专题27.36 相似三角形几何模型-双垂线等角（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题27.36 相似三角形几何模型-双垂线等角 （知识讲解） 【非共顶点双垂线等角模型】 【双垂线共顶点等角模型】 【双垂线共顶点等角模型拓展】 【典型例题】 类型一、非共顶点双垂线等角模型 1．如图，在中，CD是斜边AB上的高． 求证：． 【分析】根据两个角相等的两个三角形相似进行证明即可． 解：证明：如图， ∵在中，CD是斜边AB上的高 ∴ ∵是公共角 ∴． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，准确运用进行推理证明． 举一反三 【变式1】（1）问题情境：如图1，Rt中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我们可以利用与相似证明AC2＝AD•AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理． （2）结论运用：如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，试利用射影定理证明． 【分析】 （1）由AA证明，再结合相似三角形对应边成比例即可解题； （2）根据正方形的性质及射影定理解得BC2＝BO•BD，BC2＝BF•BE，再运用SAS证明△BOF∽△BED即可． 证明：（1）如图1， （2）如图2， ∵四边形ABCD为正方形， ∴OC⊥BO，∠BCD＝90°， ∴BC2＝BO•BD， ∵CF⊥BE， ∴BC2＝BF•BE， ∴BO•BD＝BF•BE，即， 而∠OBF＝∠EBD， ∴△BOF∽△BED． 【点拨】本题考查射影定理、相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【变式2】【问题情境】如图1，在中，，垂足为D，我们可以得到如下正确结论：①；②；③，这些结论是由古希酷著名数学家欧几里得在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”． (1)请证明“射影定理”中的结论③． (2)【结论运用】如图2，正方形的边长为6，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接． ① 求证：． ② 若，求的长． 【答案】(1)见分析；(2)①见分析；②． 【分析】 （1）由AA证明，再由相似三角形对应边称比例得到，继而解题； （2）①由“射影定理”分别解得，，整理出，再结合即可证明； ②由勾股定理解得，再根据得到，代入数值解题即可． (1)证明： (2)①四边形ABCD是正方形 ②在中， 在， ． 【点拨】本题考查相似三角形的综合题，涉及勾股定理、正方形等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 类型二、双垂线共顶点等角模型 2．如图，已知CD为Rt△ABC斜边上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E． 求证：△ABC∽△DEC. 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出CD=AD，进而可得出∠A=∠ACD，由平行线的性质可得出∠CDE=∠ACD=∠A，再结合∠ACB=∠DCE=90°，即可证出△ABC∽△DEC. 解：∵CD为Rt△ABC斜边上的中线， ∴. ∴. ∵DE∥AC. ∴. ∴. ∵，CE⊥CD， ∴ . ∴△ABC∽△DEC. 【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，解题关键是找出证明三角形相似的条件. 举一反三 【变式1】如图，在矩形中，，点E是边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作交的延长线于点F，设． (1) 求的长（用含a的代数式表示）； (2) 连接交于点G，连接，当时，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)(2)见详解 【分析】 （1）根据矩形的性质可得，然后可证，进而根据相似三角形的性质可求解； （2）如图，连接AC，由题意易证四边形是平行四边形，然后可得，进而可证，则可证，最后问题可求证． (1)解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； (2)证明：由题意可得如图所示： 连接AC， 在矩形中，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【点拨】本题主要考查相似三角形的性质与判定、矩形的性质及菱形的判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定、矩形的性质及菱形的判定是解题的关键． 【变式2】如图①，在正方形中，，为对角线上任意一点（不与重合），连接，过点作，交线段于点. （1）求证：； （2）若，求证：； （3）如图②，连接交于点．若，求的值． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）. 【分析】 (1)如图，过分别作交于点，交于点，则四边形是平行四边形，先证明四边形是正方形，继而证明，即可得结论； (2)由(1)得，，根据比例线段可得，，再根据可得，从而求得AN、BN长即可得结论； (3)把绕点逆时针旋转得到，连接，