专题06 对数的概念及性质6大考点（期末真题汇编，青海、宁夏专用）高一数学上学期人教A版

专题06 对数函数的概念及性质 6大高频考点概览 考点01 对数的运算 考点02 对数函数的图象与零点 考点03 对数函数的性质 考点04 利用性质比较大小 考点05 对数型复合函数 考点06 对数函数的应用 地 城 考点01 对数的运算 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏吴忠同心县四校·期末)“”的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25高一上·宁夏吴忠青铜峡第一中学·期末) . 3．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)计算 . 4．(23-24高一上·宁夏石嘴山·期末) . 5．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)计算： ． 6．(23-24高一上·宁夏银川育才中学·期末) . 7．(23-24高一上·青海西宁·期末)若，则 . 8．(23-24高一上·宁夏银川金凤区唐徕中学·期末)方程的解为 . 9．(23-24高一上·宁夏青铜峡宁朔中学·期末)已知函数，若，则 ． 10．(23-24高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)已知，则能使的对数值有 个. 地 城 考点02 对数函数的图象与零点 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏银川第二中学·期末)函数的部分图象可能是（    ） A．B．C．D． 2．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)已知函数，函数，若有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高一上·宁夏银川第二中学·期末)已知函数，若，，互不相等，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高一上·宁夏银川一中·期末)已知函数，若关于x的方程有6个根，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．(24-25高一上·宁夏吴忠青铜峡第一中学·期末)已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ） A． B． C． D．的取值范围为 6．(23-24高一上·青海海北州·期末)已知函数，有4个零点，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高一上·宁夏银川第二中学·期末)已知函数，若方程有4个不同的零点，，，，且，则（   ） A． B． C． D．的最小值是32 三、填空题 8．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)函数的零点是 . 四、解答题 9．(23-24高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)已知函数（其中）. (1)若且方程有解，求实数的取值范围； (2)若是偶函数，讨论函数的零点情况. 10．(23-24高一上·宁夏银川金凤区唐徕中学·期末)已知函数是偶函数（其中为自然对数的底数，…）． （1）求的值； （2）若方程在区间上有实数根，求实数的取值范围． 地 城 考点03 对数函数的性质 一、单选题 1．(23-24高一上·青海西宁·期末)函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．(23-24高一上·宁夏银川第二中学·期末)函数的定义域是 A． B． C． D． 3．(24-25高一上·宁夏银川第二中学·期末)设函数，若是奇函数，则的值是（    ） A．2 B． C．4 D． 4．(24-25高一上·宁夏石嘴山·期末)函数且的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 5．(23-24高一上·宁夏银川一中·期末)已知实数满足，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．(23-24高一上·宁夏固原·期末)函数的定义域为 . 7．(23-24高一上·青海海北州·期末)函数的定义域为 ． 8．(24-25高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)已知函数（且）的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则 . 9．(24-25高一上·宁夏吴忠同心县四校·期末)若是奇函数，则实数 . 10．(23-24高一上·宁夏石嘴山·期末)已知对于任意两个不相等实数，都有成立，则实数的取值范围为 . 地 城 考点04 利用性质比较大小 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏吴忠同心县四校·期末)设，则（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高一上·宁夏石嘴山·期末)设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高一上·宁夏青铜峡宁朔中学·期末)若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高一上·宁夏银川第二中学·期末)设，，，则（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·青海部分学校·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 6．(23-24高一上·青海西宁·期末)设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 7．(23-24高一上·青海海北州·期末)若，则（    ） A． B． C． D． 8．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)若，，，则（    ） A． B． C． D． 地 城 考点05 对数型复合函数 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏银川第二中学·期末)设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．(24-25高一上·宁夏固原西吉中学·期末)已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 B．若函数的值域为，则实数 C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 D．若，则不等式的解集为 4．(24-25高一上·青海名校联盟·期末)已知函数且在上单调递减，则的值可能为（    ） A．2 B． C． D． 5．(23-24高一上·青海海北州·期末)已知函数在上单调递减，则的值可能为（    ） A． B． C． D．2 三、填空题 6．(23-24高一上·宁夏银川金凤区唐徕中学·期末)函数，设函数的最大值为，最小值为，则的值为 . 7．(24-25高一上·青海名校联盟·期末)若函数的定义域中恰有个整数，则的取值范围是 . 四、解答题 8．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 9．(24-25高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)已知函数. (1)写出函数的定义域并判断其奇偶性； (2)若，求实数的取值范围. (3)若存在使得不等式成立，求实数的最大值. 10．(24-25高一上·宁夏固原西吉中学·期末)为偶函数，. (1)求实数的值； (2)若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围； (3)求函数在上的最大值与最小值之和为2020，求实数的值. 地 城 考点06 对数函数的应用 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超过多出的部分为万元，则多出的部分按进行奖励.记奖金为（单位：万元），销售利润为（单位：万元）.如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是（    ）万元. A．15 B．25 C．30 D．20 2．(24-25高一上·宁夏吴忠青铜峡第一中学·期末)猪血木是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物．某地引种猪血木500株，已知该地的猪血木数量以每年10%的比例增加，若使该地的猪血木数量翻一番至少需要经过年，则（ ）（参考数据：） A．9 B．8 C．7 D．6 3．(24-25高一上·青海部分学校·期末)大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵.研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 4．(24-25高一上·青海名校联盟·期末)溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.已知某溶液中氢离子的浓度是摩尔/升，则该溶液的约为（    ）（参考数据：） A．1.921 B．1.301 C．1.875 D．1.079 二、解答题 5．(24-25高一上·宁夏石嘴山·期末)若函数在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”. (1)函数是否有“飘移点”？请说明理由； (2)证明：函数在上有“飘移点”； (3)若函数在上有“飘移点”，求实数的取值范围. 6．(23-24高一上·宁夏石嘴山·期末)某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数(且)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于80时听课效果最佳．    (1)试求的函数关系式； (2)老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由． 7．(24-25高一上·青海部分学校·期末)设定义在A上的函数和定义在B上的函数，对任意的，存在，使得（k为非零常数）恒成立，则称与为异自变量定值函数组合，其中k叫作这两个函数的恒定比数值． (1)若函数，判断与是否是恒定比数值为3的异自变量定值函数组合，并说明理由； (2)若函数，）与是恒定比数值为k的异自变量定值函数组合，求k的取值范围； (3)若函数，且与是恒定比数值为k的异自变量定值函数组合，求k的取值范围． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 对数函数的概念及性质 6大高频考点概览 考点01 对数的运算 考点02 对数函数的图象与零点 考点03 对数函数的性质 考点04 利用性质比较大小 考点05 对数型复合函数 考点06 对数函数的应用 地 城 考点01 对数的运算 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏吴忠同心县四校·期末)“”的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用对数函数单调性求得“”的充要条件，然后把必要条件转化为真子集关系，逐项判断即可. 【详解】由得，要成为“”的必要条件， 则是其对应的集合的真子集，而均不满足题意， 因为是的真子集，所以“”的一个必要条件是“”. 故选：C 二、填空题 2．(24-25高一上·宁夏吴忠青铜峡第一中学·期末) . 【答案】2 【解析】根据对数的运算性质进行计算. 【详解】原式. 故答案为：2 3．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)计算 . 【答案】3 【分析】利用对数的运算法则和对数换底公式计算即得. 【详解】原式. 故答案为：3. 4．(23-24高一上·宁夏石嘴山·期末) . 【答案】5 【分析】由分数指数幂、指对互换以及对数运算性质即可得解. 【详解】由题意. 故答案为：5. 5．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)计算： ． 【答案】0 【分析】直接利用指数对数的运算法则求解. 【详解】因为，，， 所以. 故答案为：0 6．(23-24高一上·宁夏银川育才中学·期末) . 【答案】2 【分析】根据指对运算计算得出答案. 【详解】， ， ， ， 故答案为：2. 7．(23-24高一上·青海西宁·期末)若，则 . 【答案】3 【分析】由分段函数的定义区间和解析式，直接求值. 【详解】由，. 故答案为：3 8．(23-24高一上·宁夏银川金凤区唐徕中学·期末)方程的解为 . 【答案】 【分析】根据对数函数的性质解方程即可. 【详解】解：由得，且，解得， 所以方程的解为. 故答案为：. 9．(23-24高一上·宁夏青铜峡宁朔中学·期末)已知函数，若，则 ． 【答案】-7 【详解】分析：首先利用题的条件，将其代入解析式，得到，从而得到，从而求得，得到答案. 详解：根据题意有，可得，所以，故答案是. 点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目. 10．(23-24高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)已知，则能使的对数值有 个. 【答案】9 【分析】先利用对数函数的性质，结合条件得到，再利用列举法即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 当时，取3，5，7，9， 当时，取5，7，9， 当时，取7，9. 当时，取9， 又， 故对数值有9个. 故答案为：9. 地 城 考点02 对数函数的图象与零点 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏银川第二中学·期末)函数的部分图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】先求的定义域，再判断奇偶性，最后取特殊值判断即可. 【详解】由题意可知：的定义域为，定义域关于原点对称， 因为， 所以是奇函数，排除C选项； 取，则； 取，则，排除B、D选项； 故选：A. 2．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)已知函数，函数，若有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】转化问题为函数和有两个交点，结合函数图象求解即可. 【详解】令，即， 因为有两个零点，则函数和有两个交点， 画出函数的图象，如图， 由图可知，要使函数和有两个交点， 则，即，则的取值范围是. 故选：A. 3．(23-24高一上·宁夏银川第二中学·期末)已知函数，若，，互不相等，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数解析式作出函数的图象，设，且，根据，确定以及的范围，即可得出的取值范围. 【详解】作出函数的图象如图， 设，且， 则函数与直线的三个交点从左到右依次为：，，， 点与在上，， 则与关于直线对称，则， 若，解得， 若满足，且由，则有， 即， 故选：C. 【点睛】函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 4．(23-24高一上·宁夏银川一中·期末)已知函数，若关于x的方程有6个根，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先作出函数的图像，结合图像可把问题转化为在上有两个不同实根，，数形结合即可求得答案． 【详解】作出函数图像如图所示： 令，则可化为， 若有6个根，结合图像可知方程在上有2个不相等的实根， 不妨设，， 则，解得， 故m的取值范围为. 故选：D． 二、多选题 5．(24-25高一上·宁夏吴忠青铜峡第一中学·期末)已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】ABD 【分析】先作出函数和的图象，结合题设即可判断ABC，接着求出方程和的根即可计算判断D. 【详解】由题得，所以作出和的图象如下： 因为方程有4个不同的零点，，，，且， 所以，令，则由图可知， 故，，故C错误，AB正确， 令，则或； 令，则或，所以 所以，故D正确. 故选：ABD 6．(23-24高一上·青海海北州·期末)已知函数，有4个零点，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，转化为与的图象的交点个数，作出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】设函数， 令0，可得，作出的大致图象，如图所示， 当时，，因为， 所以由图可知，当时，直线与的图象有4个公共点， 要使得有4个零点，则， 即实数的取值范围为，结合选项BC符合题意. 故选：BC. 7．(24-25高一上·宁夏银川第二中学·期末)已知函数，若方程有4个不同的零点，，，，且，则（   ） A． B． C． D．的最小值是32 【答案】BC 【分析】根据解析式画出的大致图象，数形结合研究与交点横坐标，得，并由对数函数、二次函数性质得、，进而判断各项正误. 【详解】由题设的大致图象如下，，，，为与交点横坐标， 由图知，，，A错； 且，，B、C对； 由，而， 所以，无最小值，D错. 故选：BC 三、填空题 8．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)函数的零点是 . 【答案】 【分析】令，即可得解. 【详解】由，得，所以， 所以函数的零点是. 故答案为：. 四、解答题 9．(23-24高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)已知函数（其中）. (1)若且方程有解，求实数的取值范围； (2)若是偶函数，讨论函数的零点情况. 【答案】(1) (2)当时函数无零点，当时函数有一个零点. 【分析】（1）方程有解，即的值域与方程的值域相同，求出的值域，即可求出实数的取值范围； （2）的零点情况等价于的解的情况，即讨论的解的情况，令，则，由二次函数的性质分类讨论，和即可. 【详解】（1）因为方程有解，所以方程有解， 即的值域与方程的值域相同. 所以，即，故； （2）因为是偶函数，所以， 有，解得，经检验满足题意. 函数的零点情况等价于的解的情况， 即，讨论的解的情况， 令，则 当时，，此时方程无解， 当时，函数开口向上，且恒过定点， 则只有一解，此时方程只有1解， 当时，函数开口向下，且恒过定点，且函数的对称轴，则方程（*）无解， 综上所述：当时函数无零点，当时函数有一个零点. 10．(23-24高一上·宁夏银川金凤区唐徕中学·期末)已知函数是偶函数（其中为自然对数的底数，…）． （1）求的值； （2）若方程在区间上有实数根，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由偶函数的定义可得恒成立，即可求出值； （2）由题意可分离参数得出有解，求出的值域即可. 【详解】（1）是偶函数， 恒成立， ，解得； （2）由（1）知， 由得， 令， 当时，，则， 故时，方程在区间上有实数根， 故的取值范围为. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 地 城 考点03 对数函数的性质 一、单选题 1．(23-24高一上·青海西宁·期末)函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二次根式有意义的条件以及对数复合函数定义域即可得解. 【详解】由题意，解得，即函数的定义域为. 故选：C. 2．(23-24高一上·宁夏银川第二中学·期末)函数的定义域是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：分母不等于零，对数真数大于零，所以，解得. 考点：定义域. 3．(24-25高一上·宁夏银川第二中学·期末)设函数，若是奇函数，则的值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据为奇函数，可求得，代入可得答案. 【详解】若是奇函数，则， 所以，， . 故选：D. 4．(24-25高一上·宁夏石嘴山·期末)函数且的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】首先要找到函数图象恒过的定点，得出和的值，进而得到的值.然后利用均值不等式来求的最小值. 【详解】对于对数函数，当时，（且）. 对于指数函数，当时，（且）. 所以当时，. 即函数的图象恒过定点，所以，. 已知，把，代入可得. 将进行变形，. 展开式子得. 因为，，根据均值不等式，有. 则.当且仅当时等号成立. 故选：C 5．(23-24高一上·宁夏银川一中·期末)已知实数满足，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意，将原不等式变形为，构造函数，根据单调性可判断在单调递增，进而得到，然后分别判断四个选项即可. 【详解】依题意，变形为， 设，定义域为，其中，在单调递增， 所以在单调递增， 又因为，所以， 当时，，，，成立， 当时，，无法判断与0的关系， 故选：D. 二、填空题 6．(23-24高一上·宁夏固原·期末)函数的定义域为 . 【答案】 【分析】解余弦不等式，即可得出其定义域. 【详解】由对数函数的定义知即， ∴， ∴函数的定义域为。 故答案为： 7．(23-24高一上·青海海北州·期末)函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据已知列出不等式组，求解即可得出答案. 【详解】要使函数有意义， 则应有，解得， 所以，函数的定义域为. 故答案为：. 8．(24-25高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)已知函数（且）的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则 . 【答案】 【分析】根据对数函数的基本性质求出定点的坐标，然后令，将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，可得出函数的解析式，由此可得出的值. 【详解】对于函数（且）， 令，可得，此时，， 所以，函数（且）的图象恒过定点， 因为函数为幂函数，设，则，解得， 所以，，故. 故答案为：. 9．(24-25高一上·宁夏吴忠同心县四校·期末)若是奇函数，则实数 . 【答案】/0.5 【分析】根据奇函数的定义求出的值. 【详解】由，可得， 因为是奇函数，所以， 所以，解得. 故答案为： 10．(23-24高一上·宁夏石嘴山·期末)已知对于任意两个不相等实数，都有成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，确定函数的单调性，再利用分段函数单调性列出不等式组，求解不等式组即得. 【详解】由对于任意两个不相等实数，都有成立，得函数在R上单调递增， 而函数，因此，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 地 城 考点04 利用性质比较大小 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏吴忠同心县四校·期末)设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性与“0，1”比较即可. 【详解】 ． 故选：A． 2．(23-24高一上·宁夏石嘴山·期末)设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解. 【详解】，， ，， ，， . 故选：D. 3．(23-24高一上·宁夏青铜峡宁朔中学·期末)若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数函数和指数函数的性质可得. 【详解】，且， ， ， 故， 故选：A. 4．(23-24高一上·宁夏银川第二中学·期末)设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性、幂函数的单调性比较即可求解. 【详解】是增函数， ， 是减函数，在上是增函数， 故选：B 5．(24-25高一上·青海部分学校·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合指数函数，对数函数，正弦函数的单调性确定的范围，即可比较的大小． 【详解】因为函数为增函数， 又，所以， 所以， 函数为增函数，， 所以 ， 因为函数在上单调递增，， 所以， 所以， 所以，即 故选：D. 6．(23-24高一上·青海西宁·期末)设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算以及指数的性质即可求解. 【详解】，，， 所以， 故选：C 7．(23-24高一上·青海海北州·期末)若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的性质，对数函数的运算，即可判断选项. 【详解】，即， ，所以， ，即， ，所以， 综上可知，. 故选：C 8．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用指数函数、对数函数的单调性，借助中间值即可比较大小. 【详解】，，， . 故选：D. 【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的单调性，在指数式与对数式比较大小时，常常借助中间值进行比较，属于基础题. 地 城 考点05 对数型复合函数 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏银川第二中学·期末)设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复合函数的单调性可得在区间上单调递减且在区间上恒成立，列出不等式组，解之即得. 【详解】因函数在定义域范围内单调递增， 由题意，可得在区间上单调递减且在区间上恒成立， 而，故需使 ①， 由即在区间上恒成立，即②， 综合①，②，可得. 故选：B. 2．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性、结合对数型复合函数的单调性列不等式求解作答. 【详解】由或. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 又函数在上单调递增，所以. 即的取值范围为：. 故选：D 二、多选题 3．(24-25高一上·宁夏固原西吉中学·期末)已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 B．若函数的值域为，则实数 C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 D．若，则不等式的解集为 【答案】AC 【分析】对于A，首先要对分类讨论，然后在定义域为的条件下再求的取值范围；对于B，使内层函数的最小为4即可；对于C，一是要考虑内层函数的单调性，二是要考虑定义域；对于D，在解对数不等式时，一定要从定义域为基本前提出发. 【详解】对于A，由题意知对恒成立， 由于当时，不等式不恒成立，所以． 当时，由解得，所以A正确； 对于B，若函数的值域为，则，显然不为0， 则函数的最小值为4，则当时， ，解得，所以B错误； 对于C，若函数在区间上为增函数，则在上为增函数，且在内的函数值为正，所以解得，所以C正确； 对于D，若，则不等式等价于， 则，解得，所以D不正确． 故选：AC． 【点睛】方法点睛： 判断复合函数的单调性要注意把握两点： 一是要同时考虑两个函数的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性， 正确理解“同增异减"的含义，即增增→增，减减→增，增减→减，减增→减． 4．(24-25高一上·青海名校联盟·期末)已知函数且在上单调递减，则的值可能为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】BC 【分析】分和，根据复合函数单调性结合对数函数性质分析求解即可. 【详解】由于函数且在上单调递减，设， 当时，关于在定义域内单调递增，则 在上单调递减，且在上恒成立， 即，解得，综上可知. 当时，关于在定义域内单调递减，则在上 单调递增，即，解得，与矛盾，因此这种情况不成立. 由此可知，因此和符合题意. 故选：BC. 5．(23-24高一上·青海海北州·期末)已知函数在上单调递减，则的值可能为（    ） A． B． C． D．2 【答案】BC 【分析】根据复合函数的单调性以及对数函数的定义域求得的范围，从而确定正确答案. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以依题意可得函数在上单调递减， 则，解得， 所以BC选项正确，AD选项错误. 故选：BC 三、填空题 6．(23-24高一上·宁夏银川金凤区唐徕中学·期末)函数，设函数的最大值为，最小值为，则的值为 . 【答案】4 【分析】结合已知条件，利用奇函数性质即可求解. 【详解】由题意，， 不妨令， 因为， 故，即， 因为，所以为奇函数，关于原点对称， 故，， 由奇函数性质可知，，即. 故答案为：4. 7．(24-25高一上·青海名校联盟·期末)若函数的定义域中恰有个整数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】解不等式，然后对的取值进行分类讨论，确定整数解，即可求得实数的取值范围. 【详解】对于函数，则有， 即，即， 因为函数的定义域中恰有个整数，则， 当时，解不等式可得， 根据题意可知，满足不等式的个整数分别为、，所以，； 当时，解不等式可得， 根据题意可知，满足不等式的个整数分别为、，所以，. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 8．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数函数的单调性转化为指数不等式，换元后由一元二次不等式求解； （2）分离参数后，求的最小值，对数的真数换元后求出取值范围，即可由对数函数单调性求对数函数值域，即可得解. 【详解】（1）由题意可知，即. 令，则有，解得，所以，即. 所以不等式的解集为. （2）由题意可知，即， 即. 又 令， 易知在上单调递减， 所以，所以， 因为，所以. 故实数的取值范围为. 9．(24-25高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)已知函数. (1)写出函数的定义域并判断其奇偶性； (2)若，求实数的取值范围. (3)若存在使得不等式成立，求实数的最大值. 【答案】(1)定义域为，偶函数 (2) (3). 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解； （2）根据题意，由不等式，得出不等式组，即可求解； （3）根据题意，转化为，结合对数型函数的单调性，求得，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由函数有意义，则满足，解得， 所以函数的定义域为，关于原点对称， 又由， 所以函数为定义域上偶函数. （2）解：由函数， 可得， 又由，可得，解得， 即实数的取值范围为. （3）解：若存在使得不等式成立，即， 由，其中， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 可得，所以，即， 所以实数的最大值为. 10．(24-25高一上·宁夏固原西吉中学·期末)为偶函数，. (1)求实数的值； (2)若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围； (3)求函数在上的最大值与最小值之和为2020，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数定义列方程可得解； （2）由时，恒成立，参变分离得，进而求函数最大值即可； （3）化简函数为，结合可得最值，从而得解. 【详解】（1）∵函数为偶函数， ， ， 得， 解得，即. （2）若时，函数的图像恒在图像的上方， 则恒成立， 即，即. 所以. 因为时，， 所以，得， 综上：. （3）， 所以当时， 当 时，取得最大值，当取得最小值， 所以，解得. 【点睛】本题主要了考查函数与方程的综合应用，结合函数奇偶性求出k的值，以及利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键，属于难题． 地 城 考点06 对数函数的应用 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超过多出的部分为万元，则多出的部分按进行奖励.记奖金为（单位：万元），销售利润为（单位：万元）.如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是（    ）万元. A．15 B．25 C．30 D．20 【答案】D 【分析】根据奖励方案，得到奖金关于销售利润的分段函数解析式，进而分析得小江的销售利润即可得解. 【详解】由题意知，当时，； 当时，； 所以 当时，，故小江销售利润， 所以，解得， 所以小江的销售利润是20万元. 故选：D. 2．(24-25高一上·宁夏吴忠青铜峡第一中学·期末)猪血木是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物．某地引种猪血木500株，已知该地的猪血木数量以每年10%的比例增加，若使该地的猪血木数量翻一番至少需要经过年，则（ ）（参考数据：） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】根据指数函数性质列出不等式求解． 【详解】设需要经过年翻一番， 则，， 取对数得，即， 所以，又 故至少需要8年， 故选：B． 3．(24-25高一上·青海部分学校·期末)大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵.研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【分析】设原来的游速为，则提速后的游速为，原来的耗氧量的单位数为，后来的耗氧量的单位数为，根据题意列方程组，能求出结果． 【详解】设原来的游速为，则提速后的游速为， 原来的耗氧量的单位数为，后来的耗氧量的单位数为， 则， 所以， ，故， 所以若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的倍． 故选：B. 4．(24-25高一上·青海名校联盟·期末)溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.已知某溶液中氢离子的浓度是摩尔/升，则该溶液的约为（    ）（参考数据：） A．1.921 B．1.301 C．1.875 D．1.079 【答案】A 【分析】根据定义及对数运算法则直接计算即可. 【详解】由题意可得 . 故选：A. 二、解答题 5．(24-25高一上·宁夏石嘴山·期末)若函数在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”. (1)函数是否有“飘移点”？请说明理由； (2)证明：函数在上有“飘移点”； (3)若函数在上有“飘移点”，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数没有“飘移点”，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据飘移点的定义，结合一元二次方程根的判别式进行判断即可； （2）根据飘移点的定义，结合函数零点存在原理进行求解判断即可； （3）根据飘移点的定义，结合对数的运算性质进行参变量分离，利用基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）函数没有“飘移点”.理由如下： 对于，则，整理得， ，则该方程无解， 函数没有“飘移点”. （2）函数在上有“飘移点”，理由如下： 在上有“飘移点”， 因此有， 即成立，化简，即成立， 记，则在上连续不断，且， 在内存在零点，则方程在内存在实根， 故函数在上有“飘移点”. （3）对于，则， 即， ，则， 令，则， ， 又，当且仅当，即时等号成立， 则， ，即， 故实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对进行换元，令， ，然后再应用基本不等式. 6．(23-24高一上·宁夏石嘴山·期末)某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数(且)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于80时听课效果最佳．    (1)试求的函数关系式； (2)老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由． 【答案】(1) (2)老师在这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳，理由见解析 【分析】（1）利用二次函数的顶点式求得在上的解析式，再利用点代入求得在上的解析式，从而得解； （2）分，，由求解即可. 【详解】（1）由题意知，当时，曲线是二次函数图象的一部分， 抛物线顶点坐标为，且曲线过点， 设二次函数为，则，解得， 则可得，． 又当时，曲线是函数(且)图象的一部分， 且曲线过点，则，即，解得， 则，． 则. （2）由题意知，注意力指数p大于80时听课效果最佳， 当时，令， 解得：. 当时，令， 解得：. 综上可得，. 故老师在这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳． 7．(24-25高一上·青海部分学校·期末)设定义在A上的函数和定义在B上的函数，对任意的，存在，使得（k为非零常数）恒成立，则称与为异自变量定值函数组合，其中k叫作这两个函数的恒定比数值． (1)若函数，判断与是否是恒定比数值为3的异自变量定值函数组合，并说明理由； (2)若函数，）与是恒定比数值为k的异自变量定值函数组合，求k的取值范围； (3)若函数，且与是恒定比数值为k的异自变量定值函数组合，求k的取值范围． 【答案】(1)与不是恒定比数值为3的异自变量定值函数组合，理由见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据函数新定义，问题化为判断值域是否是值域的子集即可判断； （2）求得，，问题化为求参数范围； （3）先求得、，再讨论、确定值域的包含关系求参数范围. 【详解】（1）由，得． 由，得，则． 因为不是的子集， 所以与不是恒定比数值为3的异自变量定值函数组合． （2）由，得， 由，得， 因为，所以， 因为与是恒定比数值为的k异自变量定值函数组合，所以， 所以，解得，故k的取值范围为． （3）由，且已知单调递增，得． 由，得，则， 当时，， 因为与是恒定比数值为k的异自变量定值函数组合，所以， 所以，解得， 当时，， 因为与是恒定比数值为k的异自变量定值函数组合，所以， 所以，解得， 综上，k的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：根据题干函数的新定义，结合各问条件将问题化为两个函数值域间的包含关系为关键. 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $