专题04 相似三角形重要模型之一线三等角模型（几何模型讲义）数学人教版九年级下册

专题04 相似三角形重要模型之一线三等角模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 2 模型拓展 3 模型运用 4 模型1.一线三等角模型（相似模型） 4 10 动态旋转起源‌：该模型最初源于几何图形的动态构造，这种旋转过程揭示了模型从一般位置到特殊位置（如中点型、同侧型、异侧型等）的自然演变。‌“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似。 因模型在不同视角下呈现“K”或“M”形轮廓，各地教学中衍生出‌K型图‌（如华东地区）与‌M型图‌（如华北地区）的昵称差异。这种命名差异体现了模型视觉表现力的多样性。 （2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 模型1.一线三等角模型（相似模型） 例1（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，为等边三角形，点D，E分别在边，上，．若，，则的长为 ． 例2（2024·广东广州·二模）如图，在矩形中，，，点M在直线上，连接， （1）当，则 （2）当最大时，    例3（2024九年级重庆·专题练习）如图，已知在梯形中，，且，P为上的一点，，求的长． 例4（2024·青海西宁·中考真题）【感知特例】（1）如图1，点A，在直线上，，，垂足分别为A，，点在线段上，且，垂足为． 结论：（请将下列证明过程补充完整） 证明：，，，， ， ， ，（同角的余角相等） ，（两角分别相等的两个三角形相似） ．（相似三角形的对应边成比例） 即 【建构模型】（2）如图2，点A，在直线上，点在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由． 【解决问题】（3）如图3，在中，，，点和点分别是线段，上的动点，始终满足．设长为，当 时，有最大值是 ． 例5（23-24八年级上·上海·期中）在中，，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）． （1）如图①，当点在线段上运动时，交于． ①求证：．②当是等腰三角形时，直接写出的长． （2）如图②，当点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出点的位置；若不存在，请简要说明理由． 例6（2023·河北沧州·校考二模）如图，在中，，，点D是线段上的一点，连接，过点B作，分别交、于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，下列结论错误的是（    ） A． B．若点D是AB的中点，则 C．当B、C、F、D四点在同一个圆上时， D．若，则 例7（23-24广东九年级上学期月考数学试题）如图，在矩形中，为的中点，交于，延长与直线相交于点，连接．(1)求证：；(2)，是否存在这样的k值，使得与相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．    1．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作： 第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②． 根据以上的操作，若，，则线段的长是（    ）    A．3 B． C．2 D．1 2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，正方形的边长为2，E是边的中点，把沿折叠得到（点D的对应点为点F），则的值为（    ） A． B．1 C． D． 3．（24-25安徽九年级期中）如图，在RtABC中，∠ABC＝90°．AB＝BC．点D是线段AB上的一点，连 接CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下四个结论：①＝；②若点D是AB的中点，则AF＝AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF＝DB；④若＝，则，其中正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2023·黑龙江大庆·中考真题）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．    5．（2024·安徽淮北·九年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为 6．（24-25·湖南长沙·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝ ． 7．（24-25·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在中，，点E是线段边上的一动点（不含B、C两端点），连接，作，交线段于点D．    (1)求证：(2)设，，请求y与x之间的函数关系式． (3)E点在运动的过程中，能否构成等腰三角形？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 8．（2024·安徽六安·二模）在矩形的边上取一点，将沿翻折，点的对应点为点． (1)当在边上时，（）如图，若，，求； （）如图，作平分交于，若，求证：； (2)如图，当点在矩形内部时，若平分交于，，直接写出三者关系为：__________． 9．（24-25·广东深圳·八年级校考期中）【操作发现】如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．    ①请按要求画图：将绕点A顺时针方向旋转，点B的对应点为点，点C的对应点为点，连接；②在①中所画图形中，______． 【问题解决】如图2，在中，，延长到D，使，将斜边绕点A顺时针旋转到，连接，求的度数． 【拓展延伸】如图3，在四边形中，，垂足为E，，，，，求的长． 10．（24-25九年级上·吉林长春·期中）（1）【问题解决】如图，点在线段上，点在同侧，．求证：． （2）【探究应用】如图，在中，，，直线，与之间距离是1，与之间距离是2，且、、分别经过点，则边的长为______． （3）【拓展延伸】如图，在中，，点是边的中点，点分别在边上，．若，，则的长为______． 11．（24-25·广东·九年级专题练习）如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．（1）求证△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的边长． 12．（2024·甘肃天水·二模）综合与实践 感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图，点M在直线上，且（可以是直角、锐角或者钝角），像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型，我们把它称为“一线三等角”模型． 应用：(1)如图1，在矩形中，M，N分别为边上的点，，且，则的数量关系是_____；(2)如图2，在中，，，M是上的点（），且，，求的长；(3)如图3，在四边形中，，，，，求的值． 13.（2024·浙江·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：△ADC≌△CEB． (1)探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC∽△CEB．请你说明理由． (2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝x与直线CD交于点M（2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝，请你求出直线CD的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长． 14．（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）（1）在四边形中，，在上有一点，连接，，．证明：． （2）若四边形为菱形，将沿对折，使恰好落在上，已知，求． 15．（2025·安徽滁州·一模）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用：(1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，D是上一点， ，求点C到边的距离． (3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若 ，求 的值． 16．（24-25九年级上·四川内江·期中）在，，为边上一点，点、分别在、边上，且．作于点，于点． (1)特殊验证：如图1，若，且为中点，求证：，； (2)拓展探究：若．①如图2，若为中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；②如图3，若，条件中“点在边上”改为“点在线段的延长线上”，其它条件不变，请探究与的数量关系并加以证明． 17．（2024·重庆·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形： （1）如图1，已知：在△ABC中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请证明你的结论； （2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC中，．将一把三角尺中30°角顶点P放在BC边上，当P在BC边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A，另一条边交AC边于点Q，P、Q不与三角形顶点重合．设．当在许可范围内变化时，取何值总有△ABP∽△PCQ？当在许可范围内变化时，取何值总有△ABP∽△QCP？（3）试探索有无可能使△ABP、△QPC、△ABC两两相似？若可能，写出所有、的值（不写过程）；若不可能，请说明理由． 18．（24-25·广东深圳·九年级校考阶段练习）【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形ABFC中，点D是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中．，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，求的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 相似三角形重要模型之一线三等角模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 2 模型拓展 3 模型运用 4 模型1.一线三等角模型（相似模型） 4 10 动态旋转起源‌：该模型最初源于几何图形的动态构造，这种旋转过程揭示了模型从一般位置到特殊位置（如中点型、同侧型、异侧型等）的自然演变。‌“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似。 因模型在不同视角下呈现“K”或“M”形轮廓，各地教学中衍生出‌K型图‌（如华东地区）与‌M型图‌（如华北地区）的昵称差异。这种命名差异体现了模型视觉表现力的多样性。 （2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴，∴； （2）∵，， ∴，∴． （3）∵，， ∴，∴．∴， ∵点E是的中点，∴，∴， ∵，∴，∴，∴． 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 模型1.一线三等角模型（相似模型） 例1（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，为等边三角形，点D，E分别在边，上，．若，，则的长为 ． 【答案】10 【详解】解：为等边三角形，，，， ，， ，，， ，，，，故答案为：10． 例2（2024·广东广州·二模）如图，在矩形中，，，点M在直线上，连接，    （1）当，则 （2）当最大时， 【答案】 3 【详解】解：①∵，，∴， ∵四边形是矩形，∴，， ∴由勾股定理得：，， ∴，故答案为：； ②作，过点A作于点E，则连接，取中点O，连接，，      ∵四边形是矩形，∴， ∵点O为中点，∴，∴由勾股定理得， ∵，∴∵四边形是矩形，∴， ∴，∴，∴，∴ ∵∴∴， ∴，∴，∴的最大值转化为的最大值， ∵，∴点E在以点O为圆心，为半径的圆上运动， ∵，∴当三点共线时，取得最大值为18，∴．故答案为：3． 例3（2024九年级重庆·专题练习）如图，已知在梯形中，，且，P为上的一点，，求的长． 【答案】1或4 【详解】∵在梯形中，，∴． 又∵，， ∴，∴．∴． 设，则，∴，解得或4.∴或4． 例4（2024·青海西宁·中考真题）【感知特例】（1）如图1，点A，在直线上，，，垂足分别为A，，点在线段上，且，垂足为． 结论：（请将下列证明过程补充完整） 证明：，，，， ， ， ，（同角的余角相等） ，（两角分别相等的两个三角形相似） ．（相似三角形的对应边成比例） 即 【建构模型】（2）如图2，点A，在直线上，点在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由． 【解决问题】（3）如图3，在中，，，点和点分别是线段，上的动点，始终满足．设长为，当 时，有最大值是 ． 【答案】（1）；；；；；；（2）成立，见解析；（3）4， 【详解】证明：，，， ，，， ，（同角的余角相等）∴，（两角分别相等的两个三角形相似） ．（相似三角形的对应边成比例）即 故答案为：；；；；；； （2）成立，理由如下： ∵，， ∴，∴，．即． （3）∵，∴，∵， 又∵，∴，∴，∴， ∵设长为，则，∴， 解得：， ∵，∴当时，有最大值．故答案为：4，． 例5（23-24八年级上·上海·期中）在中，，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）． （1）如图①，当点在线段上运动时，交于． ①求证：．②当是等腰三角形时，直接写出的长． （2）如图②，当点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出点的位置；若不存在，请简要说明理由． 【答案】(1) ①证明见解析；②AE的值是1或 2或； (3)存在，D在BC的延长线上，且CD= 2 【详解】解(1) ①∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°。AB=AC,∴∠B=∠C=45° ∵∠ADE=45°,∴∠ADC=∠B+∠1=∠ADE+∠2,即45°+∠1=45°+∠2．∴∠1=∠2． ②解:当△ADE是等腰三角形时，分为以下三种情况: 第一种情况: DE=AE,∵DE=AE,∴∠ADE=∠DAE=45°=∠C,∴∠AED=90°，∠ADC=90° ,即DE⊥．AC． ∴AD= DC．∴E为AC的中点，∴ 第二种情况: AD=AE，此时D和B重合，E和C重合,即AE=AC=2; 第三种情况: AD=DE, 在△ABD和△DCE中． ∴  ,∴BD=CE，AB=DC, 设BD=CE=x,在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°, AB=AC=2, ∴BC= ． ∴DC=-x．∴-x=2,∴x=-2,∴AE= 综合上述: AE的值是1或 2或 (3)解:存在，理由如下：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵∴ ∴ 又∵ ,∴ ， 故存在点，使是等腰三角形，此时D在BC的延长线上，且CD= 2 例6（2023·河北沧州·校考二模）如图，在中，，，点D是线段上的一点，连接，过点B作，分别交、于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，下列结论错误的是（    ） A． B．若点D是AB的中点，则 C．当B、C、F、D四点在同一个圆上时， D．若，则 【答案】D 【详解】解：依题意可得，∴，∴， 又，∴．故A项正确；如图， ∵，，∴．在与中，， ∴，∴，又∵，∴； ∵为等腰直角三角形，∴；∴； ∵，∴，∴，∴．故B项正确； 当B、C、F、D四点在同一个圆上时，由圆内接四边形的性质可得， ∴是B、C、F、D四点所在圆的直径，∵，∴，∴，故C项正确； ∵，，，∴，∴，， ∴，∴；∴．故D项错误．故选：D． 例7（23-24广东九年级上学期月考数学试题）如图，在矩形中，为的中点，交于，延长与直线相交于点，连接．(1)求证：；(2)，是否存在这样的k值，使得与相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．    【答案】(1)见解析(2)存在， 【详解】（1）证明：，，， ，，又，； （2）解：存在使得与相似．理由如下：假设与相似， 存在两种情况：①当，则有与互余，于是，因此此种情况不成立； ②当，使得与相似，设，则， ，，，， ，，即，解得，（负值舍去）． 存在使得与相似． 1．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作： 第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②． 根据以上的操作，若，，则线段的长是（    ）    A．3 B． C．2 D．1 【答案】C 【详解】解：如图，过点作，交于点，    在和中， 设，则， ，即：，解得：， ，，，，， ，故选：C． 2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，正方形的边长为2，E是边的中点，把沿折叠得到（点D的对应点为点F），则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】解：过点F作，分别交于点N，M， ∵四边形为正方形，∴， ∵E是边的中点，把沿折叠得到， ∴，∴， ∵，∴，∴四边形是矩形， ∴，∴，∴，∴， ∴，设，则，∴，∴， 在中，，即，解得， ∴，∴，故选：A． 3．（24-25安徽九年级期中）如图，在RtABC中，∠ABC＝90°．AB＝BC．点D是线段AB上的一点，连 接CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下四个结论：①＝；②若点D是AB的中点，则AF＝AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF＝DB；④若＝，则，其中正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：依题意可得BC∥AG，∴△AFG∽△CFB，∴， 又AB＝BC，∴．故结论①正确；如图，∵∠1+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°，∴∠3＝∠4． 在△ABG与△BCD中，，∴△ABG≌△BCD（ASA），∴AG＝BD， 又∵BD＝AD，∴AG＝AD；∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝AB；∴AG＝AD＝AB＝BC； ∵△AFG∽△BFC，∴＝，∴FC＝2AF，∴AF＝AC＝AB．故结论②正确； 当B、C、F、D四点在同一个圆上时，∵∠ABC＝90°，∴CD是B、C、F、D四点所在圆的直径， ∵BG⊥CD，∴，∴DF＝DB，故③正确； ∵，AG＝BD，，∴，∴＝， ∴AF＝AC，∴S△ABF＝S△ABC；∴S△BDF＝S△ABF， ∴S△BDF＝S△ABC，即S△ABC＝12S△BDF．故结论④错误．故选：C． 4．（2023·黑龙江大庆·中考真题）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．    【答案】 【详解】解：四边形是矩形，， ，由折叠的性质可得：， ，， ，，故答案为：． 5．（2024·安徽淮北·九年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为 【答案】 【分析】根据题意证明，列出比例式即可求得y关于x的函数关系式 【详解】解：∠A=∠D=120°，∠BEF=120°， AB=6、AD=4，AE=x、DF=y， 即故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，函数解析式，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 6．（24-25·湖南长沙·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝ ． 【答案】3． 【详解】如图所示，过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，则∠G＝90°， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD＝2， 又∵∠BEF＝90°，∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC，∴∠FEG＝∠EBC， 又∵∠C＝∠G＝90°，∴△BCE∽△EGF， ∴＝＝，即＝＝，∴FG＝EC，GE＝2＝CD， ∴DG＝EC，设EC＝x，则DG＝x，FG＝x， ∵Rt△FDG中，FG2+DG2＝DF2，∴（x）2+x2＝（）2，解得x2＝9，即CE2＝9， ∴Rt△BCE中，BE＝＝＝3，故答案为：3． 7．（24-25·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在中，，点E是线段边上的一动点（不含B、C两端点），连接，作，交线段于点D．    (1)求证：(2)设，，请求y与x之间的函数关系式． (3)E点在运动的过程中，能否构成等腰三角形？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2) (3)当是等腰三角形时，或，见解析 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，∵，∴，∴ （2）解：由（1）得：，∴， ∵，，，，∴，，∴， ∴，∴y与x之间的函数关系式为； （3）解：∵是的外角，∴， ∵，∴，∴， 当时，可得，∴； 当时，，∵，∴， ∴，即，∴，∴当是等腰三角形时，或； 8．（2024·安徽六安·二模）在矩形的边上取一点，将沿翻折，点的对应点为点． (1)当在边上时，（）如图，若，，求； （）如图，作平分交于，若，求证：； (2)如图，当点在矩形内部时，若平分交于，，直接写出三者关系为：__________． 【答案】(1)（）；（）证明见解析；(2)． 【详解】（1）解：（）由折叠可得，，， ∵四边形为矩形，∴，，， ∴，∴， 设，则，在中，， ∴，解得，∴，故答案为：； （）如图，过点作于，则， ∵平分，∴，又∵，∴， ∴，，设，，则，， ∵，，∴， ∴，即，∴， ∵，， ∴，∴，∴， ∴，∴，即； （2）解：如图，过点作，过点作于，交于点，则， ∵，∴，∴，∵平分，∴， 又∵，∴，∴，， 由折叠可得，，，，∴， ∴四边形是矩形，∴，， ∴，， ∵，，∴为等腰直角三角，∴， ∴，在中，， ∴，∴． 9．（24-25·广东深圳·八年级校考期中）【操作发现】如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．    ①请按要求画图：将绕点A顺时针方向旋转，点B的对应点为点，点C的对应点为点，连接；②在①中所画图形中，______． 【问题解决】如图2，在中，，延长到D，使，将斜边绕点A顺时针旋转到，连接，求的度数． 【拓展延伸】如图3，在四边形中，，垂足为E，，，，，求的长． 【答案】【操作发现】①见解析，②45；【问题解决】【拓展延伸】5 【详解】解：【操作发现】①如图1中，即为所求．          ②由作图可知，， ∴是等腰直角三角形，∴，故答案为：； 【问题解决】如图2中，过点E作交的延长线于H． ∵，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． 【拓展延伸】如图3中，连接， ∵，即垂直平分，∴， 将绕点A逆时针旋转得到，连接．则， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵， ∴，∴，∴．∴． 10．（24-25九年级上·吉林长春·期中）（1）【问题解决】如图，点在线段上，点在同侧，．求证：． （2）【探究应用】如图，在中，，，直线，与之间距离是1，与之间距离是2，且、、分别经过点，则边的长为______． （3）【拓展延伸】如图，在中，，点是边的中点，点分别在边上，．若，，则的长为______． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】（1）证明：， ，，； (2) 解：如图，过点作，交于，交于， 在中，，，， 直线，，，， ，，，， ，，在Rt中，，， 在Rt中，，故答案为：； (3)解： ， ，，， 点是边的中点，，，，，故答案为：． 11．（24-25·广东·九年级专题练习）如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．（1）求证△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的边长． 【答案】（1）证明见解析；（2）3． 【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°， ∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°，∴∠BPA＋∠DPC＝120° ∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°，∴∠DPC＋∠PDC＝120°， ∴∠BPA＝∠PDC，∴△ABP∽△PCD ； （2）∵2BP＝3CD，且BP＝1，∴，∵△ABP∽△PCD ， 设，则， ∴ 经检验：是原方程的解， 所以三角形的边长为：3． 12．（2024·甘肃天水·二模）综合与实践 感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图，点M在直线上，且（可以是直角、锐角或者钝角），像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型，我们把它称为“一线三等角”模型． 应用：(1)如图1，在矩形中，M，N分别为边上的点，，且，则的数量关系是_____；(2)如图2，在中，，，M是上的点（），且，，求的长；(3)如图3，在四边形中，，，，，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：． 证明：四边形为矩形，．，， 又，∵，∴， ，，，．故答案为：； （2）如图1，延长至点N，使， ．为等边三角形，， ∵，，∴， ∴，∴，． 设，则，， ，解得（负值已舍去）．∴， 过点M作于点D，在中，， ，，， 在中，， （3）如图3，延长至点P，使，则，连接交的延长线于点Q， 过点M作于点N，则四边形为矩形，∴， ∵，∴， ∴，∴是等腰直角三角形， ，， ∴，为等腰直角三角形，． 设，则，，， ∵，∴， ∵，∴，∴， ，即，解得，（舍去），． ，，， ∴． 13.（2024·浙江·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：△ADC≌△CEB． (1)探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC∽△CEB．请你说明理由． (2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝x与直线CD交于点M（2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝，请你求出直线CD的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长． 【答案】(1)见解析(2)(3)4或 【解析】(1)解：理由如下，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°， 又∵∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，且∠ADC＝∠BEC＝90°，∴△ADC∽△CEB； (2)解：如图，过点O作ON⊥OM交直线CD于点N，分别过M、N作ME⊥x轴，NF⊥x轴， 由（1）可得：△NFO∽△OEM，∴，∵点M（2，1），∴OE＝2，ME＝1， ∵tanα＝＝，∴，∴NF＝3，OF＝ ，∴点N（，3）， ∵设直线CD表达式：y＝kx+b，∴∴∴直线CD的解析式为：y＝-x+； (3)解：当∠CDP＝90°时，如图，过点P作PH⊥BC，交BC延长线于点H， ∵∠ADC+∠CDP＝180°，∴点A，点D，点P三点共线， ∵∠BAP＝∠B＝∠H＝90°，∴四边形ABHP是矩形，∴AB＝PH＝4， ∵将线段AE绕点E顺时针旋转90°，∴AE＝EP，∠AEP＝90°， ∴∠AEB+∠PEH＝90°，且∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠PEH，且∠B＝∠H＝90°，AE＝EP， ∴△ABE≌△EHP（AAS），∴BE＝PH＝4， 当∠CPD＝90°时，如图，过点P作PH⊥BC，交BC延长线于点H，延长HP交AD的延长线于N，则四边形CDNH是矩形，∴CD＝NH＝4，DN＝CH，设BE＝x，则EC＝5-x， ∵将线段AE绕点E顺时针旋转90°，∴AE＝EP，∠AEP＝90°， ∴∠AEB+∠PEH＝90°，且∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠PEH，且∠B＝∠EHP＝90°，AE＝EP， ∴△ABE≌△EHP（AAS），∴PH＝BE＝x，AB＝EH＝4，∴PN＝4-x，CH＝4-（5-x）＝x-1＝DN， ∵∠DPC＝90°，∴∠DPN+∠CPH＝90°，且∠CPH+∠PCH＝90°， ∴∠PCH＝∠DPN，且∠N＝∠CHP＝90°，∴△CPH∽△PDN， ∴，∴=∴x＝∵点P在矩形ABCD外部，∴x＝，∴BE＝， 综上所述：当BE的长为4或时，△DPC为直角三角形． 14．（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）（1）在四边形中，，在上有一点，连接，，．证明：． （2）若四边形为菱形，将沿对折，使恰好落在上，已知，求． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）如图，延长至点，使得，∴， ∵，，∴， ,，， 在和中，, 又∵，∴； （2）如图，延长,在延长线上找一点，使得， ∴∵四边形为菱形， ,， 假设，则，， ∵四边形为菱形， ，， 又∵，∴，，可得， 过作于，根据等腰三角形三线合一得，， 由折叠，，， ． 15．（2025·安徽滁州·一模）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用：(1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，D是上一点， ，求点C到边的距离． (3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若 ，求 的值． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴； （2）解：过点D作于点F，过点C作于，交的延长线于点E， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， 在和中，，∴， ∴，即点C到的距离为； （3）过点D作交的延长线于点M， ∴，∵四边形是平行四边形， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴． 16．（24-25九年级上·四川内江·期中）在，，为边上一点，点、分别在、边上，且．作于点，于点． (1)特殊验证：如图1，若，且为中点，求证：，； (2)拓展探究：若．①如图2，若为中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；②如图3，若，条件中“点在边上”改为“点在线段的延长线上”，其它条件不变，请探究与的数量关系并加以证明． 【答案】(1)见解析(2)①．证明见解析；②．证明见解析 【详解】（1）证明：若，则为等腰直角三角形， 如答图1所示，连接，则，又，． 在与中，，． ，，，，，， 在与中，，． 为等腰直角三角形，，； （2）解：①．证明：由（1）证明可知：， ，即．同理， ，即．， ，，； ②．证明：由①同理可得：， ，，，． 17．（2024·重庆·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形： （1）如图1，已知：在△ABC中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请证明你的结论； （2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC中，．将一把三角尺中30°角顶点P放在BC边上，当P在BC边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A，另一条边交AC边于点Q，P、Q不与三角形顶点重合．设．当在许可范围内变化时，取何值总有△ABP∽△PCQ？当在许可范围内变化时，取何值总有△ABP∽△QCP？（3）试探索有无可能使△ABP、△QPC、△ABC两两相似？若可能，写出所有、的值（不写过程）；若不可能，请说明理由． 【答案】（1）；证明见解析；（2）；；（3）可能；，或，． 【详解】解：（1）如图1，∵， ∴，∴， 在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴，，∴； （2）在△ABP中，，∴， 同理可得：；由或， 即，解得，则△ABP∽△PCQ； ∴当在许可范围内变化时，时，总有△ABP∽△PCQ； 由或，同理可得：． ∴当在许可范围内变化时，总有△ABP∽△QCP； （3）可能．①当，时，则，则△ABP∽△PCQ∽△BCA； ②当，时， 同理可得：，，∴△ABP∽△CQP∽△BCA． 18．（24-25·广东深圳·九年级校考阶段练习）【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形ABFC中，点D是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中．，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）5；（3）10 【详解】（1）证明：，，， ，∴，， ，，； （2）解：如图2中，延长交的延长线于点． ，，，，， ，，，，， ，，，，； （3）解：如图，过点作与交于点，使， ，，，， ，，， ，，，， ，，，，，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $