第22章 直角三角形（压轴题专项训练）数学沪教版五四制2024八年级上册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第22章直角三角形（压轴题专项训练） 一、单选题 1.如图，在ABC中，AD平分∠BAC,点P是AD的中点，连接BP,若AB=8,AC=6,△PBD的面 积是6，则△ADC的面积是() B D A.8 B.9 C.10 D.11 【答案】B 【详解】解：过D作DE⊥AB,DF⊥AC, B D :点P是AD的中点，△PBD的面积是6， SB4D=2SPBD=2×6=12, :AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, .DF DE, :AB=8, .DE=2×12÷8=3, :AC=6, S4C=x6x3=9. 故选：B 2.已知等边ABC中，AD1BC,AD=12,若点P在线段AD上运动，当)AP+BP的值最小时，4P的 1/38 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 长为() P D C A.4 B.6 C.8 D.12 【答案】C 【详解】解：：ABC是等边三角形， .AB=AC=BC,LBAC=LABC=LC=60°， :AD⊥BC, .∠BAD=∠DAC=30°， 过点P作PE上4C于点么，如图所示：则PE=4P, E B D C AP+BP=PE+BP. P+BP取最小时，即PE+BP为最小， 当 :.当点B、P、E三点共线时最小，此时BE⊥AC,如图所示： E D .∠ABE=∠CBE=∠BAD=30°， .AP=BP,BP=2PD, 2/38 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AD=AP+PD =12, :.4P-24D-8: 23 故选：C 3.如图，在ABC中，AB=AC,∠B=30°，点D、E是边BC上的两个动点，且满足∠DAE=60°，则当 以BD,DE,EC的长为边长构成直角三角形时BD:EC可能是() A.2:1 B.√3：1 C.3:2 D.2:V5 【答案】A 【详解】解：将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，如图所示： B D .AB=AC,∠B=30°， ∠B=∠ACB=30°， ∠BAC=180°-30°-30°=120°. 由旋转的性质得CF=BD,AF=AD,∠BAD=∠CAF,∠ABD=LACF=30°， .∠ECF=60°. :∠DAE=60°， ∴∠BAD+∠CAE=∠CAF+∠CAE=∠FAE=120°-60°=60°， ∴∠DAE=∠FAE=60°， :△DAE≌△FAE(SAS), .DE=EF, :以BD,DE,EC的长为边长构成直角三角形， ∠FEC=90°， :∠ECF=60°， 3/38 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠EFC=30°， .CF=2CE,即BD=2CE, .BD:EC=2:1. 故选：A. 4.如图，在等边ABC中，AB=4,点D是BC边上一动点，连接AD,将AD绕点A逆时针旋转60°得到 AE,点F是AC边的中点，连接CE、EF,则EF的最小值是() A.1 B.3 C.5 D.2 2 【答案】C 【详解】解：：△ABC是等边三角形， AB=AC=4,∠B=∠BAC=60°， 由旋转的性质可知，AD=AE,∠DAE=60°， ∠BAD=∠BAC-∠CAD=60°-∠CAD=∠DAE-∠CAD=∠CAE, ∴△ABD≌△ACE(SAS, :LACE=∠B=60°， 即点E在以点C为顶点，且与AC夹角为60°的直线上运动， 如图，过点F作FG⊥CE于点G, 当点E在点G处时，EF取得最小值，即为FG的长， :点F是AC边的中点， CF=2, 在Rt&CGF中，∠ACE=60°， ∠CFG=30°， 4/38 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CG-CF-1 :FG=VCF2-CG2=√5， 即EF的最小值是5， 故选：C 5.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E,BD⊥AD,AC⊥BC,AD=BD,且AC平分 ∠DAB.下列结论：①LACD=45°；②AB-BD=DE;③BC=CD,其中结论正确的有() D A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】D 【详解】解：①过点D作DF⊥CD交AC于点F,如图1所示： 则∠FDC=90°， D 6 图1 :BD⊥AD,AD=BD, ∴.△ABD是等腰直角三角形， ∠ADB=90°，∠DAB=∠DBA=45°， L4+L6=∠5+L6=90°， ∴.∠4=∠5， :AC平分∠DAB, .∠1=∠2=22.5°， :AC⊥BC, ∴.∠ACB=90°， .∠ABC=90°-∠2=67.5°， 5/38 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠3=∠ABC-∠DBA=67.5°-45°=22.5°， .∠1=∠3=22.5°， 在△ADF和△BDC中， ∠1=∠3 AD=BD, ∠4=∠5 :△ADF≌△BDC(ASA), .AF=BC,DF=DC, '∠EDC=90°， “△DFC是等腰直角三角形， .LACD=45°， 故结论①正确； ②过点E作EH⊥AB于点H,如图2所示：则LBHE=90°， D H 图2 :AC平分∠DAB,BD⊥AD, .ED=EH, 在RtAADE和Rt△AHE中， ED=EH AE=AE :.Rt△ADE≌Rt△AHE(HL), :AD=AH BD, DBA=45°， .△HBE是等腰直角三角形， ∴.EH=BH=ED, AB-AH BH, .AB-BD ED, 6/38 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故结论②正确； ③如图1， :△DFC是等腰直角三角形， DF=CD,∠DFC=∠1+∠4=45°， ∠1=22.5°， .∠1=∠4=22.5°， ∴AF=DF, AF =BC, ∴BC=CD, 故结论③正确； “结论正确的有3个； 故选：D 【点晴】本题主要考查了全等三角形和等腰三角形.熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质、角平分线的 有关计算和性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，是解题的关键 6.意大利文艺复兴时期的著名画家达芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾 股定理.小明用两张全等的纸片①和②拼成如图1所示的图形，中间的六边形ABCDEF由两个正方形和两 个全等的直角三角形组成.己知六边形ABCDEF的面积为14，S正方形ABGF:SE方形cDG=4:1.小明将纸片② 翻转后拼成如图2所示的图形，其中∠BAF'=90°，则四边形B'CE'F'的面积为() B ① D ② ①D ② 图1 图2 A.12 B.10 C.5 D.4 【答案】B 【分析】 【详解】解：：四边形ABGF、四边形CDEG是正方形 GB=GF、GC=GE、∠BGF=∠CGE=90 7/38 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BGC=∠FGE=90° 在△BGC和△FGE中， GB=GF ∠BGC=∠FGE GC=EG ∴△BGC≌△FGE 同理可证△BGC、△FCE、△B'A'F'和△E'D'C'四个三角形全等 .BC=EF B'C'=B'F'=FE'=E'C' 设BC=EF=c :四边形B'CE'F'是菱形，B'C'=c :∠DEF=∠A'FE'、LGEF=LA'F'B' .∠B'FE'=90 ·四边形B'CE'F'是正方形 :SE方形HBGp:S正方形cDEG=4:l :设正方形ABGF的面积为4m,正方形CDEG的面积为m .FG=2√m、EG=√m :六边形ABCDEF的面积为14 号4m+m+2x7x2 mxJm=14 m=2 .EF=√5m=√10 .E'F'=EF =10 :四边形B'CE'F'的面积为√10×√0=10， 故选：B 二、填空题 7.ABC中，BD⊥AB,AD=BC,∠DCB=∠ADB,CD=2,AB=2V5,BC= 8/38 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 【答案】214 【详解】解：如图，过B作BE⊥CD,交CD延长线于点E, .∠BEC=90°， BD⊥AB, ∠ABD=∠BEC=90°， :AD=BC,∠ADB=∠DCB, :△ABD≌△BEC(AAS), .AB=BE=25,BD EC, 设BD=EC=x,则ED=x-2, 由勾股定理得，BE2+ED2=BD2, (25+(x-22=x2, 解得x=6, EC=6, .BC=BE2+EC2= 25+6=24, 故答案为：214. 8.如图，已知在△ABC中，AB=CB,BD是AC边上的中线，点E为BD上一点，连接CE,交BD于点E ,若A=62°，则∠CBD的度数为；若BC=6,BD=5,BE:DE=3:1,则△BCE的面积是 9/38 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D 【答案】 28°； 15V 8 【详解】解：：在△ABC中，AB=CB, .∠BCA=LA=62°， 在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠A=180°， .∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180°-62°-62°=56°， :BD是AC边上的中线， BD平分∠ABC, ∠CBD=}∠ABC=-x56°=280： 2 2 :AB=CB,BD是AC边上的中线， BD⊥AC, :BC=6,BD=5, :.CD=BC2-BD2=62-52=1, BE:DE=3:1, BE=3BD=3x5=15 4 44 .S.wcE=BECD=1 115 2 24 xiT-15/IT 8 故答案为：28°， 15v11 8 9.如图，在ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、E,若∠B=30°， BC=10,则CE= 0 10/38 第22章 直角三角形（压轴题专项训练） 一、单选题 1．如图，在中，平分，点是的中点，连接，若，，的面积是6，则的面积是（    ） A．8 B．9 C． D． 2．已知等边中，，，若点在线段上运动，当的值最小时，的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 3．如图，在中，，，点D、E是边上的两个动点，且满足，则当以，，的长为边长构成直角三角形时可能是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在等边中，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点F是边的中点，连接，则的最小值是（   ） A．1 B． C． D．2 5．如图，在四边形中，与相交于点，，，，且平分．下列结论：①；②；③，其中结论正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．意大利文艺复兴时期的著名画家达·芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的纸片①和②拼成如图1所示的图形，中间的六边形由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形的面积为，．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示的图形，其中，则四边形的面积为（   ） A．12 B．10 C．5 D．4 二、填空题 7．中， ． 8．如图，已知在中，，是边上的中线，点E为BD上一点，连接CE，交于点．若，则的度数为 ；若，，，则的面积是 ． 9．如图，在中，，是的垂直平分线，分别交于点D、E，若，，则 10．如图，的面积为，平分，且于点，则的面积是 ． 11．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，相交于点O，若，则的值为 ． 12．如图，在中，，是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． 13．如图，在等边中，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接、，则的最小值是 ． 14．等边中，，AE交BD于G，作，交DB延长线于点F，若，，则 ． 15．如图，在中，，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒1.5个单位长度，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为秒，当为直角三角形时， 16．如图，是的角平分线，过点B作于点E，连接．若，△ABC的面积为24，则图中阴影部分的面积为    17．如图，在中，，，，，点D是上一动点，连接，将沿折叠，得到，其中，点A落在点E处，交于点F，当为直角三角形时，的长度是 ． 18．如图，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值是 ． 三、解答题 19．如图（1），在中，已知，于，点P、Q分别从、两点同时出发，其中点沿向终点运动，速度为；点沿向终点运动，速度为，设它们运动的时间为． (1)当时，求出使的值； (2)当时，是否存在，使是直角三角形？若存在，请求出的值，若不存在请说明理由． 20．已知是的角平分线，点是上一点，，分别是，上的动点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，、、在同一直线上，平分，交于点，作于点．若，，，请直接写出的值_____． 21．已知点是线段的中点，直线与直线交于点，分别过点和点作直线的垂线，垂足分别为点和点． (1)如图1，当点与点重合时，请你猜想、验证后直接写出线段和的数量关系是________； (2)如图2，当点是线段上的任意一点时，线段和的数量关系是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)当点是射线上的任意一点时，若，，，请直接写出线段的长． 22．已知和均为等腰直角三角形，，点是等腰直角三角形斜边所在直线上一点（不与点重合）． (1)如图，当点在线段上时，直接写出，，三者之间的数量关系：______； (2)如图，当点在线段的延长线上时，（1）中的结论仍然成立吗？若成立，请你利用图2给出证明过程．若不成立，请说明理由． (3)若，点是中点，请直接写出的值． 23．在等腰中，，． (1)如图1，、是等腰斜边上两动点，且，在等腰Rt外侧作，连接．试问： ①___________； ②当时，求的长． (2)如图2，点是等腰斜边所在射线上的一动点，连接，以点为直角顶点作等腰（点．在点的顺时针方向上），当，时，直接写出的长． 24．已知：平分，的顶点在射线上，射线交射线于，射线交射线于． (1)如图①，若，，请直接写出线段与的数量关系：___________； (2)如图②，若，，试判断线段与线段的数量关系并加以证明； (3)若，当满足什么条件时，你在（2）中得到的结论仍然成立，请直接写出满足的条件． 25．如图，，点B是射线上的定点，，点C是射线上的动点，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接、． (1)当时，求线段和的长； (2)当时，线段的长为__________； (3)的最小值是__________. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $