过点作，分别交于点，与过点且垂直于的直线相交于点，连结．给出以下四个结论：①；②点是的中点；③；④，其中正确的个数是(   ) A．4 B．3 C．2 D．1 例7（2025·江苏·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．(1)求证：△AEF∽△DCE；(2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；(3)设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由． 1．（24-25九年级下·浙江·阶段练习）如图，矩形中，将以为折痕对折，使点B的对应点G落在线段上，与折痕的交点为点I，其中，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏常州·一模）如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·江苏泰州·三模）如图，在等边中，点F为边上的中点，以F为顶点作一个的角交边于D、E两点，连接，则知道下列哪个条件就可以计算的周长（　　） A．的周长 B．的周长 C．的周长 D．的周长 4．（2025·河南·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，分别是边的中点，连接．若是直角三角形，则的长为 ． 5．（2025·贵州安顺·三模）如图，在矩形中，，，E是边上的一动点，连接，过点E作，与边交于点F，连接，则的最小值为 ． 6．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 ． 7．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在中，，，点在边上，，点E，F分别在边上；且，当时， ． 8．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，，，，求的长度为 ． （2）如图2，在矩形中，，，点E、F、M分别在上，，，当时，求四边形的面积． （3）如图3，在中，，，，点E、F分别在边上，且，若，求的长度． 9．（2025·山东济南·一模）（一）模型呈现（1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验（2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______； （三）模型拓展（3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程： （四）模型应用（4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度． 10．（2025·湖北武汉·模拟预测）问题背景（1）如图（1），为等腰直角三角形，，点在直线上，，垂足分别为点和，求证：． 尝试应用  （2）如图（2），为等腰直角三角形，，点在直线上，，垂足为，延长至点，使得，连接，交直线于点，试探究和之间的数量关系，并证明． 拓展创新  （3）如图（3），为直角三角形，，点在直线上，，垂足为，延长至点，使得，连接，交直线于点，若平分，且，试用含的式子直接表示的值． 11．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知在梯形ABCD中，AD // BC，AD < BC，且AD = 5，AB = DC = 2， （1）如图：P为AD上的一点，满足；① ；② 求AP的长 （2）如果点P在AD上移动（点P与点A、D不重合），且满足，PE交直线与BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP = x，CQ = y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE = 1时，写出AP的长（不必写出解题过程）。 12．（2025·河南·校考一模）（1）问题发现：如图1，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得．请求出线段与的数量关系； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，则线段与的数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．    12．（2025·安徽合肥·三模）如图（1），是菱形边上一点，将线段绕点顺时针旋转度到位置，连接，且交于点， (1)如图（2），当时，求证：； (2)如图（1），探究与的数量关系．并说明理由； (3)如图（3），当时，若菱形边长为，且，求长． 13．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，点分别在边上，．(1)求证：；(2)如果，，，求的长． 14．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图，在中，，，点D，E分别是，上的点，且，求证：.    15．（2024·重庆·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形： （1）如图1，已知：在△ABC中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请证明你的结论； （2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC中，．将一把三角尺中30°角顶点P放在BC边上，当P在BC边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A，另一条边交AC边于点Q，P、Q不与三角形顶点重合．设．当在许可范围内变化时，取何值总有△ABP∽△PCQ？当在许可范围内变化时，取何值总有△ABP∽△QCP？（3）试探索有无可能使△ABP、△QPC、△ABC两两相似？若可能，写出所有、的值（不写过程）；若不可能，请说明理由． 16．（24-25安徽九年级校考一模）如图，在中，，，是线段上的一点，连接，过点作，分别交，于点，，与过点A且垂直于的直线相交于点，连接(1)求证：(2)若是的中点，求的值．(3)若，求的值． 17．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）九年级2201班数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研究： 已知：等腰中，，的顶点在三边上的不同位置都满足． 【一线模型】如图1：当的顶点在底边上，与两腰，分别交于点，，求证：； 【变化模型】如图2：当的顶点与点重合，与底边及其延长线分别交于点，，求的值； 【拓展延伸】如图3：当的顶点在边上，与底边分别交于点，，且，求的值．（用的代数式表示） 18．（24-25·广东深圳·九年级校考阶段练习）【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形ABFC中，点D是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中．，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，求的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 相似三角形重要模型之一线三等角模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 2 模型拓展 3 模型运用 4 模型1.一线三等角模型（相似模型） 4 10 动态旋转起源‌：该模型最初源于几何图形的动态构造，这种旋转过程揭示了模型从一般位置到特殊位置（如中点型、同侧型、异侧型等）的自然演变。‌“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似。 因模型在不同视角下呈现“K”或“M”形轮廓，各地教学中衍生出‌K型图‌（如华东地区）与‌M型图‌（如华北地区）的昵称差异。这种命名差异体现了模型视觉表现力的多样性。 （2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴，∴； （2）∵，， ∴，∴． （3）∵，， ∴，∴．∴， ∵点E是的中点，∴，∴， ∵，∴，∴，∴． 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 模型1.一线三等角模型（相似模型） 例1（2023·山东东营·统考中考真题）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（        ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵，，∴，∴∴ ∵，∴，∴∵∴，故选：C． 例2（2025·河南焦作·模拟预测）如图，矩形中，，，点P为边上不与端点重合的一动点，过点P作，交于点Q，在点P的移动过程中线段长度的最值说法正确的是（   ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】B 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， 设，则，∴，∴， ∵，，∴当时，有最大值，最大值为，故选：B． 例3（2024九年级重庆·专题练习）如图，已知在梯形中，，且，P为上的一点，，求的长． 【答案】1或4 【详解】∵在梯形中，，∴． 又∵，， ∴，∴．∴． 设，则，∴，解得或4.∴或4． 例4（2025·河南周口 校考一模）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【详解】（1）解：∵将边绕点C顺时针旋转得到线段，∴， ∵，，∴． 在和中，∴， ∴．故答案为： （2）．证明：同（1）可得，，， ∴，∴，∵，∴，∴． （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， 则，，，由（1）同理可证，， ∴，，∴，， ∴． 例5（23-24八年级下·河北石家庄·阶段练习）在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC所在直线上运动，作∠ADE=45°(A、D、E按逆时针方向)．(1)如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E． ①求证：△ABD ∽△DCE；②当△ADE是等腰三角形时，求AE的长． (2)①如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E'，是否存在点D，使△ADE'是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置：若不存在，请简要说明理由． ②如图3，若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使△ADE是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由． 【答案】(1)①见解析；②2或或1 (2)①存在，当DC=2时，为等腰三角形；②不存在，理由见解析 【详解】（1）①证明：∵，AB=AC∴∴ ∵∴∴∴△ABD ∽△DCE； ②分三种情况：（i）：当AD=AE时，∴ 所以此时D、E与B、C重合，； （ii）：当AD=DE时，由①知，△ABD ∽△DCE ∵AD=DE∴△ABD≌△DCE∴， ∵，AB=AC=2∴， ∴∴∴； （iii）：当AE=DE时，，∴ ∵∴∴DE=CE∴AE=DE=CE∴综上所述，2或或1； （2）①存在．∵，∴所以只有当时，为等腰三角形， ∵∴∵∴ ∴∴∴ ∵∴∴当DC=2时，为等腰三角形； ②不存在．∵D和B不重合，∴，， ∴同理所以不存在点D，使得为等腰三角形． 例6（2024江苏中考数学模拟试题）如图，在中，．点是的中点，连结，过点作，分别交于点，与过点且垂直于的直线相交于点，连结．给出以下四个结论：①；②点是的中点；③；④，其中正确的个数是(   ) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：由题意知，△ABC是等腰直角三角形，设AB＝BC＝2，则AC＝2， ∵点D是AB的中点，∴AD＝BD＝1，在Rt△DBC中，DC＝，（勾股定理） ∵BG⊥CD，∴∠DEB＝∠ABC＝90°，又∵∠CDB＝∠BDE，∴△CDB∽△BDE， ∴∠DBE＝∠DCB， ,即∴DE＝ ，BE＝, 在△GAB和△DBC中，∴△GAB≌△DBC(ASA)∴AG＝DB＝1，BG＝CD＝， ∵∠GAB+∠ABC＝180°，∴AG∥BC，∴△AGF∽△CBF， ∴，且有AB＝BC，故①正确， ∵GB＝，AC＝2，∴AF＝＝，故③正确， GF＝，FE＝BG﹣GF﹣BE＝，故②错误， S△ABC＝AB•AC＝2，S△BDF＝BF•DE＝××＝，故④正确．故选B． 例7（2025·江苏·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．(1)求证：△AEF∽△DCE；(2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；(3)设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)相似，证明见解析(3)存在， 【详解】（1）证明：∵EF⊥EC，∴∠FEC＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°， ∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠DEC＝∠AFE，又∵∠A＝∠EDC＝90°，∴△AEF∽△DCE； （2）解：△AEF∽△ECF．理由：∵E为AD的中点，∴AE＝DE， ∵∠AEF＝∠DEG，∠A＝∠EDG，∴△AEF≌△DEG(ASA)， ∴EF＝EG，∠AFE＝∠EGC．又∵EF⊥CE，∴CE垂直平分FG， ∴△CGF是等腰三角形．∴∠AFE＝∠EGC＝∠EFC． 又∵∠A＝∠FEC＝90°，∴△AEF∽△ECF； （3）解：存在使得△AEF与△BFC相似．理由：假设△AEF与△BFC相似，存在两种情况： ①当∠AFE＝∠BCF，则有∠AFE与∠BFC互余，于是∠EFC＝90°，因此此种情况不成立； ②当∠AFE＝∠BFC，使得△AEF与△BFC相似，设BC＝a，则AB＝ka， ∵△AEF∽△BCF，∴，∴AF＝，BF＝， ∵△AEF∽△DCE，∴，即， 解得，．∴存在使得△AEF与△BFC相似． 1．（24-25九年级下·浙江·阶段练习）如图，矩形中，将以为折痕对折，使点B的对应点G落在线段上，与折痕的交点为点I，其中，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：作，如图所示： 则四边形、四边形、四边形均是矩形， ∴，，由翻折可知：， ∴，∴； ∵，∴， ∴，∴，即，∴，∴； ∵，∴，∴，即， ∴，∴，故选：C 2．（2025·江苏常州·一模）如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H ∵中，，，点是中点， ∴，平分，∴ ∵，∴∵，∴∴ ∴，即∴，∴ ∵，∴ ∴ ∵线段绕点顺时针旋转得到线段∴， ∴∴∴， ∴∴．故选：C． 3．（2024·江苏泰州·三模）如图，在等边中，点F为边上的中点，以F为顶点作一个的角交边于D、E两点，连接，则知道下列哪个条件就可以计算的周长（　　） A．的周长 B．的周长 C．的周长 D．的周长 【答案】D 【详解】解：取的中点G，连接，在截取，连接， ∵是等边三角形，∴，， ∴，∴，∴，∴， ∵点F为边上的中点，∴，则，即，又， ∴，∴，又，， ∴，∴，，则， ∵点F为边上的中点，点G是的中点，∴，又， ∴是等边三角形，∴，， ∴，，又，∴，∴， ∴， 则，故知道的周长就可以计算的周长．故选：D． 4．（2025·河南·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，分别是边的中点，连接．若是直角三角形，则的长为 ． 【答案】或 【详解】解：分下列两种情况讨论：①当时，过点作的垂线，交的延长线于点，延长交于点，如图所示，则， ∵四边形是平行四边形，∴，， ∴，，∴和是等腰直角三角形， ∵，点是的中点，∴，∴， 设，则，，∵，∴， ∵，∴， 又∵，∴，∴， 即，解得，∴， ∵点是的中点，∴； ②当时，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，如图所示，则，同理①得， 设，则，∵点是的中点，∴， ∵四边形是平行四边形，，∴，， ∴为等腰直角三角形，∴，∴， 同理①可证，∴，即，解得， ∴∴； 综上所述，若是直角三角形，则的长为或，故答案为：或． 5．（2025·贵州安顺·三模）如图，在矩形中，，，E是边上的一动点，连接，过点E作，与边交于点F，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：的长为，则，的长为， ，，，， ，，， ，，即， ，当时，， 当时，，此时为最小，．故答案为：． 6．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】如图，过作轴于点，则， 由平移性质可知：，，∴四边形是平行四边形， ∵，∴四边形是矩形， ∴，，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，，，∴， 设，则，，∴，解得：， ∴，，∴， ∵点在第四象限，∴，故答案为：． 7．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在中，，，点在边上，，点E，F分别在边上；且，当时， ． 【答案】/ 【详解】解：，，，． ，，∴，． ，．在中，，， ．．． ，，．过点作于点． ∵，∴， ∴．． ．．故答案为． 8．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，，，，求的长度为 ． （2）如图2，在矩形中，，，点E、F、M分别在上，，，当时，求四边形的面积． （3）如图3，在中，，，，点E、F分别在边上，且，若，求的长度． 【答案】（1），（2）；（3）， 【详解】解：（1）∵，，， ∴，，， ∴，∴，∴， ∵，，，∴，∴，故答案为， （2）如图，过点作垂足为H，同理（1）得：，∴， ∵在矩形中，，∴四边形是矩形， ∴，， ∵，，∴，即：， ∴，解得：，∴，，， ∵四边形的面积=矩形的面积， ∴四边形的面积=． （3）延长到点P使，连接，过点C作， ∴，，∵，，， ∴，，∴，∴， ∵且，又∵，∴， ∴，∴，∴，∴， ∴，解得：，（不合题意舍去）∴ 9．（2025·山东济南·一模）（一）模型呈现（1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验（2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______； （三）模型拓展（3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程： （四）模型应用（4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析；（4）当时 【详解】（一）解：，，故答案为： （二）解：四边形的周长为，，，， 的周长为，， ，，，故答案为：； （三）解：；理由如下， ，， ，，，， ，，， ，，，， ； （四）解：在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为． 在矩形中，，，，， ，，， ，， ， ，，，为等腰三角形， ，设，则，，， ，，，，， ， ， ，，，，， ，， ∴，，设，， ，，，即， ，对称轴为直线，当时，，即当时，． 10．（2025·湖北武汉·模拟预测）问题背景（1）如图（1），为等腰直角三角形，，点在直线上，，垂足分别为点和，求证：． 尝试应用  （2）如图（2），为等腰直角三角形，，点在直线上，，垂足为，延长至点，使得，连接，交直线于点，试探究和之间的数量关系，并证明． 拓展创新  （3）如图（3），为直角三角形，，点在直线上，，垂足为，延长至点，使得，连接，交直线于点，若平分，且，试用含的式子直接表示的值． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3） 【详解】解：（1）证明：∵， ∴，∴， 又∵，∴，∴； （2），理由如下：作，交的延长线于点， ∵，， ∴同（1）法可得：，，∴， ∵，∴，即：， ∵，，，∴， ∴，∴； （3）作，交的延长线于点，∵，，∴， ∵，，∴，， ∴，∴，∴， 不妨设，则：，∵平分，∴，∴， ∴，∴， 设，则：， ∵，∴，∴，即：， 解得：，∴，在中，． 11．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知在梯形ABCD中，AD // BC，AD < BC，且AD = 5，AB = DC = 2， （1）如图：P为AD上的一点，满足；① ；② 求AP的长 （2）如果点P在AD上移动（点P与点A、D不重合），且满足，PE交直线与BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP = x，CQ = y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE = 1时，写出AP的长（不必写出解题过程）。 【答案】（1）① 见解析；② AP的长为1或4；（2）① y=3x-2（1 < x < 4）；② AP的长为2． 【详解】（1）①∵ABCD是梯形，AD∥BC，AB＝DC．∴∠A＝∠D ∵∠ABP＋∠APB＋∠A＝180°，∠APB＋∠DPC＋∠BPC＝180°，∠BPC＝∠A ∴∠ABP＝∠DPC，∴△ABP∽△DPC． ②∵△ABP∽△DPC，∴，即：，解得：AP＝1或AP＝4． （2）①由（1）可知：△ABP∽△DPQ∴，即：，∴y＝−x2＋x−2（1＜x＜4）． ②当CE＝1时，∵△PDQ∽△ECQ，∴，即或， ∵y＝−x2＋x−2，解得：x＝2或3−，∴PA＝2或3−． 12．（2025·河南·校考一模）（1）问题发现：如图1，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得．请求出线段与的数量关系； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，则线段与的数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．    【答案】（1）；（2）发生变化，，证明见解析；（3） 【详解】（1）解：∵，∴． 在和中，∴，∴． （2）发生变化，．证明：由（1）得，，， ∴，∴，∴． （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， 则，，，由（1）同理可证，， ∴，，∴，， ∴．    12．（2025·安徽合肥·三模）如图（1），是菱形边上一点，将线段绕点顺时针旋转度到位置，连接，且交于点， (1)如图（2），当时，求证：； (2)如图（1），探究与的数量关系．并说明理由； (3)如图（3），当时，若菱形边长为，且，求长． 【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）证明：如图，作的延长线， ，，， 在和中， ，，，，； （2）解：，理由如下：如图，在上截取，使，连接， ，，． ，．． ，，． ； （3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点， 设菱形的边长为，， ， ，由（2）知，， ，，，，． 13．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，点分别在边上，．(1)求证：；(2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)2或4 【详解】（1）证明：在中，，， ， ，． （2）解：∵，，∴， ∵，∴，∴，即， 解得：或，∴的长为2或4． 14．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图，在中，，，点D，E分别是，上的点，且，求证：.    【答案】见解析 【详解】证明：∵，，∴， ∵是的一个外角，∴， 又∵，，∴， 在和中，，∴ 15．（2024·重庆·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形： （1）如图1，已知：在△ABC中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请证明你的结论； （2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC中，．将一把三角尺中30°角顶点P放在BC边上，当P在BC边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A，另一条边交AC边于点Q，P、Q不与三角形顶点重合．设．当在许可范围内变化时，取何值总有△ABP∽△PCQ？当在许可范围内变化时，取何值总有△ABP∽△QCP？（3）试探索有无可能使△ABP、△QPC、△ABC两两相似？若可能，写出所有、的值（不写过程）；若不可能，请说明理由． 【答案】（1）；证明见解析；（2）；；（3）可能；，或，． 【详解】解：（1）如图1，∵， ∴，∴， 在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴，，∴； （2）在△ABP中，，∴， 同理可得：；由或， 即，解得，则△ABP∽△PCQ； ∴当在许可范围内变化时，时，总有△ABP∽△PCQ； 由或，同理可得：． ∴当在许可范围内变化时，总有△ABP∽△QCP； （3）可能．①当，时，则，则△ABP∽△PCQ∽△BCA； ②当，时， 同理可得：，，∴△ABP∽△CQP∽△BCA． 16．（24-25安徽九年级校考一模）如图，在中，，，是线段上的一点，连接，过点作，分别交，于点，，与过点A且垂直于的直线相交于点，连接(1)求证：(2)若是的中点，求的值．(3)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)的值为12 【详解】（1）证明：∵， ∴，∴，∴，∵，∴， （2）∵，∴， ∵，∴，∴， ∵是的中点，∴，∴，∴， ∵∴，∴． （3）∵，∴， ∵，∴，∴， 若，∴，即 ∵∴，∴∴；∴． 17．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）九年级2201班数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研究： 已知：等腰中，，的顶点在三边上的不同位置都满足． 【一线模型】如图1：当的顶点在底边上，与两腰，分别交于点，，求证：； 【变化模型】如图2：当的顶点与点重合，与底边及其延长线分别交于点，，求的值； 【拓展延伸】如图3：当的顶点在边上，与底边分别交于点，，且，求的值．（用的代数式表示） 【答案】[一线模型]见解析；[变化模型]；[拓展延伸] 【详解】解：（1）∵，且 ∴，∴，∴； （2）∵，，而，∴， ∵，∴，∴，∴； （3）过点作，则：，，∴ ∵，∴，则， 同理可证：，∴，即， ∴． 18．（24-25·广东深圳·九年级校考阶段练习）【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形ABFC中，点D是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中．，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）5；（3）10 【详解】（1）证明：，，， ，∴，， ，，； （2）解：如图2中，延长交的延长线于点． ，，，，， ，，，，， ，，，，； （3）解：如图，过点作与交于点，使， ，，，， ，，， ，，，， ，，，，，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $