30 一线三等角全等模型 教案 2022年人教版九年级中考数学几何突破专题

30 一线三等角全等模型 知识点一、一线三垂直模型 知识讲解 只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过°顶点作该直线的垂线，构造三垂直模型．必有如下全等三角形： 经典图形： 变式图形：  三垂直模型是初中出现概率非常高的模型，按排名能上前3。前两个是手拉手和角分线辅助线。 三垂直分为外三垂和内三垂两种，区分在于直线在直角的内部还是外部。 三垂直模型的构型基础是等腰直角三角形，只要经过直角顶点画直线，再过两个底角向直线作垂即可。 注意：三垂直模型是旋转模型，属于旋转模型中的较少分类，即中心旋转模型。 旋转中心，就是直角三角形的斜边中点。 所以三垂直是借助旋转完成的线段转移，使用三垂直后的最重要结论，就是线段被转移走了。  经典例题 1.等腰直角，其中，，过、作经过点直线的垂线，垂足分别为、． (1) 你能找到一对三角形的全等吗？并说明． (2)，，之间有何关系？若将直线旋转到如图的位置，其他条件不变，那么上题的结论是否依旧成立． 小试牛刀 2.如图，、、、是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为，正方形的四个顶点分别在这四条直线上，则正方形的边长是            ． 知识点二、一线三等角模型 知识讲解 只要在一条直线上出现三个角相等，一般都可以构造全等三角形解决问题． 经典图形： 三等角模型，是三垂直的一般形式，基本上包含了大部分三垂直常见结论。 我们重点要记录的，是哪里不同。 1、没有等要直角三角形（废话） 2、倒角时，用外角 3、注意直线在顶角内部时，相等的角是两个外角与一个顶角。  经典例题 3.如图，在等腰三角形中，，．点在边上，，点，在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为            ． 小试牛刀 4.如图，直线经过的顶点，．、分别是直线上两点，且． (1)若直线经过的内部，且、在射线上，请解决下面问题： ①如图，若，，            ；（填“≌”或不一定全等于）            ．（填“”，“”或“”） ②如图，若，若使①中的结论仍然成立，则与应满足的关系是                      ． (2)如图，若直线经过的外部，，请探究、、三条线段的数量关系，说明理由． 知识点三、三垂直模型的运用与构造 经典例题 5.已知：在平面直角坐标系中，等腰的顶点、在坐标轴上运动，且，． (1) 如图，当，，点在第四象限时，则点的坐标为            ． (2) 如图，当点在轴正半轴上运动，点在轴正半轴上运动，点在第四象限时，作轴于点，试判断与哪一个是定值，并说明定值是多少？请证明你的结论．  小试牛刀 6.如图，和都是等腰三角形，，，，，且．过、作直线，、在直线上，且，． (1)如图，当时，求证：． (2)在图中，（）中的结论成立吗？若成立请写出证明过程，若不成立请说明理由． (3)如图，当图中的点在直线的下方时，此时条件变成，其余条件不变，探究、、的数量关系并证明你的结论． 答案与解析 1.(1)证明见解析． 解析: 证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∴≌． (2) 结论：． 解析: 理由是：∵，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∴≌． ∴，． ∵， ∴． 2. 解析: 过作的垂线，垂足为，延长交于点． ∵，， ∴，又，， ∴≌， ∴，， 在中：， ∴，故正方形边长为． 3. 解析: ∵，∴与△ ACD等高，底边比值为1:2， ∴与△ ACD面积比为1:2， 又的面积为9，∴与△ ACD面积分别为和． ∵，∴． ∵，，∴． 在△ AEB和△ CFA中，，∴≌． ∴，∴S△ ABE+S△ CDF=S△ CFA+S△ CDF=S△ ACD=6． 4.(1)①≌， 解析: ≌；． ② 解析: ． (2)． 解析: ∵，， 又∵，∴， ∵，， ∴≌， ∴，， ∴． 5.(1) 解析:  过作轴于， 则， ∴，， ∴， 在和中 ∵ ∴≌， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． (2)． 解析: 结论： 证明：作轴于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，∵ ∴≌， ∴， ∵轴于， ∴、横坐标相同， ∴， ∴， ∴． 6.(1)证明见解析． 解析: 过点作于点， ∵，， ∴， 又∵， 易证≌， ∴， 同理可证， ∴． (2)结论依然成立． 解析: 结论依然成立．证明如下： 过点作交于点，满足． 易得，， 又∵， ∴≌， ∴． 同理可证． ∴． (3)． 解析: ．证明如下： 过点作交于点，满足． 同（）可证明≌， ∴，． 又∵，， ∴． 又∵， ， ∴． 可证≌， ∴． ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $